Aula1_CONCEITOS_FUNDAMENTAIS_EDO

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CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS 
 
Definição de Equação Diferencial Ordinária 
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma 
F(x, y(x), y’(x), y’’(x),..., y(n)(x))=0 envolvendo uma função incógnita y = y(x) e 
suas derivadas ou suas diferenciais. x é a variável independente, y é a 
variável dependente e o 
símbolo y(k) denota a derivada de ordem k da função y = y(x). 
 
Exemplos: 
1. y’’ + 3y’ + 6y =sin(x) 
2. (y’’)3 + 3y’ + 6y = tan(x) 
3. y’’ + 3y y’ = e x 
4. y’ = f(x, y) 
5. M (x, y) dx + N(x,y) dy = 0 
 
1.2 Ordem e Grau de uma Equação Diferencial 
A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função 
incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada 
mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de um polinômio na 
função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo, A y(3) + B y(2) + C 
y(1) + D y(0) = 0, tem grau 1. 
 
Exemplos: 
1. y’’ + 3y’ + 6y = sin(x) e y’’ + 3y y’ = ex têm ordem 2 e grau 1. 
 
2. (y’’)3 + 3(y’)10 + 6y = tan(x) tem ordem 2 e grau 3. 
 
3. y’ = f(x, y) e M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 têm ordem 1 e grau 1. 
 
 
 2
 
1 .3 Classes de diferenciabilidade 
 
Uma função real f : R → R pertence à classe de diferenciabilidade Cn(R), se: 
1. f é contínua; 
2. Todas as derivadas f(k) (k =1, 2, 3, ..., n) são funções contínuas. 
 
Quando n =0, identificamos a classe das funções reais contínuas com C0(R). 
 
Exemplos: 
1. A função f : R → R definida por f(x) = |x| pertence à classe C0(R) mas 
não pertence à classe C1(R). 
 
2. A função g : R → R definida por g(x) = | x |3 pertence à classe C3(R) mas 
não pertence à classe C4(R). 
 
3. A função h: R → R definida por h(x) = ex pertence à classe C∞(R). 
 
 
1.4 Operadores diferenciais lineares 
 
Demonstra-se que o conjunto F = Cn(R) de todas as funções reais n vezes 
continuamente diferenciáveis, é um espaço vetorial sobre R. Para cada f ∈ 
F, definimos o operador diferencial D : F → F por D(f) = f’ sendo D0(f) = f. 
Para cada k = 1, 2, 3, ..., n, definimos o operador diferencial recursivo Dk : F → 
F por Dk(f) = D[Dk−1(f)] = f(k) que representa a derivada de ordem k da 
função f ∈ F. 
Demonstra-se que são lineares estes operadores diferenciais Dn :F→ F, isto 
é, para quaisquer f , g ∈ F e para quaisquer a, b ∈ R: 
Dn(af + bg) = a Dn(f) + b Dn(g) 
 3
 
Exemplo: O operador L = x5D2 + exD + sin(x)I é linear sobre o espaço 
vetorial F = C2(R), pois para quaisquer f , g ∈ F e para quaisquer números 
reais a e b, vale a identidade L(af + bg) = a L(f) + b L(g). 
 
 
1.5 Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n 
 
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma 
 
a0(x) y(n) + a1(x)y(n−1) + a2(x)y(n−2) + ... + an(x)y = b(x) 
 
onde as funções b = b(x) e ak = ak(x) (k = 0, 1. 2, ..., n), são funções 
conhecidas a0 = a0(x) não identicamente nula e todas estas funções devem 
depender somente da variável x. A função (incógnita) desconhecida é y = 
y(x). 
 
Em virtude das informações da seção anterior, é possível definir o operador 
diferencial linear 
L = a0(x) D(n) + a1(x)D(n−1) + a2(x) D(n−2) + ... + an(x) 
e assim a equação diferencial acima terá a forma simplificada 
L(y) = b(x) 
e este é o motivo pelo qual, a equação diferencial acima recebe o nome de 
linear. 
 
 
1.6 Solução de uma Equação Diferencial 
 
Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz 
identicamente à equação. A solução mais geral possível que admite uma 
equação diferencial é denominada solução geral, enquanto que outra solução 
é chamada uma solução particular. 
 
Exemplos: 
1. y(x)=e−x é uma solução particular de y’ + y = 0. 
2. y(x) = Ce−x é a solução geral de y’ + y = 0. 
3. y(x) = sin(x) é uma solução particular de y’’ + y = 0. 
 4
4. y(x) = Asin(x) + B cos(x) é a solução geral de y00 + y = 0. 
5. y(x) = 777 é uma solução particular de y00 + 3y y0 = 0. 
 
1.7 Existência e unicidade de solução para uma EDO 
 
Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 
 
1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 
2. Se tiver solução, será que esta solução é única? 
3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? 
 
Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de 
solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação 
tenha algumas características. Alertamos que descobrir uma solução para uma 
Equação Diferencial é algo “similar” ao cálculo de uma integral e nós sabemos que 
existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas. 
Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam 
soluções. 
 
 
1.8 Problema de Valor Inicial (PVI) 
 
Uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é 
denominada Problema de Valor Inicial (PVI). 
 
Exemplo: 
ex y0 + 2y = arctan(x) 
y(0)= π 
 
Se forem conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções 
particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições 
adicionais poderemos obter a solução geral. 
 
 
 
 
 
 
 5
Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
 
As formas normal e diferencial de EDO de primeira ordem 
 
Uma grande quantidade de equações diferenciais ordinárias de primeira 
ordem pode ser escrita na sua forma normal, dada por: 
y0 = f(x/ y) 
ou quando a função f = f(x , y) pode ser escrita como o quociente de duas 
outras funções M = M(x , y) e N = N(x , y), temos: 
 
),(
),(
yxN
yxMy =′ 
 
É vantajoso manter o sinal negativo antes da fração, na forma 
),(
),(
yxN
yxMy −=′ 
 
pois usando o fato que dy = y0(x)dx, poderemos escrever 
M(x , y) dx + N(x , y) = 0. 
 
Exemplos: 
 
 
1. A equação diferencial y0 = cos(x + y) está em sua forma normal. 
2. A equação diferencial y
xy =′ está em sua forma normal, mas pode ser 
reescrita na sua forma diferencial xdx − ydy = 0.