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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 0324 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2008
Lista de Exerc´ıcios 2 - Data de Entrega: 01/04
Voceˆ deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questa˜o sem provar.
Questa˜o 1
Suponha que X e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua que tem func¸a˜o densidade
de probabilidade (f.d.p.)
f(x) =
½
cx3 para 1 ≤ x ≤ 3
0 caso contra´rio
a) Qual o valor de c para que f(x) seja uma f.d.p.?
b) Qual a probabilidade do intervalo 1 ≤ x ≤ 2 ?
Questa˜o 2
Suponha que 5% dos motoristas na˜o sa˜o segurados. De uma amostra de 30
motoristas aleatoriamente selecionados qual e´ a probabilidade de que na˜o mais
que 1 motorista na˜o tenha seguro?
Questa˜o 3
Suponha que um teste de matema´tica X tenha sua pontuac¸a˜o compreendi-
dade entre 0 e 1. Similarmente, um teste de portugueˆs Y tenha amplitude entre
0 e 1. Suponha que a distribuic¸a˜o conjunta de X e Y e´ dada como a seguir:
f(x, y) = 2/5 [2X + 3Y ] para 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1
a) Mostre que f(x, y) e´ uma func¸a˜o de densidade conjunta
b) Encontre f(x, y)P (x ≤ 0, 5 e y ≤ 0, 5)
c) Encontre a distribuic¸a˜o marginal da varia´vel aleato´ria X
d) Encontre o valor esperado de Y
e) Qual e´ a probabilidade de y ≤ 0, 5 dado que x ≤ 0, 5
f) X e Y sa˜o independentes? Explique.
1
Questa˜o 4
Seja βˆ0 e βˆ1 o intercepto e o coeficente de inclinac¸a˜o, respectivamente, da
regressa˜o de yi em xi, usando n observac¸o˜es.
a) Seja c1 e c2 com c2 6= 0, constantes. Seja β˜0 e β˜1 a inclinac¸a˜o e o intercepto
da regressa˜o de c1yi em c2xi. Mostre que β˜1 = (c1/ c2)βˆ1 e β˜0 = (c1)βˆ0.
b) Seja, agora, β˜0e β˜1 da regressa˜o (c1+ yi) em (c2+xi) (sem restric¸o˜es em
c1 ou c2). Mostre que β˜1 = βˆ1 e β˜0 = βˆ0 + c1 − c2βˆ1.
Questa˜o 5
Seja βˆ0 e βˆ1 o intercepto e a inclinac¸a˜o da regressa˜o de yi em xi. Mostre
que βˆ0 e βˆ1 sa˜o estimadores na˜o viesados de β0 e β1.
Questa˜o 6
A experanc¸a condicional de uma varia´vel aleato´ria X dado outra v.a. Y e´
definida como:
E [X | Y ] =
Z +∞
−∞
xg(x | y) dx
onde g(x | y) = f(x, y)/f(y) e f(x, y) e´ a distribuic¸a˜o conjunta de X e Y e
f(y) e´ a distribuic¸a˜o marginal de Y .
Suponha que f(x, y) = 2x para 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
a) Encontre a me´dia de X e Y .
b) Encontre a variaˆncia de X e Y .
c) Encontre a covariaˆncia de X e Y .
d) Encontre a me´dia condicional de X dado Y .
Questa˜o 7
Duas v.a. independentes X1 e X2 sa˜o normalmente distribu´ıdas N(m, s
2).
Sabemos que s2 = 50, mas na˜o sabemos a me´dia m. O seguinte estimador de
m e´ proposto:
X =
X1 +X2
2
a) X e´ um estimador na˜o viesado de m?
b) Qual a variaˆncia desse estimador?
2
Questa˜o 8
Seja X uma v.a. com me´dia µ e variaˆncia σ2 de tal forma que E
h
(X − µ)3
i
exista. O valor da raza˜o
E[(X−µ)3]
σ3
e´ frequ¨entemente usado como medida de
assimetria. Calcule-o para as seguintes distribuic¸o˜es:
a) f(x) = (x+ 1)/2 para −1 < x < 1, e 0 caso contra´rio
b) f(x) = 1/2 para −1 < x < 1, e 0 caso contra´rio
Questa˜o 9
Seja X um v.a. com func¸a˜o geradora de momentos Mx(t) para −h < t < h.
Prove que:
P (X ≥ a) ≤ exp(−at)Mx(t), 0 < t < h
e
P (X ≤ a) ≤ exp(−at)Mx(t), −h < t < 0
Dica: Use a desigualdade de Chebyshev.
3