Limites e Continuidade

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Capítulo 2: Limite e Continuidade
2.1 EXEMPLOS
1. Sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é função da pressão a que o mesmo está submetido. A lei dessa função é dada pelo gráfico abaixo, que representa: 
, onde k é uma constante que depende da massa e da temperatura do gás. 
a) Com respeito a função 
, com P > 0 (não tem sentido físico considerar a pressão P como sendo nula ou negativa), o que se pode dizer de V quando P diminui, tendendo a zero?
b) Para a mesma função o que acontece com V quando P cresce, tornando-se muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, quando P tende para mais infinito?
Resolução:
a) Quando P diminui, tendendo a zero, escrevemos: P ( 
, ou seja, P tende a zero por valores maiores que zero, pela direita. E quando isto acontece, V se torna muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, V tende para mais infinito e escrevemos: V ( +(.
Para exprimir essa simultaneidade de tendências usamos a linguagem dos limites:
.
b) Quando P cresce, tornando-se muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, quando P ( +(, V tenderá a zero, ou seja, V ( 0. E para exprimir essa simultaneidade usamos mais uma vez a linguagem dos limites: 
.
2. Calcule a soma: 
Resolução:
A seqüência apresentada neste exercício é uma progressão geométrica em que 
 e 
. Logo a soma solicitada pode ser calculada através da expressão:
 e, portanto 
.
Para tornar mais visual o resultado que acabamos de obter, imaginemos que o número 1 represente a área de um quadrado de lado unitário.
Vamos encaixar no espaço desse quadrado o retângulo (que representará o número 
).
Em seguida encaixemos, no espaço restante no quadrado original, o quadrado (que representa o número 
).
Em seguida encaixemos, no espaço restante no quadrado original, o retângulo (que representará o número 
).
Em seguida encaixemos, no espaço restante no quadrado original, o quadrado (que representará o número 
).
E assim sucessivamente vamos encaixando, no espaço restante no quadrado original, os retângulos e quadrados (que representarão os número 
).
Dessa forma, parece-nos que fica intuitivo perceber que, com um número finito de encaixes, o espaço do quadrado original nunca será totalmente preenchido (o que mostra 
). Por outro lado, com um número convenientemente grande de retângulos e quadrados, podemos tornar o espaço restante no quadrado original tão pequeno quanto desejarmos (o que mostra que 
 ou, em outros símbolos, 
).
2.2 Noção Intuitiva
Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1), e calcular o valor correspondente a y:
	x
	y=2x+1
	
	x
	y=2x+1
	0,5
	2
	
	1,5
	4
	0,7
	2,4
	
	1,3
	3,6
	0,9
	2,8
	
	1,1
	3,2
	0,95
	2,9
	
	1,05
	3,1
	0,98
	2,96
	
	1,02
	3,04
	0,99
	2,98
	
	1,01
	3,02
Representação gráfica:
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, x tende para 1 (x ( 1), y tende para 3 (y ( 3), ou seja:
Assim, de forma geral, escrevemos: 
quando x se aproxima de a (x ( a), f(x) se aproxima de b (f(x) ( b).
2.2.1 Exercício Resolvido:
Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
a) 
	b) 
	c) 
d) 
	e) 
	f) 
�
2.2.2 Exercícios Propostos
1. Os cientistas P. F. Verhulst, R. Pearl e L. J. Reed, contrariando a teoria de Malthus de que as populações crescem em progressão geométrica, propuseram uma lei de crescimento populacional cujo gráfico tem o seguinte aspecto:
Para Pearl e Reed as condições físicas determinavam um limite superior L para a população de uma região ou país e, utilizando os censos norte-americanos de 1790 a 1910, obtiveram a lei experimental:
onde P é a população norte-americana em milhões de habitantes, t anos após 1790.
Calcule o limite da função P, quando t ( +(.
2.Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes, f > 0). E seja “e” o eixo principal dessa lente:
Seja P um objeto situado em “e”, e P´ a imagem correspondente. As abscissas p de P e p´de P´, tomadas em relação ao centro óptico O da lente, se relacionam através da equação de Gauss:
Dessa equação tiramos que: 
.
E se construirmos o gráfico de p´ em função de p, obteremos:
Observando o gráfico ao lado, calcular:
d) 
e) 
f) 
3. A população de uma colônia de bactérias varia segundo a função definida por: 
 , onde P(t) é dada em bilhões e t em dias. Descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. Verifique a sua conclusão achando 
4. A população de uma determinada espécie animal em um zoológico varia através da seguinte lei: 
, onde N(t) é o número de animais e t é o tempo em semanas. Descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. Verifique a sua conclusão achando 
5. Seja f(x) a função definida por cada gráfico, intuitivamente, encontre se existir:
	a)
	b)
	
	
	c)
	d)
	
	 
	e)
	f)
	
	
	
	
	g)
	h)
	
	
�
	i)
	j)
	
	
�
	
	
�
	l)
	m)
	
	
Respostas: 
L = 197,274 milhões de habitantes
a) f
b) 0
c) -(
d) +(
e) 2f
f) f
12
19
�
2.3 Propriedades dos Limites
Suponha que lim representa um dos limites laterais 
.
Se existirem L1 = lim f(x) e L2 = g(x), então:
lim k = k, sendo k uma constante.
Exemplo: 
lim k f(x) = k lim f(x), onde k é uma constante.
Exemplo: 
lim [f(x) ( g(x)] = lim f(x) ( lim g(x) = L1 ( L2
Exemplo: 
lim [f(x) • g(x)] = lim f(x) • lim g(x) = L1 • L2
Exemplo: 
Exemplo: 
 desde que L1 ( 0 se n for par.
Exemplo: 
 lim [f(x)]n = [lim f(x)]n
A partir desse resultado tem-se que:
	Exemplo: 
	Exemplo: 
Indeterminações: 
Limite no Infinito - limites de xn, quando x ( ( (
 , para n = 1, 2, 3, ...
Multiplicando-se xn por um número real positivo, isto não afeta os limites mas, multiplicando-se por um número real negativo invertem-se os sinais.
Exemplos:
; 
; 
; 
;
; 
Limite de Polinômios - quando x ( a
Seja o polinômio p(x) = c0 + c1x + ... + cnxn e qualquer real a:
Exemplo: 
Limite de Polinômios - quando x ( ((
O polinômio p(x) = c0 + c1x + ... + cnxn , comporta-se como o seu termo de maior grau quando x ( ((:
Exemplo: 
Limite das Funções Racionais - quando x ( a
Uma função racional é a razão entre 2 polinômios.
Exemplos:
a)
b)
. Neste tipo de limite, se o numerador e o denominador aproximam-se de zero quando x ( a, então o numerador e o denominador terão um fator comum (x – a) e o limite pode, freqüentemente, ser obtido cancelando-se primeiro os fatores comuns:
c)
 
Limite das Funções Racionais - quando x ( ((
Exemplos:
Logarítmo
Exemplo: 
Seno e Coseno
2.3.1 Exercícios Propostos
Seja 
 . Calcule:
a) 
 = 2	b) 
= 2	c) 
= 2
Seja 
 . Calcule:
a) 
= 0	b) 
= 0	c) 
= 0
Seja 
 . Calcule:
a) 
= 1	b) 
= 1	c) 
= 0	d) 
=
 
e)
= não existe	f) 
= 0	g) 
= 0	h) 
= 0
Calcular os limites usando as propriedades:
a) 
= 3	b) 
= 8	c) 
= 27
d) 
= 6/5	e) 
= 5/4	f) 
= 2
g) 
= -1	h) 
= não existe	i) 
= -6
j) 
= 
	i) 
= 0	l) 
=
 
m) 
= -1/7	n) 
= 4
2.4 Limites Fundamentais
São três os chamados limites fundamentais:
 (a > 0; a ( 1)
2.4.1 Exercícios Resolvidos
Determinar 
.
Resolução:
Fazendo u = 2x e u ( 0, quando x ( 0, temos:
Determinar 
.
Resolução:
Fazendo t = 
 e x ( (, quando t ( 0, temos:
Determinar 
.
Resolução:
2.4.2 Exercícios Propostos
Calcule os limites, aplicando os limites fundamentais:
a)
 = ¾			b) 
 = 1			c)
= 
d)
=
		e)
 =f)
= 
g)
= 
2.5 Funções Contínuas
Definição 1:
Uma função f(x) é contínua num ponto x0, se:
f(x0) existe;
 existe;
 = f(x0)
Exemplo: Verificar se a função f(x) = x² é contínua em x0 = 2.
Solução:
f(2) = 2² = 4	(existe)
	(existe)
	(existe)
Como as três condições da definição são verificadas, a função f(x) = x² é contínua em x0 = 2.
Definição 2:
Uma função f(x) é contínua a direita de um ponto x0, se:
f(x0) existe;
 existe;
 = f(x0)
Uma função f(x) é contínua a esquerda de um ponto x0, se:
f(x0) existe;
 existe;
 = f(x0)
Definição 3:
Uma função f(x) é contínua num intervalo aberto (a, b), se f(x) é contínua em todo x do intervalo (a, b).
Definição 4
Uma função f(x) é contínua num intervalo fechado [a, b], se f(x) é contínua em
(a, b) e se ela é contínua a direita de “a” e a esquerda de “b”.
Propriedades
Se f(x) e g(x) são contínuas em x0, então:
f(x) ( g(x)
f(x) • g(x)
são contínuas em x0.
2.5.1 Exercícios Propostos
1) Verifique se as funções f(x) a seguir, são contínuas no ponto x0 indicado.
	b)
 ; x0 = 1
c) 
; x0 = 2 	d) 
; x0 = 0 
e)
; x0 = 1	f) 
 ; x0 = 0 
g)
; x0 = 0
Respostas: a, c, d, f são contínuas b, e, g não são contínuas
2.6 Exercícios Complementares
1) Para cada uma das questões a seguir, calcule o 
, verificando a condição de existência do limite.
f(x) = 5;	a = 1
f(x) = x	a = 2
f(x) = 2x – 3	a = 1
f(x) = x² + 4x + 3	a = 0
	a = -3
	a = 1
	a = -1
	a = 0
	a = 2
	a = 1
	a = 1
	a = 0
	a = 1
2) Calcule os limites:
a) 
	b) 
 	c) 
d) 
	e) 
	f) 
Respostas:
1)a) 5 b) 2 c) -1 d) 3 e) -2 f) 1 g) -2 h) 0 i) 0 j) não existe k)não existe l) 1 m) 0
2)a) 
b) 8 c) ¼ d) 2 e) 2/3 f) 1 
5) a) 4, �EMBED Equation.3���, não existe, 4, 4, �EMBED Equation.3���
b) �EMBED Equation.3���,�EMBED Equation.3���, não existe, 3, 1, 1
c) 5, 5, 5, 0, -1, �EMBED Equation.3���
d) �EMBED Equation.3���, �EMBED Equation.3���, �EMBED Equation.3���, 1, -1
e) 2, �EMBED Equation.3���, não existe, 2, �EMBED Equation.3���, 1
f) 4, -1, não existe, 2, 1, 4
g) 3, 0, não existe, 2, 6, �EMBED Equation.3���
h) �EMBED Equation.3���,�EMBED Equation.3���,�EMBED Equation.3���, 1, 4, 1
i) 0, 0, 0, �EMBED Equation.3���
j) 0, 0, 0, �EMBED Equation.3���, �EMBED Equation.3���, 4
l) 0, 0, �EMBED Equation.3���,�EMBED Equation.3���, 1
m) �EMBED Equation.3���, ½, não existe, ½, �EMBED Equation.3���
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