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NOME:______________________________Nº_______
Turma:_____________ Data _____/_____/2012
e-mail:______________________________
///4RC05 V1N1C1U5 R1831R0
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Esta APOSTILA, como ocorre com todo e qualquer trabalho
humano, deve – é evidente – conter falhas e imperfeições.
Não devemos, porém, temer o erro. O escritor suíço Henri-
Frédéric Amiel (1821-1881) afirmou que o erro só é perigoso quando
contém grande parcela de verdade. Gotthold Ephraim Lessing,
filósofo alemão (1729-1781), um século antes do judicioso Amiel, já
havia exarado esta sentença notável: Aquele que teme o erro é o
primeiro a errar.
Tudo que merece estudo não se lê facilmente, tudo que adianta
alguma coisa exige esforço e meditação.
Malba Tahan
“Agrada-me mais a dúvida do que o saber”, dizia Dante. E esta é
a essência da Matemática. Completa, séculos depois, Benjamin
Franklin: “Muita gente lamenta ter estudado isso ou aquilo.
Consideram tempo perdido ou esforço inútil. Em relação a
matemática, porém, não houve, até hoje, quem lastimasse o tempo
empregado em seu estudo. O arrependimento só brotou no espírito
daqueles que não poderiam ter levado, em adiantamento, os estudos
da Matemática”.
Salientando a importância do ensino da parte histórica da
Matemática opinou Felix Klein (1849-1925), um dos mais insignes
didátas na matéria: “O professor que ensina a Matemática desligada
de sua parte histórica comete verdadeiro atentado contra a Ciência e
contra a cultura em geral”.
“ Ensinar é um exercício de imortalidade. De alguma forma continuamos
a viver naqueles cujos olhos aprenderam a ver o mundo pela magia da
nossa palavra. O professor, assim, não morre jamais ... “ (Rubem Alves)
"Faça as coisas o mais simples que puder, porém não simplifique demais."
Albert Einstein
Mestre é um aprendiz há mais tempo
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PLANO DE ENSINO RESUMIDO 2012
DISCIPLINA: C Á L C U L O 4 – TURMAS CA4TCI1, CA4TEN1
PROFESSOR: MARCOS VINÍCIUS RIBEIRO mvinicius@facens.br
CONTEÚDO: 1°°°° SEMESTRE - 2012
Módulo 1 Módulo 2
Sequências
Séries
Campos Vetoriais
Integrais Curvilíneas (de Linha)
Equações Diferenciais Lineares
de 1ª e 2ª ordem (homogêneas)
SISTEMA DE AVALIAÇÃO:
A avaliação do rendimento escolar é feita por disciplina, incidindo sobre a freqüência e o rendimento. O rendimento
escolar semestral anual é composto por dois módulos e pela freqüência semestral.
A nota de cada módulo é composta por exercícios, provas, trabalhos e outras atividades, sendo que, pelo menos uma
das provas deverá ser escrita. Uma prova Substitutiva no final do semestre. A nota obtida na prova Substitutiva é usada para
substituir a menor das notas obtidas nos módulos. As notas serão compostas da seguinte forma: MF= 0,5*M1+0,5*M2 � Se
MF ≥ 5,0 então o aluno está APROVADO, onde M1: Nota do módulo1 e M2 : Nota do módulo2, MF: Nota final do semestre.
Caso contrário, MF=0,5*M+0,5*SUB, onde SUB: Nota da prova substitutiva referente a menor nota entre os módulos, ou ainda,
referente ao módulo em que o aluno não compareceu, M é o máximo entre M1 e M2. Se MF ≥ 5,0 então o aluno está
APROVADO. Se MF < 5,0 então o aluno está REPROVADO.
A prova substitutiva irá SUBSTITUIR a menor nota entre os módulos. A partir dela fará a média aritmética para
composição da média final do semestre. Critério de arredondamento, o aluno será aprovado se conseguir nota igual ou superior
a 4,75. Frisando, o aluno que obter nota igual ou menor que 4,74 não será aprovado. Material para avaliações, lápis, caneta,
borracha, apontador, régua, calculadora convencional quando for o caso do próprio aluno, não serão permitidos empréstimos
de materiais durante as avaliações. É proibido uso de dispositivos eletrônicos durante a aula e prova, aplicam-se também aos
fones de ouvido. Todo e qualquer outro material deverá estar fora do alcance do aluno, principalmente celulares. Caso seja
detectada cola, mesmo que no início da avaliação, mesmo que ainda não tenha sido entregue a avaliação será atribuído zero ao
aluno, portanto analise bem antes de fazê-lo. Obrigatório a entrega da folha de questões (tabelas e fórmulas) e da folha de
resolução (exemplo, o almaço). Pede-se que o aluno procure ir ao banheiro antes da avaliação. Ao término da avaliação,
entregar nas mãos do professor. Acréscimos concedidos “bônus” ao longo dos módulos não serão computados, considerados
quando da realização da avaliação substitutiva. O professor valoriza o cálculo mental ou cálculo sem uso de calculadoras.
Avaliações de Cálculo 4
CI1 EN1 Substitutiva
Módulo 1 09/04 11/04
Módulo 2 11/06 06/06
Substitutiva 22/06 22/06
1º Semestre/2012
12 a 27 de junho
O calendário de avaliações está sujeito a alterações pelo professor
BIBLIOGRAFIA
Básica
THOMAS, G. B. et al. - Cálculo. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002. Volume 2
THOMAS, G. B. et al. - Cálculo. 11. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009. Volume 2
STEWART, James. Cálculo. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. Volume 2
STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira, 2006. Volume 2
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. Volume 2
Complementar
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. Ed. São Paulo: Makron Books, 1994. Volume 2
SIMMONS,George F. Cálculo com Geometria Analítica . 8ª ed.. Pearson Makron Books, 1988 Volume 2
FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. Calculo Volume 2. 10. ed. São Paulo, SP: Addison-
Wesley 2003. 572 p.
GONÇALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva Marília. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais múltiplas,
integrais curvilíneas e de superfície. 2. ed. São Paulo, SP: Pearson Prentice Hall 2007. 435 p.
GIOVANNI, J. R. Matemática Fundamental. São Paulo : FTD
É Fundamental o aluno seguir um dos livros citados acima.
Migandorffy - é o canal chzelada- 192 videos - Sequencias e Séries + outros
http://www.youtube.com/playlist?list=UU2EnI_I2_SDpT_WYXEslUiw&page=1
http://www.vestibulandia.com.br http://www.youtube.com/nerckie http://www.youtube.com/LCMaquino
matemática zero e matemática cálculo e geometria analítica
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PARA REFLEXÃO
Para que haja crescimento o sacrifício é necessário
Negar a necessidade de mudanças não elimina o problema!
Ficar remoendo o passado, lamentando o que poderia ter sido feito e não foi, apenas desvia
a atenção do presente, onde realmente as coisas acontecem.
O único lugar aonde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário – Albert Einstein
“Não espere benefício sem haver conquistado mérito”. Não espere o mérito sem esforço!!!!
“Eu não me envergonho de corrigir os meus erros e mudar as minhas opiniões
porque, não me envergonho de raciocinar e aprender”Alexandre Herculano
Não Adianta ficar lamentando, (coitadinho de mim, autocomiseração).
Cresça!!! Não jogue a culpa nos outros!!!
Diga não a preguiça!!! Seja um guerreiro Eu sou capaz!!!
A Bíblia diz Esforça-te e Eu te ajudarei!!!
Is 35.4 41.10,13
E conhecereis a verdade, e a verdade vos libertará. João 8.32
Não sabendo que era impossível, ele foi lá e fez!! Jean Cocteau
Não faça da sua vida um rascunho, pois pode não dar tempo de passa-la a limpo!!!
A força não provêm da capacidade física e sim de uma vontade indomável – GANDHI
Mudança – Movimento (novos conhecimentos, Novas experiências, novas oportunidades) estas três
desencadeiam crescimento – Vitórias – Realizações.
Dê uma cotovelada de leve e fale ao seu vizinho, ei!! Movimente-se
Os quatro “D”
Determinação –
é aquela força interior capaz de levar alguém a afirmar com convicção: “Este é o meu sonho.
Não morro sem realiza-lo, mesmo que demore vinte, trinta anos”.
Dedicação é a capacidade de se entregar à realização de um objetivo.
Disciplina é a capacidade de seguir um método. Quando se fala em disciplina, a primeira coisa que vem á
mente é o conceito de rigidez. Mas disciplina, na verdade, está associado à palavra discípulo, que é aquele
que tem capacidade de aprender com um mestre, segundo seu método.
Desprendimento é a capacidade de abandonar o que não esta funcionando para aprender o novo. É
desapegar-se de certa maneira de fazer algo para conseguir um resultado melhor.
A diferença entre o sábio e o ignorante é que o 1º sabe aproveitar suas dificuldades para
evoluir, enquanto o ignorante se sente vítima de seus problemas.
Cresça! Não lamente seus erros e dificuldades!!!
Quem reconhece suas fraquezas já deu o primeiro passo para superá-las.
Lembre-se: A sua vida deve ser uma oferta a Deus ao invés
de um monumento aos homens.
Os problemas para matemática não são problemas, são a razão de sua existência.
Um problema é um desafio a ser solucionado, uma questão a ser resolvida. A matemática
tem um caso de amor com os problemas
"QUANDO O TRABALHO É PRAZER, A VIDA É UMA GRANDE ALEGRIA. QUANDO O
TRABALHO É DEVER, A VIDA É UMA ESCRAVIDÃO." (MÁXIMO GORKI)
Para vencer na vida
Você deve colocar milhões de perseverança! Fotógrafo de renome que nos primeiros 5 anos de sua vida
só fotografava animais, e ninguém dava nada para ele, e hoje é expoente nas fotos para modelos.
A VIDA É DURA PARA QUEM É MOLE!!!
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Lembra-te que o silencio, é às vezes, a melhor resposta. Em disputas com teus
queridos, trata só do caso corrente. Não vás buscar queixas do passado.
Quando perderes, pelo menos não percas a lição!
Julgar os outros é perigoso. Não tanto pelos erros que podemos cometer a respeito
deles, mas pelo que podemos revelar a nosso respeito. Voltaire
PACIÊNCIA E PERSEVERANÇA!!!!!
Aprenda que a PACIÊNCIA requer muita prática!
Só o tempo e o esforço trazem a competência
Alcançado o sucesso deve-se manter o que foi conseguido,
e não exalta-lo!
Toma em conta que um grande amor, ou uma grande realização implicam grandes riscos
“ ...os físicos aprenderam a fazer as perguntas corretas. E fazer a pergunta certa é
freqüentemente mais do que a metade do caminho que conduz a solução do problema”
Werner Heisenberg(1901-1976)
“DEUS NÃO JOGA DADOS”
Albert Einstein
O que fazemos em vida, ecoa na eternidade!!! Do filme Gladiador
Partilhe o teu saber, é uma forma de alcançar a imortalidade!!!
Avalia o teu sucesso por tudo o que tiveste de renunciar para alcançar!
“Deus nos fez para atingirmos, como águias, elevadas alturas, mas nos contentamos com
vôos rasantes dos pardais.”
O músculo mais potente do corpo humano é a língua.
Tudo tem uma razão. As vezes as coisas acontecem por uma razão. Algo ruim força uma
coisa boa, ou para um bem maior
TRABALHE como se você não precisasse do dinheiro. AME como se você nunca tivesse sido
magoado. DANCE como se ninguém estivesse observando.
O maior risco da vida é não fazer nada!!!
Em tudo que a natureza opera, ela nada faz bruscamente! Lamarck
Segue os três Rs: Respeito por ti, Respeito pelos outros e Reponsabilidade por todos os
teus atos
Lembra-te que não ter tudo o que se deseja é por vezes um magnífico golpe de sorte.
DEUS NÃO CHAMA AQUELES QUE SÃO EQUIPADOS. ELE EQUIPA AQUELES QUE SÃO CHAMADOS, E
ELE SEMPRE ESTARÁ LÁ PARA AMAR E GUIAR VOCÊ A GRANDES COISAS!
F E L I C I D A D E S ! ! !
Marcos Vinícius Ribeiro
14 de abril de 2012
- 5 -
LUTE!!!
Diga em voz alta: Insisto! Persisto! Não Desisto!
Lutar sempre, Vencer talvez, Desistir Jamais!!!
“Posso todas as coisas nAqule(DEUS) que me fortalece”
Filipenses 4.13
“Os VENCEDORES não são os que nunca sofrem derrotas,
mas sim os que nunca desistem” Edwin Louis Cole
“A nossa maior glória não reside no fato de nunca cairmos, mas sim em nos
levantarmos sempre depois de cada queda” - Confúcio
“Somente peixes mortos nadam com a corrente” (Malcolm Muggeridge).
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ABRAHAM LINCOLN
16º Presidente dos Estados Unidos da América Republicano(1861-1865)
Nasceu em 12/02/1809 e foi assassinado no dia 15 de abril de 1865
P E R S E V E R A N Ç A
Ele fracassou nos negócios em 1831.
Tentou um outro negócio em 33. Fracassou.
Sua noiva morreu em 35.
Teve um colapso nervoso em 36.
Em 43 ele candidatou-se para o Congresso e foi derrotado.
Tentou em 48 e foi derrotado novamente.
Tentou se candidatar para o Senado em 55. Perdeu.
No ano seguinte, candidatou-se a vice-presidente e perdeu.
Em 59 candidatou-se ao Senado novamente e foi derrotado.
Em 1860, o homem que assinava A. Lincoln
foi eleito o 16° presidente dos Estados Unidos.
A diferença entre as realizações mais ousadas da história e seus mais
assombrosos fracassos está simplesmente em sua
FORTE VONTADE DE PERSISTIR.
“A probabilidade de fracassarmos na luta não nos deve deter no impulso de combater
por uma causa justa.”
"é melhor calar-se e deixar que as pessoas pensem que você é um idiota do que falar e acabar
com a dúvida." (Abraham Lincoln)
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S E Q U Ê N C I A S - Módulo 01
S E Q U Ê N C I A S
1ª) ��������������� . . .
Qual é a 10ª figura?_______ Qual é a 99ª figura? _______
Qual é a 128ª figura?_______ Qual é a 154ª figura?_______
2ª) ��������������� . . .
Qual é a 88ª figura?____ Qual é a 121ª figura? ____
Qual é a 67ª figura?____ Qual é a 145ª figura?___ Qual é a 219ª figura?__
3ª) ������
������
���� ...
Qual é a 85ª figura?_______ Qual é a 122ª figura? _______
Qual é a 159ª figura?_______ Qual é a 208ª figura?_______
Qual é a 252ª figura? _______ Qual é a 379ª figura?_______
Qual é a 433ª figura? _______ Qual é a 134ª figura?_______
4) PROBLEMINHA PARA PENSAR
Como parte de seu programa de ginástica, Beto
decidiu fazer abdominais toda manhã, a exemplo de sua
treinadora Lilabel. Em 1º de abril ele fez apenas uma
abdominal, no dia 2 de abril fez três abdominais; do dia 3 de
abril ele fez cinco e no dia 4 de abril fez sete. Suponha que
Beto tenha continuado a aumentar o número de abdominais
a cada dia, seguindo este padrão durante todo o mês de
abril. Quantas abdominais ele fez no dia 15 de abril?
Quantas abdominais ele fez até o dia 15 de abril?
Lilabel decidiu acompanhar Beto e para motivá-lo ela
começou com 20 abdominais no dia 1º de abril, e no dia 2 de
abril ela fez 22, no dia 3 de abril ela fez 24. Quantas
abdominais Lilabel fez no dia 15 de abril? Quantas
abdominais Lilabel fez até o dia 15 de abril?
5) Determine a Lei de formação(Termo geral):
a) 1,4,7,10,13,... b) 4,9,14,19,24,29,... c) -3,4,11,18,25.... d) 19,13,7,1,-5,-11,... e)15,23,31,39,47,... f) 17,21,25,29,33,...
6) Transportation. Olga has part of a bus schedule. She wishes to take the bus to go the
mall, but she cannot leave until after 4:00 P.M. . What is the earliest time Olga can catch the
bus? Bus Schedule Departures 8:25 A.M. 9:13 A.M. 10:01 A.M. 10:49 A.M.
Uma seqüência pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma
ordem definida: a1, a2, a3, a4, a5, . . . , an , . . .. O número a1 é chamado de 1º termo, a2
é o 2º termo e em geral an é o n-ésimo termo.
Podemos lidar exclusivamente com
seqüências infinitas, e assim cada termo an terá um sucessor an + 1 .
Note que para cada inteiro positivo n existe um número correspondente an, e
assim podemos representar como um par ordenado (n, an) , ou ainda como uma função
cujo domínio é o conjunto dos N (Naturais). Mas geralmente escrevemos an em vez da
notação de função f(n) para o valor da função ao número n.
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Notação: A seqüência {a1, a2, a3, a4, ... } é também denotada por { }na ou por { }∞=1nna
Exemplos:
(a) ∞
=
+ 11 nn
n
1+
=
n
n
an
+
,...
1
,...,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
n
n
(b) ( ) ( )
+−
n
n
n
3
11
( ) ( )
n
n
n
n
a
3
11 +−
=
( ) ( )
+−
−− ,...
3
11
,...,
81
5
,
27
4
,
9
3
,
3
2
n
n
n
(c) { }∞
=
− 33 nn 3,3 ≥−= nnan { },...3,...,3,2,1,0 −n
(d) ∞
=
06
cos
n
n
pi
0,
6
cos ≥= nnan
pi
,...
6
cos,...,0,
2
1
,
2
3
,1 pin
Aqui estão algumas seqüências que não tem uma equação de definição simples:
01) Se fizermos an ser o dígito na n-ésima casa decimal do número e , então { }na é uma seqüência bem definida cujos primeiros termos são:
{7,1,8,2,8,1,8,2,8,4,5,...}
5266...360287471384590452352,7182818211lim =
+=
∞→
n
n
n
e
02) A seqüência de Fibonacci { }nf é definida recursivamente pelas
condições:
311 2121 ≥+=== −− nfffff nnn
cada termo é a soma dos dois termos precedentes. Os primeiros termos são:
{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144, ...}
Essa seqüência surgiu quando o matemático italiano
conhecido como Fibonacci resolveu, no século XIII, um
problema envolvendo a reprodução de coelhos.
Fibonacci colocou o seguinte problema: Suponha
que coelhos vivam para sempre e que cada mês cada par
produza um novo par, que se torna reprodutivo com 2
meses de idade. Se começarmos com um par de recém
nascidos, quantos pares de coelhos teremos no n-ésimo
mês?
A seqüência ao lado indicada com a letra L recebe o nome de seqüência de
L U C A S. L = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...}
- 9 -
E como falamos de par, de dois, o Triângulo de Pascal vem confirmar através dos
coeficientes do binômio
( )nxa + , ou números binomiais
p
n
onde ( )!!
!
pnp
n
p
n
−
=
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Definição: Uma seqüência { }na tem o limite L e escrevemos Lann =∞→lim ou
Lan → quando ∞→n .
Se para cada 0>ε existir um correspondente inteiro N tal que
ε<− Lan sempre Nn > .
Se Lann =∞→
lim
existir, dizemos que a seqüência (tem limite), ou a
seqüência converge
(ou é convergente). Caso contrário, se Lann =∞→
lim
não existir, a
seqüência não tem limite, ou a seqüência diverge (ou é divergente).
εεεε - pode ser interpretado como a probabilidade de
um macaco sentar na frente de uma máquina de
escrever e apertando as teclas aleatoriamente escrever
a obra completa de Shakespeare. Pode-se afirmar que ε
é igual a zero? A idéia é dizer que εεεε é muito pequeno,
porém diferente de 0 (zero).
εεεεsperança
“Falas nas aulas do Prof. Dr. Nelson
Onuchic”
Macacos Datilógrafos
Uma afirmação clássica é que um macaco, batendo ao acaso nas teclas de uma
máquina de escrever, acabaria compondo a obra completa de Shakespeare, admitindo-se que
continuasse datilografando indefinidamente, século após século. Para tal estimativa, aplicou-
se à regra da multiplicação da teoria das probabilidades. Um resultado de
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (1036) anos é considerado muito
pequena por alguns. Nesse mesmo espírito, Sir Arthur Eddington escreveu este poema:
“Havia uma vez um macaco inteligente, que sempre tocava um baixo, e que disse:” “Parece
que, em bilhões de anos, acabarei compondo uma melodia”. Página 74 - Do livro Introdução à
Estatística – Mario F. Triola – 7ª edição Editora LTC
- 10 -
O Vocabulário de Shakespeare
De acordo com Bradley Efron e Ronald Thisted, as obras de Shakespeare contem
31.534 palavras diferentes. Com auxílio da teoria das probabilidades, concluíram que
Shakespeare conhecia ao menos outras 35.000 palavras que não empregou em suas obras. A
estimativa do tamanho de uma população é um problema importante, encontrado
freqüentemente em estudos de ecologia, mas o resultado apresentado aqui é outra aplicação
interessante, [Veja “Estimating the Number of Unseen Species: How Many Words Did
Shakespeare Know? (Estimativa do Número de Espécies Não Vistas: Quantas palavras
Shakespeare conhecia?), in Biometria, Vol. 63, Nº 3] Página 63 - Do livro Introdução à
Estatística – Mario F. Triola – 7ª edição Editora LTC
Os pontos do gráfico de { }na devem estar entre as retas horizontais
ε+= Ly e ε−= Ly se Nn > .
Esse desenho deve ser válido não importa quão pequeno ε seja escolhido, mas
geralmente um ε menor requer um N maior.
A única diferença entre Lann =∞→
lim
e Lxfx =∞→ )(lim é que “n” precisa ser inteiro.
Logo temos: Teorema: Se Lxfx =∞→ )(lim e nanf =)( quando n é um inteiro então
Lann =∞→
lim
.
Sabemos que rn
n
1lim
∞→ se 1>r
Definição: ∞=∞→ nn a
lim
significa que para cada número positivo M existe um
inteiro N tal que Man > sempre que Nn > .
- 11 -
C O N V E R G Ê N C I A D E U M A S E Q U Ê N C I A
A seqüência an, cujos elementos pertencem a um corpo ordenado converge
para L, se para cada número arbitrário ε > 0 pertencente a esse corpo, for possível
encontrar um correspondente natural N tal que se tenha: ε<− Lan para todo n>
N todos os índices maiores que N , pode ser que uma seqüência é
desorganizada até um instante e depois se organiza. Logo estudamos a partir
o momento da organização. Os termos “desorganizados” não
descaracterizam, tornam feia uma seqüência.
Exemplo Dominó(todos desorganizados) e depois , a partir de um n tenho a
organização.
LEIS DOS LIMITES PARA SEQUÊNCIAS
Se { }na e { }nb forem seqüências convergentes e C for uma constante então:
( ) nnnnnnn baba limlimlim ∞→∞→∞→ ±=±
nnnn aCCa
limlim
∞→∞→ =
( ) nnnnnnn baba limlimlim . ∞→∞→∞→ =
nn
nn
n
n
n b
a
b
a
lim
lim
lim
∞→
∞→
∞→ =
se 0lim ≠∞→ nn b
CCn =∞→
lim
( ) ( )knnknn aa limlim ∞→∞→ =
k
nn
k
nn
aa lim
lim
∞→∞→
=
nnn aa
n tt
limlim
∞→
=
∞→
( ) ( )ntntn aa limlnlim loglog ∞→∞→ =
EXERCÍCIOS THOMAS – CÁLCULO VOLUME 2
SEQUÊNCIAS
Página 11 do 1 ao 56
Página 30 a 31 do 1 ao 51
Página 42 do 1 ao 65
Página 50-51 do 1 ao 44
Página 60 do 1 ao 38
Página 72 do 1 ao 35
- 12 -
Guillaume François Antoine, Marquês de L'Hôspital (Paris,
1661 - Paris, 2 de Fevereiro de 1704) foi um matemático
francês. É principalmente conhecido pela regra que tem o seu
nome para calcular o valor limite de uma fracção cujo
numerador e denominador tendem,
A Regra de L’Hôspital é assim chamada em homenagem ao nobre
francês marquês de L’Hôspital(1661-1704), mas foi descoberta pelo
matemático suíço John Bernoulli(1667-1748)
A família Bernoulli teve sua origem na cidade de Antuérpia, na Holanda,
vindo fugida para a Suíça, por serem protestantes. Foi
a única família da
humanidade até os tempos de hoje a produzir tantos matemáticos, doze ao
todo, sendo os mais famosos os irmãos Jacques e Jean Bernoulli,
importantes discípulos de Leibniz que contribuíram de forma inigualável na
criação do Cálculo Diferencial e Integral. A palavra integral foi
primeiramente usada pelos Bernoulli em 1669, sendo logo admitida
por Leibniz que "Cálculus Integralis" seria um nome melhor que
"Cálculus Sommatorius". Jean Bernoulli, filho de Nicolau Bernoulli,
nasceu em Basiléia, Suíça, no dia 07 de agosto de 1667. Seu pai lhe
proporcionou muito conhecimento de matemática, mas não pretendia que
seus filhos se dedicassem a ela, esperando que os mesmos fossem
ministros religiosos ou médicos. Jean seguiu o caminho estipulado pelo pai
a princípio, chegando a escrever uma tese de doutoramento em medicina,
com apenas 23 anos de idade.Jean apaixonou-se pela teoria do cálculo
diferencial e integral e, em 1662, escreveu dois livros sobre cálculo. Nessa
época, encontrava-se em Paris e, para ganhar a vida, tornou-se professor
particular de um jovem, Guilherme François L'Hospital, Marquês de St
Mesme, com o qual trocou o salário mensal para passar para suas
descobertas matemáticas para serem usadas como o desejasse; sendo
assim, uma das mais importantes contribuições de Jean Bernoulli para
resolução de limites indeterminados passou a ser conhecida mundialmente
como regra de L'Hospital (Análise dos Infinitamente Pequenos), publicado
em Paris em 1699. Esta publicação é tida como primeiro livro de
Jean Bernoulli
(1667-1748)
cálculo diferencial e Integral editado no mundo, cuja importância foi enorme para a divulgação do cálculo
entre os estudiosos do século XVIII. Na obra, L'Hospital demonstra ser um escritor exímio, expondo de
maneira ordenada a evolução das principais idéias-suportes das integrais e derivadas. O sucesso foi tão
grande que durante dois séculos foi publicado com tiragens de milhares de exemplares. L'Hospital
agradece, no prefácio, de maneira especial a Jean Bernoulli e a Leibniz. Bernoulli foi convidado a ser
professor da Universidade de Groningen em 1695, e, em 1696, começou a interessar-se pelo que seria o
cálculo varicional, propondo, na revista Acta Eruditorium, o célebre problema do tempo mínimo de
descida de um corpo sob ação do campo gravitacional, que foi resolvido por Euler e por vários
matemáticos, inclusive pelo próprio Jean. Casou-se, em 1694, com a sobrinha de Euler, com a qual teve
três filhos, todos gênios que fizeram grandes trabalhos dentro da física e da matemática. Em 1711, ficou
conhecido no mundo todo devido a seus importantes trabalhos dentro da matemática, da física e da
engenharia e, principalmente pelos seus estudos sobre as propriedades da catenária, sendo várias
vezes, homenageado pelos reis e rainhas. Em 1712, começou a demonstrar sinais nítidos de loucura,
expulsando de casa seu filho Daniel, por ele ter conquistado um prêmio da Academia de Ciências de
Paris, ao qual Jean também concorreu. Tal inveja perdurou até o final de sua vida, ficando, ao fim de
1747, praticamente sozinho no mundo, abandonado inclusive pela própria família. Morreu em 03 de
janeiro de 1748 na cidade de Basiléia, com 81 anos de idade, vítima de sua loucura.
- 13 -
Indeterminações Inconclusivas
potênciadiferençaprodutoquociente
00 0;;1
;;
.0
;
;
0
0
∞∞−∞∞∞
∞
∞
Regra de L´Hôspital – Suponha que f e g são diferenciáveis e
0)(, ≠xg
próximo a a (exceto possivelmente em a ). Suponha que:
0)(lim =→ xfax e 0)(lim =→ xgax ou que ±∞=→ )(lim xfax e ±∞=→ )(lim xgax
(Em outras palavras, temos uma forma indeterminada do tipo
0
0 ou
∞
∞ )
Então: )(
)(
)(
)(
,
,
limlim
xg
xf
xg
xf
axax →→ =
Se o limite do lado direito existir (ou é ∞ ou ∞− ).
Exemplo de limites fundamentais.
Trigonométricos: 1
senlim
0 =→
x
x
x
0cos1lim 0 =
−
→
x
x
x
1lim 0 =→
x
tgx
x
Exponencial: ex
x
x =
+
∞→
11lim
EXEMPLO INTERESSANTE.
Calcule
n
n
x
lnlim
∞→ Note que o numerador e denominador se aproximam do infinito
quando .Não podemos aplicar regra de L´Hôspital diretamente, porque ela não se aplica a
seqüências, mas sim a
funções de uma variável real. Contudo podemos aplicar a Regra de L´Hôspital à
função relacionada
( )
x
x
xf ln)( = e obter 01
ln 1limlim
=⇒
∞→∞→
x
xx
x
x
Portanto, pelo teorema abordado temos: 0
lnlim
=
∞→
n
n
n
- 14 -
I N F I N I T O ( f r a s e s)
“Para o grande há sempre um maior.” (Anaxágoras)
“Dentro do pequeno, não existe o menor.
Sempre há um menor, porque o que existe não pode deixar de sê-lo mediante uma
partição, por maior que ela seja.” (Anaxágoras)
“Deus fez os números inteiros, todo o resto é criação do homem.” (Kronecker)
“Nenhum outro problema impregnou tão profundamente a alma do homem como o infinito.
Nenhuma outra idéia atuou com tanto estímulo e fertilidade sobre a mente como o infinito.
Nenhum outro conceito necessita de esclarecimento como o infinito.” (Hilbert)
“Ninguém poderá expulsar-nos do Paraíso que Cantor nos criou.” (Hilbert)
“A estrutura do contínuo caracteriza-se sobretudo pelo fato das frações decimais infinitas
não mais poderem ser separadas umas das outras, não mais poderem ser rachadas com um
machado, como Anaxágoras expressou de modo bastante plástico.
Os números reais não mais estão densamente juntos, como os números racionais, mas
totalmente sem lacunas entre si, de forma contínua”. (Walter R. Fuchs)
Contar de 1 a infinito
Suponha que não haja limitações físicas. Então é possível contar os naturais de 1 até o infinito em 1
segundo?
R: Sim. Mas como? Página 65
28/03/2002 - 08h22
MATEMÁTICA: O INFINITO E O QUASE "INSUPERÁVEL"
N Ú M E R O G U G O L
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO Folha de S.Paulo
Em certa ocasião, o matemático americano Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta,
de nove anos, qual era o maior número que existia. A resposta do pequeno Milton _qualquer coisa como
guuugol... não foi muito animadora, mas na mente criativa de Kasner isso virou uma bela brincadeira
matemática. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de gugol ("googol", em inglês) o número 1 seguido
de 100 zeros ou, dizendo de outra maneira, o número 10 elevado a 100.
Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão grande quanto 1 gugol. Para
ter uma idéia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo em um século é muito menor
que 1 gugol. Também o número total de grãos de areia das praias do litoral brasileiro é menor que 1 gugol,
assim como é menor que 1 gugol o número de elétrons em todo o universo (que se estima ser algo em torno de
10 elevado a 79 elétrons).
Para não dizer que 1 gugol é um número insuperável, se imaginarmos o universo inteiro ocupado por
prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então o número dessas partículas será
maior que 1 gugol (10 elevado a 110 partículas, aproximadamente).
Vencida a barreira do gugol, que tal pensarmos agora em um número ainda maior: "10 elevado a 1
gugol" (Kasner batizou esse número de gugolplex).
Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, quanto tempo levaríamos para escrever
todos os zeros do número 1 gugolplex? A resposta exige apenas algumas contas. Dizer que 1 gugolplex é o
número 10 elevado a 1 gugol é equivalente a dizer que esse número tem o primeiro dígito igual a 1, seguido de
1 gugol de dígitos iguais a 0.
Nas condições dadas,
levaríamos 0,5.10 elevado a 100 segundos para escrever por extenso o número
de zeros de 1 gugolplex.
Levando-se em consideração que esse número é igual a 5.10 elevado a99 segundos e que a idade
estimada do universo é igual a 6,32.10 elevado a 16 segundos, é possível afirmar que, desde o Big Bang até
hoje, não houve tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 gugolplex.
Para o leitor que pensa ter atingido o infinito com o gugolplex, que tal imaginar o número 1 gugolplex
elevado a 1 gugolplex? Quanto ao nome desse novo número, fica por conta da imaginação de cada um!
José Luiz Pastore Mello é professor de matemática do ensino médio do Colégio Visconde de Porto Seguro
- 15 -
August Ferdinand Möbius
Nascimento: 17 Nov 1790 em Schulpforta,
Saxônia (hoje Alemanha)
Falecimento: 26 Sept 1868 em Leipzig, Alemanha
August Möbius (entre nós Moebius) é mais conhecido pelo seu
trabalho em topologia, especialmente pela sua concepção da fita
de Moebius, que é uma superfície de duas dimensões com um
lado só.
Faixa de Möbius
Símbolo do infinito
Reciclagem
NOVELA DA REDE GLOBO
- 16 -
OBRAS DE ESCHER
- 17 -
Olá! Você é capaz de determinar o valor das seguintes somas?
a) =−+−+−+− ...1111111
b) =−+−+−+− ...11111111
c) =++++++++ ...87654321
d) Qual é o resultado da soma dos números inteiros de 1 a 100?
e) =+++++++ ...1286432168421
f) =+++++++ ...
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
11
g) =++++++ ...
243
1
81
1
27
1
9
1
3
11
Bom Trabalho!!!
///4RC05 V1N1C1U5 R1831R0
7/8/7 18h30
S É R I E S -
Se tentarmos adicionar os termos de uma seqüência infinita { }na n∞=1 obteremos uma
expressão da forma a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . que é chamada de uma série infinita(ou
apenas uma série) e é denotada por abreviação, pelo símbolo ∑
∞
=1n
na ou ∑ na . Mas faz
sentido falar sobre a soma de infinitos termos?
Seria possível encontrar uma soma finita para a série
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . + n + . . ? ______.
Contudo se começarmos a adicionar os termos da série
...,
2
1
...
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
11 +++++++++
n
podemos fazer as somas parciais se tornarem próximas o
quanto quisermos de 2. Logo, parece razoável dizer que a soma dessa série infinita igual a
2 e escrever 2...
2
1
...
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
11
2
1
0
=+++++++++=∑
∞
=
n
n
n
Utilizamos uma idéia similar para determinar se uma série geral tem uma soma ou
não. Consideremos as somas parciais
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
e, em geral.
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . + an = ∑
=
n
i
ia
1
Essas somas parciais formam uma nova seqüência { }nS , que pode ou não ter um limite.
Se SS n
n
=
∞→
lim existir(como um número), então, como no exemplo anterior, o chamamos de
soma da série infinita ∑ na .
- 18 -
O TESTE DE COMPARAÇÃO NO LIMITE
Suponha que an > 0 e bn > 0 para todo n ≥ N (sendo n um inteiro positivo).
1. Se c
b
a
n
n
n
=
∞→
lim , 0 < c < ∞ , então tanto
∑ na quanto ∑ nb convergem ou
ambas divergem.
2. Se 0lim =
∞→ n
n
n b
a
e ∑ nb
converge, então ∑ na
converge.
3. Se ∞=
∞→ n
n
n b
alim e ∑ nb
diverge, então ∑ na diverge.
Definição 11.33
Uma série naΣ se diz condicionalmente
convergente,
se naΣ é convergente mas naΣ é divergente.
Definição 11.34
Se a série naΣ é absolutamente convergente,
então naΣ é convergente.
Teste da razão para convergência absoluta(11.35)
Seja naΣ uma série de termos não-nulos, e suponhamos L
a
a
n
n
n
=
+
∞→
1lim
(i) Se L < 1, a série é absolutamente convergente.
(ii) Se L > 1 ou ∞=+
∞→ a
a
n
n
n
1lim , a série é divergente.
(iii) Se L = 1, devemos aplicar outro teste, pois a série pode ser absolutamente
convergente, condicionalmente convergente ou divergente
Definição - Série de Potencias
Uma expressão da forma ......
2
21
0
0
0
+++++=∑
∞
=
n
n
n
n
n xcxcxcxcxc é uma série de
potencias centrada em x = 0. Uma expressão da forma
...)(...)()()()( 22100
0
+−++−+−+−=−∑
∞
=
n
n
n
n
n axcaxcaxcaxcaxc
É chamada de uma série de potencias em (x – a) ou uma série de potencias centrada em a ou uma série de
potencias ao redor de a. O termo cn(x – a)n é o enésimo termo; o número a é o centro.
Teorema 12 - O teorema da Convergência para séries de Potencias
Existem três possibilidade para ∑
∞
=
−
0
)(
n
n
n axc com relação à convergência.
1)Existe um número positivo R tal que a série diverge para Rax >− , mas converge para Rax <− .
A série pode ou não convergir em um dos extremos x = a–R e x =a + R.
2) A série converge para todo x (R = ∞).
3) A série converge com x = a e diverge em qualquer outro lugar ( R = 0).
O número R é o raio de convergência, e o conjunto de todos os valores de x para os quais a
série converge é o intervalo de convergência. . O raio de convergência determina completamente o intervalo de
convergência se R é zero ou infinito. Para 0 < R < ∞, contudo, permanece a questão sobre o que acontece nos
extremos do intervalo.
- 19 -
Veremos que o principal uso de uma série de potencias é que ela fornece uma maneira de
representar algumas das mais importantes funções que aparecem na matemática, na física e na química. Em
particular, a soma da série de potencias ∑
∞
=
−
=
0
22
2
)!(2
)1()(
n
n
nn
o
n
x
xJ é chamada de uma função de Bessel,
em homenagem ao astrônomo alemão Friedrich Bessel(1784-1846), e a função
∑
∞
=
+
+
+
−
=
0
12
12
1 2)!1(!
)1()(
n
n
nn
nn
x
xJ
é outro exemplo de uma função de Bessel. De fato, essas funções
surgiram primeiramente quando Bessel resolveu a equação de Kepler da descrição do movimento planetário.
Desde aquele tempo, essas funções têm sido aplicadas em muitas situações físicas diferentes, incluindo a
distribuição de temperatura em uma placa circular e o formato da membrana de um tambor vibrando.
Séries de Maclaurin
=++++++=
−
......1
1
1 32 n
xxxx
x
∑
∞
=0n
nx
)1( <x
=+−++−+−=
+
...)(...1
1
1 32 nxxxx
x ∑
∞
=
−
0
)1(
n
nn x )1( <x
Tabela 8.1 (Limites)
1) 0lnlim =
∞→ n
n
n
2) 1__1 1limlim ==
∞→∞→
n
n
n
n
noun 3) )0__(11lim >=
∞→
xx n
n
4) )1_(0lim <=
∞→
xx n
n
5) e
x
n
n n
x
=
+
∞→
1lim (para todo x) 6) 0!lim =∞→ n
x n
n
(para todo x)
Nas fórmulas 3 a 6, x permanece fixo quando n→→→→∞∞∞∞
Série Harmônica
O que há de Harmônico sobre a Série Harmônica?
Os termos na série harmônica correspondem aos nós em uma corda vibrando que produzem múltiplos
da freqüência fundamental. Por exemplo, ½ produz o harmônico que é o dobro da freqüência fundamental, 1/3
produz uma freqüência que é 3 vezes a freqüência fundamental e assim por diante A freqüência fundamental é a
nota ou altura do som mais baixa que ouvimos quando uma corda é tangida. A série-p ou série hiperârmonica(com
p real positivo) ∑
∞
=1
1
n
pn
quando p = 1 é chamada série harmônica, é provavelmente a série divergente mais famosa
em matemática. O Teste da p-Série mostra que
a série harmônica é divergente por um triz; se aumentarmos p para
1,000000001, por exemplo, a série converge! A lentidão com a qual as somas parciais da série harmônica se
aproximam do infinito é muito impressionante. A
A título de curiosidade é possível provar que seriam necessários 19e termos ou 178.482.301 pelo menos
para fazer a soma parcial da série harmônica ultrapassar 20. Sua calculadora levaria várias semanas para calcular
uma soma com este número de termos. Apesar disso, a série harmônica realmente diverge.
A seguir demonstramos que a série harmônica é divergente. Um exemplo de uma série ∑ na que
apesar de ser decrescente e 0lim =
∞→
n
n
a , é divergente, validando o Teste do Enésimo Termo, onde diz que se
0lim ≠
∞→
n
n
a então a série ∑ na é divergente e se 0lim =
∞→
n
n
a então é necessária investigação adicional para
determinar se a série ∑ na é convergente ou divergente.
- 20 -
Prova:
...
5
1
4
1
3
1
2
111
1
+++++=∑
∞
=n n
é divergente , Solução:
11 =s
2
112 +=s
( ) ( )
2
21
2
11
2
11 414141314 +=+++>+++=s
( ) ( )
( ) ( )
2
31
2
11__
2
11
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
8
+=+++++++>
+++++++=s
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
41......
2
11__
......
2
11
16
1
16
1
8
1
8
1
4
1
4
1
16
1
9
1
8
1
5
1
4
1
3
1
16
+=+++++++++>
+++++++++=s
Similarmente,
2
5132 +>s e 2
6164 +>s Assim temos
2
214 +>s
2
318 +>s 2
4116 +>s
2
5132 +>s 2
6164 +>s
S22
2
21+>
S23
2
31+> S24
2
41+>
S25
2
51+>
S2n>
2
1 n+
Isso mostra que S2n→→→→∞∞∞∞ quando n→→→→∞∞∞∞, assim {Sn} é
divergente. Portanto a série harmônica diverge.
O método usado no Exemplo acima para mostrar que
a série harmônica diverge deve-se ao matemático francês
Nicole Oresme(1323-1382 d.C.), maior matemático do
período. Nascido na Normandia, teve uma carreira que se
estendeu do magistério ao bispado.
O gráfico de uma série Divergente pode ser representado
por uma espiral, enquanto que o de uma Convergente por
um círculo
Observação do Vídeo Arte e Matemática fita nº 3 apresentação
7 – Música das Esferas – TV Cultura
Vamos investigar. Após a soma de um grande
número de termos da série harmônica, quando
chegarmos a n = 1020, n = 10 30,
n = 10100, etc., estaremos somando tão pouco que
teremos a impressão de que a soma de todos os
termos da série infinita realmente é um número finito.
Aliás, hoje, com a ajuda do computador, podemos
até fazer cálculos experimentais interessante.
Vamos supor que fossemos capazes de somar
cada termo da série em um segundo de tempo.
Como um ano tem aproximadamente
,600.557.3160602425,365 segundos=××× nesse
período de tempo seríamos capazes de somar a
série até 31.557.600, obtendo para a soma um valor
pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a
pouco mais de 20; em 100 anos, a pouco mais de 22.
Como se vê, somas parciais de termos da série
harmônica jamais nos levariam a suspeitar que ela
diverge. Pelo contrário, essas somas só nos levam a
pensar que a série seja convergente. Isso, todavia, é
falso! Basta verificar a demonstração de Nicole
Oresme.
A demonstração de que a série harmônica
diverge, feita pela primeira vez por Oresme, mostra
como é decisivo o papel do raciocínio lógico para
estabelecer que jamais seria descoberta de outra
maneira. De fato, como vimos, mesmo somando os
termos da série durante um século (se isso fosse
possível), não chegaríamos a um resultado que nos
desse qualquer indício de que a série seria
divergente...
Para terminar, vamos fazer mais um exercício de
imaginação. Hoje em dia temos computadores muito
rápidos, e a tecnologia está produzindo máquinas
cada vez mais rápidas. Mas isso tem um limite, pois,
como sabemos, nenhum sinal físico pode ser
transmitido com velocidade superior à da luz.
Portanto, nenhum computador poderá efetuar uma
soma em tempo inferior a 10-23 segundos, que é o
tempo gasto pela luz para percorrer uma distância
igual ao diâmetro de um elétron. Pois bem, com tal
computador, em um ano, mil anos e um bilhão de
anos, respectivamente, poderíamos somar termos
em números iguais a
2510315576 × , 2810315576× ,
3410315576× .
E veja os resultados aproximados que obteríamos
para a soma da série harmônica, em cada um desses
casos, respectivamente: 70,804 , 77,718 ,
91,5273.
Imagine, finalmente, que esse computador
estivesse ligado desde a origem do universo, há 16
bilhões de anos. Ele estaria hoje obtendo o valor
aproximado de 94,2999 para a soma da série
harmônica, um número ainda muito pequeno...
Da RPM 30 página 15-17
por Geraldo Ávila
- 21 -
D E M O N S T R A Ç Ã O
que pi
pi e
e >
Chamemos de 1−=
e
x
pi
logo 01 >−=
e
x
pi
Podemos dizer que ex > x + 1?
Sim, basta substituir alguns valores para x como 1,2,3, etc.
Substituindo 01 >−=
e
x
pi
na desigualdade acima temos
111 +−>−
e
e e
pipi
ou
e
e e
pipi
>
−1
ou
e
ee e
pipi
>
−1
ou
ee
e e pi
pi
>
Simplificando o denominador
pi
pi
>e e
e elevando os dois membros da desigualdade a e, (e>1)
eeee )()( pipi >
Finalmente temos
pi
pi e
e >
Sabemos que
...
!3!2!1!0
3210
++++=
xxxx
e
x
é uma série de Maclaurin
Logo é razoável aceitar que ex > 1 + x
Lembrando que:
pipipipi = 3,1415926535897932384626433832795...
e
e = 2,71828182845904523536028747135266...
O número de Euler e, e o número pipipipi são
números irracionais não algébricos, ou
números irracionais transcendentes.
- 22 -
EXPONENCIAL COMPLEXA - DESENVOLVIDO POR MARCOS VINÍCIUS RIBEIRO
01) Complete as seguintes funções com o desenvolvimento de Taylor,Maclaurin. (até o 11º termo)
a) == xexf )(
b) == )cos()( xxf
c) == )()( xsenxf
∑∑∑
+∞
=
+∞
=
++∞
=
−
=
+
−
==
0
2
0
12
0 )!2(
)1(
cos )!12(
)1(
!
Maclaurin de Séries as Lembrando
n
nn
n
nn
n
n
x
n
x
x
n
x
senx
n
x
e
Uma vez completado o quadro acima, o que acontecerá se na função xexf =)( , x for ipi ou
piix = , substituindo no desenvolvimento de Maclaurin acima teremos: (até o 9º grau)
==
pipi ieif )(
Mas, conhecemos o valor das potencias de “ i ”
iiii
iii
iiii
iii
−====
−====
====
====
...
1...
...
1...
1173
1062
951
840
, assim nota-se que o padrão é _____ , _____ , _____ , _____
De posse disso, substituindo as potencias de “ i ” na expressão acima temos que
==
pipi ieif )(
Você notou algo? Parece haver termos que possuem_____ e termos que não possuem _____.
Assim, tente agrupar os termos que possuem______ e agrupe os termos que não possuem _____.
Agrupar significa reunir, ajuntar ou até, colocar em evidência um fator comum (os que tem ___, e os que não tem____).
==
pipi ieif )(
Se você conseguiu chegar até aqui, verifique se você é capaz de efetuar alguma relação com o que
você já conhece de Maclaurin (visto no início do exercício), finalmente escrevendo que
==
pipi ieif )(
E agora, sabendo que pipipipi radianos equivale a 180º, que 01cos =−= pipi sene temos
=
piie
Voce acabou de obter uma equação interessante! Para terminar,
iguale-a zero ou deixe o 2º membro
da equação com 0 (que é passar tudo para o 1º membro da equação, passar tudo para o lado
esquerdo, deixando 0 (zero) no lado direito da equação) ficando com a seguinte equação.
=
piie
Esta é uma das mais belas equações matemáticas, chamada de Equação de Euler, que numa
equação reúne o cinco mais famosos números da Matemática:
O _____, O ______, O ______, O ______ e O ______.
)(cos e cos isenyyeeeeisenyye xiyxiyxiy +==+= +
- 23 -
ENTENDA O DÍGITO DA CARTEIRA DE IDENTIDADE- “R.G.”
Teste seu nº completando da direita para a esquerda, realize os produtos, some-os e TÁ-LÁ!
×1+ ×2+ ×3+ ×4+ ×5+ ×6+ ×7+ ×8+ ×9+
×100 = _______ ÷11=_____(exato)
Até mais – Prof. Marcos Vinícius Ribeiro
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ENTENDA O DÍGITO DA CARTEIRA DE IDENTIDADE- “R.G.”
Teste seu nº completando da direita para a esquerda, realize os produtos, some-os e TÁ-LÁ!
×1+ ×2+ ×3+ ×4+ ×5+ ×6+ ×7+ ×8+ ×9+
×100 = _______ ÷11=_____(exato)
Até mais – Prof. Marcos Vinícius Ribeiro
Contar de 1 a infinito
Suponha que não haja limitações físicas.
Então é possível contar os naturais de 1 até o infinito em 1 segundo?
R: Sim. Mas como?
Somatório com n de 0 a infinito de 1/(2^(n+1)). Ou ∑
∞
=
+
0
12
1
i
n
Isso resultara em 0.5, 0.75, 0.875... Até 1
16
15
16
1
8
1
4
1
2
1
8
7
8
1
4
1
2
1
4
3
4
1
2
1
2
1
=+++
=++
=+
é só dizer cada número “n” em um tempo t = 2^(-n) ou nt 2
1
=
É isso aí!
O tempo necessário ao próximo número é metade do anterior. Assim,
o número 1 poderia levar 0,5 segundos
o número 2 // 0,25 s
o número 3 // 0,125 s
o número 4 // 0,0625 s
o número 5 // ...............0,03125 s
o número 6 //................0,015625 s
o número 7 // 0,0078125 s
e assim sucessivamente até o infinito
Percebemos que as somas também formam uma
seqüência
1
1
0
1
1
1
2
12
2
1
,...
2
12
,...,
256
255
,
128
127
,
64
63
,
32
31
,
16
15
,
8
7
,
4
3
,
2
1
+
+∞
=
+
+
+
−
=
−
∑ n
n
i
n
n
n
queou
- 24 -
HISTÓRIA DE MAX DEUX E JONATHAN EDWARDS
Conta-se uma história ocorrida a aproximadamente 200 anos de duas famílias norte
americanas: uma delas teve como patriarca um ateu, que ao final teve 560 descendentes, sendo que
310 morreram como mendigos, 150 se tornaram criminosos, 7 assassinos, 100 foram considerados
alcoólatras e mais da metade das mulheres foram prostitutas. Final da história: esses descendentes
custaram ao governo norte americano mais de um milhão de dólares naquele século, o que
equivaleria nos dias de hoje 125 milhões de dólares.
Outro homem, contemporâneo deste primeiro foi um famoso pastor nos Estados Unidos. Ele
teve 1394 descendentes e dentre eles, 295 se formaram em Universidades, 13 deles foram diretores
de faculdade, 65 professores e 3 foram eleitos senadores. E não fica por aí: 3 foram governadores de
estado e outros foram enviados a outros países como ministros de Evangelho, além de 30 terem sido
juízes, 100 advogados, 1 deão da melhor escola de direito de seu país, 56 foram físicos, 1 foi deão
da escola de medicina, 75 se tornaram oficiais do exército, 100 foram missionários, pregadores e
escritores famosos. Além desses, 80 tiveram cargos públicos, dos quais 3 foram prefeitos de grandes
cidades, 1 foi superintendente da Casa do Tesouro e outro foi vice-presidente dos Estados Unidos.
“Nenhum dos descendentes deveu dinheiro ao Estado.”
Jonathan Edwards (5 de outubro de 1703 - 22 de março de 1758) foi um ministro congregacional,
teólogo calvinista e é considerado um dos maiores filósofos norte-americanos.
O que fazemos em vida ecoa na eternidade!!! Do filme Gladiador
Qual é o legado que você irá deixar para sua posteridade, sua
descendência?
Quão longe você irá até entregar o bastão?
Não é tolo aquele que renuncia àquilo que pode ganhar por aquilo
que não pode perder.
"Tu te tornas eternamente responsável por aquilo que cativas"
frase de Saint Exupéry imortalizada no romance O Pequeno Príncipe
“Os vencedores não são os que nunca sofrem derrotas, mas sim os
que nunca desistem” Edwin Louis Cole
Na vida, o que é infinito? O que dura para sempre? Rendei graças
ao Senhor, porque ele é bom, porque a sua misericórdia dura para
sempre. Salmo 136.1
Legado – aquilo que alguém, um grupo ou uma geração transmite à
posteridade. Posteridade série de indivíduos que descendem de
um ancestral comum.
MVR 12 2 9
Você quer passar a sua vida inteira vendendo água com açúcar ou quer ter
uma chance de mudar o mundo?
No ato da contratação de John sculley, ex-CEO da Pepsi e da Apple
Eu contratei o cara errado
Disse sobre Sculley, no documentário Triunfo dos nerds. Na época Jobs estava
afastado da Apple e Sculley havia sido um dos articuladores de seu afastamento.
Quando eu tinha 17 anos, li uma declaração que dizia algo mais ou menos
assim: Se você viver cada dia da sua vida como se fosse o último. Um dia,
com toda certeza, você estará certo. Isso me impressionou e pelos últimos
35 anos eu me olhei do espelho todas as manhãs e perguntei a mim mesmo,
Se hoje fosse o ultimo dia da minha vida, estaria fazendo o que eu planejo
fazer hoje? Se a resposta fosse não por repetidas vezes, eu sabia que
precisava mudar
Discurso para a turma de formandos de Stannford em 2005
Seu trabalho irá preencher grande parte do seu tempo, da sua vida. E a
única maneira de ser realmente satisfeito quanto a isso é ter certeza de ser
um trabalho ótimo. E a única maneira de fazer um trabalho ótimo é gostar
muito do que faz! Discurso para Standford
Você não consegue juntar os pontos olhando para o futuro; você só
conseguirá conectá-lo se olhar para o passado. Então, você tem de confiar
que os pontos se conectarão no futuro. Você precisa acreditar em alguma
coisa, em sua determinação, destino, vida, Karma ou o que quer que seja.
Essa atitude jamais me decepcionou e tem feito a diferença na minha vida
Standford 2005
Por mais que a Microsoft tenha copiado a Apple
ao lançar o seu sistema operacional Windows,
nunca o Windows chegou ao patamar do rival. E
Bill Gates, o antigo CEO da Microsoft, sabe bem
disso. Tanto que comentou nesta quarta que o
mundo raramente vê uma pessoa do calibre de
Steve Jobs, capaz de provocar impactos tão
profundos, com efeitos que serão sentidos nas
próximas gerações. "Para aqueles que tiveram
sorte o suficiente para trabalhar com ele, foi uma
insana grande honra. Eu sentirei uma falta
imensa de Steve Jobs", disse Bill Gates para o
jornal "The New York Times".
Quando até os arquirrivais são obrigados a tirar o
chapéu, aí está o homem.
- 25 -
C A M P O S V E T O R I A I S
São funções que associam vetores a pontos do espaço, ou ainda, a coleção de todos
os vetores associados a cada ponto.
Os vetores da figura, representam os vetores velocidade do ar e indicam rapidez, a
direção e o sentido, em pontos 10m acima da superfície na área da Bahia de São Francisco.
Dando uma olhada nas flechas maiores da parte (a), vemos
que a maior rapidez dos ventos
naquele instante ocorre quando os ventos entram na Bahia através da ponte Golden Gate.
A parte (b) mostra um aspecto bastante diferente numa época posterior. Associado a
cada ponto no ar, podemos imaginar o vetor velocidade do vento. Este é um exemplo de
campo de vetores velocidade.
Geralmente um campo vetorial é uma função cujo domínio é um conjunto de pontos
do R2 (ou R3 ) e cuja imagem é um conjunto de vetores em V2 (ou V3).
Definição: Um campo vetorial em três dimensões é uma função F cujo domínio D é um
subconjunto de R3 e cujo contra-domínio é um subconjunto de V3.
Se (x,y,z) está em D, então
F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k
onde M, N e P são funções escalares.
Definição: Um campo vetorial F é dito ser um campo vetorial conservativo se é o
gradiente de alguma função escalar, ou seja, se existe uma função f tal que, F=
.f∇ Nesta situação f é dita ser uma função potencial de F.
escalar. função alguma para z)y,(x, ),,( fzyxF ∇=
Para se ter um campo vetorial conservativo ou campo vetorial gradiente,
temos, numa função que ter:
y
f
xy ∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂ )(
x
f)(
Se tivermos ,),,(),,(),,(),,( kzyxPjzyxNizyxMzyxF ++= F será conservativo se:
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
e
xz ∂
Ρ∂
=
∂
Μ∂
e
yz ∂
Ρ∂
=
∂
Ν∂
f é dita ser uma função potencial de F. Admite-se
z
f
y
f
x
fM
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= P ;N ;
Veremos agora duas operações para campos vetoriais que são básicas nas aplicações de
cálculo vetorial à mecânica dos fluídos [Fenômenos de Transporte ou SMFT(Sistemas
Mecânicos e Fenômenos de Transporte)] e a eletricidade e magnetismo (Eletromagnetismo).
Cada operação lembra uma diferenciação, mas uma produz um campo vetorial
)( F×∇ enquanto a outra produz um campo escalar ( ).F∇
- 26 -
R O T A C I O N A L )( F×∇
Definição.: Seja F (x,y,z) = M (x,y,z)i + N (x,y,z)j + P (x,y,z)k onde M, N, P têm
derivadas parciais em alguma região. O rotacional de F é dado por:
rot F = k
y
M
x
Nj
xz
i
zy
F
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
Ρ∂
−
∂
Μ∂
+
∂
Ν∂
−
∂
Ρ∂
=×∇
ou de forma prática: rot F = F×∇ =
ΡΝΜ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
zyx
kji
(A expressão não é propriamente um determinante, pois a 1ª linha é composta de vetores, a 2ª linha de símbolos de derivação parcial e
a 3ª linha de funções escalares; todavia, constitui um dispositivo extremamente útil para memorizar a incômoda fórmula da definição de
rotacional) Escoamento Rotacional- Hopi Hari.
Rotacional é a mesma coisa que a Componente K da Densidade de Circulação(duas dimensões)Em três dimensões, a circulação em
torno de um ponto P em um plano é descrita como um vetor. Esse vetor é normal ao plano de circulação e aponta no sentido da regra da
mão direita em relação ao sentido da circulação. O comprimento do vetor dá a taxa de rotação do fluido, a qual geralmente varia à medida
que o plano de circulação é inclinado ao redor de P.. A fórmula acima de rotacional é o vetor de maior circulação em um escoamento com
campo de velocidades F = Mi + Nj + Pk No escoamento de um fluido incompressível sobre uma região plana(duas dimensões) a
componente k do rotacional mede a taxa de rotação do fluído em um ponto. A componente K do rotacional é positiva em pontos onde a
rotação tem sentido anti-horário e negativa onde a rotação tem sentido horário.
A questão do rotacional é muito bem colocada aqui como estudo do escoamento rotacional que gera o escoamento turbulento, isto é, o
escoamento plenamente desenvolvido com turbulências, mais conhecido pelo termo técnico "vortéx" ou "vórtice”, como queira”. Aliás, um
grande exemplo de rotacionalidade se encontra nos ciclones e furacões, que tanto varre nas costas norte-americanas.
DIVERGÊNCIA ( ).F∇
Definição.: Seja F (x,y,z) = M (x,y,z)i + N (x,y,z)j + P (x,y,z)k, com M, N e P dotados de
derivadas parciais em alguma região. A divergência ou o divergente de F, denotada por div
F ou F.∇ é dada por:
div F =
z
P
y
N
x
MF
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇.
Outro operador diferencial aparece quando calculamos a divergência do gradiente de um
campo vetorial .F∇ Se f é uma função de três variáveis, ou f(x,y,z) temos:
div( 2
2
2
2
2
2
).()
z
f
y
f
x
fff
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇∇=∇
e essa expressão aparece tão freqüentemente que vamos abreviá-la com .2 f∇ Esse
operador ∇∇=∇ .2 é chamado de Operador de Laplace ou LAPLACIANO por sua relação
com a equação de Laplace.
02
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
z
f
y
f
x
ff
Divergente é a mesma coisa que Densidade de Fluxo e que Divergente > 0 (Fonte) é quando o fluído chega através de um pequeno
orifício (x,y) e
Divergente < 0 (Sumidouro) quando o fluido sai por um pequeno orifício(furo) em duas dimensões. Div F tem em três dimensões a
mesma interpretação física que tem em duas. Se F = Mi + Nj + Pk é o campo velociadade de um escoamento fluido, o valor de div F me
um ponto (x,y,z) é a taxa à qual o fluido está sendo injetado ou drenado em (x,y,z). O divergente é o fluxo por unidade de volume ou
densidade de fluxo no ponto. No caso de estudar fluxos em geral (seja de fluídos, seja magnéticos, sejam elétricos) que se estude
pelo teorema de Stokes, que, a grosso modo, diz que todo fluxo pode ser representado pela seguinte lei: fluxo = integral na área de
(propriedade do meio x campo o elemento de área) onde o = produto escalar Por exemplo: fluxo de fluídos = integral de área de (massa
específica x velocidade o elemento de área) fluxo elétrico = integral de área de (permissividade elétrica x campo elétrico o elemento de
área) E assim sucessivamente. Em outras palavras, o divergente é uma ferramenta válida, mas para quem quer ver o fluxo na forma
diferencial. O que se usa, em geral, é o fluxo na forma integral, usando o teorema acima citado.
Definiremos agora uma integral que é semelhante a uma integral simples, exceto que, em vez
de integrarmos sobre um intervalo [a,b], integraremos sobre uma curva C. Tais integrais são
chamadas de integrais de linha, apesar de “integrais curvas ou integrais curvilíneas” ser uma
expressão mais adequada. Elas foram inventadas no começo do século XIX para resolver problemas
envolvendo escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo.
- 27 -
I N T E G R A I S D E L I N H A
Já vimos que o trabalho feito por uma força f(x) que move uma partícula de A até B ao
longo do eixo x é ∫=
b
a
dxxfW )( . É verdade também que o trabalho feito por uma força
constante F para mover um objeto de um ponto P para outro ponto Q do espaço é W= F.D,
onde PQD = é o vetor deslocamento.
Seguindo o mesmo raciocínio, uma das mais importantes aplicações físicas das
integrais curvilíneas envolve campos de força. Suponhamos que a força que atua sobre o
ponto (x,y,z) seja
F (x,y,z) = M (x,y,z)i + N (x,y,z)j + P (x,y,z)k ,
onde M,N e P são funções contínuas. Formularemos uma definição para trabalho
realizado quando o ponto de aplicação de F(x,y,z) se move ao longo de uma curva C que
tem a seguinte parametrização
x = g(t), y = h(t), z = k(t) onde a .bt ≤≤
Suponhamos que o movimento se processe na direção definida pelos valores crescentes
de t.
Subdividamos C por pontos P0, P1,P2, . . . , Pn, onde Pk tem coordenadas (xk, yk, zk). Se a
norma Ρ é pequena, então Pk está próximo de Pk+1 para cada k. Logo o trabalho
realizado por F(x,y,z) de Pk a Pk+1 pode ser aproximado pelo trabalho kW∆ realizado pela
força constante F(x,y,z) quando seu ponto de aplicação
se move ao longo de 1+kk PP que
corresponde ao vetor .kzjyix kkk ∆+∆+∆
Assim o trabalho kW∆ realizado por F(x,y,z) ao longo de 1+kk PP é.
kW∆ = F(xk, yk, zk) )( kzjyix kkk ∆+∆+∆ ou
kW∆ =M(xk, yk, zk) kx∆ + N(xk, yk, zk) ky∆ + P(xk, yk, zk) kz∆
- 28 -
Definição de Trabalho
∑∆=
→ k
k
P
WW lim
0
∫ ++= dzzyxPdyzyxNdxzyxMW ),,(),,(),,(
Assim, o trabalho realizado quando o ponto de aplicação F(x,y,z) se move ao longo
de C é igual à integral curvilínea, em relação a s (parâmetro do comprimento de arco para
C), do componente tangencial de F ao longo de C. Para simplificar a notação, denotaremos
F(x,y,z) por F e T(s) (vetor tangente unitário) por T, e faremos dr = dxi + dyj + dzk = Tds
e resumindo temos:
Definição: Sejam C uma curva suave no espaço, T um vetor tangente unitário a C em
(x,y,z) e F a força que atua em(x,y,z). O trabalho W realizado por F ao longo de C é:
W = ∫∫ =
cc
FdrTdsF.
onde r = xi + yj + zk
Independência do Caminho
Definição: Se F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k é contínua em uma região conexa
aberta D, então a integral curvilínea ∫ F dr é independente do caminho se e somente se F é
conservativo, ou seja, F(x,y,z) = ∇ f(x,y,z) para alguma função escalar f.
Seja F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k contínua em uma região conexa aberta D, e
seja C uma curva parcialmente suave em D, com extremidade A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2). Se
F(x,y,z) = ),,( zyxf∇ então:
[ ] ),,( ),,(
),,(
),,(
222
111
222
111
),,(Fdr dz z)y,P(x, dy z)y,N(x, dx ),,( zyx zyx
zyx
zyx
zyxfzyx ==++Μ∫ ∫
Campos Vetoriais
Cálculo IV – Lista de Exercícios – Modulo 02
1) Encontre um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada.
a) 32 23),( yxyxf +=
b) 4224 452),( yyxxyxf +−=
c) yx xeyeyxf −=),(
d) 222 43),,( zyxzyxf +−=
e) )sen(),,( 222 zyxzyxf ++=
f) zyexzyxf 42),,( −=
2) Verifique em cada item se o campo vetorial é conservativo. Em caso afirmativo,
encontre a função que gerou este gradiente
a) )23(),( 22 yxyxF −= i )43( xy−+ j
b) yyxF =),( i x+ j
c) )(),,( 2 yxzyxF −= i - )3( zx − j )3( yz ++ k
d) )(),,( yx ezezyxF += i )( zy exe −+ j )( xz eye +−+ k
- 29 -
3) Encontre ∇ x F e ∇.F
a) zxzyxF 2),,( = i + xy2 j )2( zy ++ k
b) )3(),,( yxzyxF += i zxy2+ j 2xz+ k
c) 23),,( xyzzyxF = i zy sen2+ j zxe2+ k
d) yzyxF cos),,( = i zcos+ j xcos+ k
e) nzxzyxF l3),,( = i yxe−+ j )2( 2 zy +− k
4) Determinar o Laplaciano dos campos escalares
a) 323 634 zxzyyxV ++= b) )sen( 2 yxV +=
Integrais de Linha
Cálculo IV – Lista de Exercícios – Módulo 02
1 ) ∫ +
C
2 dy; xy dx 6 yx onde C é o gráfico de y = x3 + 1 de ( -1, 0 ) a ( 1, 2 ).
2 ) ( )∫ +−
C
xdydxyx ;
onde C é o gráfico de y2 = x de ( 4, -2 ) a ( 4, 2 ).
3 ) Calcule ( )∫ ++ dyyxxydx ao longo de cada curva C de ( 0, 0 ) a ( 1, 3 ).
a)
b )
c )
d )
y
x
y
x
x
y
y = 3x2
y
x
- 30 -
4 ) Calcule ( )∫ ++
C
22 dy2x dx yx ao longo de cada curva C de ( 1, 2 ) a ( -2, 8 ).
a ) b )
c ) d )
5 ) Calcule ( )∫ +++
C
dz x z y dx dyxz se C é o gráfico de 10;,, 2 ≤≤=== − tezeyex ttt .
6 ) Calcule ∫ ++
C
y dz x dy z dx se C é o gráfico de /2 t 0 t;sen zsen t, 2 ,sen 2 pi≤≤=== ytx .
7 ) Calcule ( ) ( ) ( )∫ −++++++
C
dzzyxdydxzyx 23z2y-x , onde C é a curva de
( 0, 0, 0 ) a (2,3,4), se:
a) C consiste em três segmentos de reta, o primeiro paralelo ao eixo-x, o
segundo
paralelo ao eixo-y e o terceiro paralelo ao eixo-z.
b) C consiste em três segmentos de reta, o primeiro paralelo ao eixo-z, o segundo paralelo
ao eixo-x e o terceiro paralelo ao eixo-y.
c) C é um segmento retilíneo.
8 ) Calcule ( ) ( )∫ +−+−
C
xdzdyzydxyx se C é a curva de (1, -2, 3) a (-4, 5, 2) do tipo
descrito em (a) 1º // x, 2º // y, 3º // z; (b) 1º // z, 2º // x, 3º // y; e (c) segmento retilíneo; do
exercício 07.
9 ) Se a força em (x, y) é ( ) ( ) ( ) jyxiyxyxF 22, +++= ache o trabalho realizado por F ao
longo das curvas (a)-(d) do exercício 04.
y
x
y
x
y
x
y
x
y = 2x2
- 31 -
10 ) A força em um ponto (x, y) de um plano coordenado é dada por
( ) ( ) jxyiyxyxF )(, 22 ++= . Ache o trabalho realizado por F(x, y) ao longo do gráfico de
( ) ( )8 2, a 0 0, de 3xy = .
11 ) A força em um ponto (x, y, z) em três dimensões é dada por ( ) xkzjyizyxF ++=,, .
Determine o trabalho realizado por F(x, y, z) ao longo da cúbica reversa
( ) ( )4,8 2, a 0 0, 0, de ,, 32 tztytx === .
12 ) Faça o exercício 11 se ( ) kejeiezyxF zyx ++=,, .
Nos exercícios seguintes, mostre que a integral curvilínea é independente do caminho e
calcule o seu valor
13 ) ( ) ( )
( )
( )
∫
−
+++
1,3
2,1
22 22 dyxyxdxxyy
14)
( )
( )
∫ +
2/,1
0,0
x dyy cos e dx y sen
pi
xe
15) ( ) ( )
( )
( )
∫
−
++++
3,1,2
2,0,1
2223 14926 dzxzdyyxdxzxy
16) ( ) ( ) ( )
( )
( )
∫
−
+++++
2,1,1
3,0,4
111 dzxydyxzdxyz
17) ( ) ( )∫ ++−
C
2 22 dyxydxxy ; de A é (0,-1) até B é (1,2).
18) ( ) ( )∫ +++
C
y dyxedxyx 22ln ; de A é (3,1) até B é (1,3)
19 ) ( )∫
++
C
atéytg
4
4, é B 2,0- éA de dy; sec x x dx y 2 pi
20 ) ( ) ( )∫
++
C
dy
6
2, é B até 2,0-A de ;y cos x y sen dx y sen pi
21 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ +++++
C
dzyxdyzxdxzy 1,1,1 é B até 0,0,0 éA de ;
22 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ +++++
C
dzzxydyyxzdxxyz 1,1,1 B até 0,0,0A de ;
Os exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 corresponde aos exercícios 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 18, 19,
20 respectivamente do livro de Cálculo II – Swokowski – Páginas 582-583
Os exercícios 13, 14, 15, 16 correspondem aos exercícios 11, 12, 13, 14 respectivamente de Cálculo II –
Swokowski – Páginas 594-595
Os exercícios 17, 18, 19, 20, 21, 22 correspondem aos exercícios 21, 22, 23, 24, 27, 28
respectivamente de Cálculo II – Leithold - Página 1099
Respostas:
1 )
7
34
2 )
3
16
− 3a )
2
15
3b ) 6 3c ) 7 3d )
4
29
4a) –183 4b) –39 4c) –93 4d)
5
267−
5) ( ) 23,97 581263
12
1 324 ≅−+−+ − eeee
6)
3
7
7a )19 7b ) 35 7c ) 27 8a) –9 8b) –7 8c)
2
19
10)
21
1592
11)
15
412
13 ) 14 14) e 15 ) –31 17)
2
13
18) e3 – e – ln27 + 2 = 16,07
19) 4 20)
2
34 −
21) 3
- 32 -
E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N C I A I S
Talvez a aplicação mais importante do cálculo seja as equações diferenciais.
Quando Físicos ou cientistas sociais usam o cálculo, em geral o fazem para analisar uma
equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenômeno que eles estão
estudando. Embora seja freqüentemente impossível encontrar uma fórmula explícita para a
solução de uma equação diferencial, veremos que aproximações gráficas e numéricas
fornecem a informação necessária.
As equações diferenciais tem ampla aplicação na resolução de problemas complexos
sobre movimentos, crescimento, vibrações, eletricidade e magnetismo, aerodinâmica,
termodinâmica, hidrodinâmica, energia nuclear e todo o tipo de fenômeno físico que
envolva
taxas de variação de quantidades variáveis.
Não temos a pretensão de constituir um tratado sobre o assunto. Nossa abordagem
servirá apenas como uma introdução a este vasto e importante ramo da matemática. Há
cursos e livros específicos devotados inteiramente ao estudo das equações diferenciais.
MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Na descrição do processo de modelagem consiste na formulação de um modelo
matemático de um problema real através de raciocínio intuitivo sobre o fenômeno ou através
de uma lei física baseada em evidência experimental. O modelo matemático freqüentemente
tem o formato de uma equação diferencial, isto é, uma equação que contém uma função
desconhecida e algumas de suas derivadas. Isso não surpreende, porque em um problema
real freqüentemente notamos que as mudanças ocorrem e queremos predizer o
comportamento futuro com base na maneira como os valores presentes variam. Vamos
começar examinando vários exemplos de como as equações diferenciais aparecem quando
modelamos um fenômeno físico.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GERAIS
Uma equação envolvendo uma variável dependente e suas derivadas em relação a uma
ou mais variáveis independentes é chamada de Equação diferencial.
Em geral, uma equação diferencial é uma equação que contém uma função desconhecida
e uma ou mais de suas derivadas. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da
derivada mais alta que ocorre na equação. Por exemplo, quando consideramos a equação
diferencial.
xyy =' entendemos que y é a função desconhecida de x.
Uma função f é chamada solução de uma equação diferencial se a equação é
satisfeita quando )(xfy = e suas derivadas são substituídas na equação. Assim, f é uma
solução da Equação acima se )()(' xxfxf = para todos os valores de x em algum intervalo.
Quando nos é pedido para resolver uma equação diferencial espera-se que
encontremos todas as soluções possíveis da equação. Já resolvemos algumas equações
diferenciais particularmente simples; a saber, aquelas da forma
)()(' xfxy =
Por exemplo, sabemos que a solução geral da equação diferencial
3
' xy = é dada por Cxy +=
4
4
onde C é uma constante arbitrária.
Mas, em geral, resolver uma equação diferencial não é uma tarefa fácil. Não existe
uma técnica sistemática que nos permita resolver todas as equações diferenciais. Veremos
como esboçar gráficos das soluções mesmos quando não temos uma fórmula explícita.
Também aprenderemos como achar aproximações numéricas para as soluções.
- 33 -
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SEPARÁVEIS
Podemos olhar para as equações diferenciais de primeira ordem a partir de um ponto de
vista geométrico (campo de direções) e a partir de um ponto de vista numérico (método de
Euler). E sob o ponto de vista simbólico? Seria bom Ter uma fórmula explícita para uma
solução de uma equação diferencial. Infelizmente isso não é sempre possível. Mas nesta
seção examinaremos um tipo de equação diferencial que pode ser resolvida explicitamente.
Uma equação separável é uma equação diferencial de primeira ordem na qual a
expressão para dxdy / pode ser fatorada como uma função de x vezes uma função de y.
Em outras palavras, pode ser escrita na forma
)()( yfxg
dx
dy
=
O nome separável vem do fato de que a expressão do lado direito pode ser “separada”
em uma função de x e uma função de y. De modo equivalente, se 0)( ≠yf , podemos
escrever
)(
)(
yh
xg
dx
dy
= (equação 1)
onde )(/1)( yfyh = . Para resolver essa equação a reescrevemos na forma diferencial
dxxgdyyh )()( =
assim todos os y estão em um lado da equação e todos os x estão do outro lado. Então
integramos ambos os lados da equação:
∫ ∫= dxxgdyyh )()( (equação 2)
A equação 2 define y implicitamente como uma função de x. Em alguns casos poderemos
resolver para y em termos de x.
A justificativa para o passo na Equação 2 vem da Regra de Substituições:
∫ ∫= dxdx
dy
xyhdyyh ))(()( ∫= dxxyh
xg
xyh ))((
)())(( (da equação 1)
∫= dxxg )(
UM POUCO DE HISTÓRIA: A técnica para resolver equações diferenciais separáveis
foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre
pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli
explicou o método geral em um artigo publicado em 1694.
Extraído do Stewart, James Cálculo Vol II Páginas 581,584 e 595
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
É freqüente a ocorrência do tipo de equação diferencial descrito abaixo no estudo
de fenômenos físicos.
Definição Uma equação diferencial linear de primeira ordem é uma equação da forma
)()(, xQyxPy =+
onde QP e são funções contínuas.
Teorema A equação diferencial linear de primeira ordem )()(, xQyxPy =+ pode ser
transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos
os membros pelo fator integrante e
dxxP )(∫
- 34 -
EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE 1ª ORDEM – PÁGINA 484(THOMAS 2001) Resumindo
Sendo a equação diferencial linear de 1ª Ordem )()(' xQyxPy =+
com Fator Integrante e
dxxPIF ∫= )(..
a solução da equação diferencial de 1ª Ordem será
∫ •= dxxQIFIFy )(.).(..
1
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
A definição seguinte é uma generalização de (19.1).
Definição Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação da forma
)()()(...)( ,1)1(1)( xkyxfyxfyxfy nnnn =++++ −−
onde kff n e ,...,1 são funções de uma variável, com o mesmo domínio. Se 0)( =xk para
todo x, a equação homogênea. Se 0)( ≠xk para algum x, a equação se diz não homogênea.
ay'’ + by’ + cy = 0 vamos supor que y= emx logo y’ = memx e y’’ = m2emx assim
ay’’ +by’ + cy = 0 poderá ser substituída por am2emx + bmemx + cemx = 0
colocando em evidência o fator comum emx temos emx(am2 + bm + c) = 0
como emx nunca será zero para satisfazer essa equação temos que am2 + bm + c = 0
e chamamos a equação am2 + bm + c = 0 de equação auxiliar
TEOREMA Se )( e )( xgyxfy == são soluções de 0,,, =++ cybyay , então
)()( 21 xgCxfCy += é uma solução, para todos os reais C1 e C2.
Definição A equação auxiliar da equação diferencial
0,,, =++ cybyay é 02 =++ cbmam
TEOREMA * TEOREMA ** TEOREMA ***
Se as raízes 21 ,mm da
equação auxiliar são reais
e distintas, então a
solução geral de
0,,, =++ cybyay é
Se a equação auxiliar
tem a raiz dupla m, então
a solução geral de
0,,, =++ cybyay é
Se a equação auxiliar
02 =++ cbmam tem raízes
complexas conjugadas
tis ± , então a solução geral
de 0,,, =++ cybyay é
xmxm
eCeCy 21 21 += mxmx xeCeCy 21 += ) sen cos( 21 txCtxCey
sx +=
Equações Diferenciais lineares de 2º ordem
kcybyay =++ ''' para k=0 Equação Diferencial Homogênea (2º ordem)
0,,, =++ cybyay Equação auxiliar 02 =++ cbmam
Solução:
a) ∆∆∆∆ >>>> 0000
→ raízes: 21 e mm
xmxm
eCeCy 21 21 +=
b) ∆∆∆∆ ==== 0000
→ raiz dupla m
mxmx xeCeCy 21 +=
c) ∆∆∆∆<<<< 0000
→ raiz tism ±=
(Número Complexo e seu Conjugado)
)sencos( 21 txCtxCey sx +=
Retirado do Swokowsky volume 2 – Páginas 645,647,654,655,656 e 659
- 35 -
Cálculo IV – Lista de Exercícios – Modulo 02
Grupo 1 – Equações Diferenciais separáveis
Swokowsky2 – Páginas 644,645.
Exercícios 1-4 (a): Determine a
Solução geral da equação diferencial e
ilustre-a graficamente.
(b) Determine a solução particular que
satisfaz a condição y = 2 quando x = 0.
1) 2, 3xy = 2) 1, −= xy
3)
2
,
4 x
xy
−
−
= 4) 3, =y
Exercícios 5-7: Prove que y é uma
solução da equação diferencial.
5) ;023 ,,, =+−
yyy xx eCeCy 221 +=
6) ;03, =+ yy xCey 3−=
7) ;032 223 =+
dx
dyyxxy 3/2−= Cxy
Exercícios 11-21: Resolva a equação diferencial.
11) 02sec =− ydxxdy 17) yxyxy −+−= 1'
12) 02csc2 =− ydxdyx 18) (y + yx2)dy + (x + xy2)dx = 0
13) 0=− ydxxdy 19) 022 =− −+ dyedxe yxyx
15) 0)5(3 =++ dyxxyydx 20) cosx dy – ydx = 0
16) (xy – 4x)dx + (x2y + y)dy = 0 21) 0)1(')1( 223 =+++ yxyxy
Exercícios 27-29:: Determine a solução particular da equação diferencial que satisfaça a
condição dada.
27) ;32 ,,2 yyyy −= y = 1 quando x=3 29) ;0)12( =+− − dxexxdy y y= 2 quando x =1
Grupo 2 – Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem
Swokowsky2 – Página 652.
Exercícios 1-21: Resolva a equação diferencial.
1) xeyy 22' =+ 12) (x2y – 1)dx + x3dy = 0
2) 23' =− yy 13) 0)cos( 2 =−+ xdydxyxx
3) 53' xyxy =− 14) y’ + y = sen x
5) xexyxy =++' 15) xxeyxxy 3)32(' −=++
6) xy’ + (1 + x)y = 5 16) (x + 4)y’ + 5y = x2 + 8x + 16
7) 0)2(2 =−+ dxexydyx x 17) 32'1 =+− yyx
8) x2dy + (x – 3xy + 1)dx = 0 18) y’ – 5y = e5x
9) xxgxyy csc4cot' 2=+ 19) 0)sen( =−+ dxxytgxdy
11) 0cos)2sen( =+− xdydxxy 21) 3223' xexyxy −+=+
Exercícios 23-26: Determine a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição
dada.
23) ;' 2 xxyxy +=− y = 2 quando x =1
24) ;2' 3xeyy −=+ y = 2 quando x = 0
25) ;' xexyyxy −=++ y = 0 quando x = 1
26) xexyy x =−+ − 22' y = 1 quando x = 0
- 36 -
Grupo 3 – Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem
Swokowsky2 – Página 659.
Exercícios 1-22: Resolva a equação diferencial.
1) 065 ,,, =+− yyy 8) 0376 ,,, =−− yyy 15) 042 ,,, =+− yyy
2) 02,,, =−− yyy 9) 22,, +y 02, =+ yy 16) 072 ,,, =+ yy
3) 03 ,,, =− yy 10) 025204 ,,, =++ yyy 17) 022 ,,, =+− yyy
4) 086 ,,, =++ yyy 11) 01528 ,,, =−+ yyy 18) 052 ,,, =+− yyy
5) 044 ,,, =++ yyy 12) 04 ,,, =++ yyy 19) 0134 ,,, =+− yyy
6) 044 ,,, =+− yyy 13) 016249 ,,, =+− yyy 20) 04,, =+y
7) 04 ,,, =+− yyy 14) 0784 ,,, =+− yyy 20a*) y’’-18y’+250y = 0
20b*)y’’+10y’+ 89y = 0 21) 0262
2
=++ y
dx
dy
dx
yd
22) 0622
2
=++ y
dx
dy
dx
yd
Exercícios 23-30: Determine a solução particular da equação diferencial que satisfaça as
condições indicadas.
23) ;023 ,,, =+− yyy 0 quando 2 e 0 , === xyy
24) ;02 ,,, =+− yyy 0 quando 2 e 1 , === xyy
25) ;0,, =+ yy 0 quando 2 e 1 , === xyy
26) ;06,,, =−− yyy 0 quando 1 e 0 , === xyy
27) ;0168 ,,, =++ yyy 0 quando 1 e 2 , === xyy
28) ;05,, =+ yy 0 quando 2 e 4 , === xyy
29) ;0522
2
=+− y
dx
dy
dx
yd
0 quando 1 e 0 === x
dx
dyy
30) 0 quando 3 e 2 ;01362
2
====+− x
dx
dyyy
dx
dy
dx
yd
Exercícios retirados do Swokowsky volume 2 – Páginas 644,645,652,659.
Respostas:
Grupo 1 – Equações Diferenciais separáveis
1) (a) Cxy += 3 b) 23 += xy
3) (a) 24 xy −= C+ (b) 24 xy −=
11) xCey sen2= 17) ( ) xxCey −+−= 2/21 27) 83 ln2 −=+ xyy
13) Cxy = 19) )33ln(
3
1 xeCy −+−= 29) )2ln2ln( 2 −++= exxy
15) Cyex y =53 21) 1)1( 3/232 −+= −xCy
- 37 -
Grupo 2 – Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem
1) xx Ceey 22
4
1
−+= 9) xCxxy csccsc
3
4 3 += 17) 2
2
3 xCey −+=
3) 35
2
1 Cxxy += 11) xCxy cossen2 += 19)
x
C
xy
sen
sen
2
1
+=
5)
x
C
x
x
ey
x
+−=
2
1
13) Cxxxy += sen 21) 3)(
3
1 xeCxy −++=
7) 2x
Cey
x +
= 15) xe
x
C
xy 323
1
−
+= 23) )1 ln( ++= xxxy
25) )1( 1−− −= xey x
Grupo 3 – Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem
1) xx eCeCy 3221 += 17) )sencos( 21 xCxCey x +=
3) xeCCy 321 += 19) )3sen3cos( 212 xCxCey x +=
5) xx xeCeCy 2221 −− += 21) xx eCeCy )73(2)73(1 −−+− +=
7) xx eCeCy ) 32(2)32(1 −+ += 23) xx eey 222 +−=
9) xx xeCeCy 2221 −− += 25) xxy sen2cos +=
11) 4/522/31 xx eCeCy += − 27) )92(4 xey x += −
13) 3/423/41 xx xeCeCy += 29) xey x 2sen2
1
=
15) 2/)22(22/)22(1 xx eCeCy −+ +=
- 38 -
CÁLCULO 2 – Preparação para Equações Diferenciais de 2ªOrdem
Fatoração de Equações do 2º grau(1ª Parte) - Prof. Marcos Vinícius Ribeiro
Produto Resultado Fatoração Raízes
01) (x + 2)(x + 3)=0 01)
02) (x + 2)(x –3)=0 02)
03) (x –2)(x + 3)=0 03)
04) (x – 2)(x –3)=0 04)
05) (x + 1)(x + 4)=0 05)
06) (x –1)(x –12)=0 06)
07) (x + 2)(x –6)=0 07)
08) (x –3)(x –8)=0 08)
09) (x + 1)(x –4)=0 09)
10) (x –3)(x + 4)=0 10)
11) (x –2)(x + 6)=0 11)
12) (x + 3)(x + 8)=0 12)
13) (x –2)(x –5)=0 13)
14) (x –1)(x + 4)=0 14)
15) (x –1)(x + 12)=0 15)
16) (x –3)(x + 14)=0 16)
17) (x –3)(x + 8)=0 17)
18) (x + 3)(x –4)=0 18)
19) (x + 2)(x –5)=0 19)
20) (x –1)(x –4)=0 20)
21) (x – 2)(x –6)=0 21)
22) (x – 1)(x + 48)=0 22)
23) (x –3)(x –4)=0 23)
24) (x + 2)(x –24)=0 24)
25) (x + 1)(x –12)=0 25)
26) (x + 3)(x –8)=0 26)
27) (x –3)(x – 16)=0 27)
28) (x –3)(x + 7)=0 28)
29) (x + 3)(x + 4)=0 29)
30) (x + 2)(x –21)=0 30)
31) (x –4)(x +12)=0 31)
32) (x + 6)(x –8)=0 32)
33) (x + 7)(x + 8)=0 33)
34) (x –5)(x –6)=0 34)
35) (x –1)(x –42 )=0 35)
36) (x + 8)(x – 9)=0 36)
37) (x –6)(x – 7) =0 37)
MVR
- 39 -
CÁLCULO 2 – Preparação para Equações Diferenciais de 2ª Ordem
Fatoração de Equações do 2ºGrau(2ªParte)
Raízes Fracionárias – Método Locikiano(a ≠ 1),
Raízes Complexas e Raízes Irracionais
Prof. Marcos Vinícius Ribeiro
01) –12x2 + x + 6 = 0
02) 2x2 + 9x – 5 = 0
03) 2x2 + 3x – 2 = 0
04) 15x2 –8x + 1 = 0
05) 3x2 + 4x + 1 = 0
06) 2x2 –5x + 2 = 0
07) 6x2 –5x + 1 = 0
08) 12x2 –17x + 6 = 0
09) 5x2 –6x + 1 = 0
10) 4x2 –27x + 18 = 0
11) 8x2 + 2x – 3 = 0
12) 6x2 + 7x + 2 = 0
13) 12x2 + 25x + 12 = 0
14) 2x2 – 13x –24 = 0
15) 3x2 – 49x + 16 = 0
16) 2x2 + x –6 = 0
17) 6x2 – 47x – 8 = 0
18) 3x2 + 8x – 16 = 0
19) 32x2 – 36x + 9 = 0
20*) x2 – 6x + 9 = 0
21**) x2 –4x + 5 = 0
22*) x2 –10x + 25 = 0
23**) x2 –6x + 13 = 0
24**) x2 – 6x + 10 = 0
25*) 4x2 + 12x + 9 = 0
26*) 5x2 – 4x + 1= 0
27**) x2 + 4x + 13 = 0
28**) x2 – 2x + 26 = 0
29**) x2 – 6x + 13 = 0
30**) x2 + 18x +565 = 0
31**) x2 + 8x + 65 = 0
32**) 9x2 +12x + 40 = 0
33***) x2 – 6x + 7 = 0
34***) x2 – 4x + 1 = 0
35***) x2 + 2x – 4 = 0
36***) x2 – 10x + 23 = 0
37***) x2 + 8x + 9 = 0
38***) x2 + 16x + 53 = 0
39**) x2 + 18x +522 = 0
40**) x2 + 18x +529 = 0
MVR
- 40 -
Letras do Alfabeto Grego
Note que utilizamos algumas letras gregas. Para melhor auxiliá-lo,
eis a seguir o alfabeto grego completo.
Letras minúsculas e maiúsculas do alfabeto grego,
com seus respectivos nomes.
a αααα Alpha A ΑΑΑΑ Alpha
b ββββ Beta B ΒΒΒΒ Beta
c χχχχ Chi C ΧΧΧΧ Chi
d δδδδ Delta D ∆∆∆∆ Delta
e εεεε Epsilon E ΕΕΕΕ Epsilon
f φφφφ Phi F ΦΦΦΦ Phi
g γγγγ Gamma G ΓΓΓΓ Gamma
h ηηηη Eta H ΗΗΗΗ Eta
i ιιιι Iota I ΙΙΙΙ Iota
j ϕϕϕϕ Phi 1 J ϑϑϑϑ Phi 1
k κκκκ Kappa K ΚΚΚΚ Kappa
l λλλλ Lambda L ΛΛΛΛ Lambda
m µµµµ Mu M ΜΜΜΜ Mu
n νννν Nu N ΝΝΝΝ Nu
o οοοο Ómicron O ΟΟΟΟ Ómicron
p pipipipi Pi P ΠΠΠΠ Pi
q θθθθ Theta Q ΘΘΘΘ Theta
r ρρρρ Rho R ΡΡΡΡ Rho
s σσσσ Sigma S ΣΣΣΣ Sigma
t ττττ Tau T ΤΤΤΤ Tau
u υυυυ
Úpsilon U ΥΥΥΥ Úpsilon
v ϖϖϖϖ Omega 1 V ςςςς Omega 1
w ωωωω Omega W ΩΩΩΩ Omega
x ξξξξ Xi X ΞΞΞΞ Xi
y ψψψψ Psi Y ΨΨΨΨ Psi
z ζζζζ Zeta Z ΖΖΖΖ Zeta
ALFABETO FONÉTICO INTERNACIONAL
Este código é utilizado em comunicações por fonia quando há algum ruído dificultando a
compreensão da mensagem.
A = Alfa
B = Bravo
C = Charlie
D = Delta
E = Eco
F = Foxtrot
G = Golf
H = Hotel
I = India
J = Juliet
K = Kilo
L = Lima
M = Mike
N =
November
O = Oscar
P = Papa
Q = Quebec
R = Romeo
S = Sierra
T = Tango
U = Uniform
V = Victor
W = Whisky
X = X-ray
Y = Yankee
Z = Zulu
- 41 -
O Pi na Bíblia
Fez também o mar de fundição, de dês côvados duma borda até a outra, e de cinco de alto; e um fio de
trinta côvados era a media de sua circunferência. II Crônicas 4.2 .
(1 côvado = distância da ponta do dedo ao cotovelo = 46 cm, e para o profeta Daniel 56 cm)
Em 1999, Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi da Universidade de Tóquio, calcularam o pi com
206.158.430.000 casas.
pi =3,1415926535897932384626433832795...
MVR
Curiosidade: Record
Sábado, 2 de julho de 2005, 03h17 Atualizada às 11h43.
Japonês bate recorde de memorização do número "Pi"
O psiquiatra japonês Akira Haraguchi, 59 anos, bateu o recorde mundial de memorização do número
"Pi" (3,1415...), depois de decorar 83,431 mil decimais. Ele demorou 13h para dizer todos os decimais num
local público de Kisarazu, ao sul de Tóquio. O recorde anterior, segundo o livro Guinness dos recordes, era de
42,195 mil decimais.
O número Pi representa a relação entre a extensão de uma circunferência e seu diâmetro. Por ser
irracional, tem infinitos algarismos que não se repetem periodicamente.
Haraguchi já havia batido a marca em setembro passado com 54 mil decimais, mas a façanha não foi
homologada porque ele ultrapassou o tempo limite estabelecido pelos organizadores.
Colaboração: Aluna Débora Affonso(Curso de Civil/2005) em 28/07/05.
NOVO RECORD DO PI
Dezembro/2007 – Fonte www.terra.com.br
Colombiano bate recorde ao dizer 150 mil dígitos do número Pi O colombiano Jaime García bateu hoje
o recorde mundial ao conseguir dizer, de cor, mais de 150 mil decimais do número Pi diante de alunos da
Faculdade de Matemática da Universidade Complutense de Madri. Conhecido como "o computador humano",
Jaime García enfrentou desafios como descobrir a décima terceira raiz de um número de cem dígitos em 0,15
segundos e o cálculo de 1 milhão de anos do calendário Gregoriano. Façanhas como esta colocaram-no cinco
vezes no Guinness World Records, o livro dos recordes, e ele pretende ser incluído novamente. Para atingir o
novo recorde, García disse que chegou a treinar "até 14 horas por dia" nos últimos meses. "Comecei pouco a
pouco, todos os dias aprendia cem ou 150 números". Olhar um número de 200 dígitos e memorizá-lo em uma
só olhada, repetindo-o da esquerda para direita e da direita para a esquerda, foi um exercício útil para o desafio
de hoje. García mostrou-se relaxado e concentrado diante do público, que assistia atônito aos sucessivos
cálculos mentais, e sob o olhar atento de dois observadores que anotavam e revisavam os números. Foram
necessárias 652 folhas para anotar todos os dígitos que García ia dizendo e que o público acompanhava em
uma projeção. O "computador humano" precisou de três dias para chegar ao fim. A partir da quarta página,
García passou a ser examinado por membros da platéia, até que provou ser capaz de memorizar 151.204
números do Pi. O desafio foi verificado por dois observadores que assinaram o documento a ser enviado ao
Guinness para que o novo recorde seja reconhecido como de García. Objetivo atingido, o colombiano quer
descansar. "Agora vou desligar de tudo e vou descansar, passear e não pensar em nada", disse à Efe.
O próximo desafio já sabe qual será: calcular calendários com 14 dígitos.
"Atualmente, detenho o recorde de calcular até um milhão de anos, mas já posso calcular os calendários de
trilhões e agora será um número com 14 dígitos", disse. Para García, "a matemática é um jogo". Ele incentiva
todos a aprender a desfrutar dos números, acrescentando que qualquer pessoa pode conseguir. "Eu não sou
nenhum gênio, nem um ser superdotado, mas foi a freqüência e a perseverança que me fizeram chegar
até aqui", concluiu. EFE. Agência EFE S/A.
O número pi – Cronologia
Bíblia: 1 Reis 7, 23: “Hiram fez ainda o mar, todo de metal fundido, com 5 cúbitos de diâmetro. Era redondo,
tinha dois cúbitos e meio de altura [semi-esfera], e dua circunferência tinha 15 cúbitos”.
Bíblia: 2 Crônicas 4, 1-2: “Salomão mandou fazer também um altar de bronze com 10 cúbitos de comprimento
por 10 de largura e cinco de altura. Fez também o mar de metal fundido, redondo, com 5 cúbitos de
diâmetro e dois cúbitos e meio de altura, com 15 de circunferência”.
Baseado nestes textos fica evidente que no tempo de Salomão, cerca de 1000 anos a.C., os hebreus usavam o
número 3 para pi. Mesmo para a época este valor seria uma aproximação algo grosseira, pois os egípcios e os
mesopotâmicos já usavam o valor 256/81 = 3,16 para pi, valor que aparece no papiro egípcio de cerca de 1600
anos a.C., conhecido como papiro de Rhind.
- 42 -
Os primeiros cálculos teóricos procurando o número pi através da razão entre o perímetro e o diâmetro de um
círculo são devidos ao grande Archimedes de Saracusa (287-212 a.C.). Ele obteve um intervalo onde deveria
estar o número pi:
223 / 71 < pi < 22 / 7 Onde o resultado final 7
1
71
10 33 <pi<
.
O resultado do cálculo de Arquimedes foi expresso com a seguinte proposição.
“A circunferência de qualquer círculo excede três vezes seu diâmetro por uma parte que é menor do
que 7
1
porém maior que 7110 do diâmetro”.
A aproximação de 722 é freqüentemente chamada de valor arquimediano de pi. Porque 1429,3722 ≈ é menos
do que 0,2% maior do que o valor atual de pi e é um mero número para calculo comum, ele era
suficientemente bom para a maioria dos propósitos da Antiguidade. Arquimedes, teoricamente poderia ter
apresentado uma melhor estimativa de pi usando polígonos de 192 ou 384 lados, mas a aritmética – difícil em
qualquer caso pelos rudimentares símbolos numéricos do alfabeto grego – teria sido proibitiva.
Se tomarmos a média, o valor de pi seria 3123/994 = 3,14185, que comparado com 3,14159 (exato até a 5a
casa) daria um erro de 0,0083%!
Os outros valores de pi, que foram “publicados” e que tiveram destaque ao longo da História foram:
Autor Época Valor
01) al-Khwarizmi ≈ 800 a.C. 3.1416
02) Tsu Ch'ung Chi 430-501 a.C. 355/113 = 3,14159
03) Ptolomeu ≈ 150 a.C. 3.1416
04) al-Kashi ≈ 1430 14 dígitos
05) Viète 1540-1603 9 dígitos
06) Roomen 1561-1615 17 dígitos
07) Van Ceulen ≈ 1600 35 dígitos
Como observação adicional, Al-Khwarizmi viveu em Bagdá e o termo algarismo é derivado do seu nome. Note
a semelhança do seu nome com a palavra algarismo.
Na Europa renascentista, na segunda metade do século XXVII um produto e uma soma de infinitos termos
foram estabelecidas para o valor de pi:
08) Produto de Wallis (1616-1703) L×××××××××=pi
9
10
9
8
7
8
7
6
5
6
5
4
3
4
3
2
1
2
2
09) E a seqüência mais conhecida: L−+−+−=pi
9
1
7
1
5
1
3
1
1
4
Esta fórmula muitas vezes é atribuída a Leibniz (1646-1716), mas é certo que James Gregory (1638-1675) já
tinha descoberto esta seqüência.
Autor Época Valor
10) Sharp 1699 71 dígitos
11) Machin 1701 100 díditos
12) de Lagny 1719 112 dígitos
12) Veja 1789 126 dígitos
13) Veja 1794 136 dígitos
14) Rutherford 1841 152 dígitos
15) Rutherford
1853 440 dígitos
16) Shanks 1873 707 dígitos (527 corretos)
17) Computador 1949 2000 dígitos
O dia do pi (PI) March, 14 ou 22 de julho
Colaboração:
Prof. Dr. José Luiz S.
de Arruda SERRA
24/05/05.
- 43 -
L4 2
A
B
L
8
8
8
16
B16
L8 2
A
16L
R
R
B
3
2
32A
R
L32
2
16L
Figura 1 Figura 2 Figura 3
(polígono de 16 lados) (polígono de 32 lados)(polígono de 8 lados)
Determinação do valor de pi
O procedimento será determinar o perímetro do polígono de 2 lados.
O valor de pi será o limite deste perímetro quando n tende a infinito.
n
a) Para n=2, o polígono é um quadrado de diagonal 2R e daí,
L =2R ou L =R 4 4
2 2
b) Para n=3, o polígono é o octógono da figura 1, na qual tem-se:
L
4
2
8
2 4
2
B = -R
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899
86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384
84102 70193 85211 05559 64462 294
27120 19091 4 5648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 0631
48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094
46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502
89 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165
5 58817
L
2
= R
2
(2- 2 ) L = R 2- 2
8 8
c) Para n=4, o polígono tem 16 lados conforme figura 2.
16
BA
16
R8B
16
2
-R ==
2
4
-
L
2
Portanto, o perímetro P do polígono de 32=2 lados vale
+2=P R - 2 + 2 2
2n
2
n
x +
n-2 vezes
A expressão para pode ser provada por indução finita.
No limite, é o perímetro do círculo que vale 2 R. Igualando, chega-se à:n 8 2P n pi
=pi
n-1 vezes
2
n
2- 2 + +2 + 2 xlim
n 8
pi=
Como curiosidade apresenta-se a seguir o valor de com 400 casas decimais determinado com outro procedimento.pi
e
16
B R=
2
- 8
L
4
2
também
2
16
L A=
2
+8
L
4
2
16
+=L
2
16
L
4
8
2
2
R R+R
2
-
L
4
8
2
16
B2- L
16
2
=
2
R -2 R2
4
L
-
2
R 8
2
RR= 2
2
- 2 -R
2
4
2 R 2-( )
2
16
2
L RR= 2
2
-
2
2+ 2 2
2
L
16
2
= R (2 + 2 - ) e
16
2=L R - 2 + 2
5
também
c) Para n=5, o polígono tem 32 lados conforme figura 3.
RL
32
2
32
2
B
+
L
=
4
16
2
R=
2
-
2
R +
16L
4
2
B
B
2
-
4
L
2
16
2- R
=
32
L
4
32
-R
2 16
2
e B=
32
A -R
32
-
4
+=
2= R
2
L
32
2
2- R
4
L16
2
R -
2
32
2
A
(R
2
2 2 + 2
32 +2=L R - 2 + 2 2
=2P5 R2
5
x 2- 2 + 2 + 2 Generalizando para P2n tem-se:
Pn2
Serra2003
Obs.: esta expressão não é muito
conveniente para determinar pi
com muitas casas decimais.
2
8
B = R e
2
4L-
4 8
A = R também
8
- B =
8
2
L
L
4
4
2
8
A
2
-
8
2
L
L
4
= +4 R
2 2
4L22+R -
4
2
2R R
L 4-
4
=
2
2
-R2 2R
22
R -
4
L
8
2 R
2
2
- 44 -
O número de EULER
n
n n
e
+=
∞→
11lim
Para n= 1 2=e
Para n= 2 25,2=e
Para n= 3 ...37037037,2=e
Para n= 4 44140625,2=e
Para n= 5 48832,2=e
Para n= 6 6433853223593917421124822,52162637=e
Para n= 7 4375947905573870407131132,54649969=e
Para n= 8 39062539503479002,56578451=e
Para n= 9 1675990031508117131971812,58117479=e
Para n= 10 2,59374246=e
Para n= 50 5326894087355190736053932,69158802=e
Para n= 100 0753267194710894215260932,70481382=e
Para n= 500 5718599849308006517259292,71556852=e
Para n= 1000 4758383088121922358924572,71692393=e
Para n= 10000 1315037664674968252248642,71814592=e
Para n= 100000 60535064824421744896680,7182682372=e
Para n= 1000000 43619799708453193768838,7182804692=e
Para n= 10000000 7777198550225725449662712,71828169=e
MVR
Para n → ∞
5266...360287471384590452352,71828182=e
Leonhard Euler, nasceu em Basiléia, Suíça no dia 15 de abril de 1707, e morreu em 18 de
setembro de 1783. Foi o matemático mais prolífico na história. Em 1735 perdeu a visão do olho
direito mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto
brincava com seus filhos. Euler ocupou-se de quase todos os ramos da matemática Pura e
Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notações que usamos hoje; foi o
primeiro e empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra grega pi
para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para . Deve-se a
ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus
ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por ln x, usou Σ para indicar adição e f(x) para
função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e análise.
- 45 -
- 46 -
O número de Ouro
6564...204586834387498948481,61803398=ϕ
65638...204586834387498948480,618033981 =ϕ
Seqüência de Fibonacci(século XIII) 1,6180339887498900
1
1 1/1= 1,0000000000000000
2 2/1= 2,0000000000000000
3 3/2= 1,5000000000000000
5º) 5 5/3= 1,6666666666666700
8 8/5= 1,6000000000000000
13 13/8= 1,6250000000000000
21 21/13= 1,6153846153846200
34 34/21= 1,6190476190476200
10º) 55 55/34= 1,6176470588235300
89 89/55= 1,6181818181818200
144 144/89= 1,6179775280898900
233 233/144= 1,6180555555555600
377 377/233= 1,6180257510729600
15º) 610 610/377= 1,6180371352785100
987 987/610= 1,6180327868852500
1597 1597/987= 1,6180344478216800
2584 2584/1597= 1,6180338134001300
14181 4181/2584= 1,6180340557275500
20º) 6765 6765/4181= 1,6180339631667100
10946 10946/6765= 1,6180339985218000
17711 17711/10946= 1,6180339850173600
28657 28657/17711= 1,6180339901756000
46368 46368/28657= 1,6180339882053200
25º) 75025 75025/46368= 1,6180339889579000
121393 121393/75025 1,6180339886704400
196418 196418/121393= 1,6180339887802400
317811 317811/196418= 1,6180339887383000
514229 514229/317811= 1,6180339887543200
30º) 832040 832040/514229= 1,6180339887482000
1346269 1346269/832040= 1,6180339887505400
2178309 2178309/1346269= 1,6180339887496500
3524578 3524578/2178309= 1,6180339887499900
5702887 5702887/3524578= 1,6180339887498600
- 47 -
35º) 9227465 9227465/5702887= 1,6180339887499100
14930352 14930352/9227465= 1,6180339887498900
24157817 24157817/14930352= 1,6180339887499000
39088169 39088169/24157817= 1,6180339887498900
63245986 63245986/39088169= 1,6180339887499000
40º) 102334155 102334155/63245986= 1,6180339887498900
165580141 165580141/102334155= 1,6180339887498900
267914296 267914296/165580141= 1,6180339887498900
433494437 433494437/267914296= 1,6180339887498900
701408733 1,6180339887498900
45º) 1134903170 1,6180339887498900
1836311903 1,6180339887498900
2971215073 1,6180339887498900
4807526976 1,6180339887498900
7778742049 1,6180339887498900
50º) 12586269025 1,6180339887498900
20365011074 1,6180339887498900
32951280099 1,6180339887498900
53316291173 1,6180339887498900
86267571272 1,6180339887498900
55º) 139583862445
A equação x2-x -1=0 tem solução
2
15 +
=ϕ
6564...204586834387498948481,61803398=ϕ
65638...204586834387498948480,618033981 =
ϕ
34362...795413165612501051510,38196601
65638...204586834387498948480,618033981
=
=−
0922204429510387498948481,61803398
35331629117
28626757127
53
54
==f
f
ϕ
1,61803398874989484820458683436564...
(55º) 139583862445 / (54º) 86267571272
1,61803398874989484820464692680794
somente depois da 21ª casa vai mudar
- 48 -
Número de ouro: 2
15
Φ
+
=
Φ
f
flim
2
15
1n-
n
n
==
+
∞→
QUESTÃO 01
Número de ouro é a raiz x da equação(considerando x > 1)
1
1
1 −
=
x
x
.que equivale a equação 012 =−− xx ou se considerarmos 1 > x
temos
x
x
x −
=
1
1
que equivale a equação 012 =−+ xx temos o valor do inverso do
número de ouro.
Exercícios: Mostre que o valor d e x pode ser também dado por
...1
11
11
11
+
+
+
+=x
ou ...111 +++=x .
6564...204586834387498948481,61803398
2
15
=
+
.
65638...204586834387498948480,61803398
2
15
=
−
A N A T O M I A
Leonardo da Vinci, em seus estudos de Anatomia, trabalhou com um modelo padrão (O
canon) para a forma de um ser humano, utilizando VITRÚVIO como modelo. Tais dimensões
aparecem na gravura abaixo. A notação a:b =c:d é uma proporção.
x
1
1
1 - x
1
- 49 -
DIMENSÕES ÁUREAS NO HOMEM
Faça uma análise com o uso da gravura abaixo para observar como um ser
humano se adapta às dimensões áureas.
Extraído:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm
- 50 -
VISLUMBRES DE UM CRIADOR
Abraão de Almeida
O elefante é o único animal cujas pernas dianteiras se dobram para a frente. Por que? Porque, de
outra forma, seria difícil para esse animal levantar-se, por causa do seu peso.
Por que os cavalos, para se erguerem, usam as patas dianteiras, e as vacas, as traseiras? Quem
orienta esses animais para que ajam dessa maneira?
Quem teria o poder de colocar um punhado de argila no coração da terra e, através da ação do fogo
transformá-la em formosa ametista de alto valor?
Quem colocaria certa quantidade de carvão nas entranhas do solo e, mediante a combinação do fogo
e a pressão dos montes e das rochas, transformar esse carvão em resplandecente diamante, que vai fulgurar
na coroa dos reis ou no diadema dos poderosos?
Por que o canário nasce aos 14 dias, a galinha aos 21, os patos e gansos aos 28, o ganso silvestre
aos 35 e os papagaios e avestruzes aos 42 dias? Por que a diferença entre um período e outro é sempre de
sete dias?
Quem regula a natureza, sem jamais cometer engano, determinando que as ondas do mar se
quebrem na praia à razão de 26 por minuto, tanto na calma como na tormenta?
Muitas coisas acontecem na natureza sem que tenhamos um mínimo de sensibilidade para perceber.
Exemplos:
A melancia tem número par de franjas.
A laranja possui número par de gomos.
A espiga de milho tem número par de fileiras de grãos.
O cacho de bananas tem, na última fila, número par de bananas, e cada fila de bananas tem uma a
menos que a anterior. Desse modo, se uma fileira tem número par, a seguinte terá número ímpar.
A ciência moderna descobriu que todos os grãos das espigas são em número par, e é admirável que
Jesus, ao se referir aos grãos, tenha mencionado exatamente números pares: 30, 60 e 100. (Marcos 4:8).
Outro mistério que a ciência ainda não descobriu: enormes árvores, pesando milhares de quilos,
apoiadas em apenas poucos centímetros de raízes. Ninguém até agora conseguiu descobrir esse princípio de
sustentação a fim de aplicá-lo na construção de edifícios e pontes.
Mas há maravilha ainda maior! O oxigênio e o hidrogênio, ambos sem cheiro, sem sabor e sem cor,
combinados com o carvão, que é insolúvel, negro e sem gosto, resulta no alvo e doce açúcar.
Esses são apenas alguns vislumbres de um Deus sábio e amoroso.
Esse mesmo Deus que realiza tais maravilhas no mundo que Ele criou, pode também efetuar em nós
um milagre ainda muito maior. Ele pode dar-nos um novo nascimento, fazendo novas todas as coisas. (João
3:3 - Corintios 5:17).
Ele pode tomar nossa vida triste, inútil e insípida e torná-la alegre, útil e plena de significado para a
glória Dele.
Portanto, não se desespere. Não importa quão grave seja a sua condição física, moral ou espiritual. O
Senhor Jesus, que "ontem e hoje é o mesmo, e o será para sempre" (Hebreus 13:8), só Ele tem a última
palavra. Você pode experimentar um milagre! Tão somente creia Nele, receba-O como seu único Senhor e
Salvador, e coloque a sua vida nas mãos Dele.
"Se com tua boca confessares a Jesus como Senhor, e em teu coração creres que Deus o
ressuscitou dentre os mortos, serás salvo." (Romanos 10:9)
"Porque Deus amou o mundo de tal maneira que deu o seu único filho, para que todo aquele que
nele crer não morra, mas tenha a vida eterna." (João 3:16).
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Extraído: página 323 do Livro Introdução à História da Matemática de Howard EVES editora Unicamp, 2004Mais conteúdos dessa disciplina
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