apostila de erros parte1

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Tec.Lab.Física Capítulo I
Elementos da Teoria de Erros
Nesta unidade serão apresentados os seguintes conceitos: medidas,
instrumentos de medida, erros experimentais e propagação dos erros. Tais
conceitos serão de grande importância no trabalho experimental.
1 - Medidas
A física experimental trata da determinação do valor do valor numérico de uma grandeza ou
parâmetro, considerando uma teoria pré-estabelecida e, através de experimentos, estabelece leis que
descrevem um dado fenômeno.
As medidas de grandezas físicas (determinação de seus valores numéricos) são classificadas,
comumente, em dois tipos:
C medidas diretas e 
C medidas indiretas.
Medidas diretas são aquelas na qual ocorre a comparação com um padrão pré-estabelecido
(padrões de massa, comprimento, tempo, etc.). Por exemplo, as dimensões de uma folha de papel são
avaliadas diretamente com uma régua milimetrada.
Medidas indiretas são aquelas em que não há possibilidade de avaliação direta do valor
numérico da grandeza, sendo necessário combinar os resultados de diferentes medidas de outras
grandezas numa fórmula. A área de uma folha de papel é determinada indiretamente multiplicando-se
o valor numérico de seu comprimento pelo de sua largura, valores obtidos por medida direta, conforme
exemplo anterior.
2 - Instrumentos de Medidas
Um observador bem treinado consegue, sem dificuldades, estimar a distância entre dois pontos
marcados sobre uma folha de papel, sem o auxílio de uma régua. Porém torna-se impossível avaliarmos
a tensão presente nos terminais de uma bateria sem a utilização de um voltímetro.
Quando necessitamos determinar o valor de uma dada grandeza ou variável física, recorremos
aos chamados instrumentos de medida que atuam, na verdade, com extensões de nossos próprios
sentidos. No exemplo acima, a variável tensão elétrica foi traduzida no movimento de um ponteiro
sobre uma escala, facilmente entendido pelo nosso sentido da visão.
Os instrumentos de medida são dispositivos concebidos com o propósito de determinar o valor
de uma dada grandeza ou variável.
Como são criações humanas, estes dispositivos não são perfeitos. Exibem características que
vão caracterizá-los como adequados ou inadequados ao trabalho experimental que se deseja realizar.
Dentre as inúmeras características exibidas pelos instrumentos de medida podemos destacar as
seguintes:
C rapidez, 
C resolução, 
C sensibilidade, 
C limitação, 
C precisão e 
C exatidão.
Cujas definições vem a seguir:
2.1 - Rapidez
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Também conhecida como velocidade de resposta ou, simplesmente, resposta. Representa a
capacidade que um dado instrumento possui em acompanhar as variações temporais de uma dada
grandeza em estudo.
2.2 - Resolução
É a menor variação na variável medida que pode ser indicada pelo instrumento utilizado. Na
prática representa a menor divisão de uma escala.
O erro é tomado como a metade da resolução.
2.3 - Sensibilidade
É a facilidade que um dado instrumento tem de detetar pequenas flutuações na grandeza.
2.4 - Limitação
Representa os limites da faixa de medição de um dado instrumento, ou seja, representa a maior
e a menor medida passível de ser realizada com o instrumento. Um transferidor tem 1 como limiteo
inferior e 180 como limite superior.o
2.5 - Precisão
Reflete o grau de concordância entre as várias indicações do valor de uma mesma grandeza
dentro de um conjunto de medidas ou de instrumentos.
2.6 - Exatidão
Exatidão ou accuracy, é a medida do grau de concordância entre a indicação de um instrumento
e o valor verdadeiro da variável sob medida..
Observações:
A precisão é composta de duas características: concordância e o número de algarismos
significativos com os quais a medida é realizada.
Um exemplo a ser considerado é o de uma bateria hipotética projetada para fornecer tensão
igual a 1.484V. Diversas medidas realizadas com um voltímetro forneceram a indicação de 1.5V. Este
é o valor mais próximo do verdadeiro que é possível obter com o instrumento utilizado, muito embora
a tensão verdadeira seja 1.484V. Embora não haja desvios entre os valores observados, o erro criado
pela limitação da escala é um erro de precisão.
Concordância é um condição necessária, mas não suficiente, para que se obtenha precisão.
L Além disso:
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Figura 1
Figura 2
Figura 3
Precisão é uma condição necessária, mas não suficiente, para que se obtenha Exatidão.
L Uma medida exata é precisa, porém nem toda medida precisa é exata (acurada)
Como distinguir precisão de exatidão?
Os termos precisão e exatidão são freqüentemente confundidos. A fim
de melhor elucidar esta questão, observe o exemplo a seguir.
As figuras ao lado obedecem às seguintes características:
Na figura 1, temos dardos normais lançados por um principiante, na figura
2, temos dardos viciados lançados por um bom atirado e, por fim, na figura
3 temos dardos normais lançados por um bom atirador.
A figura 1 mostra resultados imprecisos e pouco acurados (exatos).
A figura 2 mostra resultados precisos mas pouco acurado e a figura 3 ilustra
o caso onde temos resultados precisos e acurados, ainda que um pouco
dispersos.
Outro exemplo:
Num laboratório, situado no alto de uma montanha, há um
termômetro que fornece a temperatura em graus Celsius com precisão de 4
casas decimais. Um aluno, ao calibrá-lo, usou vapor de água para o ponto
superior da escala (100 C).o
A grandes altitudes, a pressão atmosférica diminui e, como
conseqüência disto, a temperatura do vapor não é 100 C. O termômetroo
descrito acima irá fornecer valores com precisão de 4 casas decimais,
entretanto estes valores não serão acurados, ou seja, exatos.
3 - Erro e Discrepância
As grandezas físicas, resultantes de avaliações diretas ou indiretas,
aparecem sempre afetadas pelo que chamamos de erro, desvio ou incerteza
da medida. Tais erros surgem porque tanto os instrumentos como os métodos
empregados na atividade experimental são imperfeitos. Como conseqüência
disto, o valor medido (valor experimental) não é igual ao previsto pela teoria. As variações encontradas
tem diversas origens, sendo devidas ao tipo de instrumento empregado, à habilidade do operador e aos
agentes externos.
O termo erro, empregado em pesquisas experimentais significa:
a) Diferença entre o valor medido e o verdadeiro;
b) Representa a incerteza da medida de uma grandeza.
O erro é quase sempre expresso em termos de qualquer uma das seguintes quantidades: desvio
médio, desvio aparente, desvio absoluto, desvio padrão, desvio padrão da média, erro provável,
dentre outros.
O termo discrepância se refere a:
a) Diferença entre valores experimentais;
b) Diferença encontrada por dois alunos na determinação do valor numérico de uma dada
grandeza.
1/ N
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Quanto maior o número de dados experimentais colhidos
maior será, em princípio, a probabilidade de o valor médio
aritmético, calculado, se aproximar do verdadeiro.
3.1 - Tipos de Erros
De um modo geral, os erros podem ser classificados em:
C grosseiros, 
C sistemáticos e 
C aleatórios.
3.1.1 - Erros Grosseiros
São erros devidos a imperícia do operador, por exemplo: erro na leitura de escalas, erros
computacionais (operações matemáticas e utilização de fórmulas erradas).
A minimização deste erro só depende da atenção do operador.
3.1.2 - Erros Sistemáticos
São aqueles que ocorrem sempre no mesmo sentido (sistematicamente para mais ou para menos)
e são, em geral, devidos a má calibração dos instrumentos, ao uso de padrões mal aferidos, a não
linearidade de escalas, a condições de operação desfavoráveis de instrumentos eletrônicos.
Medidas realizadas por métodos alternativos, utilização de padrões aferidos e confiáveis, bem
como a verificação periódica dos instrumentos de medida contribuem para a minimização deste tipo
de erro.3.2.3 - Erros Aleatórios
São erros que variam de uma medida para a seguinte, realizada em condições idênticas, e se
distribuem para mais ou para menos em torno do valor médio da grandeza.
Os erros aleatórios são devidos a flutuações casuais de condições ambientais (temperatura,
tensão da rede elétrica, ventos, etc.), a erros de estimativa (pequeno erro de paralaxe de leituras,
resolução da escala de leitura) e a deficiências do próprio instrumento.
Este tipo de erro é reduzido através da reiteração das medidas, pois decrescem, em geral,
proporcionalmente a , onde N é o número de amostras.
Postulado de Gauss
4 - Tratamento estatístico dos erros experimentais
Devido à natureza do erro aleatório, necessitaremos de ferramentas matemáticas especiais para
tratá-los convenientemente. 
Como é grande a variabilidade nas medidas afetadas por erros aleatórios, fica impossível dizer
qual o melhor valor dessa grandeza. Assim, será necessário o conhecimento de seu valor médio, bem
como a dispersão em torno desse valor.
X¯ ' 1
N
ΣXi
X¯ ' X1 % X2 % ... % Xn
N
X¯ ' p1.X1 % p2.X2 % ... % pn.Xn
p1 % p2 % ... % pn
X¯
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Recorreremos, portanto, a alguns conceitos da estatística para o tratamento desses dados
experimentais.
4.1 - Valor Médio
A média é um valor peculiar a um conjunto de dados experimentais. Há várias maneiras de se
calcular o valor médio de uma grandeza ( ), que depende de cada situação analisada. Em geral utiliza-
se com maior freqüência as médias aritmética e ponderada.
4.1.1 - Média Aritmética
Seja um conjunto discreto de dados experimentais, representado por x , x ,...,x , correspondendo1 2 n
cada um a valores numéricos de certa grandeza, conseguidos em condições "idênticas", ou seja, mesmo
operador, mesma precisão, mesmas condições ambientais, etc. Dessa forma, o valor mais próximo do
verdadeiro é dado por:
ou seja:
que é a média aritmética dos valores obtidos (quarto postulado de Gauss). Onde N é o número de
medidas realizadas. 
4.1.2 - Média Ponderada 
Quando algumas das medidas não merecem a mesma confiança que as demais, o que ocorre
quando utilizou-se instrumento de menor precisão para efetua-las, não é possível empregar a média
aritmética como valor mais provável da grandeza avaliada. Neste caso a expressão do valor mais
provável deve ser tal que as medidas obtidas com maior precisão influam mais no cálculo que as
demais. Assim, a média ponderada é dada por:
Os pesos p , p , ..., p serão calculados após conhecermos um modo de calcularmos a dispersão dos1 2 n
dados experimentais.
4.2 - Dispersão dos Dados Experimentais
di ' xi & x¯
σ ' Σdi
2
(N & 1)
ε ' Σdi
2
N (N & 1)
Σdi ' 0,
( ε )
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Devido aos erros experimentais, os dados obtido num experimento, resultado de N medidas da
mesma grandeza, tendem a se afastarem ou se aproximarem do valor mais provável desta grandeza
(que, como vimos, pode ser considerada a média aritmética). A isto denominamos dispersão.
A dispersão pode ser avaliada em termos do desvio aparente (também chamado resíduo), desvio
padrão ou ainda em termos do erro da média.
4.2.1 - Desvio Aparente (resíduo)
Indica o afastamento de cada dado experimental em relação ao valor médio calculado para a
grandeza, sendo expresso por:
 Se indicará que a experiência parece razoável.
4.2.2 - Desvio Padrão (F) 
Também chamado Desvio Médio Quadrático, estima o afastamento médio de cada valor
medido em relação ao valor médio calculado (espalhamento das medidas). Nos casos em que poucas
observações são feitas e experimentadas, o desvio padrão, representado pela letra grega sigma
minúsculo (σ) é dado por:
4.2.3 - Erro da média 
Também chamado desvio padrão da média ou erro médio da média, expressa o erro que afeta
o valor da grandeza, isto é, o erro que afeta o valor médio da grandeza. É dado por:
4.2.4 - Desvio Avaliado
É devido, essencialmente, aos instrumentos de medida e é expresso como sendo a metade da
resolução instrumental, quando se trata de instrumentos com escalas gravadas, ou seja, a metade da
menor leitura fornecida por um instrumento, sendo representado por δx, onde x é o símbolo da grandeza
medida.
∆v ' vf & v0
x¯
( ε ) x¯ ± ε
E ' δx
x
X ' x¯ ± ε
E ' ε
x¯
E ' δx
x
× 100 E ' ε
x¯
× 100
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Observações:
C A letra grega delta maiúscula ( ∆ ) será utilizada para representar diferenças entre valores de
uma mesma grandeza física. A variação de velocidade ( v ) de um carro, por exemplo, é
representada por: , onde v é sua velocidade final e v , sua velocidade inicial.f 0
C A letra grega delta minúscula ( δ ) será utilizada para representar o erro na medida de uma
grandeza física. O erro na determinação do comprimento ( R ) de uma haste de alumínio será
representado como δR.
4.2.5 - Erro limite ou erro tolerável 
O erro limite é o erro igual a TRÊS vezes o erro médio quadrático (desvio padrão); toda medida
afetada de erro maior que o tolerável deve ser rejeitada.
4.2.6 - Valor Experimental Corrigido ( VEC )
Para uma grandeza x determinada, numa única tomada de dados (tomou-se uma única medida),
com um instrumento cuja resolução é R, podemos dizer, baseado no exposto acima, que o erro que
acompanha x é δx = R/2. 
O VEC da medida x pode ser escrito com: x ± δx.
No caso de termos obtido N medidas da grandeza x, diremos agora que há um valor mais
provável de x, representado pela média aritmética dos N valores de x: (caso esses valores tenham
sido obtidos com instrumento de medida operando na mesma escala). O erro, conforme vimos é tomado
como o erro médio da média . Assim, o VEC da medida x pode ser escrito como: .
4.2.7 - Erro relativo e erro relativo percentual 
Quando consideramos uma única medida de uma dada grandeza X = x ± δx. O erro relativo
( E ) é dado por: .
Se, contudo, realizarmos N medidas da grandeza X, teremos: . O erro relativo, desse
modo será calculado como: .
Expressos em percentagem, são: (%) e (%), que são o que
denominamos de erro relativo percentual ou, simplesmente, erro percentual.
Exemplo: 
Na seção 4.1.2 vimos que para calcularmos os pesos da média ponderada seria necessário saber
um modo de calcularmos a dispersão dos dados experimentais. O exemplo a seguir ilustra como
proceder para obtermos o valor médio de uma grandeza quando utilizamos instrumentos, ou escalas,
diferentes nas tomadas de dados experimentais.
X¯ ' p1.X1 % p2.X2 % ... % pn.Xn
p1 % p2 % ... % pn
pn '
1
εn
2
Xpond. '
kA . X¯ % kB . Y¯
kA % kB
εn
2
X¯ σA
Y¯ σB
kA '
n
σA
2
e kB '
m
σB
2
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Espessura (mm)
3,05±0,05
3,08±0,02
3,02±0,02
3,00±0,05
3,10±0,05
3,04±0,02
3,06±0,02
Considere o conjunto de dados {X , X , X , X , Y ,Y ,Y } onde X , X , X e X foram obtidos1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4
com instrumento de precisão a, enquanto Y1, Y2 e Y3, foram obtidos com instrumento de precisão b.
Como se tratam de medidas realizadas com instrumentos de precisões diferentes, tomemos a
média ponderada, dada por:
Os coeficientes p , p ,...,p devem ser tomados como:1 2 n
Onde representa o quadrado do erro da média. Assim, uma expressão para a média ponderada pode
ser obtida dividindo o conjunto de dados em dois: conjunto A e conjunto B. O conjunto A possui n
elementos, sua média é e seu desvio padrão é bem como o conjunto B possui m elementos, sua
média é e seu desvio padrão é .
Logo, considerando estes conjuntos temos:
Onde: 
1 - Deduza as expressões acima.
2 - Os dados ilustrados na tabela ao lado foram obtidos a partir da medida
da espessura de uma placa de zinco. Calcule o valor mais provável da
grandeza medida.
5 - Representação Gráfica dos Dados
Amostrais - Histograma -
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O histograma é um gráfico debarras onde são apresentados o número de eventos por intervalo
de valor em uma série de medidas.
Exemplo:
A tabela abaixo ilustra vinte tomadas de tempo, em segundos, que uma esfera demora para
percorrer uma calha inclinada, abandonada sempre da mesma posição inicial:
Medida Nº Tempo (s)
1 28,1
2 27,9
3 28,1
4 28,2
5 28,3
6 28,1
7 27,8
8 28,0
9 27,9
10 28,1
11 28,1
12 28,1
13 27,9
14 28,0
15 28,2
16 28,0
17 28,1
18 28,0
19 28,1
20 28,0
Assim, para cada intervalo de 0,1 segundos temos os seguintes números de eventos (classes).
s ' σ2
σ2 ' σ2 x % σ2 y % σ2 z % ...
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Intervalo de Nº de eventos
tempo
27,7 - 27,8 1
27,8 - 27,9 3
27,9 - 28,0 5
28,0 - 28,1 8
28,1 - 28,2 2
28,2 - 28,3 1
A tabela acima nos permite construir o seguinte histograma:
6 - Propagação dos Erros Experimentais
Além do desvio padrão, um outro estimador da dispersão dos dados experimentais, em torna
do valor médio, é a variância. Esta é tomada com sendo o quadrado do desvio padrão, sendo
representada pela letra latina s.
Uma importante propriedade da variância é que quando há vários processos não correlatos ou
independentes, como é o caso nas medidas físicas, as variâncias se somam diretamente.
Assim a variância total é s = s + s + s +..., ou seja: emx y z
conseqüência, temos que o erro é dado por:
σ ' σ2 x % σ2 y % σ2 z % ...
σ2 ' MfMx
2
σ2 x %
Mf
My
2
σ2 y %
Mf
Mz
2
σ2 z
σ ' MfMx
2
σ2 x %
Mf
My
2
σ2 y %
Mf
Mz
2
σ2 z
W¯ ' X¯ % Y¯ % Z¯
σW ' (σX )2 % (σY)2 % (σZ)2
X¯ ± σX, Y¯ ± σY e Z¯ ± σZ
σX » σY , σZ
σW – σX
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Para uma grandeza f, medida indiretamente, dependente de x, y e z, medidas diretamente , ou
seja,
f = f(x,y,z)
a variância pode ser escrita como:
e o erro que agora denominaremos de ERRO PROPAGADO ou erro nas medidas indiretas é dado por
Soma e subtração de grandezas afetadas por erros
A análise estatística rigorosa mostra que ao somarmos ou subtrairmos grandezas
estatisticamente independentes o erro no resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados
dos erros de cada uma das grandezas. Por exemplo, se tivermos três grandezas dadas por: 
 , a soma (ou subtração) delas,
e o erro será dado por:
Como aproximação, pode-se dizer que, se o erro de uma das grandezas da soma (ou subtração)
for consideravelmente maior que os das outras, por exemplo, , (três vezes maior é
suficiente) o erro do resultado será dado por este erro:.