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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Universidade Estácio de Sá
Engenharia de Produção
Uanderson Rebula de Oliveira
uanderson@csn.com.br
www.uandersonrebula.blogspot.com | www.iluminaconsultoria.com.br
PROBABILIDADE &
ESTATÍSTICA
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
EMENTA:
Conceitos Preliminares. Séries Estatísticas. Medidas de posição e de variação.
Conceitos Básicos de Probabilidade. Variáveis Aleatórias. Distribuições de
Probabilidades.
OBJETIVO:
Refletir a partir da Estatística Básica sobre as ferramentas consolidadas pelo uso e
pela ciência, disponíveis a todos, que auxiliam na tomada de decisão.
Engenharia de Produção
UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC
Técnico em Segurança do Trabalho-ETPC
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC
Professor na UNIFOA no curso de Pós graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho. Professor na
Universidade Barra Mansa – UBM nos cursos de Engenharia de Produção e de Petróleo. Professor da
Universidade Estácio de Sá - UNESA nas disciplinas de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da
Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística para o curso de Engenharia de Produção,
Estatística I e II para o curso de Administração, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão de
Segurança e Análise de Processos Industriais (Gestão Ambiental), Gestão da Qualidade: programa 5S (curso de
férias). Professor na Associação Educacional Dom Bosco para os cursos de Adminitração e Logística. Ex-professor
Conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Professor em escolas técnicas
nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica
de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do
Trabalho. Ex-professor do SENAI. Consultor interno, desenvolvedor e instrutor de cursos corporativos na CSN, a
níveis Estratégicos, Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de Siderurgia.
Resende - RJ – 2012.1
PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
APRESENTAÇÃO
DA DISCIPLINA
Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia
pelos cientistas, analistas financeiros, médicos, engenheiros,
jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e
desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença
da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII,
tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu
inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como
o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia,
os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas
as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas
eleitorais, análise de riscos ambientais, finanças, controle de
qualidade, análises clínicas, índices de desenvolvimento,
modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos
informalmente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que
ajuda a tomar decisões com base na evidência disponível, decisões
essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos
de probabilidade.
No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito
antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos
marcos consagrados na literatura probabilística foi a
correspondência entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat (1601-
1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo
com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o
desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma
paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma
área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a
incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos
matemáticos.
A análise combinatória deve grande parte de seu
desenvolvimento à necessidade de resolver problemas
probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em
que seus resultados são fundamentais para o desenvolvimento de
teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação.
Nesta apostila encontraremos as definições de
Estatística, vocabulário básico, população e amostra, séries
estatísticas, medidas de tendência central, medidas de
variabilidade, probabilidades, variáveis aleatórias e distribuições de
probabilidades.
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Falou mais o Senhor a Moisés, no deserto de Sinai, na tenda da
congregação, no primeiro dia do mês segundo, no segundo ano da sua
saída da terra do Egito, dizendo:
Tomai a soma de toda a congregação dos filhos de Israel, segundo as
suas gerações, segundo a casa dos seus pais, conforme o número dos
nomes de todo o varão, cabeça por cabeça;
Da idade de vinte anos e para cima, todos os que saem à guerra em
Israel; a estes contareis segundo os seus exércitos, tu e Aarão.
Estará convosco, de cada tribo, um homem que seja cabeça da casa dos
seus pais.
Todos os contados, pois, foram seiscentos e três mil, quinhentos e
cinquenta.
Números 1: 1-4; 46
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Sumário
1 – CONCEITOS PRELIMINARES
1.1 CONCEITO E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA, 7
1.2 FASES DO ESTUDO ESTATÍSTICO, 11
1.3 VOCABULÁRIO BÁSICO DE ESTATÍSTICA, 12
1.4 POPULAÇÃO E AMOSTRA, 14
1.5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E INFERENCIAL , 16
2 – SÉRIES ESTATÍSTICAS
2.1 CONCEITOS E TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS, 18
Tabelas, 18
Gráficos, 19
2.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA, 22
Freqüência absoluta e histograma, 22
Freqüência relativa, absoluta acumulada e
relativa acumulada, 23
Agrupamento em classes, 24
Polígono de freqüência e ogiva, 25
3 – MEDIDAS
3.1 MEDIDAS
DE POSIÇÃO, 27
MÉDIA, 27
Média simples, 27
Média ponderada, 27
Média de distribuição de frequência, 28
MEDIANA, 29
MODA, 30
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA, 32
3.2 MEDIDAS DE VARIAÇÃO (OU DISPERSÃO), 33
Variância e Desvio Padrão, 34
Coeficiente de Variação, 36
Desvio padrão de Distribuição de freqüência, 37
4 – INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
4.1 CONCEITOS BÁSICOS EM PROBABILIDADE, 39
Experimento aleatório, 39
Espaço amostral, 40
Princípio fundamental da contagem, 40
Eventos, 42
Probabilidade clássica, 42
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 44
ANEXO I – LIVROS RECOMENDADOS, 45
ANEXO II – Software BIOESTAT , 46
ANEXO III – ESTATÍSTICA NO EXCEL, 47
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
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CONCEITOS PRELIMINARES
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
1.1 CONCEITO E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA NA PRÁTICA
Analise as informações abaixo para melhor compreensão do conceito de Estatística.
ACIDENTES DO TRABALHO NO BRASIL – 1970 a 2005
Conceito de Acidente: Lesão corporal ou doença, relacionada com o exercício do trabalho. (Lei 8.213/91 – art. 19 a 21)
INSS: Órgão público responsável pela coleta, organização e representação dos dados.
; Coleta: Por meio de um formulário eletrônico denominado “CAT – Comunicação de Acidente do Trabalho”, enviado
pelas empresas quando da ocorrência, conforme determina o art. 22 da Lei 8.213/91.
; Organização: Através de um grande banco de dados do INSS.
; Representação: Através de um documento denominado “Anuário Estatístico de Acidentes do Trabalho”, contendo
tabelas, gráficos e diversas análises. Disponível no site www.previdencia.gov.br, na seção “Estatística”.
Motivo: Quando o trabalhador se afasta por motivo de acidente, o INSS concede benefícios acidentários, como auxílio
doença acidentário, auxílio acidente, aposentadoria por invalidez, pensão por morte, reabilitação entre outros.
COMPILAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS (INFORMAÇÕES) sobre acidentes do trabalho, de 1970 a 2005:
Observa-se ao longo dos anos o aumento gradativo da quantidade de trabalhadores no Brasil, de 7.284.022 chegando a 33.238.617,
reflexo do crescimento econômico do País. Essas informações (dados) são importantes para fins de comparação com a evolução da
quantidade de acidentes do trabalho no mesmo período, como segue abaixo:
No período de 1970 a 1976 a quantidade de acidentes foi alta, comparando-se com a pequena quantidade de trabalhadores no
mesmo período. Somente a partir de 1978 os acidentes começaram a reduzir, em razão da aprovação das Normas
Regulamentadoras – NR’s (disponível no www.mte.gov.br), tornando-se de aplicação obrigatória em todo o País. Esta redução pode
ser vista como positiva, entretanto, não podemos comemorar esses números, pois a quantidade de acidentes ainda é alarmante e
está praticamente estagnada, desde 1994.
7.284.022
8.148.987
11.537.024
14.945.489
16.638.799
18.686.355
19.476.36219.673.915
22.163.827
23.661.57923.198.656
22.272.843
23.667.24123.830.312
24.491.635
26.228.629
27.189.614
28.683.91329.544.927
31.407.576
33.238.617
0
5.000.000
10.000.000
15.000.000
20.000.000
25.000.000
30.000.000
35.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Evolução da QUANTIDADE de TRABALHADORES
no Brasil - 1970 a 2005.
FONTE: Revista Proteção Anos
1.220.111
1.504.723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178.472
961.575
1.207.859
991.581
693.572
532.514
388.304 395.455
414.341
363.868340.251393.071 399.077
465.700 491.711
0
250.000
500.000
750.000
1.000.000
1.250.000
1.500.000
1.750.000
2.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES DO
TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005.
Anos
FONTE: Revista Proteção
Aprovação das NR’s
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
E as regiões? Como esses acidentes estão distribuídos nas regiões do país? Qual a pior região? Vejamos abaixo em um
Cartograma (mapa com dados), REFERENTE AO ANO DE 2005 (491.711 acidentes):
Observa-se que a região em 1° lugar em número de acidentes é a Sudeste, em 2° está a região Sul, em 3° a região Nordeste, em 4° a região
Centro-Oeste e por último a Norte. Ao analisarmos este gráfico podemos tomar diversas conclusões, porém, tais conclusões somente são
possíveis através de um estudo, o que demanda tempo. Todavia, observa-se que a quantidade de acidentes acompanha a porcentagem da
participação do PIB da região. Esta correlação pode ser resultado do reflexo da economia da região. Ora, a região Sudeste, por exemplo,
corresponde a 56,5% do PIB do País. Logicamente esta região possui um maior número de empresas e, consequentemente, maior número de
mão-de-obra e atividades produtivas, fato que pode justificar a enorme quantidade de acidentes comparada com as demais regiões. Esses
dados também podem estar relacionados com as políticas dos estados e das empresas, a atuação das fiscalizações do Ministério do Trabalho,
as culturas das regiões, os investimentos empresariais, a capacitação de mão de obra (treinamentos) entre outros fatores. Entende-se por
Produto Interno Bruto (PIB) a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos em uma determinada região.
Tradicionalmente, no Brasil, as políticas de desenvolvimento têm se restringido aos aspectos econômicos e vêm sendo traçadas
de maneira paralela ou pouco articuladas com as políticas sociais, cabendo a estas últimas arcarem com os ônus dos possíveis
danos gerados sobre a saúde da população, dos trabalhadores em particular e a degradação ambiental. Para que o Estado
cumpra seu papel para a garantia desses direitos, é mister a formulação e implementação de políticas e ações de governo.
POSSÍVEIS SOLUÇÕES PARA REDUZIR OS ACIDENTES
A partir da análise dos dados podemos concluir que a política de segurança do trabalho adotada no País está estagnada. A
simples aplicação da norma regulamentadora não está sendo suficiente para reduzir o índice de acidentes. Os dados nos
mostram que não haverá mudanças significativas se não forem feitas alterações nessa política.
Para contornar a situação, os Ministérios do Trabalho, da Saúde e da Previdência Social publicaram, para consulta pública, em
29.12.2004 a PNSST - POLÍTICA NACIONAL
DE SEGURANÇA E SAÚDE DO TRABALHADOR, com a finalidade de promover a
melhoria da qualidade de vida e da saúde do trabalhador.
Os Ministérios reconheceram a deficiência da segurança do trabalho no país, carecendo de mecanismos que:
• Incentivem medidas de prevenção;
• Responsabilizem os empregadores;
• Propiciem o efetivo reconhecimento dos direitos do trabalhador;
• Diminuam a existência de conflitos institucionais;
• Tarifem de maneira mais adequada as empresas e
• Possibilite um melhor gerenciamento dos fatores de riscos ocupacionais.
Distribuição da quantidade e porcentagem de acidentes de trabalho no Brasil por Regiões,
correlacionados com o Produto Interno Bruto - PIB - ano 2005.
FONTE: Adaptado da Revista Proteção e do IBGE (www.ibge.gov.br)
NORDESTE
• Acidentes: 49.010 (10% do total)
• PIB: 13,1% de participação
SUDESTE
• Acidentes: 279.689 (57% do total)
• PIB: 56,5% de participação
NORTE
• Acidentes: 19.117 (4% do total)
• PIB: 5% de participação
CENTRO-OESTE
• Acidentes: 31.470 (6% do total)
• PIB: 8,9% de participação
SUL
• Acidentes: 112.425 (23% do total)
• PIB: 16,6% de participação
Espírito Santo - 11.039 acidentes
Minas Gerais - 52.335 acidentes
Rio de Janeiro - 34.610 acidentes
São Paulo - 181.705 acidentes
É campeão de acidentes no Brasil, participando com
181.705, o que corresponde a 37% do total; por conseguinte
o seu PIB também é o maior do País, com 33,9% de
participação.
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Face ao exposto, a PNSST propõe, dentre outras, as seguintes ações a serem desenvolvidas pelos três Ministérios:
Área Ações
Tributos1,
financiamentos
e licitações.
) Estabelecer política tributária que privilegie empresas com menores índices de acidentes e que
invistam na melhoria das condições de trabalho;
) Criar linhas de financiamento para a melhoria das condições de trabalho, incluindo máquinas e
equipamentos, em especial para as pequenas e médias empresas;
) Incluir requisitos de SST para concessão de financiamentos públicos e privados;
) Incluir requisitos de SST nos processos de licitação dos órgãos públicos;
) Instituir a obrigatoriedade de publicação de balanço de SST para as empresas, a exemplo do que já
ocorre com os dados contábeis;
Educação e
pesquisa
) Incluir conhecimentos básicos em SST no currículo do ensino fundamental e médio;
) Incluir disciplinas em SST no currículo de ensino superior, em especial nas carreiras de profissionais
de saúde, engenharia e administração;
) Estimular a produção de estudos e pesquisas na área de interesse desta Política;
) Articular instituições de pesquisa e universidades para a execução de estudos e pesquisas em SST,
integrando uma rede de colaboradores para o desenvolvimento técnico - cientifico na área;
) Desenvolver um amplo programa de capacitação dos profissionais, para o desenvolvimento das
ações em segurança e saúde do trabalhador;
Ambientes
nocivos
) Eliminar as políticas de monetarização dos riscos (adicionais de riscos).
) Outras ações
Coleta de dados
) Compatibilizar os instrumentos de coleta de dados e fluxos de informações.
) Incluir nos Sistemas e Bancos de Dados as informações contidas nos relatórios de intervenções e
análises dos ambientes de trabalho, elaborados pelos órgãos de governo envolvidos nesta Política.
CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE O ESTUDO DE ACIDENTES.
O que acabamos de ver é um estudo estatístico. Como vimos, os dados sobre acidentes do trabalho no Brasil são controladas
pelo INSS. A comunicação de acidentes permite ao INSS estimar e acompanhar o real impacto do trabalho sobre a saúde e a
segurança da população brasileira. O INSS coleta, organiza, apresenta e publica as estatísticas de acidentes do trabalho no
Brasil. Conforme observado, quando ocorre um acidente, a empresa, por força de lei, é obrigada a
enviar a CAT ao INSS, alimentando, assim, o seu grande banco de dados.
É importante ressaltar que os dados de acidentes de trabalho não se constituem, tão somente, num
importante registro histórico, mas sim numa ferramenta inestimável para os profissionais que
desempenham atividades nas áreas de saúde e segurança do trabalhador, assim como
pesquisadores e demais pessoas interessadas no tema. A análise desses dados possibilita a
construção de um diagnóstico mais preciso acerca da epidemiologia dos acidentes, propiciando,
assim, a elaboração de políticas mais eficazes para as áreas relacionadas com o tema.
TÓPICO PARA REFLEXÃO Acidente do Trabalho: o problema do Brasil.
Os acidentes de trabalho afetam a produtividade econômica, são responsáveis por um impacto substancial sobre o sistema de proteção
social e influenciam o nível de satisfação do trabalhador e o bem estar geral da população.
Estima-se que a ausência de segurança nos ambientes de trabalho no Brasil tenha gerado, no ano de 2003, um custo de cerca de R$32,8
bilhões para o país. Deste total, R$ 8,2 bilhões correspondem a gastos com benefícios acidentários e aposentadorias especiais, equivalente a
30% da necessidade de financiamento do Regime Geral de Previdência Social - RGPS verificado em 2003, que foi de R$ 27 bilhões. O restante
da despesa corresponde à assistência à saúde do acidentado, indenizações, retreinamento, reinserção no mercado de trabalho e horas de
trabalho perdidas.
Isso sem levar em consideração o sub-dimensionamento na apuração das contas da Previdência Social, que desembolsa e contabiliza como
despesas não acidentárias os benefícios por incapacidade, cujas CAT não foram emitidas. Ou seja, sob a categoria do auxílio doença não
ocupacional, encontra-se encoberto um grande contingente de acidentes que não compõem as contas acidentárias.
Parte deste “custo segurança no trabalho” afeta negativamente a competitividade das empresas, pois ele aumenta o preço da mão-de-obra,
o que se reflete no preço dos produtos. Por outro lado, o incremento das despesas públicas com previdência, reabilitação profissional e
saúde reduz a disponibilidade de recursos orçamentários para outras áreas ou induz o aumento da carga tributária sobre a sociedade.
De outro lado, algumas empresas afastam trabalhadores, e muitas vezes os despedem logo após a concessão do beneficio. Com isso, o
trabalhador se afasta, já sendo portador de doença crônica contraída no labor, e o desemprego poderá se prolongar na medida em que, para
obter o novo emprego, será necessária a realização do exame admissional, no qual serão eleitos apenas aqueles considerados como “aptos”
e, portanto, não portadores de enfermidades.
Fonte: RESOLUÇÃO CNPS Nº 1.269, DE 15 DE FEVEREIRO DE 2006
_________________
1. Tributo: Impostos; taxas e contribuições de melhoria, devida ao poder público.
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CONCEITO DE ESTATÍSTICA
É A CIÊNCIA QUE SE DEDICA EM COLETAR, ORGANIZAR, APRESENTAR, ANALISAR E INTERPRETAR DADOS
(INFORMAÇÕES) PARA TOMADA DE DECISÃO.
; Estatística é a ciência dos dados. A Estatística lida com a coleta, o
processamento e disposição de dados (informações), atuando como
ferramenta crucial nos processos de soluções de problemas. A Estatística
facilita o estabelecimento de conclusões confiáveis sobre algum fenômeno
que esteja sendo
estudado (WERKEMA, 1995).
; É por meio da análise e interpretação dos dados estatísticos que é possível o
conhecimento de uma realidade, de seus problemas, bem como, a
formulação de soluções apropriadas por meio de um planejamento objetivo
da ação, para além dos “achismos” e “casuismos” comuns.
; No uso diário o termo “estatística” refere-se a fatos numéricos. Tenha em
mente, entretanto, que estatística é bem diferente de matemática. Estatística
é, antes de qualquer coisa, um método científico que determina questões de
pesquisa; projeta estudos e experimentos; coleta, organiza, resume e analisa dados; interpreta resultados e esboça
conclusões. Ou seja, utiliza-se dados como evidências para responder a interessantes questões sobre o mundo. A
matemática só é utilizada para calcular a estatística e realizar algumas das análises, mais isso é apenas uma pequena parte
do que realmente é a estatística. Portanto, a estatística mantém com a matemática uma relação de dependência,
solicitando-lhe auxílio, sem o qual não poderia desenvolver-se.
; A Estatística é uma ciência interdisciplinar, ou seja, é comum a duas ou mais disciplinas ou ramos de conhecimento.
Assim, a Estatística é aplicada na Medicina, Administração, Engenharias, Economia, Contabilidade, Direito, Segurança do
Trabalho, Qualidade, Marketing entre outras áreas. Veja abaixo.
Medicina. Estudos de epidemiologia,
inter-relações dos determinantes da
freqüência e distribuição de doenças
populacionais
*Engenharia de Produção. Estudos de
um conjunto de dados de todas as
fases de um processo produtivo.
Segurança do Trabalho. Estudos de
acidentes e doenças, suas causas,
quantidade, parte atingida, setores, %
de afastamentos etc.
Contabilidade. Estudos das
informações financeiras das empresas
públicas e privadas.
Finanças. Estudos de uma série de
informações estatísticas para orientar
investimentos.
Economia. Estudos de taxas de
inflação, índice de preços, taxa de
desemprego, futuro da economia.
*Engenharia de Produção – A aplicação da Estatística na produção merece especial atenção. A atual ênfase na qualidade
torna o controle da qualidade uma importante aplicação da estatística na área da produção. Usa-se uma série de mapas
estatísticos de controle de qualidade para monitorar o resultado (output) de um processo de produção. Suponha, por
exemplo, que uma máquina preencha recipientes com 2 litros de determinado refrigerante. Periodicamente, um operador
do setor de produção seleciona uma quantidade de recipientes e verifica a exatidão, ou seja, se não há desvios. A
Estatística também é usada na Engenharia de Produção para Estratificação, que consiste no agrupamento da informação
(dados) sob vários pontos de vista, de modo a focalizar a ação, considerando os fatores equipamento, tempo entre outros.
Exemplo:
Tipo de dano: Operador: Máquina de lavar: Roupas danificadas
em uma lavanderia Tipo de roupa: Marca do sabão: Máquina de secar:
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
1.2 FASES DO ESTUDO ESTATÍSTICO
Um estudo estatístico confiável depende do planejamento e da correta execução das seguintes etapas:
1. Definir o que será estudado e a natureza dos dados, como exemplo:
ESTUDO NATUREZA DOS DADOS
Acidentes do
Trabalho no Brasil
; Quantidade e período
; Por regiões, estados ou municípios
; Por atividade econômica
; Por idade dos acidentados
; Por parte do corpo atingida
; Por causas dos acidentes etc.
Peças danificadas na
linha A
; Tipo de peça | Tipo de defeito
; Quantidade
; Período e Turnos
; Máquinas e Operadores
; Matéria prima etc.
Defina com clareza os objetivos da
pesquisa, ou seja, o que se pretende
apurar, que tipo de problema
buscará detectar.
2. Coletar dados
Após definir o que será estudado e o estabelecimento do planejamento do trabalho (forma de coleta dos dados,
cronograma das atividades, custos envolvidos, levantamento das informações disponíveis), o passo seguinte é o
da coleta de dados, que consiste na busca ou compilação dos dados, componentes do fenômeno a ser
estudado. Nessa etapa recolhem-se os dados tendo o cuidado de controlar a qualidade da informação.
O sucesso de uma pesquisa depende muito da qualidade dos dados recolhidos. Podem ser por meio
de Criação de Softwares, a exemplo da CAT; Uso de Softwares da empresa; Dados históricos
da empresa (físicos); Pesquisas com questionários etc.
3. Organizar e contar dados
À procura de falhas e imperfeições, os dados devem ser cuidadosamente organizados e contados, a fim de não incorrermos
em erros grosseiros que possam influenciar nos resultados. No exemplo da “Estatística na prática”, após a coleta da quantidade
de acidentes por meio da CAT, organiza-os por período, regiões etc. Da mesma maneira, se você usa um questionário para
coletar dados na empresa, organiza-os da forma necessária à pesquisa, além da contagem a ser feita.
4. Apresentação de dados
5. Análise dos dados e tomada de decisão
Chegamos à fase mais complexa do processo estatístico, que consiste na análise dos dados. Por fim, a
partir da análise realizada, poderemos chegar a uma tomada de decisão. Observe o estudo
“Estatística na prática”. O que resultou a análise dos acidentes no Brasil, no período de 1970 a
2005? Veja que os Ministérios do Trabalho, Previdência Social e da Saúde se mobilizaram para
resolverem essa questão de saúde pública, com diversas ações a serem implementadas no país. A
partir dessa discussão, fica claro que um profissional com conhecimentos de Estatística terá maior
facilidade em identificar um problema em sua área de atuação, determinar os tipos de dados que
irão contribuir para sua análise, coletar esses dados e a seguir estabelecer conclusões e determinar
um plano de ação para a solução do problema detectado.
Os dados devem ser
apresentados sob a
forma de tabelas ou
gráficos, a fim de
tornar mais fácil e
rápido o exame
daquilo que está
sendo estudado.
1.220. 111
1.504. 723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178. 472
961. 575
1. 207.859
991.581
693. 572
532.514
388.304 395. 455
414.341
363. 868 340.251 393.071 399.077
465.700 491.711
0
250 .000
500 .000
750 .000
1.000 .000
1.250 .000
1.500 .000
1.750 .000
2.000 .000
1970 1972 1974 19 76 1978 19 80 1982 1 984 1986 1 988 1990 1992 1994 1996 199 8 2000 20 01 2002 20 03 2004 2 005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES DO
TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005.
Anos
FONTE: Revista Proteção
Aprovação das NR’s
- 12 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
1.3 VOCABULÁRIO BÁSICO DE ESTATÍSTICA
O vocabulário utilizado em estudos estatísticos teve sua origem nos primeiros estudos feitos pela humanidade e que eram
relativos à demografia (estudo estatístico das populações). Por isso a Estatística emprega termos próprios dessa área de
conhecimento, mas com um sentido diferenciado. Assim, para dar prosseguimento, é de extrema importância destacar alguns
termos utilizados no jargão estatístico.
VARIÁVEL – É o termo usado para aquilo que você está pesquisando, estudando, analisando.
,
; No estudo representado no gráfico
abaixo a variável é o acidente do trabalho. Utilizada como um adjetivo do
vocabulário do dia-a-dia, variável sugere que alguma coisa se modifica ou varia.
São exemplos de Variáveis
Doenças, Sexo, Estaturas, Peso, Idade, Renda, Natalidade, Mortalidade, PIB, Inflação, Exportações brasileiras,
Produção de café, Alimentação, Peças produzidas por hora, Paradas de produção no mês, Rotatividade de
estoque por ano, Poluição, Clima na região sudeste, Consumo de energia no mês, Vendas mensais de uma
empresa, Produção diária de automóveis etc.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO:
A associação dos moradores de um bairro queria traçar um perfil dos frequentadores de um parque ali situado. Uma equipe
de pesquisa elaborou questões a fim de reunir as informações procuradas. Numa manhã de quarta-feira, 6 pessoas foram
entrevistadas e cada uma respondeu a questões para identificar idade, número de vezes que freqüenta o parque por semana,
estado civil, meio de transporte utilizado para chegar ao parque, tempo de permanência no parque e renda familiar mensal. Os
resultados são mostrados na tabela a seguir:
Cada um dos aspectos investigados — os quais permitirão fazer a análise desejada — é denominado variável.
1.220.111
1.504.723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178.472
961.575
1.207.859
991.581
693.572
532.514
388.304 395.455
414.341
363.868340.251393.071 399.077
465.700 491.711
0
250.000
500.000
750.000
1.000.000
1.250.000
1.500.000
1.750.000
2.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES
DO TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005.
FONTE: Revista Proteção Anos
VARIÁVEL
Variáveis
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
TIPOS DE VARIÁVEIS
Há, pois, uma divisão principal para as variáveis estatísticas, que consiste em considerá-las como Variáveis Quantitativas
(discretas ou contínuas) e Variáveis Qualitativas (nominal ou ordinal). Esta divisão é de facílima compreensão!
Então, os tipos de Variáveis da pesquisa do parque serão:
PARA LEITURA
Se a dúvida persiste, você pode observar no quadro abaixo mais esclarecimentos sobre esses conceitos.
Tipo de VARIÁVEL Resposta fornecida à pesquisa
Quantitativa
(Em números)
Será Quantitativa a variável para a qual se possa atribuir um valor numérico. Se a resposta fornecida à pesquisa estiver expressa
por um número, então a variável é quantitativa. Por exemplo: quantos livros você lê por ano? A resposta é um número? Então,
variável quantitativa. Quantas pessoas moram em sua casa? A resposta é um número? Então, novamente, variável quantitativa.
No caso do estudo “ACIDENTE DO TRABALHO, é uma variável quantitativa, pois estudamos a quantidade de acidentes no período
de 1970 a 2005
; Discreta
(números inteiros)
(contagem)
Variável Quantitativa Discreta é a variável quantitativa que assume somente números inteiros. Resulta, geralmente, de
contagem. Esta variável não pode assumir qualquer valor, dentro de um intervalo de valores de resultados possíveis. Por
exemplo, se eu pergunto quantos irmãos você tem, a resposta jamais poderia ser “tenho 3,75 irmãos”, ou “tenho 4,8 irmãos”, ou
seja, a resposta não poderia assumir todos os valores de um intervalo! Este acima é o conceito formal de variável discreta! O
conceito para memorizar é o seguinte: aquela variável obtida por meio de uma contagem. Em outras palavras: a variável
discreta você conta!. Exemplos: quantas pessoas moram na sua casa? Quantos livros você tem? Quantos carros você tem? Se,
para responder à pergunta, você faz uma contagem, então está diante de uma variável quantitativa discreta.
; Contínua
(Números não inteiros)
(medição)
Variável Quantitativa Contínua é aquela que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo de resultados possíveis. Se eu
pergunto quantos quilos você pesa, a resposta pode ser 65,35kg. Se eu pergunto qual a temperatura na cidade hoje, a resposta
pode ser 27,35°C. Para facilitar a memorização, basta lembrar que a variável quantitativa contínua pode ser obtida por uma
medição, ou seja, a variável contínua você mede! Exemplos: peso, altura, duração de tempo para resolução de uma prova,
pressão, temperatura etc.
Qualitativa
(nomes, atributos)
Se a pergunta é “qual a sua cor preferida?”, logicamente a resposta não será um número, daí estaremos tratando de uma
variável qualitativa, ou seja, aquela para a qual não se atribui um valor numérico. Exemplos: Sexo: masculino ou feminino
VARIÁVEL
QUANTITATIVA
QUALITATIVA
DISCRETA
CONTÍNUA
Quando não é possível ordenar as categorias.
Ex.: sexo (masculino ou feminino), Cor dos olhos (preto ou verde),
campo de estudo (Engenharia, Direito etc)
Não é possível estabelecer uma ordem, uma gradação, o mais ou
menos importante, prioritário etc.
ORDINAL
NOMINAL
Quando as variáveis forem em números
inteiros, obtido por contagem:
0 1 2 3 4 55 77 987 etc.
Ex.: Idade (anos), gols de futebol, etc
Quando as variáveis forem em números
não inteiros, assumem qualquer valor:
0,2 1,12 3,77 4,768 etc.
Ex.: Altura (cm), peso (kg), tempo (hh:mm)
Números
Nome
Inteiro
Não inteiros
Quando é possível ordenas as categorias.
Pesquisa de alimentação:
[1] Ótimo [2] Bom [3] Regular [4] ruim
Grau de instrução de funcionários de uma empresa
1º grau 2º grau Superior Mestrado Doutorado
Ordenável
Não é ordenável
Qualitativa nominal
Quantitativa discreta Quantitativa contínua
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
1.4 POPULAÇÃO E AMOSTRA
Quando você quer saber se a sopa ficou boa, o que você faz? Mexe a panela, retira um pouco com uma colher
e prova. Depois tira uma conclusão sobre todo o conteúdo da panela sem, na verdade, ter provado tudo.
Portanto, é possível ter uma idéia de como a sopa está sem ter que comer tudo. Isso é o que se faz em
estatística.
A estatística deixou de ser a simples catalogação de dados numéricos e se tornou o estudo de como chegar a
conclusões sobre o todo (população), partindo da observação e análise de partes desse todo (amostra). Essa é
sua maior riqueza. Assim, podemos conceituar população e amostra como:
POPULAÇÃO É UM CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS EM ESTUDO.
AMOSTRA É UMA PARTE DA POPULAÇÃO (ou subconjunto).
; Muitas vezes quando queremos fazer um estudo estatístico, não é possível analisar toda a população envolvida com o
fato que pretendemos investigar, como exemplo o sangue de uma pessoa ou a poluição de um rio. É impossível o
teste do todo. Há situações também em que é inviável o estudo da população, por exemplo, a pesquisa com todos os
torcedores em um estádio de futebol durante uma partida. Nesses casos, o estatístico recorre a uma amostra que,
basicamente, constitui uma redução da população a dimensões menores, sem perda das características essenciais.
; Os resultados fundamentados em uma amostra não serão exatamente os mesmos que você encontraria se estudasse
toda a população,
pois, quando você retira uma amostra, você não obtém informações a respeito de todos em uma
dada população. Portanto, é importante entender que os resultados da amostra fornecem somente estimativas dos
valores das características populacionais. Com métodos de amostragens apropriados, os resultados da amostra
produzirão “boas” estimativas da população, ou seja, um estudo bem feito não elimina o erro, mas limita-o a uma
margem, procurando torná-la o menor possível. Quando aprendemos estatística inferencial, também aprendemos
técnicas para controlar esses erros de amostragem.
4 razões para selecionar uma amostra
O número de elementos em uma população é muito grande;
Demanda menos tempo do que selecionar todos os itens de uma população;
É menos dispendioso (caro) do que selecionar todos os itens de uma população;
Uma análise amostral é menos cansativa e mais prática do que uma análise da população inteira.
São exemplos de População e Amostra:
MEDICINA. Pretende-se estudar o efeito de um novo medicamento para curar determinada doença. É selecionado um grupo
de 50 doentes, administrando-se o novo medicamento a 10 desses doentes escolhidos ao acaso e o medicamento habitual
aos restantes.
População: Todos os 50 doentes com a doença que o medicamento a estudar pretende tratar.
Amostra: Os 10 doentes selecionados.
CONTROLE DE QUALIDADE. O Gerente de Produção de uma fábrica de parafusos pretende assegurar-se de que a
porcentagem de peças defeituosas não excede um determinado valor, a partir do qual determinada encomenda poderia ser
rejeitada.
População: Todos os parafusos fabricados ou a fabricar, utilizando o mesmo processo.
Amostra: Parafusos escolhidos ao acaso entre os lotes produzidos.
Podemos visualizar o conceito
de população e amostra na
figura ao lado.
Quando pesquisamos toda a
população, damos o nome de
censo.
A precisão depende do
tamanho da amostra, e
quanto maior é o tamanho
amostral, maior será a
precisão das informações.
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
N é designado para População
n é designado para Amostra
“N”
“n”
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
ESTUDOS DE MERCADO. O gerente de uma fábrica de produtos desportivos pretende lançar uma nova linha de esquis, pelo
que encarrega uma empresa especialista em estudos de mercado de “estimar“ a porcentagem de potenciais compradores
desse produto.
População: conjunto de todos os praticantes de desportos de neve.
Amostra: conjunto de alguns praticantes inquiridos pela empresa.
SISTEMAS DE PRODUÇÃO. Um fabricante de pneus desenvolveu um novo tipo de pneu e quer saber o aumento da
durabilidade em termos de kilometragem em relação à atual linha da empresa. Produz diariamente 1000 pneus e selecionou
120 para testes.
População: 1000 pneus.
Amostra: 120 pneus.
OUTROS EXEMPLOS DE AMOSTRAS:
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
1.5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ESTATÍSTICA INFERENCIAL
Estatística Descritiva – É o ramo da estatística que envolve a
organização, o resumo e a representação dos dados para tomada de
decisão.
Estatística Inferencial – É o ramo da estatística que envolve o uso da
amostra para chegar a conclusões sobre a população. É o caso das
pesquisas eleitorais feita pelo IBOPE. Entrevistam uma parte da
população para tirar conclusões sobre o eleitorado brasileiro. Uma
ferramenta básica no estudo da estatística inferencial é a
probabilidade.
Algumas ferramentas aplicadas à Estatística Inferencial:
Probabilidades
Uma Probabilidade é uma medida numérica que representa a chance de um evento ocorrer. Ex.: Ao lançar um dado, qual a
probabilidade de obter o valor 4? R = 1/6 = 16%
Estimação, margem de erro e intervalo de confiança
Suponha que o tempo médio que você leva para chegar ao trabalho de carro é de 35’, com uma margem de erro de 5’ para
mais ou para menos. A estimativa é de que o tempo médio gasto até chegar ao trabalho fica em algum ponto entre 30’ e 40’.
Esta estimativa é um intervalo de confiança, pois leva em consideração o fato de que os resultados da amostra irão variar e dá
uma indicação de uma variação esperada.
A margem de erro é uma medida de quão próximo você espera que seus resultados representem toda a população que está sendo estudada.
Vários fatores influenciam a amplitude de um intervalo de confiança, tais como o tamanho amostral, a variabilidade da população e o quanto
você espera obter de precisão. A maioria dos pesquisadores contenta-se com 95% de confiança em seus resultados. Estar 95% confiante indica
que se você coletar muitas, mas muitas amostras e calcular o intervalo de confiança para todas, 95% dessas amostras terão intervalos de
confiança que abrangerão o alvo.
Teste de hipótese
Teste de hipótese é um procedimento estatístico em que os dados são coletados e medidos para comprovar uma alegação feita
sobre uma população. Por exemplo, se uma pizzaria alega entregar as pizzas dentro de 30’ a partir do pedido, você pode
testar se essa alegação é verdadeira, coletando uma amostra aleatória do tempo de entrega durante um determinado
período de tempo e observar o tempo médio de entrega para essa amostra.
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
Inferência
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
2
SÉRIES ESTATÍSTICAS
- 18 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
2.1 CONCEITOS E TIPOS DE SÉRIES
As tabelas e gráficos constituem um importante instrumento de análise e interpretação de um conjunto de dados.
Diariamente é possível encontrar tabelas e gráficos nos mais variados veículos de comunicação (jornais, revistas, televisão,
Internet), associadas a assuntos diversos do nosso dia-a-dia, como resultados de pesquisas de opinião, saúde e
desenvolvimento humano, economia, esportes, cidadania, etc. A importância das tabelas e dos gráficos está ligada sobretudo à
facilidade e rapidez na absorção e interpretação das informações por parte do leitor e também às inúmeras possibilidades de
ilustração e resumo dos dados apresentados.
TABELAS
São quadros que resumem um conjunto de dados.
Tipos de Tabelas
SÉRIE HISTÓRICA
Descreve os valores da variável,
discriminados por TEMPO (anos,
meses, dias, horas, etc.
SÉRIE GEOGRÁFICA
Descreve os valores
da variável,
discriminados por REGIÕES (países,
cidades, bairros, ruas, layout, etc)
SÉRIE ESPECÍFICA
Descreve os valores da variável,
discriminados por temas
ESPECIFICOS.
SÉRIE CONJUGADA
É utilizado quando temos a necessidade de apresentar em uma única
tabela a variação de valores DE MAIS DE UMA VARIÁVEL, isto é,
fazer de forma conjugada de duas ou mais séries.
Esta série, por exemplo, é GEOGRÁFICA – HISTÓRICA
Título – conjunto de informações sobre o estudo.
Cabeçalho –especifica o conteúdo das colunas
Coluna indicadora –especifica o conteúdo das linhas
Coluna numérica -–especifica a quantidade das linhas
Linhas – retas imaginárias de dados
Célula – espaço destinado a um só número
Rodapé – simplesmente a fonte dos dados
- 19 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
GRÁFICOS
A importância dos gráficos está ligada à facilidade e rapidez na absorção e interpretação das informações e
também às inúmeras possibilidades de ilustração e resumo dos dados apresentados. Eis os mais usados:
Gráfico em Linha
É a representação dos valores por meio de linhas. Usamos quando precisamos de uma informação rápida de um
valor ao longo do tempo.
Gráfico em Colunas
É a representação dos valores por meio de retângulos, dispostos verticalmente. Utiliza-se muito quando
necessitamos saber a quantidade de valor.
ACIDENTES DO TRABALHO EM
SÃO PAULO: 1989 - 1991
0
500
1000
1500
2000
2500
1989 1990 1991
anos
Q
ua
nt
id
ad
e
São Paulo
Guarulhos
Campinas
Osasco
Santos
FONTE: Dados fictícios
QUANTIDADE DE ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO: 1989 - 1994
6254
7265
6325
5458
8658
9578
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1989 1990 1991 1992 1993 1994
Anos
Q
ua
nt
id
ad
e
FONTE: Dados fictícios
ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO: 1989 - 1994
6254
7265
6325
5458
8658 9578
0
2000
4000
6000
8000
10000
1989 1990 1991 1992 1993 1994
Anos
Q
ua
nt
id
ad
e
FONTE: Dados fictícios
- 20 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Gráfico em Barras
É o mesmo conceito que o de Colunas, porém utiliza-se sempre que os dizeres a serem inscritos são extensos.
Gráfico em Setores
Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação
de um dado no total, geralmente na forma de porcentagem.
Gráfico de Pareto
É um gráfico de colunas na qual a altura de cada barra representa os dados, porém na ordem de altura
decrescente, com a coluna mais alta posicionada à esquerda. Tal posicionamento ajuda a enfatizar dados
importantes e é frequentemente usado nos negócios.
Os cinco veículos mais vendidos
no Brasil em janeiro de 1995
Veículo
Quantidade
(milhões)
Ômega 34
Monza 30
Gol 25
Corsa 22
Fusca 15
FONTE: dados fictícios
QUANTIDADE DE ACIDENTES DO TRABALHO
EM SÃO PAULO - POR TIPO - 1989
55
1396
698
3578
598
0 1000 2000 3000 4000
Impacto
Perfuração
Atrito
Queda
Corte
Ti
po
Quantidade
FONTE: Dados fictícios
ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO - 1989
FONTE: Dados fictícios
Os cinco veículos mais vendidos
no Brasil em janeiro de 1995
15
2225
30
34
0
10
20
30
40
Ômega Monza Gol Corsa Fusca
Veículos
Q
ua
nt
id
ad
e
(m
ilh
õe
s)
FONTE: Dados fictícios
- 21 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Número de cada
Delegacia
Gráfico Cartograma
Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com
áreas geográficas ou políticas (mapas), corpo humano entre outras figuras.
FONTE: SSP/SP
- 22 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
2.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Frequência absoluta e Histograma
Ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados, em geral é útil organizá-los e resumi-los em uma tabela, chamada Distribuição de frequência.
; Na distribuição de frequência listamos todos os valores coletados, um em cada linha, marcam-se as vezes em que eles
aparecem, incluindo as repetições, e conta-se a quantidade de ocorrências de cada valor. Por este motivo, tabelas
que apresentam valores e suas ocorrências denominam-se distribuição de freqüências.
; O termo “freqüência” indica o número de vezes que um dado aparece numa observação estatística.
EXEMPLO
Um professor organizou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos da seguinte forma:
Notas dos 25 alunos Comentário
4,0 5,0 7,0 9,0 9,0
4,0 5,0 7,0 9,0 9,0
4,0 5,0 7,0 9,0 9,0
4,0 6,0 8,0 9,0 9,0
4,0 6,0 8,0 9,0 9,0
Agora ele pode fazer uma representação gráfica para analisar o
desempenho da turma. Em primeiro lugar, o professor pode fazer uma
tabulação dos dados, ou seja, organizá-los de modo que a consulta a eles
seja simplificada. Então, faremos a distribuição de freqüência destas
notas, por meio da contagem de dados.
Distribuição de freqüência Comentário
Nota Freqüência, f
(nº de alunos)
4,0 5
5,0 3
6,0 2
7,0 3
8,0 2
9,0 10
∑f=25
Esta forma de organizar dados é conhecida como distribuição de
frequência, e o número de vezes que um dado aparece é chamado de
frequência absoluta, representado por f. Exemplos:
; A frequência absoluta da nota 4,0 é 5.
; A freqüência absoluta da nota 9,0 é 10.
O símbolo grego ∑ “sigma” significa “somatório”, muito usado em
Estatística. Portanto, ∑f=25 significa a soma de 5+3+2+3+2+10.
Representamos a freqüência por um gráfico, chamado Histograma.
HISTOGRAMA Comentário
ESTA FREQUÊNCIA QUE ACABAMOS DE ESTUDAR É DENOMINADA FREQUENCIA
ABSOLUTA (f), QUE É SIMPLESMENTE A CONTAGEM DOS DADOS.
; Em Estatística não trabalhamos somente com frequência absoluta (f), mas também com outros tipos de freqüências,
que são: freqüência relativa (fr), frequência absoluta acumulada (Fa) e frequência relativa acumulada (FRa).
; Estudaremos agora cada uma delas.
Quando os dados numéricos são organizados, eles geralmente são
ordenados do menor para o maior, divididos em grupos de tamanho
razoável e, depois, são colocados em gráficos para que se examine sua
forma, ou distribuição (no exemplo: 4,0 – 5,0 – 6,0 – 7,0 – 8,0 – 9,0). Este
gráfico é chamado de Histograma.
Um histograma é um gráfico de colunas juntas. Em um histograma não
existem espaços entre as colunas adjacentes, como ocorre em um gráfico
de colunas. No exemplo, a escala horizontal (→) representa as notas e a
escala vertical (↑) as freqüências.
O histograma ao lado indica que cinco alunos tiraram a nota 4,0; três alunos tiraram
a nota 5,0; dois alunos tiraram a nota 6,0; três alunos tiraram a nota 7,0; dois alunos
tiraram 8,0 e dez alunos tiraram 9,0.
5
3
2
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o
d
e
al
un
os
4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
- 23 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Frequência Relativa fr (%)
Conceito. Representado por fr(%), significa a relação existente entre a frequência absoluta f e a soma das freqüências ∑f. É a
porcentagem (%) do número de vezes que cada dado aparece em relação ao total.
EXEMPLO
5/25 * 100 = 20%.
freqüência relativa fr (%) Comentários aos cálculos
Nota f fr(%)
4,0 5 20%
5,0 3 12%
6,0 2 8%
7,0 3 12%
8,0 2 8%
9,0 10 40%
∑f=25 100%
A frequência relativa fr(%) é obtida por f/∑f * 100, conforme abaixo:
; A fr(%) da nota 4,0 é 5/25 * 100 = 20%.
; A fr(%) da nota 5,0 é 3/25 * 100 = 12%
; A fr(%) da nota 6,0 é 2/25 * 100 = 8%
; A fr(%) da nota 7,0 é 3/25 * 100 = 12%
; A fr(%) da nota 8,0 é 2/25 * 100 = 8%
; A fr(%) da nota 9,0 é 10/25 * 100 = 40%.
Frequência Absoluta Acumulada Fa
Conceito. Representado por Fa, significa a soma das freqüências absolutas até o elemento analisado.
EXEMPLO
Fa2=5+3 = 8
frequência absoluta acumulada (Fa) Comentários aos cálculos
Nota f fr(%) Fa
4,0 5 20% 5
5,0 3 12% 8
6,0 2 8% 10
7,0 3 12% 13
8,0 2 8% 15
9,0 10 40% 25
∑f=25 100% -
A frequência absoluta acumulada Fa é obtida conforme abaixo:
; A Fa da nota 4,0 é 5 (sempre repete a primeira).
; A Fa das notas 4,0 e 5,0 é 5+3=8.
; A Fa das notas 4,0, 5,0 e 6,0 é 5+3+2=10.
; A Fa das notas 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 é 5+3+2+3=13.
; A Fa das notas 4,0, 5,0, 6,0, 7,0 e 8,0 é 5+3+2+3+2=15.
; A Fa das notas 4,0, 5,0, 6,0, 7,0, 8,0 e 9,0 é 5+3+2+3+2+10=25
Frequência Relativa Acumulada FRa (%)
Conceito. Representado por FRa (%), significa a soma das freqüências relativas fr(%) até o elemento analisado.
EXEMPLO
20% + 12% = 32%
frequência relativa acumulada (FRa) Comentários aos cálculos
Nota f fr(%) Fa FRa(%)
4,0 5 20% 5 20%
5,0 3 12% 8 32%
6,0 2 8% 10 40%
7,0 3 12% 13 52%
8,0 2 8% 15 60%
9,0 10 40% 25 100%
∑f=25 100% - -
A frequência relativa acumulada FRa(%) é obtida conforme abaixo:
; A FRa(%) de 4,0 é 20% (sempre repete a primeira).
; A FRa(%) de 4,0 e 5,0 é 20+12 = 32%
; A FRa(%) de 4,0, 5,0 e 6,0 é 20+12+8 = 40%
; A FRa(%) de 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 é 20+12+8+12 = 52%
; A FRa(%) de 4,0, 5,0, 6,0, 7,0 e 8,0 é 20+12+8+12+8 = 60%
; A FRa(%) de 4,0, 5,0, 6,0, 7,0, 8,0 e 9,0 é 20+12+8+12+8+40=100%
NOTA IMPORTANTE SOBRE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA:
Nota f fr(%) Fa FRa(%)
25 100%
∑f=25 100% - -
Para saber se o desenvolvimento da distribuição de freqüência por completo está
correto, os valores ao lado, em vermelho, deverão coincidir.
- 24 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Agrupamento em Classes
Em uma distribuição de frequência, ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados e com valores
dispersos, podemos agrupá-los em classes.
; Se um conjunto de dados for muito disperso, uma representação melhor seria através do agrupamento dos dados
com a construção de classes de frequência. Caso isso não ocorresse, a tabela ficaria muito extensa. Veja abaixo:
EXEMPLO
Um radar instalado na Dutra registrou a velocidade (em Km/h) de 40 veículos, indicadas abaixo:
Velocidade de 40 veículos (Km/h)
Distribuição de frequência
É fácil ver que a distribuição de frequências
diretamente obtida a partir desses dados é
dada uma tabela razoavelmente extensa.
70 90 100 110 123
71 93 102 115 123
73 95 103 115 123
76 97 105 115 123
80 97 105 117 124
81 97 109 117 124
83 99 109 121 128
86 99 109 121 128
Nota f
70 1
71 1
73 1
76 1
80 1
81 1
83 1
86 1
90 1
93 1
95 1
97 3
99 2
100 1
102 1
103 1
105 2
109 3
110 1
115 3
117 2
121 2
123 4
124 2
128 2
∑f=40
Distribuição de frequência com classes
i Velocidade (Km/h) f
1 70 |⎯ 80 4
2 80 |⎯ 90 4
3 90 |⎯ 100 8
4 100 |⎯ 110 8
5 110 |⎯ 120 6
6 120 |⎯ 130 10
∑f=40
A distribuição em ”classes” é como se fosse uma compressão dos dados. Imagine se
fizéssemos uma distribuição de frequência de todas velocidades (de 70 a 128). A tabela
ficaria imensa! Por este motivo existe a distribuição de frequência com classes.
Como criar uma Distribuição de Freqüência com classes
1. Calcule a quantidade de classes (i), pela raiz da quantidade de dados. São
40 veículos. Então, 40 = 6,3 ≅ i = 6 classes.
2. Calcule a amplitude de classe (h) que é o tamanho da classe, sendo:
Maior valor – Menor valor = 128 – 70 = 9,6 ≅ h=10
quantidade de classes (i) 6
Nota: o Maior valor (128) e o Menor valor (70) são obtidos da lista dos registros das
velocidades dos 40 veículos.
3. Montar as classes a partir do Menor valor (70), somando com a
amplitude de classe (10) até que se chegue na 6ª classe, assim:
TIPOS DE INTERVALOS DE CLASSE
No Brasil usa-se o intervalo |⎯ (Resolução 866/66 do IBGE). Já na literatura estrangeira
utiliza-se comumente com intervalo fechado.
CONCEITOS IMPORTANTES
LIMITES DE CLASSE - São os valores extremos de cada classe. No exemplo 70 |⎯ 80,
temos que o limite inferior é 70 e o limite superior 80.
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT) – É a diferença
entre o limite superior da
última classe e o limite inferior da primeira classe, no exemplo 130 – 70 = 60.
AMPLITUDE AMOSTRAL (AA) – É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo
da amostra, no exemplo 128 – 70 = 58.
i Velocidade (Km/h)
1 70 +10 80
2... 80 +10 90
...6 120 +10 130
Tipo Representação Dados do intervalo
Aberto 70 ⎯ 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80
Fechado à esquerda 70 |⎯ 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80
Fechado 70 |⎯| 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80
Fechado à direita 70 ⎯| 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80
Classes
Limite
inferior
Limite
superior
- 25 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
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v
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cu
lo
s
Resultados dos registros
de um radar
70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130
Velocidade (Km/h)
Abaixo vemos as distribuições de frequências absoluta f, relativa fr(%), absoluta acumulada Fa e relativa acumulada FRa(%),
bem como o Histograma desta distribuição.
Distribuição de freqüência com classes f, fr(%), Fa e FRa (%)
OUTRAS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Polígono de frequência – É um gráfico em linha que representa os pontos centrais dos intervalos de classe.
Para construir este gráfico, você deve calcular o ponto central de classe (xi), que é o ponto que divide o intervalo de classe em
duas partes iguais. Por exemplo, a velocidade dos veículos da 1ª classe pode ser representada por 70 + 80 = 75Km/h
2
A construção de um polígono de frequências é muito simples. Primeiro,
construímos um histograma; depois marcamos no “telhado” de cada
coluna o ponto central e unimos sequencialmente esses pontos.
Ogiva – (pronuncia-se o’jiva). Conhecida também por polígono de frequência acumulada. É um gráfico em linha que
representa as freqüências acumuladas (Fa), levantada nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de
classe. Para construí-la, você deve elaborar o histograma de freqüência f em uma escala menor, considerando o último valor a
freqüência acumulada da última classe, no caso, 40.
i Velocidade (Km/h) f Fr(%) Fa FRa(%)
1 70 |⎯ 80 4 10% 4 10%
2 80 |⎯ 90 4 10% 8 20%
3 90 |⎯ 100 8 20% 16 40%
4 100 |⎯ 110 8 20% 24 60%
5 110 |⎯ 120 6 15% 30 75%
6 120 |⎯ 130 10 25% 40 100%
∑f=40 100%
i Velocidade (Km/h) f xi
1 70 |⎯ 80 4 75
2 80 |⎯ 90 4 85
3 90 |⎯ 100 8 95
4 100 |⎯ 110 8 105
5 110 |⎯ 120 6 115
6 120 |⎯ 130 10 125
∑f=40
i Velocidade (Km/h) f Fa
1 70 |⎯ 80 4 4
2 80 |⎯ 90 4 8
3 90 |⎯ 100 8 16
4 100 |⎯ 110 8 24
5 110 |⎯ 120 6 30
6 120 |⎯ 130 10 40
∑f=40
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
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s
Resultados dos registros
de um radar
70 80 90 100 110 120 130
Velocidade (Km/h)
70 |⎯ 80
Ponto central
75Km/h
Velocidade (Km/h)
4 4
8 8 6
10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Q
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Resultados dos registros
de um radar
70 80 90 100 110 120 130
4
8
16
24
30
40
- 26 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
3
MEDIDAS
O que podemos dizer se um professor quer saber sobre as notas dos alunos de uma sala? Poderíamos,
talvez, utilizar para resposta uma tabela com as frequências das notas. Porém, o professor gostaria de
uma resposta rápida, que sintetize a informação que se tem, e não uma distribuição de frequência das
notas coletadas.
Para resumir a quantidade de informação contida em um conjunto de dados, utilizamos, em estatística,
medidas que descrevem, por meio de um só número, características desses dados.
Notas dos alunos
4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 5,0 5,0 5,0 6,0 6,0 7,0 7,0 7,0 8,0 8,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0
Medidas estatísticas
Média = 6,9 (valor “ponto de equilíbrio” desse conjunto de dados)
Mediana = 8,0 (valor que está no meio)
Moda = 9,0 (valor mais frequente)
- 27 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
3.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO
Agora você vai trabalhar com medidas de posição que, como o próprio nome indica, são medidas que indicam a localização dos
dados. O objetivo não é o cálculo das medidas, mas, sim, explorar propriedades e relações entre três das principais medidas de
posição: Média, Mediana e Moda.
MÉDIA
MÉDIA SIMPLES - É uma medida que representa o ponto de equilíbrio num conjunto de dados.
; A média simples é uma medida considerada como um valor normal ou típico em um conjunto de dados. Cada dado tem
igual importância e peso. Sofre a influência de todos os dados.
A Média simples é obtida pela seguinte equação:
x = ∑x → soma dos valores dos dados
n → quantidade de dados
A Média é representada por x
(lê-se “x barra”)
EXEMPLO. Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a Média 7,0 e, considerando as quatro
notas de João e Maria durante o ano, informe se foram aprovados.
Notas de João: 3,5 | 6,0 | 9,5 | 9,0 |
x = ∑x 3,5 + 6,0 + 9,5 + 9,0
n 4
x = 7,0 → aprovado
MÉDIA PONDERADA. Semelhante a Média simples, porém, atribuindo-se a cada dado um peso que
retrate a sua importância.
; O termo “ponderação” é sinônimo de peso, importância, relevância. Sugere, então, a atribuição de um peso a um determinado dado.
Em alguns casos, os valores variam em grau de importância, de modo que podemos querer ponderá-los apropriadamente. É calculada
multiplicando-se um peso por cada valor, fazendo com que alguns valores influenciem mais fortemente a média do que outros.
A Média ponderada é obtida pela seguinte equação:
px = ∑(x . p) → soma dos valores . pesos
∑ p → soma dos pesos
Vamos representar a
Média ponderada por
px
EXEMPLO Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a Média 7,0, sendo que as provas bimestrais
são ponderadas com pesos 1, 2, 3 e
4, respectivamente para o 1º bim, 2º bim, 3º bim e 4º bim. Considerando as
notas de João (na ordem bimestral crescente), informe se foi aprovado.
Notas de João: | 9,0 | 8,0 | 6,0 | 5,0
Pesos 1 2 3 4
px = ∑(x . p)
∑ p
px = (9,0 . 1) + (8,0 . 2) + (6,0 . 3) + (5,0 . 4)
1+2+3+4
px = 6,3 → reprovado
Nota. Em uma média simples ele seria aprovado por 7,0.
Importante: Os pesos são representados pela quantidade (frequência). A atribuição de pesos visa fazer com que certos valores
tenham mais influência no resultado do que outros.
Média de João
3.5
6.0
7,0
9.5 9.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de João
9,0
1
8,0
2
6,3
6,0
3
5,0
4
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
e
p
es
os
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média ponderada das notas de João
Média ponderada
- 28 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA – aplica-se quando não se tem a lista original dos dados
Quando trabalhamos com uma distribuição de frequência, não sabemos os valores exatos que caem em
determinada classe. Para tornar possíveis os cálculos, consideramos que, em cada classe, todos os valores
amostrais sejam iguais ao ponto central de classe. Por exemplo, considere o intervalo de classe 70 |⎯ 80, com
uma frequência de 4. Admitimos que todos os 4 valores sejam iguais a 75 (o ponto central de classe). Com o total
de 75 repetido 4 vezes, temos um total de 75 x 4 = 300. Podemos, então, somar esses produtos obtidos de cada
classe para encontrar o total de todos os valores, os quais, então, dividimos pela quantidade de dados.
É importante salientar que a distribuição de frequência resulta em uma aproximação da média
porque não se baseia na lista original exata dos valores amostrais.
CALCULANDO A MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE
i Velocidade (Km/h) f x f . x
1 70 |⎯ 80 4 75 300
2 80 |⎯ 90 4 85 340
3 90 |⎯ 100 8 95 760
4 100 |⎯ 110 8 105 840
5 110 |⎯ 120 6 115 690
6 120 |⎯ 130 10 125 1250
∑f=40 - ∑(f.x) = 4180
Procedimento:
1. Multiplicar as frequências f pelos pontos centrais
de classe x e adicionar os produtos.
2. Somar as frequências f;
3. Somar os produtos (f.x);
4. Aplicar a fórmula abaixo:
x = ∑(f.x) → 4180 = 104,5 Km/h
∑f 40
Média a partir de um HISTOGRAMA COM INTERVALOS DE CLASSE:
Não é necessário montar tabela. Veja na figura ao lado
que basta multiplicar a frequência pelo ponto médio e
adicionar os produtos. Depois, divida pela soma das
freqüências.
(4*75)+(4*85)+(8*95)+(8*105)+(6*115)+(10*125)
4+4+8+8+6+10
x = ∑(f.x) → 4180 = 104,5 Km/h
∑f 40
CALCULANDO A MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASSE
Nota
(x)
f
(nº de alunos) f . x
4,0 5 20
5,0 3 15
6,0 2 12
7,0 3 21
8,0 2 16
9,0 10 90
∑f=25 ∑(f.x) = 174
Quando a distribuição não tem agrupamento de classes,
consideraremos as frequências como sendo os pesos
dos elementos correspondentes:
(5*4,0)+(3*5,0)+(2*6,0)+(3*7,0)+(2*8,0)+(10*9,0)
5+3+2+3+2+10
x =∑(f.x) → 174 = 6,96
∑f 25
Média a partir de um HISTOGRAMA SEM INTERVALO DE CLASSE
Multiplique a freqüência por “x” (notas) e adicione os
produtos. Depois, divida pela soma das freqüências.
(5*4,0)+(3*5,0)+(2*6,0)+(3*7,0)+(2*8,0)+(10*9,0)
5+3+2+3+2+10
x =∑(f.x) → 174 = 6,96
∑f 25
Ponto central de classe
x =
4 4
8 8
6
1 0
0
2
4
6
8
1 0
1 2
Q
ua
nt
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ad
e
de
v
eí
cu
lo
s
R e su lta d o s d o s re g istro s d e u m ra d a r
70 80 90 100 110 120 130
Velocidade (Km/h)
X =
5
3
2
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o
de
al
un
os
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
x
75 85 95 105 115 125
x x
+
(4*75)+(4*85) ...
- 29 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
MEDIANA
Medida que representa o valor que está no MEIO de um conjunto de dados.
Uma desvantagem da média simples é que ela é sensível a qualquer valor, de modo que um valor
excepcional pode afetar drasticamente a média. A Mediana supera grandemente essa
desvantagem, pois não é afetada por valores extremos, de tal modo que você pode utilizar a
mediana quando estão presentes valores extremos.
Como achar a mediana de um conjunto de dados
Para quantidade ÍMPAR de valores
A Posição do termo central é dada por: 2
1nP +=
Ex.: 12, 78, 69, 75, 80, 71, 82, 73, 785. n=9
2
19P += = 5 → 5ª posição
A Md é o valor da 5º posição. Ordenando os dados, temos:
12, 69, 71, 73, 75 ,78, 80, 82, 785
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª
Mediana
Para quantidade PAR de valores
As posições dos termos
centrais são dadas por: 2
nP1= e P2 = a que sucede P1
Ex.: 12, 78, 69, 75, 80, 71, 82, 73, 785, 995. n=10
2
10P1= = 5ª posição e P2 = 6ª posição
A Md é o valor entre a 5º e 6ª posição. Ordenando os dados, temos:
12, 69, 71, 73, 75, 78 80, 82, 785, 995
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª
Mediana
A Md é a Média dos dois termos centrais. 2
7875Md += = 76,5
MEDIANA de uma distribuição de freqüência e Histograma SEM INTERVALOS DE CLASSE
Nota f
Fa Observações
4,0 4 4 Da 1ª até a 4ª
5,0 3 7 Da 5ª até a 7ª
6,0 2 9 Da 8ª até a 9ª
7,0 3 12 Da 10ª até a 12ª
8,0 2 14 Da 13ª até a 14ª
9,0 11 25 Da 15ª até a 25ª
∑f = n = 25 → ímpar
2
1nP += → 2
125+ = 13ª
Os dados já estão ordenados. Então a
Md é o valor da 13ª posição. Através da
Fa fica fácil identificar a posição central:
Então, a nota Md = 8,0
∑f=25
MEDIANA de uma distribuição de freqüência e Histograma COM INTERVALOS DE CLASSE
Acumule Fa e ache a posição da Md
i Velocidades f Fa
1 70 |⎯ 80 4 4
2 80 |⎯ 90 4 8
3 90 |⎯ 100 8 16
4 100 |⎯ 110 8 24
5 110 |⎯ 120 6 30
6 120 |⎯ 130 10 40
∑f=40
Independente se n é ímpar ou par usa-se a equação
n/2. Então,
40/2 = 20
A Md está na
20ª posição e será algum valor da classe mediana 100 |⎯ 110. A
partir da equação abaixo podemos achar uma aproximação da Md.
f
h* Fa -
2
n
lMd
ant
inf
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=
l inf = limite inferior da classe mediana
Faant = Fa da classe anterior
h = amplitude do intervalo de classe
f = freqüência da classe mediana
Resolvendo a equação, temos:
8
10*16 -
2
40
Md
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= 100
Md = 105 Km/h, aproximadamente
O total das freqüências é 40. Então, a Md será 40/2 = 20ª posição. Observe
pelo Fa que a classe mediana é 100 |⎯ 110. Também é possível
determinar l inf, Fa ant, h e f. Então, aplicando a equação, temos:
8
10*16 -
2
40
Md
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= 100 = 105 km/h, aproximadamente
0% 50% 100%
Mediana
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e
de
v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros
de um radar
70 80 90 100 110 120 130
Velocidade (Km/h)
Fa
20ª Fa ant = 16
(4+4+8)
← h →
10
f = 8
l inf
20ª
Md = 8,0
4
3
2 3 2
11
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o
de
a
lu
no
s
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
Fa 13ª
- 30 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
5
3
2
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
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úm
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o
d
e
al
un
os
4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
NOTA SOBRE A MEDIANA. A mediana é menos utilizada do que a média simples. A mediana pode ser aplicada quando existem
valores discrepantes em um conjunto de dados. Por exemplo, se a renda per capita de sete famílias fosse: $240; $370; $410; $520; $630; $680 e
$820, a mediana seria $520 e a média $524. Essas duas medidas poderiam representar este conjunto de dados. Mas se a renda de sete famílias
fosse: $240; $370; $410; $520; $630; $680 e $10.000, o valor da mediana manter-se-ia o mesmo, enquanto a média simples passaria a ser
$1.836, pois foi influenciada pelo valor discrepante ($10.000), que não é uma medida ideal para representar este conjunto de dados. A medida
ideal seria a mediana. Note que os valores discrepantes tem, pois, muito menor influência sobre a mediana do que sobre a média.
Em relação à mediana na distribuição de freqüência com intervalos de classe, admite-se que as velocidades dos veículos se distribuem
continuamente. Nesse caso, a mediana é a velocidade para o qual a metade da freqüência total 40/2 = 20 fica situada abaixo e a outra acima
dele. Ora, a soma das três primeiras freqüências de classe é 4+4+8 = 16. Então, para obter a 20ª velocidade desejada, são necessários mais 4
dos 8 casos existentes na 4ª classe. Como o quarto intervalo de classe, 100 |⎯ 110, a mediana situa-se a 4/8 de distância, e é: 100 + 4/8 (110 –
100) = 105 km/h. Com a equação fica mais fácil encontrar a mediana pois não exige este tipo de raciocínio.
MODA
Medida que representa o valor que mais se REPETE em um conjunto de dados.
Na linguagem coloquial, moda é algo que está em evidência, ou seja, algo que se vê bastante! Em estatística a moda é o valor que detém
o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais frequentes em uma série de dados. A moda não é necessariamente
única, ao contrário da média simples ou da mediana. É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez
que a média e a mediana podem não ser bem definidas.
Exemplos:
A série {1, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 7} apresenta moda = 5, pois é o número que mais se repete.
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8} apresenta duas modas (Bimodal): 5 e 6, pois são os que mais se repetem.
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7} apresenta mais do que duas modas (Polimodal): 5, 6 e 7
A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9, 10} não apresenta moda = amodal, pois nenhum número se repete.
MODA de uma distribuição de freqüência e Histograma SEM INTERVALOS DE CLASSE
Notas dos alunos
A Moda será a nota 9,0, pois é
a que mais se repete no
conjunto de dados
4,0 5,0 8,0 9,0
4,0 6,0 9,0 9,0
4,0 6,0 9,0 9,0
4,0 7,0 9,0 9,0
4,0 7,0 9,0
5,0 7,0 9,0
5,0 8,0 9,0
Nota f
(nº de alunos)
4,0 5
5,0 3
6,0 2
7,0 3
8,0 2
9,0 10
∑f=25
MODA de uma distribuição de frequência e Histograma COM INTERVALOS DE CLASSE
a) Moda Bruta
i Velocidade (Km/h) f
1 70 |⎯ 80 4
2 80 |⎯ 90 4
3 90 |⎯ 100 8
4 100 |⎯ 110 8
5 110 |⎯ 120 6
6 120 |⎯ 130 10
∑f=40
A Moda Bruta será o ponto
médio de classe modal, que é a
classe que apresenta a maior
frequência. Então:
Mo = 120 + 130 = 125Km/h
2
NOTAS SOBRE A MODA. Na distribuição de freqüência em classes, o método utilizado para encontrar a moda por meio do ponto
médio de classe é chamado de moda bruta, e é apenas uma aproximação pois não foi baseada na lista original de dados. Existem outros
métodos para encontrar a Moda de uma distribuição de freqüência com intervalo de classe: Método de Czuber, Método de King e Método de
Pearson, normalmente exigidos em concursos públicos.
Moda
Nota
9,0
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e
de
v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros
de um radar
70 80 90 100 110 120 130
Velocidade (Km/h)
120+130 = 125Km/h
2
Classe modal (tem maior frequência)
- 31 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
b) Moda de czuber
h
2D1D
1DCzuberMo *++= l
=l limite inferior da classe modal
D1 = f* – f(ant)
D2 = f* – f(post)
h = amplitude da classe modal
f* = frequência da classe modal
f(ant) = frequência da classe anterior à classe modal
f(post) = frequência da classe posterior à classe modal
Exemplo de cálculo da Moda de Czuber (pela Distribuição de Freqüência e pelo Histograma)
Registro das velocidades de
veículos em uma rodovia
i Velocidade (Km/h) f
1 70 |⎯ 80 4
2 80 |⎯ 90 4
3 90 |⎯ 100 8
4 100 |⎯ 110 8
5 110 |⎯ 120 6
6 120 |⎯ 130 10
∑f=40
h
DD
DlMo *
21
1
++= → 10104
4120 * ++=Mo 85122,=Mo
Nota: Como não existe frequência simples da classe posterior à classe modal, então f- f(post) = 10 - 0.
- FUNDAMENTOS DA EQUAÇÃO DE CZUBER –
Pode-se determinar graficamente a posição da Moda no histograma representativo de uma distribuição de frequências. O
método descrito abaixo é o equivalente geométrico da equação de Czuber.
1º - A partir dos vértices superiores do retângulo correspondente à classe modal (A e B), traçamos os seguimentos concorrentes
AC e BD, ligando cada um deles ao vértice superior adjacente do retângulo correspondente a uma classe vizinha, conforme
ilustrado na figura
acima.
2º - A partir da interseção dos segmentos AC e BD, baixamos uma perpendicular ao eixo horizontal, determinando o ponto que
indica a Moda, que é 122,85.
(10 - 6)
(10 - 6) (10 - 0)
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e
de
v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros
de um radar
70 80 90 100 110 120 130
Velocidade (Km/h)
f*
f(ant)
h*
f(post)
Classe
modal
Classe modal
(tem maior frequência)
- 32 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA.
Pelo formato da distribuição dos dados, sempre existirá uma relação empírica (baseado na experiência) entre a
média, mediana e a moda. Através dessa relação podemos saber, aproximadamente, onde se encontram essas
medidas, sem necessidade de cálculos.
Quando a Média, Mediana e Moda se coincidem, chamamos a distribuição dos dados de Simétrica ou Normal.
Média = mediana = moda
SIMÉTRICA ou NORMAL ou FORMA DE SINO
Quando a distribuição tem a forma de sino (linha tracejada), a
quantidade de dados vai aumentando, atinge um pico, e depois
diminui. Se dividíssemos em duas metades, a partir do centro,
note que os dois lados seriam iguais. O calculo abaixo confirma a
afirmativa que numa distribuição normal a média, mediana e
moda se coincidem.
Média = 70(3) + 80(4) + 90(7) + 100(4) + 110(3) = 90 Km/h
3+4+7+4+3
Mediana = 90 Km/h
Moda = 90 Km/h
Quando a Média, Mediana e Moda não se coincidem, chamamos a distribuição dos dados de assimétrica.
Média < mediana < moda
Assimétrica à esquerda (ou negativa)
Neste tipo de distribuição, a média, mediana e a moda estarão
aproximadamente conforme gráfico ao lado. A média será menor
que a mediana e a moda. O cálculo abaixo confirma a afirmativa:
Média = 70(1) + 80(3) + 90(6) + 100(9) + 110(2) = 94 Km/h
1+3+6+9+2
Mediana = 100 Km/h
Moda = 100 Km/h
Média > mediana > moda
Assimétrica à direita (ou positiva)
Neste tipo de distribuição, a média, mediana e a moda estarão
aproximadamente conforme gráfico ao lado. A média será maior
que a mediana e a moda. O cálculo abaixo confirma a afirmativa:
Média = 70(2) + 80(9) + 90(6) + 100(3) + 110(1) = 86Km/h
2+9+6+3+1
Mediana = 80 Km/h
Moda = 80 Km/h
1
3
6
9
2
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e
de
v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros
de um radar
70 80 90 100 110
Velocidade (Km/h)
Mediana
Moda
Média
2
9
6
3
1
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e
de
v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros
de um radar
70 80 90 100 110
Velocidade (Km/h)
Mediana
Moda
Média
3
4
7
4
3
0
2
4
6
8
10
Q
ua
nt
id
ad
e
de
v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros
de um radar
70 80 90 100 110
Velocidade (Km/h)
Média
Mediana
Moda
Me Md Mo
94 < 100 ≤ 100
Me Mo Md
86 > 80 ≥ 80
90=90=90
- 33 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
3.2 MEDIDAS DE VARIAÇÃO (OU DISPERSÃO)
O termo “variação” sugere tornar vário ou diverso; alterar, diversificar; mudar; ser inconstante; não ser conforme,
discrepar. Na maioria dos casos existirá variação em um conjunto de dados, independente da característica que
você esteja medindo, pois nem todos os indivíduos terão o mesmo exato valor para todas as variáveis.
EXEMPLO
Durante o ano letivo a Média das notas de João, Mário, Maria e José foi 7,0. Se considerarmos apenas a
Média, não notaremos qualquer diferença entre os quatro alunos. No entanto, observa-se que as notas são
muito diferentes em relação a Média. Há variação de notas e, no caso de João e José, é bem discrepante:
Diante deste contexto, podemos questionar: qual o aluno é mais estável? Qual teve melhor
desempenho? Qual o aluno com pior desempenho? Notadamente o aluno de melhor desempenho é o
Mário, pois todas as suas notas foram 7,0 e, portanto, não houve nenhuma variação em relação a Média.
Já José e João tiveram o pior desempenho pois suas notas estiveram muito distantes da Média.
Neste capítulo vamos desenvolver maneiras específicas de realmente medirmos a variação, de modo
que possamos usar números específicos em lugar de julgamento subjetivo.
Outros exemplos de variações:
; Os preços das casas variam de casa para casa, de ano para ano e de estado para estado.
; Os preços de um produto variam de supermercado para supermercado.
; O tempo que você leva para chegar ao trabalho varia dia a dia.
; O tamanho das peças produzidas em uma empresa também varia.
; A renda familiar varia de família para família, de país para país e de ano para ano.
; Os resultados das partidas de futebol, de temporada para temporada, variam.
; As notas que você tira nas provas, não diferente, também variam.
; Seu saldo bancário também varia, podendo ser de hora em hora, dia a dia, mês a mês.
3,5
6,0
7,0
9,5 9,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de João
7,0 7,0 7,0 7,0 7,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de Mário
6,5 6,5
7,0 7,5 7,5
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de Maria
4,0
9,5
7,0
8,5
6,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de José
Sem variação a
partir da Média
Grande variação
a partir da Média
Pequena variação a
partir da Média
Grande variação a
partir da Média
- 34 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO (amostral)
São medidas que representam “um valor médio de variação” em torno da média.
O desvio padrão é um modo que se usa para medir a variação entre os números em um conjunto de dados. Assim como o termo sugere,
um desvio padrão é um padrão (ou seja, algo típico) de desvio (ou distância) da média. O desvio padrão é uma estatística importante,
mas, frequentemente, é omitida quando a média é relatada. Sem ele, você está recebendo apenas uma parte da história sobre os dados.
Os estatísticos gostam de contar a história do homem que estava com um dos pés em um balde de água gelada e o outro em um balde de
água fervendo. O homem dizia que, na média, ele estava se sentindo ótimo! Mas imagine a variação
da temperatura para cada um dos
pés. Agora, colocando os pés no chão, o preço médio de uma casa, por exemplo, não lhe diz nada sobre a variedade de preços de casas
com a qual você pode se deparar enquanto estiver procurando uma casa para comprar. A média dos salários pode não representar o que
realmente está se passando em sua empresa se os salários forem discrepantes.
Entendendo a Variância e o Desvio Padrão Calculando a Variância e o Desvio Padrão
Desvios em torno da Média das notas de João
No gráfico percebemos que o desvio determina o quanto cada
elemento do conjunto de dados se distancia da média 7,0. No 1º
Bim. faltam -3,5 para se chegar a Média e no 2º Bim. -1,0. Já nos
3º e 4º Bim. temos +2,5 e +2,0 acima da média, respectivamente.
Transpondo essas informações para uma tabela, temos:
Notas
(x)
Média
( x )
Desvios
(x - x )
3,5 7,0 -3,5
6,0 7,0 -1,0
9,5 7,0 2,5
9,0 7,0 2,0
- - ∑=0
Perceba que a soma dos desvios é igual a zero. Esta
característica não é exclusiva deste exemplo. Ela sempre ocorre e
prende-se ao fato de que a média é o ponto de equilíbrio em um
conjunto de dados.
Como os desvios indicam o grau de variação dos valores em
relação à média, seria interessante poder encontrar um único
número que o representasse. Algo como a média dos desvios.
Mas, para fazer essa média, precisamos somar os desvios e
acabamos de ver que essa soma é sempre igual a zero.
O problema da soma dos desvios foi resolvido pelos matemáticos:
basta elevar cada desvio ao quadrado antes de somá-los. Um
número ao quadrado é sempre positivo, portanto a soma não se
anula mais, e a média dos desvios ao quadrado pode ser calculada:
Notas
(x)
Média
( x )
Desvios
(x - x )
Desvios elevado ao
quadrado (x - x )2
3,5 7,0 -3,5 (-3,5)2 = 12,25
6,0 7,0 -1,0 (-1,0)2 = 1
9,5 7,0 +2,5 (2,5)2 = 6,25
9,0 7,0 +2,0 (2,0)2 = 4
n=4 - ∑=0 ∑ =23,5
Variância
Agora, podemos calcular a média dos quadrados dos desvios,
chamada de Variância, representada por S2:
S2 = ∑ − )( xx 2 →
n - 1
23,5 = 7,8
4 - 1
A divisão por n−1 (grau de liberdade) aparece por fornecer um
melhor resultado do que a divisão por n. Para entender melhor
o grau de liberdade pesquise: distribuição “t de Student”.
Desvio padrão
Mas, se elevamos os desvios ao quadrado para poder calcular sua
média, não seria correto que agora fizéssemos a raiz quadrada
dessa média, para desfazer a potenciação? Sim, e o valor dessa raiz
é chamado Desvio padrão, representado por S:
Desvio padrão → S = 8,7 = 2,8
Interpretação: O desvio padrão indica que a maioria das notas de
João está concentrada dentro dos limites de ± 2,8 em torno da
média 7,0. Ou seja, se concentrando entre 4,2 e 9,8 (veja abaixo).
O entendimento completo da interpretação do desvio padrão
será estudado em “distribuição Normal”.
Equação da Variância e Desvio padrão
Podemos concluir, então, o uso das equações:
Variância
S2 = ∑ − )( xx 2
n - 1
Desvio padrão
S =
2S
7,0
4,2 -2,8 +2,8 9,8
3,5
6,0
7,0
9,5 9,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
-3,5
-1,0
+ 2,5
+2,0
Desvios
da média
- 35 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Calculando a Variância e o Desvio padrão das notas de Maria, José e Mário – passo a passo.
Notas de Maria: 6,5 6,5 7,5 7,5
1º Calcular a Média
n
xx
∑=
x = 6,5+6,5+7,5+7,5 = 7,0
4
2º Calcular a Variância
S2 =
1
)( 2
−
−∑
n
xx
S2 = (6,5 – 7,0)2 + (6,5 – 7,0)2 + (7,5 – 7,0)2 + (7,5 – 7,0)2 = 0,33
4 – 1
3º Calcular o Desvio padrão
S =
2S → 33,0
S = 0,5
Interpretação: O resultado indica que a maioria das notas de Maria está
concentrada dentro dos limites de ± 0,5 em torno da Média 7,0. Ou seja,
se concentrando entre 6,5 e 7,5.
Notas de José: 4,0 9,5 8,5 6,0
1º Calcular a Média
n
xx
∑=
x = 4,0+9,5+8,5+6,5 = 7,0
4
2º Calcular a Variância
S2 =
1
)( 2
−
−∑
n
xx
S2 = (4,0 – 7,0)2 + (9,5 – 7,0)2 + (8,5 – 7,0)2 + (6,0 – 7,0)2 = 6,16
4 - 1
3º Calcular o Desvio padrão
S =
2S → 16,6
S = 2,5
Interpretação: O resultado indica que a maioria das notas de Maria está
concentrada dentro dos limites de ± 2,5 em torno da Média 7,0. Ou seja,
se concentrando entre 4,5 e 9,5.
Notas de Mário: 7,0 7,0 7,0 7,0
1º Calcular a Média
n
xx
∑=
x = 7,0+7,0+7,0+7,0 = 7,0
4
2º Calcular a Variância
S2 =
1
)( 2
−
−∑
n
xx
S2 = (7,0 – 7,0)2 + (7,0 – 7,0)2 + (7,0 – 7,0)2 + (7,0 – 7,0)2 = 0
4 - 1
3º Calcular o Desvio padrão
S =
2S → S = 0
O resultado indica que todas as notas de Mário estão dentro dos limites de ± 0 em torno da Média 7,0. Ou seja, se concentrando exatamente
na média 7,0. Portanto, sem variação.
NOTAS SOBRE O DESVIO PADRÃO. O desvio
padrão é sempre um valor que está na mesma unidade dos dados
originais. Um desvio padrão pequeno, basicamente, significa que os
valores do conjunto de dados estão, na média, próximos do centro
desse conjunto, enquanto um desvio padrão grande significa que os
valores do conjunto de dados estão, na média, mais afastados do
centro. Então, quanto mais espalhados ou dispersos forem os dados,
maior será o desvio padrão e, quanto mais concentrados ou
homogêneos forem os dados, menor será o desvio padrão. Se os
valores forem iguais, ou seja, sem variação, o desvio padrão será
zero.
Um desvio padrão pequeno pode ser um bom objetivo em
determinadas situações, onde os resultados são restritos, como exemplo, na produção e no controle de qualidade de uma indústria. Uma
determinada peça de carro que deve ter centímetros de diâmetro para encaixar perfeitamente não pode apresentar um desvio padrão grande,
nesse caso, significaria que acabariam sendo jogadas fora, pois ou não se encaixariam adequadamente ou os carros teriam problemas.
Observe que o desvio padrão das notas de João indica que estão concentradas dentro dos limites de ± 2,8 em torno da média 7,0. Ou seja, se
concentrando entre 4,2 e 9,8. Isto representa um desvio padrão grande.
7,0
6,5 -0,5 +0,5 7,5
7,0
4,5 -2,5 +2,5 9,5
média
desvios
Desvio padrão
- 36 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO - CV
É a medida relativa do desvio padrão que é expressa sob a forma de porcentagem (%).
Em algumas situações, podemos estar interessados em uma estatística
que indique qual é o tamanho do desvio padrão em relação à
média. A melhor forma de representá-la é através do coeficiente de variação por ser expressa na forma de porcentagem.
Equação do Cv:
Cv = S x 100
x
Ou seja: Cv = Desvio padrão x 100
Média
Exemplo: Com a média 7,0 de João e Desvio padrão de 2,8, temos:
Cv = 2,8 x 100 → 40%
7,0
O resultado indica que a Média 7,0 de João teve um Desvio padrão em torno de 40%.
Interpretação estatística do Cv:
Cv ≤ 15% = pequena variação em torno da média
15% < Cv < 30% = moderada variação em torno da média
Cv ≥ 30% = grande variação em torno da média
Fazendo a Distribuição de Variabilidade das notas de João, Maria, José e Mário, temos:
Alunos x S Cv (%) Cálculo do Cv (%) Interpretação do Cv
João 7,0 2,8 40% → 2,8/7,0 x 100 Grande variação
Maria 7,0 0,5 7% → 0,5/7,0 x 100 Pequena variação
José 7,0 2,5 36% → 2,5/7,0 x 100 Grande variação
Mário 7,0 0 0%
-
VANTAGEM DO CV.
O Cv é útil para compararmos a variabilidade de variáveis que têm desvios padrão diferentes e médias diferentes
Exemplo: Suponha que o lote A de peças tenha média de
40 cm de comprimento com desvio padrão de 5 cm; e o
lote B tenha média de 55 cm com desvio padrão de 6 cm.
QUAL LOTE EM MAIOR VARIAÇÃO?
Lote A
Cv = 5 x 100 = 12,5%
40
Lote B
Cv = 8 x 100 = 14,54%
55
DESVIO PADRÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Quando não temos a lista original dos dados, da mesma forma que a média, podemos encontrar o desvio padrão aproximado
de uma distribuição de frequência. Neste caso, usamos a equação do desvio padrão estudado, adicionado de f, como abaixo.
Desvio padrão SEM INTERVALO DE CLASSE
1º - Cálculo da média
x = ∑(f.x) → 2.900 = 72,5 Km/h
∑f 40
2º - Cálculo do desvio padrão
S =
1f
)2x(x f *
−
−
∑
∑ →
1 - 40
2100 = 7,3 km/h
i Velocidade (Km/h) f f . xi (xi – x ) 2 * f
1 60 x 4 = 240 (60 – 72,5)2 * 4 = 625
2 65 6 390 (65 – 72,5)2 * 6 = 337
3 70 11 770 (70 – 72,5)2 * 11 = 69
4 75 8 600 (75 – 72,5)2 * 8 = 50
5 80 7 560 (80 – 72,5)2 * 7 = 394
6 85 4 340 (85 – 72,5)2 * 4 = 625
∑f=40 ∑(f.xi) = 2.900 ∑ = 2.100
- 37 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Desvio padrão COM INTERVALO DE CLASSE
Cálculo da média
x = ∑(f. x) → 4180 = 104,5 Km/h
∑f 40
Cálculo do desvio padrão
S =
1f
)2x(x f *
−
−
∑
∑ →
1 - 40
10.589 = 16,47 km/h
Cálculo do Desvio padrão a partir de um Histograma em classes:
Primeiramente, você deve calcular a média:
(75*4) + (85*4) + ... + (125*10) = 104,5 Km/h
4 + 4 + 8 + ... + 10
S =
1f
)2x(x f *
−
−
∑
∑
Depois, calcule o Desvio padrão, observando os dados circulados no gráfico acima:
(75-104,5)2 * 4 + (85-104,5)2 * 4 + ... + (125-104,5)2 * 10 = 10.589 → 26271, = 16,47Km/h
40 – 1 40-1
i Velocidade (Km/h) f xi f . xi (xi – x ) 2 * f
1 70 |⎯ 80 4 x 75 = 300 (75 – 104,5)2 * 4 = 3.481
2 80 |⎯ 90 4 85 340 (85 – 104,5)2 * 4 = 1.521
3 90 |⎯ 100 8 95 760 (95 – 104,5)2 * 8 = 722
4 100 |⎯ 110 8 105 840 (105 – 104,5)2 * 8 = 2
5 110 |⎯ 120 6 115 690 (115 – 104,5)2 * 6 = 661
6 120 |⎯ 130 10 125 1250 (125 – 104,5)2 * 10 = 4.202
∑f=40 - ∑(f.xi) = 4180 ∑ = 10.589
4 4
8 8
6
1 0
0
2
4
6
8
1 0
1 2
Q
ua
nt
id
ad
e
de
v
eí
cu
lo
s
R e s u l t a d o s d o s r e g i s t r o s d e u m r a d a r
70 80 90 100 110 120 130
Velocidade (Km/h)
75 85 95 105 115 125
x x
+
(4*75)+(4*85) ...
- 38 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
É possível quantificar o
acaso?
INTRODUÇÃO À
PROBABILIDADES
4
- 39 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
4.1 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES
Uma Probabilidade é um valor numérico que representa a possibilidade de que um evento
venha a ocorrer.
Dois exemplos clássicos (por sua simplicidade) do conceito de Probabilidade são:
Ao lançar um dado, qual a probabilidade de
obter o valor 4?
Ao lançar uma moeda, qual a probabilidade de
obter “cara” ou “coroa”?
Como representar numericamente as possibilidades (chances) desses acontecimentos?
Conhecidas certas condições, é perfeitamente possível responder a essas duas perguntas, antes mesmo da realização
desses experimentos. A teoria da probabilidade surgiu para tentar calcular a “chance” de ocorrência de um
resultado imprevisível, porém, pertencente a um conjunto de resultados possíveis. Todos os dias somos
confrontados com situações, que nos conduzem a utilizar a teoria de probabilidade:
Dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar na loteria;
O político deseja saber qual a sua probabilidade de ganhar as eleições;
Dizemos que existe uma grande probabilidade de não chover num dia de verão;
O gerente quer saber a probabilidade de o projeto ser concluído no prazo;
O analista financeiro quer saber a chance de um novo investimento ser lucrativo;
O gerente de marketing quer saber as chances de queda de vendas se aumentar os preços;
O eng. produção quer saber a probabilidade de um novo método de montagem aumentar a produtividade.
É POSSÍVEL QUANTIFICAR O ACASO. Desse modo, se houver probabilidades disponíveis, podemos determinar a
possibilidade de cada um dos eventos ocorrer. Para continuar o estudo de probabilidades, três conceitos são
extremamente importantes: Experimento aleatório, espaço amostral e eventos.
Experimento aleatório
É um experimento cujo resultado é imprevisível, porém pertencente a um conjunto
de resultados possíveis.
É o fenômeno que estamos interessados em observar, e cada resultado dele
é uma experiência. Embora
não saibamos qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral, conseguimos descrever o
conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. Exemplos:
EXPERIMENTO Resultados possíveis
Jogar uma moeda Cara ou Coroa
Lançar um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6
Jogar uma partida de futebol Ganhar, empatar, perder
Fazer um contato de vendas Comprar, não comprar
Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa
Nascimento de uma criança Masculino, feminino
A principal característica do experimento é ser casual, no sentido de que, apesar de conhecermos seus possíveis
resultados, não podemos dizer com certeza o que vai ser obtido. Quantas e quais as possibilidades de resultados
desses experimentos são questões que tentamos responder para avaliar as chances de eles acontecerem.
- 40 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Espaço amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
; Note que, ao especificar todos os resultados possíveis, identificamos o espaço amostral, representado por S.
São exemplos de espaços amostrais:
EXPERIMENTO ALEATÓRIO ESPAÇO AMOSTRAL
Jogar uma moeda S = { Cara, Coroa}
Lançar um dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jogar uma partida de futebol S = {Ganhar, Empatar, Perder}
Fazer um contato de vendas S = {Comprar, Não comprar}
Selecionar uma peça para inspeção S = {Defeituosa, Não defeituosa}
Nascimento de uma criança S = {Masculino, Feminino}
Princípio Fundamental da Contagem (principio multiplicativo)
O problema de determinar o espaço amostral surge quando as possibilidades de combinações são muitas e podem
nos deixar confusos (Ex.: ao lançar 2 dados, quais os resultados possíveis?). Para resolver esta questão recorremos à
organização da contagem denominada Princípio Fundamental de Contagem, representada graficamente pelo
Diagrama de árvore, onde mostra todos os possíveis resultados de um acontecimento. Exemplo clássico:
Suponha que José tenha 2 bermudas (preta e vermelha) e 3 camisas (azul, preta e verde). De
quantas maneiras diferentes (resultados possíveis) José pode se vestir usando uma bermuda e
uma camisa? Utilizando um diagrama de árvore teremos:
Figura. Diagrama de árvore
2 x 3 = 6 possibilidades
(espaço amostral)
Princípio multiplicativo
Observe que há duas possibilidades de escolher uma bermuda. Para
cada uma delas, três possibilidades de escolher uma camiseta. Logo,
o número total de maneiras diferentes de José se vestir é: 2 x 3 = 6
Como o número de resultados foi obtido por meio de uma
multiplicação, dizemos que foi aplicado o princípio multiplicativo.
O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para
determinar o nº de todas as possibilidades (espaço amostral) de um
experimento sem que seja necessário enumerar cada etapa. Para
isto, basta conhecemos o número de possibilidades de cada etapa
e, multiplicando todos esses números, teremos o número total de
possibilidades. Portanto, temos abaixo a fórmula:
Fórmula do princípio multiplicativo
np1 x np2 x ... x npk = ntp
np1 → nº possibilidades da 1ª etapa
np2 → nº possibilidades da 2ª etapa
npk → nº possibilidades da k-ésima etapa
ntp → nº total de possibilidades
Princípio multiplicativo:
2 x 3 = 6
BERMUDAS
2 possibilidades
CAMISAS
3 possibilidades
1ª etapa 2ª etapa
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
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( 3, 2 )
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( 3, 5 )
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
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( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
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( 3, 1 )
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( 3, 6 )
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( 3, 1 )
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( 3, 3 )
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( 4, 1 )
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( 4, 6 )
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( 5, 2 )
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
Ao lançar dois dados, quantos resultados serão possíveis?
Observe pelo diagrama de árvore ao lado que, quando dois dados são lançados, cada um deles
tem seis resultados possíveis; juntos, esses seis resultados possíveis para cada dado produzem
36 (6x6) combinações, ou seja, 36 pares possíveis.
Ao lançar os dados abaixo, quantos
resultados serão possíveis?
Três dados → 6x6x6 = 216
Quatro dados → 6x6x6x6 = 1.296
Cinco dados → 65 = 7.776
Oito dados → 68 = 1.679.616
Dez dados → 610 = 60.466.176
Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da
empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: etapa
1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção –
em 6,7 ou 8 meses). Quais os resultados possíveis? Qual o
prazo mais provável para conclusão total do projeto?
Sabendo-se que os números do Seguro Social são constituídos de 9 dígitos e cada um deles tem 10
resultados possíveis (0,1,2...9), determine o número de Seguros diferentes que podem ser formados.
2 5 7 6 3 7 2 7 8 Espaço amostral
0
1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
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1
.
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1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
0
1
.
9
Aplicando o princípio multiplicativo, temos:
10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
1.000.000.000 (1 bilhão de resultados possíveis)
10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1.000.000.000
6 x 6 = 36
- 42 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade
& Estatística
Eventos
É cada resultado possível dentro de um espaço amostral.
; Evento é o resultado do experimento. Exemplos:
Evento A → {sair número dois} → A={2}.
Evento B → {sair número maior que 4} → B={5,6}.
Evento C → {sair número par} →C={2,4,6}.
Lançar um dado e
observar sua face
S = {1,2,3,4,5,6}
Evento D → {sair número menor que 2} → D={1}.
Representação gráfica .O Diagrama de Venn pode representar o espaço amostral e o evento.
Evento A → {sair número dois} → A={2}. Evento C → {sair número par} → C={2,4,6}.
A área do círculo representa o Evento e a área do retângulo representa todos os elementos de um espaço amostral.
Probabilidade Clássica
Normalmente existem muitos resultados possíveis em um experimento aleatório. A maior ou menor possibilidade de ocorrência dos diversos
eventos é medida por um número chamado Probabilidade. Portanto, temos a seguinte expressão como medida numérica de Probabilidade:
P = _n(A)_ →
S →
número de elementos no evento A
espaço amostral
Sendo: P – Probabilidade | (A) – Evento específico | P(A) – probabilidade de ocorrência do evento A
EXEMPLOS
1) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser o número 2?
A = {2}
S = {1,2,3,4,5,6}
→ A = 1
→ S = 6
Logo: P(A) = 1 = 0,1666 = 16,66%
6
Dizemos que a probabilidade de o resultado ser o número 2 é de 1 chance em 6 ou 0,1666 ou 16,66%.
2) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser um número par?
A = {2,4,6}
S = {1,2,3,4,5,6}
→ A = 3
→ S = 6
Logo: P(A) = 3 = 0,50 = 50%
6
Dizemos que a probabilidade de o resultado ser um número par é de 3 chances em 6 ou 0,50 ou 50%.
S = {1,2,3,4,5,6}
C = {2,4,6}
C 1
3
4 5
6
S
2
Espaço
amostral
Evento
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {2}
A 1
3 4
5
6
S
2
Espaço
amostral
Evento
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Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
3) No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de o resultado ser Cara?
A = {Ca}
S = {Ca,Co}
→ A = 1
→ S = 2
Logo: P(A) = 1 = 0,50 = 50%
2
4) Numa urna estão 10 bolas, sendo 8 pretas (P) e 2 brancas (B). Pegando-se uma bola qualquer dessa
urna, qual a probabilidade de ela ser branca?
A = {B,B}
S = {P,P,P,P,P,P,P,P,B,B}
→ A = 2
→ S = 10
Logo: P(A) = 2 = 0,20 = 20%
10
5) Em um lote de 10 peças, 2 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, qual a probabilidade de essa
peça ser defeituosa? Considerando N – Normal e D – Defeituosa, temos:
A = {D, D}
S = {N,N,N,N,N,N,N,N,D,D}
→ A = 2
→ S = 10
Logo: P(A) = 2 = 0,2 = 20%
10
Naipes Observe o baralho abaixo (Total de 52 cartas) Valete Dama Reis Ás
(Paus)
13 cartas
(Ouros)
13 cartas
(Espadas)
13 cartas
(Copas)
13 cartas
Ao retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas qual a probabilidade de o resultado:
7) Sair um Ás de Ouros: Como temos somente 1 Ás de Ouros no baralho, então:
A = {Ás}
S = {52 cartas}
→ A = 1
→ S = 52
Logo: P(A) = 1 = 0,019 = 1,9%
52
8) Sair um Reis: Como temos 4 Reis no baralho (um de Paus, um de Ouros, um de Espadas e um de Copas). Então:
A = {R,R,R,R}
S = {52 cartas}
→ A = 4
→ S = 52
Logo: P(A) = 4 = 0,076 = 7,6%
52
Interpretação dos valores probabilísticos
Os valores probabilísticos sempre são atribuídos em uma escala de 0 a 1 (ou 0% a 100%)
A probabilidade como uma medida numérica da possibilidade de ocorrência de um evento
0 0,5 1
Chance 50-50
0% 50% 100%
Impossível improvável provável Certo
- 44 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIANS, Thomas A. Estatística aplicada à administração e economia. 2
ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. 597 p.
BRUNI, Adriano Leal. Estatística para concursos. São Paulo: Atlas, 2008. 197p.
COSTA, Sérgio Francisco. Introdução ilustrada à estatística. 4 ed. São Paulo: Harbra, 2005. 399 p.
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 17 ed. São Paulo: Saraiva, 1999. 224 p.
FARIAS, Alfredo Alves et al. Introdução à estatística. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003, 320 p.
GIOVANNI José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática fundamental: uma nova
abordagem – volume único. São Paulo: FTD, 2002. 712 p.
HAZZAN, Samuel. Fundamentos da matemática elementar: Matemática financeira, comercial e estatística descritiva.
Volume 11. 1 ed. São Paulo: Atual editora, 2004. 230p.
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE. A instituição. Disponível em
<http://www.ibge.gov.br/home/disseminacao/eventos/missao/default.shtm>. Acesso em 06 abr 2010.
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. 4 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. 476 p.
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 4 ed. São Paulo: Pearson, 2010. 637 p.
LEVINE, David M. et al. Estatística: teoria e aplicações. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 752 p.
LOPES, Paulo Afonso. Probabilidade e estatística: conceitos, modelos e aplicações em Excel. Ernesto Reichmann, 1999.
174 p.
MANDIN, Daniel. Estatística descomplicada. 9 ed. Brasília: Vestcon, 2002. 227 p.
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 2 ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2003. 465 p.
OLIVEIRA, Uanderson Rebula de. Ergonomia, higiene e segurança do trabalho. Resende-RJ: Apostila. Universidade
Estácio de Sá, 2009. 199 p.
RUMSEY, Deborah. Estatística para leigos. Rio de Janeiro: Alta books, 2009. 350 p.
SILVA, Ermes Medeiros et al. Estatística: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis - volume 1. 2
ed. São Paulo: Atlas, 1996. 189 p.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática–ensino médio. 5 ed. São Paulo: Saraiva, 2005. 558p.
SPIEGEL, Murray R. Estatística: resumo da teoria, 875 problemas resolvidos, 619
problemas propostos. São Paulo:
McGraw-Hill do Brasil, 1977. 580 p.
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 696 p.
URBANO, João. Estatística: uma nova abordagem. Rio de Janeiro: Ciência moderna, 2010. 530p.
VASCONCELLOS, Maria José Couto; SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha; CÂNDIDO, Suzana Laino. Coleção
Matemática. 1ª e 3ª série do ensino médio. São Paulo: Editora do Brasil, 2004. 232 p.
WERKEMA, Maria Cristina Catarino. As ferramentas da qualidade no gerenciamento dos processos. Belo Horizonte:
EDG, 1995. 128 p.
- 45 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
SITES PARA CONSULTA
www.brasilescola.com
Instituto de pesquisa econômica aplicada - http://www.ipea.gov.br
Instituto brasileiro de geografia e estatística - http://www.ibge.gov.br
Associação Brasileira de Estatística - http://www.ime.usp.br/~abe/
www.ibope.com.br
ANEXO I - LIVROS RECOMENDADOS
Um livro introdutório de estatística que inclui um estilo de escrita
amigável, conteúdo que reflete as características importantes de um
curso introdutório moderno de estatística, o uso da tecnologia
computacional mais recente, de conjuntos de dados interessantes e
reais, e abundância de componentes pedagógicos. O CD-ROM inclui
os conjuntos de dados do Apêndice B do livro. Esses conjuntos de
dados encontram-se armazenados em formato texto, planilhas do
Minitab, planilhas do Excel e uma aplicação para a calculadora TI-83.
Inclui também programas para a calculadora gráfica TI-83 Plus®, o
Programa Estatístico STATDISK (Versão 9.1) e um suplemento do
Excel, desenvolvido para aumentar os recursos dos programas
estatísticos do Excel.
Este livro diferencia-se dos tradicionais livros,
materiais de referência e manuais de estatísticas,
pois possui: Explicações intuitivas e práticas sobre
conceitos estatísticos, ideias, técnicas, fórmulas e
cálculos. Passo a passo conciso e claro de
procedimentos que intuitivamente explicam
como lidar com problemas estatísticos. Exemplos
interessantes do mundo real relacionados ao
cotidiano pessoal e profissional. Respostas
honestas e sinceras para perguntas como “O que
isso realmente significa?” e “Quando e como eu
vou usar isso?”
Neste livro você encontrará:
Explicações em português de fácil entendimento.
Informações fáceis de localizar e passo-a-passo.
Ícones e outros recursos de identificação e
memorização. Folha de cola para destacar com
informações práticas. Listas dos 10 melhores
relacionados ao assunto. Um toque de humor e
diversão.
Onde comprar: www.submarino.com.br
- 46 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
ANEXO II - SOFTWARE BIOESTAT
Texto extraído da tese de doutorado em Engenharia de Ualison Rebula de Oliveira
Existem inúmeros recursos tecnológicos para a análise estatística de dados, que vão desde
calculadoras, a exemplo da TI – 83 PLUS, a aplicativos específicos, tais como o STATDISK e o
MINITAB (TRIOLA, 2005). Assim, buscando-se recursos computacionais que facilitassem o
tratamento de dados, vários aplicativos e softwares estatísticos foram pesquisados, dos quais se
destacam a planilha Excel, o STATDISK, o MINITAB, o BioEstat, o SPSS e algumas páginas na
Internet que oferecem programas em Javascript para cálculos on-line, a exemplo da página na
Internet www.stat.ucla.edu.
Após análise de pós e contras de cada aplicativo pesquisado, selecionou-se o pacote estatístico
BioEstat, disponível para download no site www.mamiraua.org.br, por possuir as seguintes
características positivas: i) serventia tanto para a Estatística descritiva como para testes estatísticos
não-paramétricos; ii) ser em português; iii) possuir manual em PDF com diversos exemplos; iv) ser
de fácil utilização; v) ser gratuito; vi) ser referenciado em vários livros, sites e entidades de
pesquisa – conforme Siegel & Castellan Junior (2006), o BioEstat é o melhor programa disponível
na atualidade para o cálculo do qui-quadrado; vii) possuir apoio do CNPQ; e viii) estar na versão 5.0
e possuir mais de 20 anos de criação.
INTERFACE BIOESTAT
Baixar software:
www.mamiraua.org.br
- 47 -
Uanderson Rebula de Oliveira Probabilidade & Estatística
Anexo III - ESTATÍSTICA NO EXCEL
O Excel dispõe da função “Estatística”. Assim, tudo que vimos poderá ser desenvolvido pelo
excel, bastando inserir os valores da variável de interesse.
Para saber mais, basta adquirir o livro “Estatística usando o excel”, de Juan Carlos
Lapponi. WWW.SUBMARINO.COM.BR
4ª Edição, Edição 2005, 496 págs. Editora Elsevier Campus - Acompanha CD-ROM com Planilhas, Modelos,
Simuladores etc. para Excel.
O conteúdo deste livro é útil para: Estudantes que cursam Estatística nas diversas áreas do conhecimento e
em diferentes níveis de graduação como, em ordem alfabética, Administração, Biologia, Contabilidade,
Economia, Engenharia, Finanças, Marketing, Medicina, etc. Estudantes que necessitam aprimorar ou
complementar seus conhecimentos de Estatística utilizando o Excel. Profissionais das diversas áreas que
utilizam os conceitos de Estatística e necessitam, ou gostariam, de utilizar as funções estatísticas, as
ferramentas de análise, planilhas, modelos e simuladores de estatística em Excel. Todos aqueles que poderão
utilizar as planilhas, modelos e simuladores de estatística em Excel da forma como estão no CD-Rom, ou
modificando-os, para atender às suas necessidades. Alunos de áreas correlatas que utilizarão estatística e
desejam antecipar seu aprendizado e agregar valor ao seu conhecimento visando o mercado de trabalho. Usuários de Excel que desejam
conhecer e aprender a utilizar os recursos de Estatística disponíveis.
TÓPICOS
• DADOS, VARIÁVEIS E AMOSTRAS
• DESCRIÇÃO DE AMOSTRAS COM TABELAS E GRÁFICOS
• MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
• MEDIDAS DE DISPERSÃO/VARIAÇÃO
• PROBABILIDADE
• CORRELAÇÃO
• VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
• DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS
• COMBINAÇÃO LINEAR DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
• DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
• ESTIMAÇÃO
• TESTE DE HIPÓTESES
• TESTES DE HIPÓTESES COM DUAS AMOSTRAS
• ANÁLISE DA VARIÂNCIA
• REGRESSÃO LINEAR
• AJUSTE NÃO LINEARMais conteúdos dessa disciplina
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