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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
Curso de Verão Estatística
Prof. Dr. Ricardo Avelino
Monitor: Fernando Santos
1o Semestre de 2009
Lista de Exercícios 3 - Data de Entrega 19/02/2009
Questão 1
Seja st o logaritmo do preço do ativo em t. Considere o modelo de Black-
Scholes:
dst = µ
∗dt+ σdWt
em que
µ∗ = µ− σ2/2
Os estimadores de máxima verossimilhança de µ∗ e σ2 são dados por:
µˆ∗ =
nX
i=1
(si+∆ − si)
n∆
e
σˆ2 =
nX
i=1
(si+∆ − si − µˆ∗∆)2
n∆
n denota o número de observações na amostra e ∆ o intervalo de tempo
separando as observações.
a) Mostre que
E
£
σˆ2
¤
=
(n− 1)σ2
n
b) Compute V
£
σˆ2
¤
.
Questão 2
Considere o modelo
yi = α0 + α1x
∗
1i + α2x
∗
2i + ui
em que
E [ui] = 0
E [ui|x∗1i, x∗2i] = 0
E
£
u2i |x∗1i, x∗2i
¤
= σ2
α2 > 0
1
x∗2i não é observado pelo analista, enquanto x
∗
1i, apesar de também não ser
observado, pode ser aproximado por duas medidas alternativas (e imprecisas)
pi e mi :
pi = x
∗
1i +'i
mi = x
∗
1i + ηi
sendo que E ['i|x∗1i, x∗2i] = 0, E [ηi|x∗1i, x∗2i] = 0, Cov (ui,'i) = 0, Cov (ui, ηi) =
0, Cov ('i, ηi) = 0.
a) Mostre que o estimador de MQO do parâmetro de inclinação da regressão
simples de yi em pi é inconsistente. (Denomine-o αˆ
p
1). Qual a sua relação com
α1. Qual a direção esperada do viés quando n→∞.
b) Mostre que o estimador indireto
α˜1 =
αˆ
p
1
βˆ1
é um estimador consistente de α1 se Cov (x∗1i, x
∗
2i) = 0. Note que βˆ1 é o esti-
mador de MQO do parâmetro β1 no modelo:
mi = β0 + β1pi + vi
com Cov (pi, vi) = 0.
c) Mostre que o estimador proposto em (b) é equivalente, sob a hipótese de
que Cov (x∗1i, x
∗
2i) = 0, ao estimador de variáveis instrumentais em que mi é
utilizado como instrumento para pi no modelo estimado em (a).
Questão 3
Seja X1, ...,Xn uma amostra aleatória de tamanho n da variável aleatória X
com função densidade de probabilidade dada por
f(x) = θxθ−1 , 0 < x < 1, θ > 0
a) Encontre os estimadores de máxima verossimilhança de θ e de g (θ) =
θ/ (1 + θ) .
b) Encontre a distribuição assintótica dos estimadores em (i).
Questão 4
Considere a função de densidade da distribuição exponencial
f(x) =



1
θ
exp
µ
−x
θ
¶
para x > 0
0 caso contrário
2
a) Suponha que você tenha uma amostra de N variáveis aleatórias indepen-
dentes e identicamente distribuídas com distribuição exponencial. Construa a
função de log verossimilhança da amostra.
b) Compute o estimador de máxima verossimilhança, θˆ
MLE
, de θ.
c) Derive a distribuição assintótica do estimador do item anterior.
d) Qual é o estimador de máxima verossimilhança de θ3? Prove que o esti-
mador é consistente.
e) Derive a distribuição assintótica do estimador do item anterior.
Questão 5
Considere o modelo Tobit:
y∗i = x
0
iβ + εi, εi|xi ∼ N(0, σ2)
Nós observamos somente xi e
yi =
½
y∗i se y
∗
i ≥ 0
0 se y∗i < 0
a) Escreva a função de log-verossimilhança com base numa amostra aleatória
de N observações i.i.d., condicional em X = [x1, x2, ..., xN ].
b) Considere a reparametrização de Olsen (1978), isto é, defina
θ ≡ 1
σ
e γ ≡ β 1
σ
Reescreva a função de log-verossimilhança em função de θ e γ e derive as
condições necessárias de primeira ordem para maximização.
c) Mostre que a função de log-verossimilhança derivada no item anterior é
globalmente côncava.
Questão 6
Escreva a função de verossimilhança para os seguintes modelos, assumindo
que as observações sejam i.i.d., que o tamanho da amostra seja N e utilizando
notação genérica (Não assuma que a distribuição é normal).
Y1 = Xβ1 + U1
Y0 = Xβ0 + U0
(U0, U1) ∼ g(U0, U1) (densidade)
X ⊥⊥ (U0, U1) .(U0, U1) têm uma densidade conjunta contínua. Os erros são
livremente correlacionados, condicional em X
3
(a) Para todas as observações, você observa Y1 se Y0 > 0; Você observa X
para todas as observações. Você tem somente observações para as quais Y0 > 0.
(amostra truncada)
(b) Você observa C0 < Y1 < C1 se Y1 > 0; C1 > 0 > C0. Você observa X
para todas as observações. (Você tem uma amostra truncada)
(c) Você sabe se Y1 > 0 para todas as observações, mas você não observa
Y1. Qual é a função de verossimilhança dos eventos Y1 > 0 e Y1 ≤ 0 (isto é,
dos eventos 1 (Y1 > 0) e 1 (Y1 ≤ 0)). Você observa o valor de X para todas as
observações.
(d) Você observa Y1 se Y1 ≥ Y0; Você observa Y0 se Y1 < Y0. Você observa
X para todas as observações.
Questão 7
Seja X1, ...,Xn uma amostra aleatória de tamanho n da variável aleatória
X com função densidade de probabilidade dada por
f(x|θ) = θ (θ + 1)xθ−1 (1− x) , 0 ≤ x ≤ 1, θ > 0
a) Encontre, usando o método dos momentos, um estimador para θ com base
nos dois primeiros momentos de x.
b) Derive a distribuição assintótica do estimador da parte (a).
Questão 8
Seja y1, ..., yT uma amostra aleatória extraída de uma distribuição t de Stu-
dent com θ0 graus de liberdade, cuja densidade é dada por
f(yt; θ0) =
Γ [(θ0 + 1) /2]
(πθ0)1/2Γ(θ0/2)
£
1 + (y2t /θ0)
¤−(θ0+1)/2
Γ(·) é a função Gama.
a) Como você obteria o estimador de GMM de θ0 utilizando o segundo e o
quarto momento da distribuição t?
b) Derive a distribuição assintótica do estimador da parte (a).
Questão 9
A calibração de modelos econômicos frequentemente adota o seguinte proced-
imento: o modelo é ajustado com base num conjunto de condições de
ortogonalidade, digamos
Ef1(xt, β0) = 0 (1)
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f1 possui exatamente k coordenadas e a dimensão do vetor de parâmetros
β0 é k. Para testar o modelo, utiliza-se um segundo conjunto de condições de
ortogonalidade
Ef2(xt, β0) = 0 (2)
a) Mostre como colocar esse procedimento de estimação/teste dentro do
instrumental do método generalizado dos momentos. Qual é a matriz de seleção
implícita utilizada para estimar o vetor de parâmetros desconhecidos β0 de (1)
escrevendo as condições de ortogonalidade conjuntamente como
Ef(xt, β0) = 0
para
f =
·
f1
f2
¸
?
b) O estimador β0 resultante necessariamente será assintoticamente eficiente
dentro da classe dos estimadores do método generalizado dos momentos? Ex-
plique.
c) Como você testaria a validade de (2) levando em consideração o fato de
que β0 é estimado? Qual a distribuição limite da estatística do teste proposta?
Questão 10
Considere o modelo de expectativas racionais no qual a utilidade dos agentes
é dada por
u(ct) =



c
1−γ
t
1− γ para γ > 0 e γ 6= 1
ln ct para γ = 1
O problema do agente representativo é dado por
max
{ct,ct+1,...}
Et
∞X
s=t
βsu(cs)
sujeito a
Ct +
NX
j=1
PjtQjt ≤
NX
j=1
RjtQjt−1 +Wt
Ct : consumo no período t
β : taxa de desconto intertemporal dos agentes, 0 < β < 1
Qjt : quantidade do ativo j (com vencimento em um período) comprado no
final do período t
Pjt : preço do ativo j no período t
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Rjt : retorno pago pelo ativo j, comprado em t− 1.
Wt: renda real do trabalho
Portanto, o problema do agente consiste em escolher, em cada período t, o
quanto consumir do bem de consumo e de cada um dos j ativos. Cada ativo tem
maturação de 1 período, ou seja, o ativo j comprado em t−1 (pelo preço de Pjt−1
cada unidade) paga Rjt no início do período t. O retorno exato de cada ativo
é conhecido somente no seu vencimento. Assim, no instante t, o econometrista
observa somente as taxas de retorno passadas, assim como o consumo presente
e passado ct, ct−1, ..., c0.
a) Obtenha as condições de ortogonalidade do problema, visando estimar
θ0 = (β, γ)0 . (Dica: para resolver o problema do consumidor, considere que a
restrição orçamentária vale com igualdade, obtendo assim J equações de Euler)
b) Dado que o número de parâmetros é menor do que o número de equações,
que estratégia você adotaria para obter o estimador de GMM?
c) Como você obteria na prática
a matriz de ponderação ótima?
d) Como você testaria a hipótese de que o modelo está corretamente especi-
ficado.
Questão 11
Considere a seguinte função de demanda:
qt = α+ φpt + γyt + ζptrt + ϕrt + εt, θ = (α φ γ ζ ϕ)
0
em que qt denota a quantidade do bem e pt seu preço. A variável yt pode ser
pensada, por exemplo, como uma variável exógena como a renda. rt pode ser
interpretado como o preço de um bem substituto. θ é um vetor de parâmetros
desconhecido e εt um termo econométrico de erro.
Adicionalmente, considere a seguinte função de oferta:
pt = −
λ
φ+ ζrt
qt + κ+ πqt + w
0
tρ+ ηt, δ = (λ κ π ρ
0)0
em que δ é um vetor de parâmetros desconhecido, ηt é um termo econométrico
de erro e wt engloba variáves exógenas do lado da oferta.
O parâmetro λ, em particular, indexa o grau de poder de mercado. λ = 0
corresponde à competição perfeita. λ = 1 corresponde a um cartel perfeito
ou monopólio. Os casos intermediários estão associados com graus diferentes de
poder de mercado. No modelo de oligopólio de Cournot, por exemplo, denotando
por n o número de firmas no mercado, temos λ = 1/n.
a) Proponha um procedimento em dois estágios que produza uma estimativa
consistente de λ.
b) Derive as condições de ortogonalidade do primeiro e do segundo estágios
do item (a) e expressa-as dentro do instrumental do método generalizado dos
momentos.
6
c) Derive a distribuição assintótica do estimador proposto em (a) para λ.
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