Aula 01 - Medição de Mortalidade

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Matemática Atuarial I – Período 2011/01 
 
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Professora: Tayana Rigueira 
 
MEDIÇÃO DA MORTALIDADE 
 
A análise sistemática das contingências de vida humana constitui os fundamentos do 
trabalho de um atuário. Na solução dos problemas envolvendo essas contingências, ele 
necessita proceder alguns tipos de medição dos seus efeitos; e se tratando de problemas 
de natureza financeira, ele precisa também utilizar uma série de princípios, segundo os 
quais as medições sejam combinadas com as funções de juros. A primeira preocupação 
do atuário é com as contingências de morte e sobrevivência. 
1 – Função Sobrevivência 
O padrão de mortalidade observado entre as vidas é geralmente familiar. A eliminação 
por morte das vidas individuais é forte nos primeiros anos de vida, decrescendo um 
pouco a partir de então, para crescer ao longo da adolescência e da meia idade, 
acelerando o crescimento com a aproximação do limite máximo de sobrevivência (�). 
Procurando uma quantificação da extensão desses efeitos, vamos começar definindo 
uma função de probabilidade fundamental. 
Seja � a idade, em anos, de uma vida. Então, � pode assumir qualquer valor de zero (0) 
até o limite máximo de sobrevivência (�). 
Considere agora a probabilidade de uma nova vida, de idade zero (0), sobreviver à idade �. Podemos considerar essa probabilidade como uma função de �, e nos referirmos a ela 
como função sobrevivência, �(�). 
A função sobrevivência �(�) tem as seguintes propriedades: 
i. �(�) é uma função contínua, decrescente em relação à � visto que a 
probabilidade de (0) sobreviver à idade � é maior que a de sobreviver à idade � + �, � > 0; 
ii. �(�) é uma função contínua de � definida no intervalo 0 ≤ � ≤ �, que decresce do 
valor �(0) = 1 até �(�) = 0. 
Gráfico 1 – Curva de sobrevivência derivada da experiência real 
 
 
 
 
 
 
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0 25 50 75 100 Idade 
s(x) 
Curva de 
s(x) 
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Gráfico 2 – Curva de sobrevivência derivada da hipótese simplificada de que �(�) é 
linear 
 
�(�) = 1 − � 105� 
 
 
 
 
 
Verifica-se que a função de sobrevivência �(�) = 1 − � 105� , 0 ≤ � ≤ 105 atende às 
propriedades estudadas, pois: 
�′(�) = −1 105� < 0 
�(0) = 1 
�(105) = 0 
Portanto, �(�) = 1 − � 105� é uma função contínua e decrescente no intervalo 0 ≤ � ≤ 105, 
assumindo o valor máximo de 1 no ponto � = 0 e o valor mínimo de 0 no ponto � = � =105. 
Desta função de sobrevivência, podemos tirar que: 
i. prob(0) sobreviver à idade 15: �(15) = 1 − 15 105� = 6 7� 
ii. prob(0) falecer entre 15 e 42 anos: : �(15) − �(42) = (42 − 15) 105� = 9 35� 
iii. prob(15) sobreviver à idade 42: : �(42) �(15)� =
3 5� 6 7�� = 7 10� 
IMPORTANTE: As medições numéricas das probabilidades de vida e morte são 
prontamente calculadas a qualquer tempo desde que se conheça a função de 
sobrevivência, �(�). 
 
 
Idade 
s(x) 
0 100 50 25 75 
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2 – Tábua de Mortalidade 
Suponha que queremos estudar o efeito da função de sobrevivência 
�(�) = 110 √100 − � ; 0 ≤ � ≤ 100 
num determinado grupo de 100.000 vidas recém nascidas. 
Agora, o número �� de vidas sobreviventes à idade 1 é uma variável aleatória com o 
valor esperado de: 
 (��) = 100.000 ∗ �(1) = 100.000 ∗ √100 − 110 = 99.499 
que é denotado por #�. 
Podemos calcular o número esperado de mortes ocorridas no primeiro ano de vida: 100.000 − 99.499 = 501, que é denotado por $%. 
Agora, vamos determinar #& e $�: 
#& = 100.000 ∗ �(2) = 100.000 ∗ √100 − 210 = 98.995 
$� = 99.499 − 98.995 = 504 
Seguindo esse raciocínio, podemos elaborar a seguinte tábua contendo as colunas #( e $(, sendo #( o número de sobreviventes a cada idade �, e $( o número de mortes 
ocorridas entre as idades � e � + 1. 
Tábua I 
Parte da hipotética tábua de mortalidade com �(�) = ��% √100 − � ; 0 ≤ � ≤ 100: 
Idade ()) *) +) Idade ()) *) +) 
0 100.000 501 6 96.954 517 
1 99.499 504 7 96.437 520 
2 98.995 506 8 95.917 523 
3 98.489 509 9 95.394 526 
4 97.980 512 10 94.868 528 
5 97.468 514 
 
 
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As funções #( e $( têm as seguintes definições: 
#( = , ∗ �(�), onde , é uma constante positiva1, e 
$( = #( − #(-� 
É preciso ficar bem claro: nem #( e nem $( têm significado a partir dos respectivos 
valores absolutos. Tal significado depende do valor escolhido para a “raiz da tábua”. Em 
suma, seu significado é sempre relativo. Também é preciso ter em mente que #( é uma 
função contínua de �, embora nas tábuas de mortalidade apareçam apenas valores 
inteiros de �. 
2.1 – Probabilidades de Morte e de Sobrevivência 
Probabilidades de morte e sobrevivência podem ser obtidas diretamente de #( (número 
de sobreviventes na idade �) e $( (número de mortos na idade �) presentes nas tábuas 
de mortalidade, e as relações apresentadas anteriormente podem ser imediatamente 
verificadas com base nos conceitos elementares de probabilidade. 
• .( = #(-� #(� é a probabilidade de (�) sobreviver pelo menos mais 1 ano, ou seja, 
de atingir a idade � + 1; 
• .(/ = #(-/ #(� é a probabilidade de (�) sobreviver pelo menos mais 0 anos, ou seja, 
de atingir a idade � + 0. 
NOTA: Quando � = 0, .(/ se transforma na função sobrevivência .%/ = �(0). 
• 1( = 1 − .( = 1 − #(-� #(� = (#( − #(-�) #(� = $( #(� é a probabilidade de (�) falecer em 
menos de 1 ano, ou seja, antes de atingir a idade � + 1; 
• 1(/ = 1 − .(/ = 1 − #(-/ #(� = (#( − #(-/) #(� = ∑ $3
(-/4�35( #(� é a probabilidade de (�) 
falecer em menos de 0 anos, ou seja, antes de atingir a idade � + 0; 
• 1(6/| = $(-/ #(� é a probabilidade de (�) sobreviver a idade � + 0 e falecer antes de 
atingir a idade � + 0 + 1; 
• 1(6/|8 = (#(-/ − #(-/-8) #(� = ∑ $3
(-/-84�35(-/ #(� é a probabilidade de (�) sobreviver a 
idade � + 0 e falecer antes de atingir a idade � + 0 + 9 + 1. 
 
1
 , é conhecido como “raiz da tábua” e corresponde ao valor de #%, assumindo geralmente uma 
potencia de 10. 
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IMPORTANTE: É preciso salientar que essas probabilidades podem ser avaliadas a 
partir da tábua de mortalidade somente se ), : e ; forem valores inteiros. 
 
2.2 – Construção das Tábuas de Mortalidade 
Embora tenhamos definido a tábua de mortalidade em termos da função sobrevivência �(�), na prática essas tabelas são construídas geralmente com base em observações 
empíricas constantes de estatísticas sobre dados de mortalidade. Quando isto é feito, os 
valores de 1( são desenvolvidos a partir de uma investigação da mortalidade, e esses 
valores são usados para construir a coluna dos #( e dos $( da tábua de mortalidade 
utilizando-se o seguinte processo: 
Um valor arbitrário qualquer, geralmente uma potencia positiva de 10 não inferior a 10<, 
é escolhido para o valor de #( inicial e denominado de raiz da tábua. No caso, vamos 
considerar como #( inicial a quantidade #%. 
Então: 
$% = #% ∗ 1% 
#� = #% − $% 
$� = #� ∗ 1� 
#& = #� − $� 
e, generalizando, temos: 
$( = #( ∗ 1( 
#(-� = #( − $( 
Ocorre frequentemente em estudos desse tipo, que não há observação suficiente para 
definir os valores de 1( em relação às idades mais jovens e, em muitos casos, o objetivo 
para o qual a tábua está sendo preparada é tal que não há necessidade de incluir 
valores para essas idades, mesmo que estas possam ser avaliadas. Assim, é comum 
começar a tábua de mortalidade na menor idade significativa, por exemplo, entre as 
idades de 10 e 20 anos. 
Quando as tábuas de mortalidade são construídas pelo processo apresentado 
anteriormente, não é
usualmente possível encontrar uma expressão matemática 
simples para �(�), e a tábua de mortalidade constitui por si só a inteira definição do 
padrão de comportamento da mortalidade. 
 
 
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2.3 – Relação entre as Funções #( e �(�) 
�(�) representa a probabilidade de (0) sobreviver a idade � e, #( representa a quantidade 
de sobreviventes com exatamente a idade �. 
#( = #% ∗ �(�) ∴ �(�) = #(#% = .( % 
Como #% = , é uma constante (raiz da tábua), o comportamento dessas funções é 
idêntico, e 0 ≤ �(�) ≤ 1 e 0 ≤ #> ≤ ,. 
Portanto as probabilidades de sobrevivência e de morte apresentadas no subitem 
2.1,podem ser obtidas substituindo-se devidamente a função #( pela função �(�). Por 
exemplo: 
.( = #(-�#( =
, ∗ �(� + 1), ∗ �(�) = �(� + 1)�(�) 
1( = #( − #(-�#( =
, ∗ ?�(�) − �(� + 1)@, ∗ �(�) = �(�) − �(� + 1)�(�) 
3 – A Função A) e a Taxa Central de Mortalidade ;) 
3.1 – A Função B( 
B( corresponde ao número de pessoas que tendo completado � anos de idade não 
completaram ainda � + 1 anos de idade. 
Se considerarmos a hipótese de que a ocorrência de mortes entre as idades � e � + 1 
tenha uma distribuição uniforme, teremos que: 
B( = #(-CD sendo #(-CD = �& ∗ (#( + #(-�) 
Portanto, B( representa o número médio de sobreviventes entre as sucessivas idades � e � + 1. 
3.2 – Taxa Central de Mortalidade 9( 
Vimos que a probabilidade de que (�) morra antes de atingir a idade � + 1 é 
representada por: 
1( = $(#( 
Chamaremos esse quociente de taxa anual de mortalidade. 
Se comparamos o número de mortes ocorridas entre as idades � e � + 1 ($(), com o 
número de pessoas que, em um dado momento (num censo por exemplo) declaram ter 
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idade x (embora na verdade tenham idade igual ou superior a x e inferior a x+1), o que 
pelo que foi visto pode ser representado pela função B(, o novo quociente será: 
9( = $(B( =
$(1 2� (#( + #(-�) 
Chamaremos esse quociente de taxa central de mortalidade. 
Como $( = #( − #(-�, temos que 
9( = #( − #(-�1 2� (#( + #(-�) = 2 ∗
#( − #(-�#( + #(-� 
dividindo o numerador e denominador por #(, temos: 
9( = 2 ∗ 1 − .(1 + .( 
Para obter 9( em função de 1(, basta substituir .( por 1 − 1( e 1 − .( por 1( e, então: 
9( = 2 ∗ 1(2 − 1( 
4 – A Força de Mortalidade 
As funções de probabilidade definidas anteriormente são úteis para medir a mortalidade 
em determinados intervalos de tempo. A função 1(, por exemplo, que mede a 
probabilidade de (�) falecer antes de atingir a idade � + 1, pode ser interpretada como 
um indicador do número médio de mortes efetivamente ocorridas entre as idades � e � + 1. Nesse sentido, 1( é comumente conhecido como taxa anual de mortalidade. 
No entanto, a intensidade da mortalidade varia a cada momento entre cada intervalo � a � + 1, e assim é importante se chegar a algum método de se medir essa variação a cada 
instante. 
4.1 – Taxa Instantânea de Mortalidade 
O gráfico 1, com alteração na escala das ordenadas, pode representar a curva #(, visto 
que #( = , ∗ �(�) – sendo , a constante #%. O grau de inclinação dessa curva em qualquer 
ponto está relacionado com o número de mortes nas proximidades desse ponto: quanto 
maior for o declive da curva, maior será o número de mortes. O grau de inclinação é 
medido pela derivada da função #(, sendo natural que estudemos a derivada dessa 
função. 
Sejam �(�) = ��% √100 − � e a raiz da tábua igual a 10.000, então: 
#( = 1.000 ∗ √100 − � 
 
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Sendo assim: 
E#( = $#($� = − 500√100 − � 
mede a taxa de decrescimento de #( em relação a �. Na idade 51, por exemplo: 
6$#($� F(5<� = −
500
√100 − 51 ≅ −71 
Isto significa que na idade 51 anos, #( está decrescendo na taxa de 71 vidas por ano. 
Como uma medida da taxa de mortalidade, tal medição não é satisfatória visto que ela 
depende do número de vidas que estão sujeitas ao risco de morte na idade exata de 51 
anos, denotada por #<� = 7.000. Dividindo 71 por 7.000, obtemos para a idade de 51 anos, 
um índice de mortalidade de 0,0101, um resultado que independe do número de vidas 
com exatamente 51 anos. 
Este índice de mortalidade é conhecido como força de mortalidade ou como taxa 
instantânea de mortalidade e é denotado por H(. Sua definição é dada por: 
H( = − E#(#( 
Equivalentemente, 
H( = − E�(�)�(�) 
• H( é uma medida de mortalidade no exato momento em que se atinge a idade �; 
• H( expressa essa mortalidade na forma de taxa anual. 
É possível escrever uma expressão alternativa para H(, visto que por diferenciação 
temos que 
E#IJ(K) = K′K 
Portanto: H( = −E#IJ(#() 
4.2 – A Força de Mortalidade versus a Força de Juros 
Se aplicarmos um capital (L%) ao longo de 1 ano, obteremos o capital final (L�). A 
diferença entre (L�) e (L%) corresponde aos juros (M). Portanto, M representa a força de 
juros sobre L% ao final de 1 ano. 
M = L� − L% 
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Se o capital final L� só for pago ao final de 1 ano caso a pessoa que no início do ano 
tinha exatamente a idade � esteja viva, a força de mortalidade atua conjuntamente com 
a força dos juros. Neste caso, o valor, no instante zero, de L% não é mais L% = L� − M, mas 
sim L%∗ = (L� − M) ∗ .( = (L� − M) ∗ (1 − 1(), sendo 1( a força de mortalidade. 
Portanto, do mesmo modo que N (taxa efetiva anual de juros correspondente a M) 
representa a força de juros ao longo do período de 1 ano, temos que 1( (taxa efetiva 
anual de mortalidade) representa a força da mortalidade ao longo do ano que vai da 
idade � até a idade � + 1. 
5 – Algumas Leis de Mortalidade: 
As expressões que utilizamos até aqui para representar funções de sobrevivência são 
artificiais. Há muito tempo matemáticos se mostram intrigados com o problema de 
construir funções analíticas que reproduzam com fidelidade a típica curva #(. Essa 
curva é uma retorcida curva descendente, e a presença de pelo menos dois pontos de 
inflexão torna difícil representá-la por qualquer fórmula simples. Vamos examinar as 
mais importantes soluções propostas pelos matemáticos. 
5.1 – Lei de De Moivre (1724) 
A primeira e mais simples proposta foi sugerida por Abraham De Moivre de forma que #( 
fosse representado por uma reta. De Moivre reconhecia que esta era uma rude 
aproximação. Seu objetivo, contudo, era o de na prática tornar simplificado o cálculo 
dos valores das anuidades de sobrevivência, que naquela época era uma exaustiva 
tarefa. Ele recomendava a utilização de suas hipóteses somente no intervalo entre as 
idades de 12 a 86 anos. A fórmula encontrou pronta aceitação e foi muito utilizada em 
seu objetivo simplificador. Ela pode ser expressa por: 
#( = , ∗ (� − �) 
H( = − E#(#( = −
−,, ∗ (� − �) = 1� − � 
�(�) = #(#% =
, ∗ (� − �), ∗ (� − 0) = � − �� = 1 − �� 
5.2 – Lei de Gompertz (1825) e Lei de Makeham (1860) 
Apresentando sua fórmula, Benjamin Gompertz escreveu que “É possível que a morte 
seja conseqüência de duas causas gerais que coexistem: a primeira seria o acaso, sem 
que se tivesse prévia disposição para a morte ou deteriorização; e a segunda seria a 
deteriorização, ou seja, crescimento da inabilidade de combate a destruição.” Em outras 
palavras: mortes acidentais e mortes naturais. Derivando sua lei, contudo, ele só 
considerou as mortes naturais, visto que na hipótese de Gompertz a força de 
mortalidade cresce em progressão geométrica. Ficou para Makeham combinar em sua 
lei de mortalidade o efeito das mortes acidentais e naturais. Para isso, ele adicionou à 
expressão matemática da força de mortalidade de Gompertz (H( = O ∗ P() uma constante Q, fazendo H( = Q + O ∗ P(. Matematicamente falando, podemos considerar,
portanto, a 
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expressão da força de mortalidade de Gompertz um caso particular da de Makeham, 
onde Q é uma constante nula. 
Na lei de Makeham temos: 
H3 = Q + OP3 
Sabemos que 
H3 = − E#3#3 
Logo 
H3 = − E#3#3 = Q + OP3 
H3 = − 1#3 ∗
$#3$R = Q + OP3 ∴ − $#3#3 = (Q + OP3) ∗ $R 
Como 
$#IJS#3T = $#3#3 
temos 
−$#IJS#3T = (Q + OP3) ∗ $R ∴ −#IJS#3T = U(Q + OP3) ∗ $R 
(
%
+ , 
onde , é a constante de integração. 
Temos então que: 
#3 = V�.W−,X ∗ V�. Y− U(Q + OP3) ∗ $R 
(
%
Z 
sendo #% = V4> ∗ V% ∴ #% = V4> 
Logo, 
#3 = #% ∗ V�. Y− U(Q + OP3) ∗ $R 
(
%
Z = #% ∗ V�. Y−Q U $R 
(
%
− O U P3$R 
(
%
Z 
#3 = #% ∗ V�.W−6QR|%(X ∗ V�. [− 6O P3#IJ(P)F%
(\ 
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#3 = #% ∗ V�.W−Q ∗ (� − 0)X ∗ V�. [−O ∗ ] P(#IJ(P) − P
%
#IJ(P)^\ 
#3 = #% ∗ V�.W−Q�X ∗ V�. _−O ∗ `P( − 1#IJ(P)ab 
#3 = #% ∗ (V4c)( ∗ (V4d)` e
f4�ghi(e)a 
Fazendo: 
• V4c = � 
• (V4d)` jfkClmn(j)a = (V4d)` jflmn(j)a ∗ (V4d)o4 Clmn(j)p = `V Clmn(j)a4def ∗ (V4d)o4 Clmn(j)p 
onde: 
(Vd)`4 �ghi(e)a = J 
#% ∗ (V4d)`4 �ghi(e)a = , ∴ , = #%(Vd)`4 �ghi(e)a =
#%J 
Temos finalmente que: 
#3 = #% ∗ (V4c)( ∗ (V4d)`4 �ghi(e)a ∗ q(Vd)`4 �ghi(e)ar
ef
 
#3 = #%(Vd)`4 �ghi(e)a ∗∗ (V
4c)( ∗ q(Vd)`4 �ghi(e)are
f
 
lt = k ∗ sw ∗ gyz ({|} ~| €|‚€ƒ) 
� Caso Particular Q = 0 (Lei de GompertzLei de GompertzLei de GompertzLei de Gompertz) 
Então, 
sw = V4c = V4% = 1 
lw = k ∗ 1w ∗ gyz 
H( = Q + OP( = 0 + OP( ∴ H( = OP( 
Nos seus escritos originais, Gompertz restringiu o uso da fórmula lt = k ∗ 1w ∗ gyz ao 
intervalo de idade compreendido entre 10 ou 15 anos até 55 ou 60 anos, e não é possível 
usar essa fórmula ao longo de todas as idades sem se alterar as constantes em algum 
ponto. Isto é óbvio, pois não se pode esperar que uma fórmula simples com apenas 2 
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parâmetros pudesse representar a retorcida curva lw ao longo de todas as idades. Já a 
Lei de Makeham trouxe uma notável melhoria à hipótese de Gompertz, e a nova 
fórmula, com uma adequada escolha das constantes J, P e �, pode ser frequentemente 
aplicada entre as idades de 20 anos e até quase a idade final de sobrevivência. 
Tanto a lei de Gompertz quanto a de Makeham possuem propriedades de grande 
importância prática na simplificação de probabilidades compostas envolvendo a 
sobrevivência de mais de uma vida. Em decorrência disto, ambas as leis continuam a 
ser usadas atualmente. 
Sob a lei de Makeham, os parâmetros normalmente estão restritos aos seguintes 
intervalos: 
0,001 ≤ Q ≤ 0,003 
104 ≤ O ≤ 104 
1,08 ≤ P ≤ 1,12 
6 – Funções Biométricas Complementares: 
6.1 – Quantidade de Existência 
É o somatório dos anos vividos pelas pessoas componentes de um grupo de idade � até 
a sua extinção. Ou seja, é o acompanhamento ano a ano de um grupo até a sua 
extinção. 
Considerando que o número médio de sobreviventes entre as idades � + � e � + � + 1 
pode ser estimado como B(-‘ ≅ 1 2� (#(-‘ + #(-‘-�) temos que: 
’( = B( + B(-� + B(-& + ⋯ = 
= 1 2� (#( + #(-�) + 1 2� (#(-� + #(-&) + 1 2� (#(-& + #(-) + ⋯ 
∴ ’( = 1 2� #( + ” #(-‘
•4(4�
‘5�
 
conhecida como quantidade (de anos) de existência, pois corresponde ao número de 
anos que, a partir da idade �, viverão todos os componentes do grupo (população) até 
que ela se extinga. 
 
 
 
 
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6.2 – Vida Média 
6.2.1 – Vida Média Completa 
A quantidade ’( de existência é desfrutada muito desigualmente pelos indivíduos do 
grupo inicial. Uns vivem poucos dias e outros morrem com idades extremamente altas. 
Se distribuíssemos equitativamente essa quantidade ’( entre todos os componentes do 
grupo #(, então obteríamos o que se denomina vida média completa, ou seja: 
V(% = ’�#� 
que também é conhecido como expectativa de vida das pessoas de idade �. 
6.2.2 – Vida Média Abreviada 
Se em vez de admitirmos que as mortes ocorram no meio do ano, admitirmos que elas 
ocorram no início do ano, teremos o que se chama de vida média abreviada, ou seja: 
V( = ’( − 1 2� #(#( = V�0 − 1 2� 
� Cálculo do .( em função dos valores de vida média: 
Temos que 
V( = #(-� + #(-& + #(- + ⋯#( 
Multiplicando o numerador e o denominador por #(-�, temos que: 
V( = (#(-� + #(-& + #(- + ⋯ ) ∗ #(-�#( ∗ #(-� =
#(-�#( ∗
#(-� + #(-& + #(- + ⋯#(-� 
V( = #(-�#( ∗ `1 +
#(-& + #(- + ⋯#(-� a = .( ∗ (1 + V(-�) 
Logo, 
.( = V(1 + V(-� 
ou 
.( = V(% − 1 2�V(-�% + 1 2� 
 
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6.2.3 – Vida Média Diferida 
É aquela na qual só começa a contar os anos de vida a partir de uma idade � + 0, ou 
seja: 
V(%6/| = ’(-/#( =
1 2� #(-/ + ∑ #(-/-‘•4(4/4�‘5�#( 
no caso da vida média completa. 
V(6/| = ’(-/ − 1 2� #(-/#( =
∑ #(-/-‘•4(4/4�‘5� #( 
no caso da vida média abreviada. 
6.2.4 – Vida Média Temporária 
A vida média temporária por n anos inclui os anos que não são considerados na vida 
média diferida. Portanto: 
V(%|/6 = V(:6/|———% = V(% − V(%6/| no caso de vida média completa. 
V(|/6 = V(:6/|——— = V( − V(6/| no caso da vida média abreviada. 
6.2.5 – Vida Média Interceptada 
É a vida média diferida por 0 anos e temporária por 9 anos, ou seja: 
V(%/|86 = V(:68|————%6/| = V(%6/| − V(%6/-8| no caso de vida média completa. 
V(/|86 = V(:68|————6/| = V(6/| − V(6/-8| no caso da vida média abreviada. 
 
IMPORTANTE: Utiliza-se a vida média, entre outras finalidades, para se avaliar 
comparativamente duas ou mais tábuas de mortalidade.