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Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati 
 
CAPÍTULO 5 
A REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS: ESTIMAÇÃO DE INTERVALO E TESTE DE 
HIPÓTESES 
 
 
Perguntas 
 
 
5.1 (a) Verdadeira. O teste t baseia–se em variáveis com uma distribuição normal. Os 
estimadores β1 e β2 seguem tal distribuição, pois são combinações lineares do erro ui, o 
qual presumimos ser normalmente distribuído no MRLC. 
 
(b) Verdadeira. Uma vez que E(ui)=0, os estimadores de MQO não são tendenciosos. 
Não é preciso nenhuma premissa probabilística para determinar a não-
tendenciosidade. 
 
(c) Verdadeira. Nesse caso, a Equação (1) da Seção 3.A.1 do Apêndice 3A não será 
usada. Esse tópico será tratado com mais detalhes no Capítulo 6, Seção 6.1. 
 
(d) Verdadeira. O valor p é o menor nível de significância em que se pode rejeitar a 
hipótese nula. Os termos nível de significância e tamanho do teste são sinônimos. 
 
(e) Verdadeira. Isso resulta da Equação (1) do Apêndice 3A, Seção 3A.1. 
 
(f) Falsa. Tudo o que podemos dizer é que os dados disponíveis não nos permitem 
rejeitar a hipótese nula. 
 
(g) Falsa. Um valor mais alto de σ2 deve ser contrabalançado por um valor mais alto 
de 2ix∑ . Somente se este for mantido constante, a afirmação pode ser verdadeira. 
 
(h) Falsa. A média condicional de uma variável aleatória depende dos valores tomados 
por outra variável (condicionante). As médias condicional e não-condicional só podem 
ser iguais se as duas variáveis forem independentes. 
 
(i) Verdadeira. Isso fica óbvio pela Equação (3.17). 
 
(j) Verdadeira. Consulte a Equação (3.5.2). Se X não tem influência sobre Y, 2βˆ será 
zero, e nesse caso 2 2ˆi iy u=∑ ∑ . 
 
5.2 Tabela ANOVA para despesas com alimentos na Índia: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
139023 1 139023 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
236894 53 4470 
STQ 375916 
 
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139023
4470
F = =31,1013 com gl igual a 1 e 53, respectivamente. 
 
Na hipótese de não haver relação entre despesas com alimentos e despesas totais, o 
valor p (valor da probabilidade) de se obter tal valor F é quase zero, sugerindo 
enfaticamente que se pode rejeitar a hipótese nula. 
 
 
5.3 (a) O ep do coeficiente angular é 
0,6417 0,0664
9,6536
= . 
O valor t sob H0 : β1 = 0, é 
0,7347 0,8797
0,8351
= . 
 
(b) O salário médio por hora aumenta em aproximadamente 64 centavos para um ano 
adicional de escolaridade, em média. 
 
(c) Aqui temos n = 13, então gl =11. Se a hipótese nula for verdadeira, o valor t 
estimado é 9,6536. A probabilidade de se obter tal t é extremamente pequena, o valor 
p é praticamente zero. Pode–se, portanto, rejeitar a hipótese nula de que o nível de 
escolaridade não afeta os ganhos por hora. 
 
(d) SQE = 74,9389; SQR = 8,8454; gl numerador = 1; gl denominador = 11; F = 
93,1929. O valor p de tal F sob a hipótese nula de que não há relação entre as duas 
variáveis é 0,000001, que é extremamente baixo. Pode–se, assim, rejeitar com grande 
segurança a hipótese nula. 
Observe que o valor F é aproximadamente o quadrado do valor t sob a mesma 
hipótese nula. 
 
(e) No caso bivariado, dado que H0 : β2 = 0, existe a seguinte relação entre o valor t e 
r2: 
 
2
2
2[ ( 2)
tr
t n
= + − ] . Como o t dado é 9,6536, obtemos: 
2
2
2
9,6536 0,8944
[9,6536 11]
r = ≈− . 
 
 
5.4 Literalmente, a hipótese afirma que não há correlação entre as duas variáveis. Por 
conseguinte, se pudermos provar que a covariância entre elas é zero, então a 
correlação terá de ser zero. 
 
 
5.5 (a) Para testar a hipótese de que o coeficiente angular verdadeiro é um, use o 
teste t. 
 
2
2
ˆ 1 1,0598 1 0,821ˆ 0,0728( )
t
ep
β
β
− −= = = 
Para gl = 238, esse valor t não é significativo nem para α = 10%. Conclui–se, 
portanto, que durante o período estudado as ações da IBM não foram voláteis. 
 
 
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(b) Uma vez que 
0,7264 2,4205
0,3001
t = = , é significativo no nível dos 2%, mas, 
economicamente, isso tem pouco significado prático. Interpretado literalmente, o valor 
de 0,73 para o intercepto implica que mesmo que o retorno do portfólio de mercado 
seja zero, o do título é de 0,73%. 
 
 
5.6 Sob a premissa da normalidade, 2βˆ é normalmente distribuída. Mas como uma 
variável normalmente distribuída é contínua, e como pela teoria das probabilidades 
sabemos que a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor 
específico é zero, não faz, portanto, nenhuma diferença o fato de a desigualdade ser 
forte ou fraca. 
 
5.7 Sob a hipótese de que β2 = 0, obtemos: 
2 2
2 22
2 2
2
ˆ ˆˆ
ˆ ˆ( ) (1 )
( 2)
i i
i
x x
t
ep y r
n
β ββ
σβ= = = −
−
∑ ∑
∑ . 
Porque 
2 2
2 ˆ (1 )ˆ
( 2) ( 2)
i iu y
n n
σ −= =− −
∑ ∑ 2r
, da Equação (3.5.10), 
2
2
2 2 2
ˆ ( 2)
ˆ
(1 )
i
i
x n
y r
βσ −= −
∑
∑ , mas como 
2
2 2
2 2
ˆ i
i
x
r
y
β= ∑∑ , então 
2
2 2
ˆ i
i
x
r
y
β= ∑∑ , da Equação 
(3.5.6). 
Assim, 
2
2
2
ˆ( 2)
ˆ(1 )
ixr nt
r
β
σ
−= =− , e 
22
2
22
( 2) ˆ
ˆ1
i
2
xr nt F
r
β σ
−= = =−
∑
, da Equação (5.9.1). 
 
 
Problemas 
 
 
5.8 (a) Existe associação positiva na TPFT em 1972 e 1968, o que não é de 
surpreender, tendo em vista que desde a Segunda Guerra Mundial a TPFT das 
mulheres tem crescido regularmente. 
 
(b) Use o teste t unicaudal ou unilateral: 
0.6560 1 1,7542
0,1961
t −= = − . Para gl = 17, o valor 
t unicaudal com α = 5% é 1,740. Como o t estimado é significativo, podemos, nesse 
nível de significância, rejeitar a hipótese de que o coeficiente angular verdadeiro é 
igual ou maior que 1. 
 
(c) A TPFT média é: 0,2033+0,6560(0,58)≈0,5838. Para estabelecer um intervalo de 
confiança de 95% para essa previsão, use a fórmula: 0,5838 ± 2,11 (ep do valor 
médio da previsão), em que 2,11 é valor t crítico a 5% para gl = 17. Para obter o erro-
padrão do valor da previsão, empregue a Equação (5.10.2). Mas repare que, como os 
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autores não fornecem o valor médio da TPFT das mulheres em 1968, não poderemos 
calcular esse erro-padrão. 
 
(d) Não poderemos responder essa pergunta sem os dados reais porque precisamos 
dos valores dos resíduos para representá–los graficamente e obter o gráfico de 
probabilidade normal ou calcular o valor do teste Jarque-Bera. 
 
 
5.9 (a) Segue o gráfico: 
 
 
 
VERTICAL = REM 
HORIZONTAL = GAS 
 
(b) Remi =12129,37+3,3076 Gas 
 ep = (1197,351) (0,3117) r2 = 0,6968 SQR = 2,65E+08 
 
(c) Se a despesa por aluno aumentar um dólar, o salário médio aumentará 3,31 
dólares. O intercepto não tem significado econômico viável. 
(d) O intervalo de confiança de 95% para β2 é: 3,3076 ± 2(0,3117) = (2,6842 , 
3,931). Baseados neste IC, não rejeitaremos a hipótese nula de que o verdadeiro 
coeficiente angular é 3. 
 
(e) Os valores previstos médio e individual são os mesmos, a saber: 12129,37 + 
3,3076(5000) ≈ 28,667. O erro-padrão do valor médio previsto, usando a Equação 
(5.10.2), é 520,5117 (dólares) e o erro-padrão da previsão individual, usando a 
Equação (5.10.2), é 2382,337. Os intervalos de confiança são: 
 
1) previsão média: 28,667 ± 2(520,5117), isto é, ($27.626 , $29.708); 
2) previsão individual: 28,667 2(2382,337), isto é, ($23.902 , $33.432). ±
 
Como era de se esperar, o segundo intervalo é maior do que o primeiro. 
 
(f) O histograma dos resíduos pode ser aproximado a uma curva normal. A estatística 
Jarque-Bera é 2,1927, e seu valor p é de aproximadamente 0,33. Assim, baseados 
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neste teste, não rejeitamos a premissa da normalidade, presumindo que o tamanho da 
amostra (51 observações) seja razoavelmente grande. 
 
 
 
Série: Resíduos 
Amostra 1 51 
Observações 51 
 
Média 9,13E-12 
Mediana 
-
217,5192 
Máximo 5529,342 
Mínimo 
-
3847,976 
Desvio-
padrão 
2301,414 
Assimetria 0,499126 
Curtose 2,807557 
 
Jarque-Bera 2,196273 
Probabilidade 0,333492 
 
 
5.10 A tabela ANOVA para o setor de empresas é a seguinte: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
38685,997 1 38685,997 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
4934,138 37 133,355 
STQ 43620,135 
 
O valor F é 
38685 290,0978
133,355
= . 
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Sob a hipótese nula de que não existe relação entre salários reais e produtividade no 
setor de empresas, este valor F segue distribuição F com gl 1 e 37 no numerador e 
denominador, respectivamente. A probabilidade de obter tal F é 0,0000, ou seja, 
praticamente zero. Podemos, portanto, rejeitar a hipótese nula, o que não deve ser 
nenhuma surpresa. 
 
(b) A tabela ANOVA para o setor de empresas não-agrícolas é a seguinte: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
37887,455 1 37887,455 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
5221,585 37 141,129 
STQ 43109,04 
 
STQ = 43109,04; SQR = 5221,585; SQE = 37887,455. 
Sob a hipótese nula de que o coeficiente angular verdadeiro é zero, o valor F calculado 
é: 
37887,455 268,459
141,129
F = ≈ . 
 
A probabilidade de obter tal F seria praticamente zero, caso a hipótese nula fosse 
verdadeira, o que leva à sua rejeição. 
 
 
5.11 (a) O gráfico a seguir indica que a relação entre as duas variáveis não é linear. 
Inicialmente, à medida que aumentam as despesas com publicidade, o número de 
impressões também aumenta, mas depois decresce gradualmente. 
 
VERTICAL = IMPRESSÕES 
HORIZONTAL = GASTOS COM PUBLICIDADE 
 
(b) Em conseqüência de (a), não seria adequado ajustar um modelo de regressão 
bivariada a esses dados. Não temos, no momento, as ferramentas necessárias para 
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i iufazê-lo. Mais adiante mostraremos que um modelo do tipo 
2
1 2 2 3 2i iY X Xβ β β= + + + , 
em que Y são as impressões retidas e X2 as despesas com publicidade, pode ser 
apropriado. Este é um exemplo de modelo de regressão quadrático. Mas repare que 
ainda é um modelo linear nos parâmetros. 
 
(c) Os resultados obtidos usando um modelo linear às cegas são os seguintes: 
 
Yi = 22,163 + 0,3631 Xi 
ep = (7,089) (0,0971) r2=0,424. 
 
 
5.12 (a) O gráfico a seguir mostra que as taxas de inflação dos dois países evoluem 
juntas. 
 
 
VERTICAL = IPCEUA 
HORIZONTAL = IPCCAN 
 
(b) & (c) Segue tabela conforme entregue pelo pacote de software estatístico Eviews 
3: 
 
 
Amostra: 1973 
1997 
 
Observações 
incluídas: 25 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C 6,251664 1,956380 3,195526 0,0040 
ICAN 0,940932 0,017570 53,55261 0,0000 
 
R-quadrado 0,992044 Variável dependente média 104,7560 
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R-quadrado 
ajustado 
0,991698 
Desvio-padrão da variável 
dependente 
36,56767 
E.P. da regressão 3,331867 Critério info Akaike 5,321561 
Soma quad resíduos 255,3308 Critério Schwarz 5,419071 
Verossimilhança 
Log 
–64,51951 Estatística-F 2867,882 
Estat Durbin-
Watson 
0,264558 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
 
Esses resultados mostram que a relação entre as duas variáveis é positiva. Pode–se 
facilmente rejeitar a hipótese nula de que não há relação entre as duas variáveis, uma 
vez que o valor t obtido sob essa hipótese é 53,55, e é praticamente zero o valor p 
(probabilidade) de se obter tal t. 
 
Embora as duas taxas de inflação sejam positivamente relacionadas, não se pode disso 
deduzir causalidade, pois esta tem de ser inferida de alguma teoria econômica que a 
sustente. Lembre–se de que regressão não implica causalidade. 
 
 
5.13 (a) As duas regressões são as seguintes: 
 
Preço do ourot = 186,183 + 1,842 IPCt 
 ep = (125,403) (1,215) r2 = 0,150 
 t = (1,484) (1,515) 
 
 NYSEt = 102,060 + 2,129 IPCt 
 ep = (23,767) (0,230) r2 = 0,868 
 t = (–4,294) (9,247) 
(b) A estatística Jarque-Bera para a equação do preço do ouro é 4,751, com valor p de 
0,093. A estatística JB para o índice NYSE é 1,218 com valor p de 0,544. No nível de 
significância de 5%, não se pode rejeitar a premissa de normalidade em nenhum dos 
dois casos. 
 
(c) Como o coeficiente angular na regressão do preço do ouro não é estatisticamente 
diferente de zero, não faz nenhum sentido tentar saber se é diferente de um. 
 
(d) & (e) Com o procedimento habitual do teste t, obtemos: 
2,129 1 4,91
0,230
t −= = . Como 
esse valor excede o t crítico de 2,160, rejeitamos a hipótese nula. O coeficiente 
estimado é realmente maior que um. Para o período estudado, o investimento no 
mercado de ações foi provavelmente uma garantia contra a inflação. Foi, certamente, 
um hedge muito melhor que o investimento em ouro. 
 
 
5.14 (a) Não parece haver uma melhor que as outras, todos os resultados estatísticos 
são muito parecidos. Todos os coeficientes angulares são estatisticamente 
significativos no nível de confiança de 99%. 
 
(b) Não podemos usar os r2 consistentemente elevados para decidir qual é a melhor 
definição de moeda. Isso, entretanto, não quer dizer que o tipo de equação usada não 
faça diferença. 
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(c) Não se pode dizer isso a partir dos resultados da regressão. Mas, recentemente, o 
FED parece estar visando a M2. 
 
5.15 Escreva assim o modelo da curva de indiferença: 1 2
1
i i
i
Y u
X
β β⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠ . Repare 
que agora β1 passou a ser o coeficiente angular e β2 o intercepto. Mas este é, ainda, 
um modelo de regressão linear, pois os parâmetros são lineares (veja o Capítulo 6). Os 
resultados da regressão são os seguintes: 
 
13, 2827 1,1009i
i
Y
X
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
 
ep = (1,2599) (0,6817) r2 = 0,6935. 
 
O coeficiente angular é estatisticamente significativo no nível de confiança de 92%. A 
taxa marginal de substituição (TMS) de Y por X é: 2
10,3287( )
i
Y
X X
∂ = −∂ . 
 
5.16 (a) Seja o modelo: , em que Y é a taxa de câmbio vigente e X 
a PPC implícita. Caso a PPC esteja certa, espera–se, a priori, que o intercepto seja zero 
e o coeficiente angular, um. 
1 2 2iˆY Xβ β= + +i iu
 
(b) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
Yi = 24,6338 + 0,5405 Xi 
ep = (19,5071) (0,0094) 
 t = (1,2628) (57,1016) r2=0,9917. 
 
Para testar a hipótese de que β2 = 1, aplicamos teste: 
0,5405 1 48,88
0,0094
t −= = − . Esse 
valor é muito significativo e leva à rejeição da hipótese nula. O coeficiente angular é, 
na verdade, menor que um. A partir da regressão dada, o leitor pode facilmente 
verificar que o coeficiente do intercepto não é diferente de zero, pois o valor t, sob a 
hipótese de que o intercepto verdadeiro é zero, é somente 1,2628. 
 
[N] Nota: Deveríamos, na verdade, testar simultaneamente as hipóteses (conjuntas) 
de que o intercepto é zero e o coeficiente angular, 1. No Capítulo 8, veremos como 
isso é feito. 
 
(c) Em primeiro lugar, como o índice Big Max é “tosco e engraçado”, não tem a menor 
importância. Mesmo assim, para os dados da amostra, os resultados não apóiam
a 
teoria. 
 
 
5.17 Se Y for a representação da pontuação em matemática dos homens e X a das 
mulheres, obtemos a seguinte regressão: 
 
iˆY = 175,975 + 0,714 Xi 
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ep = (20,635) (0,045) 
 t = (8,528) (15,706) r2 = 0,918. 
 
(b) A estatística Jarque-Bera é 1,0317 com um valor p de 0,5970. Assintoticamente, 
portanto, não podemos rejeitar a premissa de normalidade. 
 
(c) 
0,714 1 6,36
0,045
t −= = . Logo, podemos rejeitar a hipótese de que β2 = 1 com 99% de 
confiança. 
 
(d) A tabela ANOVA é: 
 
Fonte da variação SQ gl MSQ 
Devido à regressão 
(SQE) 
948,193 1 948,193 
Devido aos resíduos 
(SQR) 
87,782 22 3,990 
STQ 1071,975 23 
 
Sob a hipótese nula de que β2 = 0, o valor F é 264,665. O valor p de se obter tal F é 
quase zero, o que leva à rejeição da hipótese nula. 
 
 
5.18 (a) Os resultados da regressão são os seguintes: 
 
iˆY = 148,135 + 0,673 Xi 
ep = (11,653) (0,027) 
 t = (12,713) (25,102) r2 = 0,966. 
(b) A estatística de Jarque-Bera é 1,243 com um valor p de 0,5372. Podemos, 
portanto, rejeitar a hipótese nula de não-normalidade. 
(c) Sob a hipótese nula, obtemos: 
0,673 1 12,11
0,027
t −= = . O valor t crítico no nível de 5% 
é 2,074. Assim, podemos rejeitar a hipótese nula de que o coeficiente angular 
verdadeiro é 1. 
 
(d) Os valores de SQE, SQR e STQ são, respectivamente, 3157,586 (gl 1), 110,247 (gl 
22) e 32367,833 (gl 23). Sob a hipótese nula habitual, o valor F é 630,131. O valor p 
de se conseguir tal F é quase zero. Podemos, portanto, rejeitar a hipótese nula de que 
não há relação entre as duas variáveis. 
 
5.19 (a) O diagrama de dispersão e a linha de regressão estimada são os seguintes: 
 
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VERTICAL = IPC 
HORIZONTAL = IPP 
 
(b) Use o IPC, que representa os preços pagos pelos consumidores, como regressando, 
e o IPP, que representa os preços pagos pelos produtores, como regressor, porque o 
primeiro é o segundo com acréscimos. 
 
(c) & (d) A tabela a seguir, apresentada conforme entregue pelo pacote de software 
estatístico Eviews 3, fornece os dados necessários: 
 
Variável dependente: 
IPC 
 
Método: mínimos 
quadrados 
 
Data: 23/06/00 
Hora: 16:50 
 
Amostra: 1960 1999 
Observações 
incluídas: 40 
 
 
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade 
C –13,77536 3,710747 –3,712286 0,0007 
IPP 1,269994 0,042763 29,69864 0,0000 
R-quadrado 0,958696 Variável dependente média 86,17000 
R-quadrado ajustado 0,957609 
Desvio–padrão da variável 
dependente 
48,02523 
E.P. da regressão 9,887937 Critério info Akaike 7,469215 
Soma quad resíduos 3715,309 Critério Schwarz 7,553659 
Verossimilhança Log –147,3843 Estatística-F 882,0093 
Estat Durbin-Watson 0,093326 Probabilidade (Estatística-F) 0,000000 
 
O valor t estimado do coeficiente angular é 29,6986 sob a hipótese nula de que não há 
relação entre os dois índices. O valor p (probabilidade) de se obter tal valor t é quase 
zero, o que indica a rejeição da hipótese nula. 
 
A seguir estão o histograma e o teste Jarque-Bera baseados nos resíduos da regressão 
anterior. 
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Série: Resíduos 
Amostra 1960 1999 
Observações 40 
 
Média 7,11E-15 
Mediana 3,781548 
Máximo 21,84709 
Mínimo 
–
19,05008 
Desvio-
padrão 
9,760345 
Assimetria 
–
0,119726 
Curtose 2,620663 
 
Jarque-Bera 0,335390 
Probabilidade 0,845612 
 
A estatística Jarque-Bera é 0,3335 com um valor p de 0,8456. Não podemos, portanto, 
rejeitar a premissa de normalidade. O histograma também mostra que os resíduos têm 
distribuição razoavelmente simétrica.