Estatstica_Aplicada_e_Probabilidade_para_Engenheiros_Montgomery_cap_1_e_2

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Resumo dos Procedimentos dos Testes de Hipóteses para Uma Amostra
Curva CO
Hipótese
Critérios paraParâmetro deApêndice
Caso
Hipótese NulaEstatística de TesteAlternativaRejeiçãoCurvaCOGráfico VI
1.
H'o: I.l. = IJ-o x - I.l.oH): I.l. "" I.l.oIZol> Zal2d = II.l. - l.l.ol/<Ta,bZo =--- <T2conhecida <T/"IhtH): I.l.> IJ-ozo> Zad =(I.l. - I.l.o)/<Tc, d
H): IJ- < IJ-o
Zo < -Zad =(I.l.o- I.l.)/<Tc,d
2.
Ho: I.l. =IJ-o x - I.l.oH): IJ- "" IJ-o[tol > ta/2,n-1d = II.l. - 1J-01/<Te,f
to =---. <T2desconhecida s/"IhtH): IJ- > IJ-oto> ta,n-)d = (IJ- - I.l.o)/<Tg, h
H): IJ- < IJ-o
to < -ta,n-)d =(IJ-o - I.l.)/<Tg, h
3.
Ho: <T2 =<TÕ (n - l)s2H): <T2 "" <TÕ2> 2À = <T/<Toi,jXÕ = Xo Xa/2,n-1
<TÕ
ou
2 < 2Xo X)-a/2,n-)H): <T2> <TÕ
2> 2À = <T/<Tok, IXo Xa,n-)
H( <T2<<TÕ
2 < 2À = <T/<Tom,nXo XI-a,n-)
4.
Ho: P = Po x - npoH):p""poIZol > Za/2
Zo = Ynpo(l - Po) H):p>po
zo> Za
H): p <Po
Zo < -Za
ResumodosProcedimentosparaIntervalodeConfiançaparaUmaAmostra
Estimativa
Caso
Tipo deProblemaPontual
1.
Média JJ., comvariância0"2conhecida x
2.
Média JJ. deumadistribuiçãonormalcom xvariância0"2desconhecida
3.
Variância0"2deumadistribuiçãonormal s2
4.
Proporçãoouparâmetrodeuma
pdistribuiçãobinomialp
IntervaloBilateralde
Confiançade 100(1 - a)%
x - Zaf20"/v/;z :S JJ. :S x + Zaf20"/v/;z
x - taf2.n_ I s/v/;z :S JJ. :S x + taf2.n-1 s/v/;z
(112- l)s2 :S 0"2:s ~ - l)s2
Xa/2,n- I X j-af2,n-j
A Jp(l - fi) A Jfi(l - p)p - Zaf2· 11 :SP :SP +Zaf2
EstatísticaAplicadae
Probabilidadepara
Engenheiros
EstatísticaAplicada e
Probabilidadepara
Engenheiros
SegundaEdição
DouglasC. Montgomery
ArizonaStateUniversity
GeorgeC. Runger
ArizonaStateUniversity
Tradução:
Profa. VerônieaCalado,D. Se.
Praf. Adjunto- DepartamentodeEngenhariaQuímica
Escolade Química/UFR]
LTC
EDITORA
No interessededifusãodaculturaedoconhecimento,osautoreseoseditoresenvidaramo
máximoesforçoparalocalizar os detentoresdosdireitosau~oraisdequalquermaterial
utilizado,dispondo-seapossíveisacertosposteriorescaso,inadvertidamente,aidentificação
dealgumdelestenhasidoomitida.
U Vooo 3&973 LJ
AppliedStatisticsandProbabilityfor Engineers,2ndedition
Copyright© 1999John Wiley&Sons,Jnc.
All rightsreserved.AuthorizedtranslationfromtheEnglish
languageeditionpublishedby John Wiley &Sons,Jnc.
Direitosexclusivosparaa línguaportuguesa
Copyright©2003by
LTC - Livros Técnicose CientíficosEditora S.A.
TravessadoOuvidor,11
Rio deJaneiro,RJ - CEP 20040-040
Tel.: 21-3970-9480
Fax: 21-2221-3202
Itc@ltceditora.com.br
www.1tceditora.com.br
Para:
Meredith,Neil, Colin e Cheryl
Taylor,George,Elisae Rebecca
Prefácio
A indústriaamericana*temdecontinuaramelhoraraqualida-
dede seusprodutose serviçossequisercontinuara competir
efetivamentenosmercadosinternoeexterno.Umaporçãosigni-
ficantedesseesforçodemelhoriadaqualidadeserácomandada
porengenheirosecientistas,porqueessessãoosindivíduosque
projetamedesenvolvemnovosprodutosesistemaseprocessos
défabricação,sendotambémaquelesquemelhoramossistemas
existentes.Métodosestatísticossãoumaimportanteferramenta
nessasatividades,porqueelesprovêemos engenheiroscom
métodosdescritivose analíticosparalidarcoma variabilidade
nosdadosobservados.
Esteéumlivro introdutórioparaumprimeirocursoemesta-
tísticaaplicadaeprobabilidadeparaestudantesdegraduaçãoem
engenhariaeciênciasfísicasouquímicas.Enquantomuitosdos
métodosqueapresentamossãofundamentaisparaanáliseesta-
tísticaem outrasdisciplinas,taiscomonegóciosou gestão,as
ciênciasdavidaeasciênciassociais,elegemosfocalizaro públi-
co voltadoparaengenharia.Acreditamosqueessaabordagem
servirámelhoraosestudantesdeengenhariaeospermitirácon-
centrar-senasmuitasaplicaçõesdeestatísticanessasdisciplinas.
Trabalhamosarduamentedemodoaassegurarquetodososnos-
sosexemploseexercíciosestivessembaseadosemengenhariae,
emquasetodososcasos,usamosexemplosdedadosreais- to-
madosdefontepublicadaoubaseadosemnossasexperiências
comoconsultores.
Acreditamosqueosengenheirosdetodasasáreasdeveriam
cursarestatística.Infelizmente,porcausadeoutrasnecessidades,
muitosengenheirosfazemapenasumcursodeestatística.Escre-
vemosestelivrodemodoqueelepudesseserusadoparaumúnico
curso,emboratenhamosfornecidomaterialsuficienteparadois
cursos,na esperançadequemaisestudantesdeengenhariave-
jam asaplicaçõesimportantesdeestatísticaemseustrabalhos
diáriose façamumsegundocurso.Acreditamosqueestelivro
tambémsirvacomoumareferênciaútil. .
ORGANIZAÇÃO DOLIVRO
Mantivemoso nívelrelativamentemodestodematemática,usa-
donaprimeiraedição.Percebemosqueosestudantesdeengenha-
ria,quetenhamcompletadoumoudoisseme_stresdecálculo,não
terãodificuldadeemlerquasetodoo texto.E nossaintençãodar
aoleitornãoateoriamatemática,masumentendimentodame-
todologiaecomoaplicá-la.Fizemosumcertonúmerodemelho-
riasnestaedição,incluindoareorganizaçãodealgummateriale
reescrevendograndesporçõesdevárioscapítulos.
O Capo1 é umaintroduçãoaocampodaestatísticae como
os'engenheirosusama metodologiaestatísticacomopartedo
*Isto va'lenãosóparaosEUA, comoderestoparatodosospaísesdeeconomia
aberta.(N.R.)
processodesolucionarproblemasdeengenharia.Discutimose
ilustramosmétodossimplespararesumiredescreverdados.Este
capítulointroduztambémo leitoremalgumasaplicaçõesdees-
tatísticaem engenharia,incluindo a construçãode modelos
empíricos,o planejamentodeexperimentosemengenhariaeo
monitoramentodeprocessosdefabricação.Estestópicosserão
discutidosemmaisdetalhesnoscapítulossubseqüentes.O Capo
2 continuaa apresentaçãodadescriçãodedadose focaosdia-
gramasderamoefolhas,oshistogramas,osdiagramasdecaixae
váriostiposdegráficosdesériestemporais.
Os Caps.3,4, 5 e6 cobremosconceitosbásicosdeprobabi-
lidade,variáveisaleatóriascontínuasediscretas,valoresespera-
dos,distribuiçõesconjuntasdeprobabilidadeedeindependên-
cia. Demosumtratamentorazoavelmentecompletodessestó-
picos,porémevitamosmuitosdosdetalhesmatemáticosoumais
teóricos.
O Capo7começao tratamentodainferênciaestatísticacom
estimaçãodeparâmetros.Estecapítulointroduztambémoscon-
ceitosdeamostragemaleatória,algumasdasimportantespropri-
edadesdosestimadores,o métododamáximaverossimilhança,
distribuiçõesamostraiseo teoremacentraldolimite.Introduzi-
mostambémo bootstrapcomoumatécnicaparaencontraro
erro-padrãodeumaestimativa.
OsCaps.8e9discutemainferênciaestatísticaparaumaúnica
amostrae paraduasamostrasrespectivamente.O materialfoi
extensivamentereescritoe reorganizado.Testedehipótesese
intervalosdeconfiançaparamédias,variânciaseproporçõessão
apresentados,juntamentecominformaçõesdetalhadaseexem-
plosdemétodosparadeterminaros tamanhosapropriadosdas
amostras.Queremosqueosestudantessetornemfamiliarizados
como modocomoessastécnicassãousadaspararesolverpro-
blemasdeengenhariadomundorealeconseguiralgumenten-
dimentodosconceitosportrásdeles.Damosumdesenvolvimen-
to lógicoeheurísticodosprocedimentos,emvezdeumdesen-
volvimentoteóricoformal.
Os Caps. 10e 11 apresentama regressãolinear simplese
múltipla.Usamosálgebramatricialemtodoomaterialderegres-
sãomúltipla(Cap. 11),porque,bemfrancamente,é a única
maneirafácildeentenderosconceitosapresentados.Apresen-
taçõesdearitméticaescalarpararegressãomúltiplasão,name-
lhor dashipóteses,inconvenientesenotamosqueosalunosde
graduaçãoem engenhariaestãoexpostosà bastanteálgebra
matricialparaentenderaapresentaçãodestematerial.
OsCaps.12e13lidamcomexperimentoscomumúnicofator
ecommúltiplosfatoresrespectivamente.Enfatizam-seasnoções
dealeatoriedade,blocagem,planejamentosfatoriais,interações,
análisegráficadosdadoseplanejamentosfatoriaisfracionários.
O Capo14forneceumabreveintroduçãoaosmétodoseaplica-
çõesdeestatísticanãoparamétrica.O Capo15introduzo leitor
no controleestatísticodaqualidade,enfatizandoascartasde
controlee osfundamentosnocontroleestatísticodeprocesso.
nii PREFÁCIO
Em adiçãoà coleçãousualdetabelase gráficosestatísticos,
fornecemostambémalgummaterialtécnicocomplementarnos
Apêndices.Essematerialincluiumaintroduçãoafunçõesgera-
dorasdemomentos,àmudançadetécnicasdevariáveis,aper-
mutaçõesemétodosdecontagem,aodesenvolvimentodasdis-
tribuiçõest eF, àestimaçãodeBayeseaoprincípiodara:ãode
verossimilhança.Essematerialpodeserde interesseparaal-
gunsprofessoreseestudanreseo temosfornecidocomoumare-
ferência.
Cadacapítulotemumacoleçãoextensivadeexercícios,in-
cluindoexercíciosdefinal de seção,queenfatizamo material
daquelaseção,exercíciossuplementaresnofimdocapítulo,que
cobremo escopodostópicosdocapírulo,e exercíciosparaex-
pandira mente,quefreqüentementerequeremqueo estudante
estendadealgummodoo materialtextoouo apliqueemuma
novasituação.
USANDO O LIVRO
Esteéumlivro-textomuitoflexível,porqueasidéiasdosprofes-
soresvariammuitoacercadoquedeveriaestaremumprimeiro
cursodeestatísticaparaengenheiros,assimcomoashabilidades
dediferentesgruposdeestudantes.Conseqüentemente,hesita-
mosemdarumnúmerodemasiadodeconselhos,explicaremos
porémcomousamoso livro.
Acreditamosqueumprimeirocursodeestatísticaparaenge-
nheirosdeveriaserprincipalmenteumcursodeestatísticaaplica-
daenãoumcursodeprobabilidade.Em nossocursodeumse-
mestre,cobrimostodoo Capo1eo 2 (emtrêsouquatroaulas),
revisamosomaterialdeprobabilidade,colocandomaisênfasena
distribuiçãonormal(seisaoitoaulas),discutimosamaiorparte
dosCaps.8 e 9 sobreintervalosdeconfiançae testes(dezau-
las), introduzimososmodelosderegressãodo Capo10 (quatro
aulas),damosumaintroduçãoaoplanejamentodeexperimen-
tosdosCaps.12e 13(seisaulas)e apresentamososconceitos
básicosdecontroleestatísticodeprocesso,incluindoascartas
decontroleShewartdoCapo15(seisaulas).Issonosdeixacerca
detrêsaquatroperíodosparaexameserevisão.Vamosenfatizar
queafinalidadedestecursoé introduzirosengenheirosno modo
comoa estatísticapodeserusadapararesolverproblemasde
engenhariado mundoreale nãoparaafugentarosestudantes
menosagraciadosmatematicamente.Estenãoé umcurso"in-
fantildematemática-estatística",queétãofreqüentementedado
aengenheiros.
Sehouverdisponibilidadedeumsegundosemestre,entãoé
possívelcobriro livro inteiro,incluindoalgummaterialdosapên-
dices,seapropriadoparaosestudantes.Seriapossíveltambém
designare trabalhar,na aula,muitosdosproblemaspropostos
parareforçaroentendimentodosconceitos.Obviamente,regres-
sãomúltiplae maisplanejamentodeexperimentosseriamos
tópicosmaisimportantesemumsegundocurso.
USANDO O COMPUTADOR
Na prática,engenheirosusamcomputadoresparaaplicarméto-
dosestatísticoscoma finalidadederesolverproblemas.Logo,
recomendamosfortementequeo computadorsejaintegradona
aula.Atravésdetodoo livro,apresentamossaídasdoMinitab e
SAS comoexemplostípicosdoquepodeserfeitocompacotes
estatísticosmodernos.Paraensinar,usamosnãosomenteesses
pacotescomooutros,taiscomoEXCEL, STATGRAPHICS,
DESIGN-EASE, JMP eSPSS.Não saturamoso livrocomexem-
plosdemuitospacotesdiferentes,porquea formacomoo pro-
fessorintegrao pacoteemsaladeaulaémuitomaisimportante
doquequalpacoteéusado.Todososdadosno textoestãodis-
poníveisnaformaeletrônica.Emalgunscapítulos,háproblemas
quesentimosquedeveriamsertrabalhadosusandopacoteno
computador.Marcamosessesproblemascomumsímboloespe-
cial namargem.
Em nossasprópriasaulas,levamosum notebookPC e um
mostradordecristallíquido,paraquasetodasasaulas,emostra-
moscomoa técnicaé implementadano computador,tão logo
elasejadiscutidaemclasse.Muitospacotesestatísticosoferecem,
abaixocusto,versõesparaestudantes,quepodemcomprarsua
própriacópiaouusarosprodutosdisponíveisnasredeslocaisde
computadores.Percebemosque issomelhorougrandementeo
andamentodocursoeo entendimentodomaterialporpartedo
estudante.
AGRADECIMENTOS
Gostaríamosdeexpressarnossagratidãoa muitasorganizações
e indivíduosquecontribuíramparaestelivro. Muitosprofesso-
resqueusaramaprimeiraediçãoforneceramexcelentessuges-
tõesqueincorporamosnestarevisão.Somostambémgratosao
DI. SmileyChengpelapermissãoparaadaptarmuitasdastabe-
las estatísticasde seuexcelentelivro (com Dr. JamesFu),
StatisticalTablesfor ClassroomandExamRoam.Somosgratos
tambémaJohn Wiley andSons,PrenticeHall, o Instiruteof
MathematicalStatisticse oseditoresdaBiometricspornosper-
mitiremusaro materialcomdireitosautorais.
DouglasC. Montgomery
GeorgeC. Runger
Sumário
CAPÍTULO 1oPapeldaEstatística
naEngenharia 1
1.1 O MétododeEngenhariaeo
JulgamentoEstatístico 1
1.1.1 EngenhariaeResoluçãodeProblemas
1.1.2 JulgamentoEstatístico5
1.2 ColetandoDadosdeEngenharia 6
1.3 ModelosMecanísticoseEmpíricos 7
1.4 PlanejandoInvestigaçõesExperimentais 8
1.5 ObservandoProcessosaoLongodoTempo 10
ExercíciosSuplementares 13
ExercíciosparaExpandira Mente 13
CAPÍTULO 2 SumárioeApresentação
deDados 14
2.1 ImportânciadoSumárioeApresentação
deDados 14
2.2 DiagramasdeRamoeFolhas 14
2.3 DistribuiçõesdeFreqüênciae
Histogramas 18
2.4 DiagramadeCaixa (Box Plot) 20
2.5 GráficosSeqüenciaisdeTempo 22
ExercíciosSuplementares24
ExercíciosparaExpandira Mente 26
CAPÍTULO 3 Probabilidade 27
3.1 EspaçosAmostraiseEventos 27
3.1.1 Introdução27
3.1.2 EspaçosAmostrais28
3.1.3 Eventos 29
3.2 InterpretaçõesdeProbabilidade 33
3.2.1 Introdução33
3.2.2 AxiomasdeProbabilidade35
3.3 RegrasdeAdição 37
3.4 ProbabilidadeCondicional 39
3.5 RegrasdaMultiplicaçãoeda
ProbabilidadeTotal 42
3.5.1 RegradaMultiplicação42
3.5.2 RegradaProbabilidadeTotal 42
3.6 Independência 44
3.7 T eoremadeBayes 47
3.8 VariáveisAleatórias 48
ExercíciosSuplementares49
ExercíciosparaExpandiraMente 50
CAPÍTULO 4 VariáveisAleatóriasDiscretase
DistribuiçõesdeProbabilidades51
4.1 VariáveisAleatóriasDiscretas 51
4.2 DistribuiçõesdeProbabilidadeseFunçõesde
Probabilidade 52
4.3 FunçõesdeDistribuiçãoCumulativa 54
4.4 MédiaeVariânciadeumaVariável
AleatóriaDiscreta 55
4.5 DistribuiçãoUniformeDiscreta 57
4.6 DistribuiçãoBinomial 58
4.7 DistribuiçõesGeométricae BinomialNegativa 62
4.7.1DistribuiçãoGeométrica62
4.7.2DistribuiçãoBinomialNegativa 63
4.8 DistribuiçãoHipergeométrica 65
4.9 DistribuiçãodePoisson 68
ExercíciosSuplementares71
ExercíciosparaExpandiraMente n
CAPÍTULO 5 VariáveisAleatóriasContínuase
DistribuiçõesdeProbabilidade 73
5.1 VariáveisAleatóriasContínuas 73
5.2 DistribuiçõesdeProbabilidadeseFunções
DensidadedeProbabilidade 73
5.3 FunçõesdeDistribuiçãoCumulativa 76
5.4 MédiaeVariânciadeumaVariável
AleatóriaContínua 77
5.5 DistribuiçãoUniformeContínua 78
5.6 DistribuiçãoNormal 79
5.7 GráficosdeProbabilidade 85
5.8 AproximaçõesdasDistribuiçõesBinomialede
PoissonpelaNormal 87
5.9 DistribuiçãoExponencial 89
5.10DistribuiçõesdeErlange Gama 93
5.10.1DistribuiçãodeErlang 93
5.10.2DistribuiçãoGama 94
5.11DistribuiçãodeWeibull 95
ExercíciosSuplementares96
ExercíciosparaExpandiraMente 97
CAPÍTULO 6 DistribuiçõesdeProbabilidades
Conjuntas 98
6.1 DuasVariáveisAleatóriasDiscretas 98
6.1.1 DistribuiçõesdeProbabilidadesConjuntas 98
6.1.2 DistribuiçõesdeProbabilidadesMarginais99
X SUMÁRIO
6.1.3 DistribuiçõesdeProbabilidadesCondicionais100
6.1.4 Independência101
6.2 MúltiplasVariáveisAleatóriasDiscretas 104
6.2.1 DistribuiçõesdeProbabilidadesConjumas 104
6.2.2 DistribuiçãoMultinomialdeProbabilidades105
6.3 DuasVariáveisAleatóriasContínuas 107
6.3.1 DistribuiçõesdeProbabilidadesConjuntas 107
6.3.2 DistribuiçõesdeProbabilidadesMarginais 108
6.3.3 DistribuiçõesdeProbabilidadesCondicionais109
6.3.4 Independência111
6.4 MúltiplasVariáveisAleatóriasContínuas 113
6.5 CovariânciaeCorrelação 115
6.6 DistribuiçãoNormalBidimensional 118
6.7 CombinaçõesLinearesdeVariáveisAleatórias 120
6.8 DesigualdadedeChebyshev 122
ExercíciosSuplementares 123
ExercíciosparaExpandiraMente 124
CAPíTULO 7 EstimaçãodeParâmetros 126
7.1 InferênciaEstatística 126
7.2 AmostragemAleatória 127
7.3 PropriedadesdeEstimadores 128
7.3.1 EstimadoresNãoTendenciosos128
7.3.2 VariânciadeumEstimador129
7.3.3 Erro·Padrão:ReportandoumaEstimativa130
7.3.4 EstimativaBootstrapdoErro·Padrão130
7.3.5 ErroMédioQuadráticodeumEstimador131
7.4 MétododaMáximaVerossimilhança 132
7.5 DistribuiçõesAmostrais 136
7.6 DistribuiçõesAmostraisdasMédias 136
7.7 IntroduçãoaIntervalosdeConfiança 139
ExercíciosSuplementares 140
ExercíciosparaExpandiraMente 140
CAPíTULO 8 InferênciaEstatísticaparauma
Única Amostra 142
8.1 TestedeHipóteses 142
8.1.1 HipótesesEstatísticas142
8.1.2 TestesdeHipótesesEstatísticas143
8.1.3 HipótesesUnilateraiseBilaterais147
8.1.4 ProcedimentoGeralparaTestesdeHipóteses148
8.2 InferênciasobreaMédiadeumaPopulaçãocom
VariânciaConhecida 149
8.2.1 TestesdeHipótesesparaaMédia 149
8.2.2 Valoresp nosTestesdeHipóteses150
8.2.3 O ErroTipoII eaEscolhado
TamanhodaAmostra 150
8.2.4 TesteparaAmostrasGrandes 152
8.2.5 AlgunsComemáriosPráticossobre
TestesdeHipóteses152
8.2.6 IntervalodeConfiançaparaaMédia 153
8.2.7 MétodoGeralparaDeduzirum
IntervalodeConfiança 155
8.2.8 IntervalosdeConfiançaBootstrap155
8.3 InferênciasobreaMédiadeumaPopulaçãocom
VariânciaDesconhecida 157
8.3.1 TestesdeHipótesesparaaMédia 157
8.3.2 Valorp paraumTestet 159
8.3.3 SoluçãoComputacional159
8.3.4 EscolhadoTamanhodaAmostra 160
8.3.5 IntervalodeConfiançanaMédia 161
8.4 InferênciasobreaVariânciadeuma
PopulaçãoNormal 163
8.4.1 TestesdeHipótesesparaaVariânciadeuma
PopulaçãoNormal 163
8.4.2 Erro[3eEscolhadoTamanhodaAmostra 164
8.4.3 IntervalodeConfiançaparaaVariânciadeuma
PopulaçãoNormal 164
8.5 InferênciasobreaProporçãodeumaPopulação 166
8.5.1 TestesdeHipótesesparauma
ProporçãoBinomial 166
8.5.2 ErroTipoII eEscolhadoTamanhodaAmostra 166
8.5.3 IntervalodeConfiançaparauma
ProporçãoBinomial 167
8.6 TabelacomResumodosProcedimentosdeInferência
sobreumaÚnica Amostra 169
8.7 TestandoaAdequaçãodoAjuste 169
8.8 TestesdaTabeladeContingência 172
ExercíciosSuplementares 174
ExercíciosparaExpandiraMente 177
CAPíTULO 9 InferênciaEstatísticapara
DuasAmostras 179
9.1 Introdução 179
9.2 InferênciasobreumaDiferençanasMédiascom
VariânciasConhecidas 179
9.2.1 TestesdeHipótesesparaumaDiferençanasMédias
comVariânciasConhecidas180
9.2.2 EscolhadoTamanhodaAmostra 181
9.2.3 IdentificandoCausaeEfeito 182
9.2.4 IntervalodeConfiançaparaumaDiferençanasMédias
comVariânciasConhecid~s182
9.3 Inferênciasobrea DiferençanasMédiasdeDuas
DistribuiçõesNormaiscomVariações
Desconhecidas 185
9.3.1 TestesdeHipótesesparaaDiferençanasMédias,com
VariânciasDesconhecidas185
9.3.2 EscolhadoTamanhodaAmostra 187
9.3.3 IntervalodeConfiançaparaa
DiferençanasMédias 187
9.3.4 SoluçãoComputacional189
9.4 Testet Emparelhado 191
9.5 InferênciassobreasVariânciasde
DuasPopulaçõesNormais 195
9.5.1 TestesdeHipótesesparaaRazãodeDuasVariâncias195
9.5.2 Erro~eEscolhadoTamanhodaAmostra 197
9.5.3 IntervalodeConfiançaparaaRazãode
DuasVariâncias197
9.6 InferênciasobreProporçõesdeDuasPopulações 198
9.6.1 TesteparaAmostrasGrandes,Considerando
Ho: Pl =P2 198
9.6.2Erro13 eEscolhadoTamanhodaAmostra 199
9.6.3IntervalodeConfiançaparaPl - P2 200
9.7 Tabelacomo ResumodosProcedimentosdeInferência
sobreDuasAmostras 201
ExercíciosSuplementares201
ExercíciosparaExpandiraMente 204
CAPíTULO 10RegressãoLinearSimples
eCorrelação 205
10.1 ModelosEmpíricos 205
10.2 RegressãoLinearSimples 207
10.3 PropriedadesdosEstimadoresdeMínimosQuadradose
Estimaçãodecr 211
10,4 AbusosComunsnaRegressão 212
10.5 TestesdeHipótesesnaRegressãoLinearSimples 213
10.5.1UsodeTestest 213
10.5.2AnálisedeVariância:UmaAbordagemparaTestara
SignificânciadaRegressã~214
10.6 IntervalosdeConfiança 216
10.6.1IntervalosdeConfiançaparaaInclinação
eaInterseção216
10.6.2IntervalodeConfiançaparaaRespostaMédia 217
10.7 PrevisãodeNovasObservações 218
10.8 CálculodaAdequaçãodoModelodeRegressão 219
10.8.1AnáliseResidual219
10.8.2CoeficientedeDeterminação(R2) 221
10.8.3FaltadeAjuste 221
10.9 TransformaçõesparaumaLinha Reta 224
10.lOCorrelação 224
ExercíciosSuplementares227
ExercíciosparaExpandiraMente 229
CAPíTULO 11RegressãoLinearMúltipla 230
11.1 ModelodaRegressãoLinearMúltipla 230
11.2 EstimaçãodeParâmetrospeloMétododosMínimos
Quadrados 232
11.3 AbordagemMatricialparaaRegressãoLinear
Múltipla 233
11.4 PropriedadesdosEstimadoresdeMínimos
QuadradoseEstimaçãodecr 240
11.5 TestesdeHipótesesparaaRegressão
LinearMúltipla 241
11.5.1 TesteparaSignificânciadaRegressão241
11.5.2TesteparaosCoeficientesIndividuaisdeRegressãoe
SubconjuntosdeCoeficientes242
11.6 IntervalosdeConfiançaparaaRegressão
LinearMúltipla 245
11.6.1IntervalosdeConfiançaparaosCoeficientes
IndividuaisdeRegressão245
11.6.2IntervalodeConfiançaparaaRespostaMédia 245
11.7 PrediçãodeNovasObservações 246
11.8 MedidasdaAdequaçãodoModelo 247
SUMÁRIO xi
11.8.1CoeficientedeDeterminaçãoMúltipla(R2) 247
11.8.2AnáliseResidual 248
11.8.3ObservaçõesInfluentes249
11.9 ModelosdeRegressãoPolinomial 251
11.10VariáveisIndicativas 252
11.11SeleçãodeVariáveisnaRegressãoMúltipla 255
11.11.1ProblemadeConstruiroModelo 255
11.11.2ProcedimentosComputacionaisparaa
SeleçãodeVariáveis 255
11.11.3SaídaComputacionalparaa
RegressãoemEtapas 260
11.12Multicolinearidade 263
ExercíciosSuplementares264
ExercíciosparaExpandiraMente 266
CAPíTULO 12PlanejamentoeAnálisede
ExperimentoscomumÚnico Fator:
A AnálisedeVariância 268
12.1 A EstratégiadeExperimentação 268
12.2 ExperimentoCompletamenteAleatorizado
comumÚnico Fator 269
12.2.1UmExemplo 269
12.2.2A AnálisedeVariância 270
12.2.3SaídaComputacional273
12.2.4AnáliseResidualeVerificaçãodoModelo 275
12.3 TestesparaMédiasIndividuaisdeTratamento 278
12.3.1ComparaçãoGráficadasMédias 278
12.3.2ContrastesOrtogonais278
12.3.3MétododeFisherdaMínima
DiferençaSignificativa279
12,4 ModelocomEfeitosAleatórios 281
12.5 PlanejamentoAleatorizadocom
BlocosCompletos 284
12.5.1PlanejamentoeAnáliseEstatística284
12.5.2TestesparaasMédiasIndividuais
dosTratamentos287
12.5.3AnáliseResidualeVerificaçãodoModelo 288
12.5.4PlanejamentoAleatorizadocomBlocosCompletos
ecomFatoresAleatórios 288
12.6 DeterminaçãodoTamanhodaAmostraem
ExperimentoscomumÚnico Fator 290
12.6.1O CasodosEfeitosFixos 290
12.6.2O CasodosEfeitosAleatórios 291
ExercíciosSuplementares292
ExercíciosparaExpandiraMente 293
CAPíTULO 13PlanejamentodeExperimentos
comVáriosFatores 295
13.1 Introdução 295
13.2 AlgumasAplicaçõesdasTécnicasde
PlanejamentodeExperimentos 295
13.3 ExperimentosFatoriais 297
13.4 ExperimentosFatoriaiscomDoisFatores 299
13.4.1AnáliseEstatísticadoModelodeEfeitosFixos 300
xii SUMÁRIO
13,4.2VerificaçãodaAdequaçãodoModelo 303
13,4.3SaídaComputacional303
13,4,4UmaObservaçãoporCélula 303
13,4.5FatoresAleatórios304
13.5 ExperimentosFatoriaisGerais 306
13.6 PlanejamentoFatorial2k 309
13.6.1Planejamento22 310
13.6.2Planejamento2k parak ~ 3Fatores313
13.6.3RéplicaÚnicadoPlanejamento2k 318
13.6,4AdiçãodePontosCentraisaum
Planejamento2k 320
13.7 BlocagemeSuperposiçãono Planejamento2k 323
13.8 ReplicaçãoFracionáriadoPlanejamento2k 327
13.8.1UmaMeiaFraçãodoPlanejamento2k 327
13.8.2FraçõesMenores:O FatorialFracionário2k-p 331
13.9 MétodosePlanejamentosdeSuperfície
deResposta 336
13.9.1MétododaAscendentedeMaiorInclinação
(SteepestAscent) 337
13.9.2AnálisedeumaSuperfíciedeRespostade
SegundaOrdem 339
ExercíciosSuplementares343
ExercíciosparaExpandira Mente 346
CAPíTULO 14EstatísticaNão Paramétrica 347
14.1 Introdução 347
14.2 TestedosSinais 348
14.2.1DescriçãodoTeste 348
14.2.2TestedosSinaisparaAmostrasEmparelhadas350
14.2.3ErroTipoII paraoTestedosSinais 350
14.2,4ComparaçãocomoTestet 351
14.3 TestedeWilcoxon do PostocomSinais 352
14.3.1DescriçãodoTeste 353
14.3.2AproximaçãoparaAmostrasGrandes353
14.3.3ObservaçõesEmparelhadas353
14.3,4ComparaçõescomoTestet 354
14.4 TestedeWilcoxon daSoma:1osPostos 355
14,4.1DescriçãodoTeste 355
14,4.2AproximaçãoparaAmostrasGrandes356
14,4.3ComparaçãocomoTestet 356
14.5 MétodosNão
ParamétricosnaAnálise
deVariância 357
14.5.1TestedeKruskal-Wallis357
14.5.2TransformaçãodePosto 358
ExercíciosSuplementares358
ExercíciosparaExpandiraMente 359
CAPíTULO 15ControleEstatísticoda
Qualidade 360
15.1 MelhoriaeEstatísticadaQualidade 360
15.2 ControleEstatísticodaQualidade 361
15.3 ControleEstatísticodeProcesso 361
15.4 IntroduçãoaosGráficosdeControle 361
15,4.1PrincípiosBásicos361
15,4.2ProjetodeumGráficodeControle 364
15,4.3SubgruposRacionais364
15,4,4AnálisedePadrõesdeComportamentopara
GráficosdeControle 365
15.5 GráficosdeControle X e R 367
15.6 GráficosdeControleparaMedidas
Individuais 371
15.7 CapacidadedeProcesso 374
15.8 GráficosdeControleparaAtributos 377
15.8.1GráficoP (GráficodeControlepara
Proporções377
15.8.2GráficoU (GráficodeControlepara
DefeitosporUnidade) 378
15.9 DesempenhodoGráficodeControle 380
15.10GráficodeControledaSoma
Cumulativa 382
15.11OutrasFerramentasparaResolver
ProblemasdeCEP 386
15.12Implementandoo CEP 388
ExercíciosSuplementares389
ExercíciosparaExpandiraMente 391
AP~NDICES 393
A TabelaseGráficosEstatísticos 395
B MaterialTécnicoSuplementar 426
I TécnicasdeContagem 426
II FunçãoGeradoradeMomento 429
III FunçõesdeVariáveisAleatórias 432
IV DesenvolvimentodasDistribuições
te F 436
V AbordagemBayesianaparaEstimação 437
VI TestesdaRazãodaVerossimilhança 439
VII FatoresAleatóriosemExperimentos
Fatoriais 440
C Bibliografia 445
D RespostasdosExercíciosSelecionados 447
íNDICE 460
oPapeldaEstatística
naEngenharia
ESQUEMA DO CAPÍTULO
1.1 oMÉTODO DE ENGENHARIA E O JULGAMENTO
ESTATÍSTICO
1.1.1EngenhariaeResoluçãodeProblemas
1.1.2JulgamentoEstatístico
1.2 COLETANDO DADOS EM ENGENHARIA
1.1O MÉTODO DE ENGENHARIA E O
JULGAMENTO ESTATÍSTICO
1.1.1EngenhariaeResolução
deProblemas
Um engenheiroéalguémqueresolveproblemasdeinteresseda
sociedade,pelaaplicaçãoeficientedeprincípioscientíficos.Os
engenheirosexecutamissoatravésdorefmamentodoproduto
ouprocessosexistentes,oupeloprojetodeumnovoproduto,ou
processoqueencontreasnecessidadesdos consumidores.O
métodode engenhariaou científicoé a abordagemparafor-
mulare resolveressesproblemas.As etapasno métododeen-
genhariasãodadasa seguir:
1. Desenvolverumadescriçãoclaraeconcisadoproblema.
2. Identificar,no mínimotentar,os fatoresimportantesque
afetamesseproblemaou quepossamdesempenharum
papelemsuasolução.
3. Proporummodeloparaoproblema,usandoconhecimento
científicooudeengenhariadofenômenoestudado.Esta-
belecerlimitaçõesousuposiçõesdomodelo.
4. Conduzirexperimentosapropriadose coletardadospara
testarouvalidaro modelo-tentativaou conclusõesfeitas
nasetapas2 e 3.
5. Refinaro modelo,combasenosdadosobservados.
1.3 MODELOS MECANICISTAS E EMPÍRICOS
1.4 PLANEJANDO INVESTIGAÇÕES
EXPERIMENTAIS
1.5 OBSERVANDO PROCESSOS AO LONGO DO TEMPO
6. Manipularomodelodemodoaajudaro desenvolvimento
dasoluçãodoproblema.
7. Conduzirumexperimentoapropriadoparaconfirmarque
a soluçãopropostaparao problemaé efetivaeeficiente.
8. Tirarconclusõesoufazerrecomendaçõesbaseadasnaso-
luçãodoproblema.
As etapasno métododeengenhariasãomostradasnaFig. 1.1.
Notequeométododeengenhariacaracterizaumaforterelação
recíprocaentreoproblema,osfatoresquepodeminfluenciarsua
solução,ummodelodofenômenoeaexperiênciaparaverificar
aadequaçãodomodeloedasoluçãopropostaparaoproblema.
As etapas2-4,naFig. 1.1,sãocolocadasemumretângulo,in-
dicandoqueváriosciclosou iteraçõesdessasetapaspodemser
requeridosparaobtera soluçãofinal. Conseqüentemente,en-
genheirostêmdesabercomoplanejar,eficientemente,osexpe-
rimentos,coletardados,analisare interpretarosdadose enten-
dercomoosdadosobservadosestãorelacionadosaomodeloque
elespropuseramparao problemasobestudo.
O campodaestatísticalida coma coleta,a apresentação,a
análisee o usodosdadosparatomardecisões,resolverproble-
maseplanejarprodutoseprocessos.Devidoa muitosaspectos
dapráticadeengenhariaenvolveremotrabalhocomdados,ob-
viamentealgumconhecimentodeestatísticaé importantepara
qualquerengenheiro.Especificamente,técnicasestatísticaspo-
demserumaajudapoderosanoplanejamentodenovosprodu-
2 O PAPEL DA ESTATÍSTICA NA ENGENHARIA
Definição
Seasn observaçõesemumaamostraforemdenotadaspor
XI' X2, ... , X,,, então,amédiadaamostraserá
12,6+12,9+... +13,1
8
EXEMPLO 1.1
A médiadaamostradaforçaderemoçãoparaasoitoobserva-
çõescoletadasnosprotótiposdosconectoresé
8
2: Xi
X = Xl +Xl +... Xn =;=I
n 8
(1.1)
n
2: Xi
;=1
n
x = XI +Xl +... +Xn
n
A Fig. 1.2apresentaumdiagramadepontosdessesdados.
O diagramadepontoséumgráficomuitoútilparaexibirumpe-
quenoconjuntodedados,istoé,cercade20observações.Esse
gráficonospermitiráverfacilmenteduascaracterísticasdosda-
dos;a localizaçãoouomeio,eo espalhamentoouavariabili-
dade.Quandoo númerodeobservaçõesépequeno,geralmente
édificil identificarqualquerpadrãoespecíficonavariabilidade,
emborao diagramadepontossejaumamaneiraconvenientede
verquaisquercaracterísticasincomunsnosdados.
Podemostambémdescrevernumericamenteascaracterísti-
casdosdados.Por exemplo,podemoscaracterizara localiza-
çãooutendênciacentralnosdadosatravésdamédiaaritmética
comum.Porquequasesemprepensamosemnossosdadoscomo
sendoumaamostra,referir-nos-emosàmédiaarítméticacomo
a médiada amostra.
tosesistemas,melhorandoosprojetosexistenteseplanejando,
desenvolvendoemelhorandoosprocessosdeprodução.
Métodosestatísticossãousadosparanosajudara entender
avariabilidade.Por variabilidade,queremosdizerquesucessi-
vasobservaçõesdeumsistemaoufenômenonãoproduzemexa-
tamenteo mesmoresultado.Todosnósencontramosvariabili-
dadeemnossodia-a-diaeojulgamentoestatísticopodenosdar
umamaneiraútil paraincorporaressavariabilidadeemnossos
processosdetomadadedecisão.Por exemplo,considereo de-
sempenhodeconsumodegasolinade seucarro.Você sempre
consegueomesmodesempenhodeconsumoemcadatanquede
combustível?Naturalmente,não-na verdade,algumasvezeso
desempenhovariaconsideravelmente.Essavariabilidadeobser-
vadano consumode gasolinadependedemuitosfatores,tais
comoo tipodeestradamaisusadarecentemente(cidadeoues-
trada),asmudançasnacondiçãodoveÍCuloaolongodotempo
(quepoderiamincluir fatorescomodesgastedopneuou com-
pressãodomotoroudesgastedaválvula),amarcae/ounúmero
deoctanagemdagasolinausada,oumesmo,possivelmente,as
condiçõesclimáticas.Essesfatoresrepresentamfontespoten-
ciaisdevariabilidadenosistema.A Estatísticanosforneceuma
estruturaparadescreveressavariabilidadee paraaprenderso-
brequaisfontespotenciaisdevariabilidadesãomaisimportan-
tesou quaistêmo maiorimpactono desempenhodeconsumo
de gasolina.
Encontramostambémvariabilidadeemproblemasdeenge-
nharia.Por exemplo,suponhaqueumengenheiroestejaproje-
tandoumconectordenáilonparaserusadoemumaaplicação
automotiva.O engenheiroestáconsiderandoestabelecercomo
especificaçãodoprojetoumaespessuradeparedede3/32pole-
gada,masestá,dealgummodo,inseguroacercadoefeitodessa
decisãonaforçaderemoçãodoconector.Seaforçaderemoção
for muitobaixa,o conectorpodefalharquandoelefor instalado
nomotor.Oitounidadesdoprotótiposãoproduzidasesuasfor-
çasderemoçãosãomedidas,resultandonosseguintesdados(em
libras-pé):12,6;12,9;13,4;12,3;13,6;13,5;12,6;13,1.Como
antecipamos,nemtodososprotótipostêmamesmaforçadere-
moção.
<-
A médiadaamostraéovalormédiodetodasasobservações
doconjuntodedados.Geralmente,essesdadossãoumaamos-
tra deobservaçõesquefoi selecionadaapartirdealgumapo-
pulaçãograndedeobservações.Aqui, apopulaçãodeveconsis-
Uma interpretaçãofisica damédiadaamostracomouma
medidadalocalizaçãoémostradanaFig. 1.3,queéumdiagrama
depontosdosdadosdaforçaderemoção.Notequeamédiada
amostrax =13,0podeserpensadacomoum"pontodebalan-
ço".Ou seja,secadaobservaçãorepresentar1librademassa
colocadano pontono eixoX, entãoo fulcro localizadoem x
equilibrariaexatamenteessesistemadepesos.
Forçaderemoção
I
1514
13,0
104
8
13
•• • • • •••
12
Fig. 1.1O métododesoluçãodeumproblema.
Fig. 1.2Diagramadepontosdosdadosdaforçaderemoção,quandoaespessura
daparedefor 3/32polegada.
o PAPEL DA EsTA TfsTICA NA ENGENHARIA 3
Definição
Fig. 1.3A médiadaamostracomoum pontodeequilibrioparaum sistemade
pesos.
SeXI, X2, ..• , Xn forumaamostraden observações,entãoa
variância da amostraserá
tir emtodososconectoresqueserãovendidosaosconsumido-
res.Algumasvezes,existeumapopulaçãofísicareal,tal como
umaporçãodepastilhasdesilícioproduzidasemumafábricade
semicondutores.Podemospensartambémemcalcularo valor
médiodetodasasobservaçõesemumapopulação.Essamédiaé
chamadademédiapopulacional,sendodenotadapelaletragre-
gafL(mi).
Quandohouverumnúmerofinitodeobservações(istoé,N)
napopulação,entãoa médiapopulacionalserá
Xi Xi - X(Xi - X)2
1
12,6 -0,40,16
2
12,9 -0,10,01
3
13,4 0,40,16
4
12,3 -0,70,49
5
13,6 0,60,36
6
13,5 0,50,25
7
12,6 -0,40,16
8
13,1 0,10,01--
----
1"04,0 0,01,60
assim,avariânciadaamostraé
Tabela 1.1CálculodosTermosparaaVariânciaeDesvio-Padrãoda
Amostra
2 1,60 1,60 02286(l'b ,)2s =8 _ 1 =-7-=, I ras-pe
e o desvio-padrãodaamostraé
EXEMPLO 1.2
A Tabela1.1apresentaasquantidadesnecessáriasparacal-
cularavariânciae o desvio-padrãodaamostraparaos dados
daforçaderemoção.EssesdadossãograficadosnaFig. 1.4.
O numeradordeS2é
8
L (Xi - x)2 = 1,60
i=1
s = v'0,2286=0,48libras-pé
dadosdaforçaderemoçãodoconector.Quantomaioravariabi-
lidadenosdadosdaforçaderemoção,maiorseráovalorabsolu-
todealgunsdosdesviosXi - X. UmavezqueosdesviosXi - X
somarãozero,temosdeusarumamedidadevariabilidadeque
transformeosdesviosnegativosemquantidadesnãonegativas.
Elevar ao quadradoos desviosé uma abordagemusadana
variânciadaamostra.Conseqüentemente,seS2forpequeno,ha-
verá,relativamente,poucavariabilidadenosdados;porém,seS2
forgrande,avariabilidadeserárelativamentegrande.
(1.2)
(1.3)
N
L Xi
i=1f..L=--N
n
L (Xi - X)2
S2 = _i=_I _
n - 1
i; 13
•
L
•
•• •••
I
I
12 À
1415
Forçade remoção
A médiada amostra,X, é umaestimativarazoávelda média
populacional, fL. Logo, o engenheiroduranteo projeto do
conectorusandoumaespessuradeparedede3/32polegadacon-
cluiria,combasenosdados,queumaestimativadaforçadere-
moçãomédiaseria13,0libras-pé.
Nos capítulosseguintes,discutiremosmodelosparapopula-
çõesinfinitase issonos levaráa urnadefmiçãomaisgeralde
médiapopulacional,fL. Muitosproblemasimportantesdeenge-
nhariaenvolvemfazerreferênciasoutomardecisõessobreuma
médiapopulacional.
Emboraamédiadaamostrasejaútil, elanãotransmitetoda
a informaçãoacercadeumaamostradedados.A variabilidade
ou dispersãonosdadospodeserdescritapelavariância ou o
desvio-padrãoda amostra.
odesvio-padrãodaamostra,s,éaraizquadradapositi-
va davariânci<;ldaamostra. o
o
o o X o o o o
12 13 14 15
As unidadesdemedidasparaa variânciadaamostrasãoo
quadradodasunidadesoriginaisdavariável.Assim, sex for
medidoemlibras-pé,asunidadesparaa variânciada amostra
serão(libras-pé)2.O desvio-padrãotemumapropriedadedesejá-
veldevariabilidadedemedidanasunidadesoriginaisdavariável
deinteresse,x.
Como aVariância daAmostra Mede aVariabilidade?
Paravercomoavariânciadaamostramedeadispersãoouava-
riabilidade,vejaaFig. 1.4quemostraosdesviosXi - X paraos
Fig. 1.4 Como a variância da amostra mede a variabilidade atravésdos
desviosXi - x.
4 O PAPEL DA EsTATÍSTICA NA ENGENHARIA
EXEMPLOl.3
Calcularemosavariânciaeo desvio-padrãodaamostra,usan-
do o métododoatalho,Eq. IA. A fórmulafornece
n Il
2: X? +n:x2 - 2:X 2: Xi
i=1 i=1
n - 1
NotequeaEq. IA requerquesecalculeo quadradodecadaXi'
levando-se,então,aoquadradoasomadeXi' subtraindo('i,xY/n
deI x;,efinalmentedividindoporn - I. Algumasvezes,issoé
chamadodemétodoabreviadoparacálculodeS2 (ous).
n
e,já quex =(l/n) I,Xi' essaúltimaequaçãosereduzai = 1
(±X.)2
±X?- i=1 I (104)
2 i=1 ns =--------
n - 1
(1.6)r = máx(xi) - mín(xi)
Umadefiniçãomaisgeraldavariânciacr serádadaadiante.
Observamos,previamente,queamédiadaamostrapoderiaser
usadacomoumaestimativadamédiapopulacional.Similarmen-
te,avariânciadaamostraéumaestimativadavariânciadapo-
pulação.
Note queo divisordavariânciadaamostraé o tamanhoda
amostramenosum(n - I), enquantoparaavariânciadapopula-
ção,o divisoré o tamanhoN dapopulação.Sesoubéssemoso
valor verdadeirodamédiapopulacional]L, entãopoderíamos
encontrara variânciadaamostracomoa médiadosquadrados
dosdesviosdasobservaçõesdaamostraemtomode]L. Na prá-
tica,ovalorde]L quasenuncaéconhecidoe,dessaforma,asoma
dosquadradosdosdesviosemtomodamédiax daamostratem
deserusada.No entanto,asobservaçõesXi tendema sermais
próximasdeseuvalormédio,x, doqueamédiapopulacional,]L.
Por conseguinte,paracompensarisso,usamosn - 1 comoo
divisoremvezden.Seusássemosn comoodivisornavariância
daamostra,obteríamosumamedidadevariabilidadequeseria,
emmédia,consistentementemenorqueavariânciaverdadeiracr
dapopulação.
Umaoutramaneiradepensaracercadissoéconsiderarava-
riânciaS2 daamostra,comoestandobaseadaemn - I grausde
liberdade.O termograusdeliberdaderesultadofatodequen
desviosXl - x, X2 - x, ..., Xn - x sempresomamzeroe,as-
sim,especificarosvaloresdequaisquern - I dessasquantida-
desdeterminaautomaticamenteaquelerestante.Isso foi ilus-
tradonaTabela1.1.Dessaforma,somenten - I dosn desvios,
Xi - x,estãolivrementedeterminados.
Alémdavariânciaedodesvio-padrãodaamostra,aamplitu-
deda amostra,ouadiferençaentreamaioreamenorobserva-
ção,éumamedidaútildevariabilidade.A amplitudedaamostra
édefinidacomosegue.
Definição
Seasnobservaçõesemumaamostraforemdenotadaspor
XI' X2, ... , x," entãoaamplitudedaamostraserá13536 _ (104f, 8
7
Il
2: (X? +:x2 - 2ix;)
i=1
n-
n
2: (xi -:xi
2 i=1S =-----
n - I
( n )2
n 2: Xi
2:x?- i=1
2 i=I nS =--------
n - 1
Cômputode 52
O cômputodeS2 requero cálculodex, n subtraçõesen opera-
çõesdeelevaraoquadradoesomar.Seasobservaçõesoriginais
ouosdesviosXi - x nãoforeminteiros,podesertediosotraba-
lharcomosdesviosXi - X eváriosdecimaispodemterdeser
carregadosparaassegurara exatidãonumérica.Uma fórmula
computacionalmaiseficienteparaavariânciadaamostraéobti-
dacomosegue:
e
s =VO,2286 =0,48libras-pé
Essesresultadosconcordamexatamentecomaquelesobtidos
previamente.
= 1,;0 =0,2286(libras-pé)2 Paraosdadosdaforçaderemoção,aamplitudedaamostraé
r =13,6- 12,3=1,3.Geralmente,àmedidaqueavariabilidade
nos dadosda amostraaumenta,a amplitudeda amostraau-
menta.
A amplitudedaamostraéfácildecalcular,masignoratodaa
informaçãocontidanosdadosentreosvaloresmaiore menor.
Por exemplo,asduasamostras1,3,5,8 e9 e 1,5,5,5,9 têma
mesmaamplitude(r =8).Entretanto,odesvio-padrãodaprimei-
ra amostraé SI =3,35,enquantoo desvio-padrãodasegunda
amostraéS2 =2,83.A variabilidadeérealmentemenornasegun-
daamostra.
Algumasvezes,quandoo tamanhodaamostraforpequeno,
istoé,n<8ou10,aperdadeinformaçãoassociadacomaampli-
tudenãoémuitoséria.Por exemplo,aamplitudeé largamente
utilizadaemcontroleestatísticoda qualidade,ondetamanhos
deamostrade4 ou5 sãorazoavelmentecomuns.Discutiremos
algumasdessasaplicaçõesno Capo15.
A média,avaríânciaeodesvio-padrãodaamostraeo diagra-
madepontossãosimples,aindaqueefetivasmaneirasderesu-
(1.5)
N
2: (xi - f.L)2
0'2 =_i=_1 _
N
AnálogaàvariânciadaamostraS2,existeumamedidadevari-
abilidadenapopulaçãochamadadevariânciadapopulação.Usa-
remosaletragregacr (sigmaaoquadrado)paradenotaravariância
dapopulação.A raiz quadradapositivadecr,ou CJ', denotaráo
desvio-padrãodapopulação.Quandoapopulaçãoforfinitaecon-
sistiremN valores,podemosdefinira variânciadapopulação
como
oPAPEL DA EsTATÍSTICA NA ENGENHARIA 5
mir os dados.Outrosmétodosparadescreveros dadosserão
apresentadosno Capo2.
Osengenheirosestãofreqüentementeinteressadosemdesen-
volverummodelodosistemaouprocessoquegerouosdados.
Essesmodelosenvolvemconceitosdeprobabilidadequeserão
introduzidosno Capo3.Veremosqueanoçãodeumadistribui-
çãodeprobabilidade,comoummodeloquedescreveavaria-
bilidadeemum sistemaou processo,é muito importanteno
ambientedeengenharia.Os Caps.4-6explorarãoessesconcei-
tosemdetalhes.
1.1.2JulgamentoEstatístico
A necessidadedeumjulgamentoestatísticoaparecefreqüente-
mentenasoluçãodeproblemasdeengenharia.Considereo en-
genheiroprojetandoo conector.A partirdetestesemprotótipo,
elesabequeumaestimativarazoávelda forçamédiaderemo-
çãoseria13,0lb-ft. Entretanto,elepensaqueessevalorpode
sermuitobaixoparaa aplícaçãopretendida;assim,eledecide
considerarumprojetoalternativocomumaespessuramaiorde
parede,1/8polegada.Oitoprotótiposdesseprojetosãoconstru-
ídoseasmedidasobservadasdaforçaderemoçãosão:12,9;13,7;
12,8;13,9;14,2;13,2;13,5e 13,1.A médiae o desvio-padrão
daamostrasão 13,4e 0,50,respectivamente.Resultadospara
ambasasamostrassãograficadoscomodiagramadepontosna
Fig. 1.5.Essegráficoeoscálculosprecedentesdãoaimpressão
dequeo aumentodaespessuradaparedelevouaumaumento
naforçaderemoção.No entanto,háalgumasquestõesóbviasa
perguntar.Por exemplo,comosabemosqueumaoutraamostra
deprotótiposnãodaráresultadosdiferentes?A amostradeoito
protótiposé adequadaparafornecerresultadosconfiáveis?Se
usarmos.osresultadosobtidosdostestesatéagoraparaconcluir
queaumentandoa espessuradaparedeaumentaa resistência,
quaisosriscosqueestãoassociadoscomessadecisão?Porexem-
plo, serápossívelqueo aumentoaparentenaforçaderemoção
observadanosprotótiposmais espessossejaapenasdevidoà
variabilidadeaparenteno sistemae queo aumentodaespessura
daparte(e seucusto)realmentenãoafetea forçaderemoção?
Freqüentemente,as leis fisicas(taiscomoa lei deOhm e a
lei degásideal)sãoaplicadasparaajudarnoprojetodeprodu-
tose processos.Estamosfamiliarizadoscomesseraciocínioa
partirdeleis geraisparacasosespeciais.Porém,tambémé im-
portanteraciocinarapartirdeumasérieespecíficademedidas
paracasosmaisgeraispararesponderàsquestõesprévias.Esse
argumentoé a partirdeumaamostra(talcomoos oito conec-
tores)paraumapopulação(talcomoos conectoresqueserão
vendidosaos consumidores).O raciocínio é referido como
inferência estatística.Ver Fig. 1.6.Historicamente,medidas
foramobtidasdeumaamostradepessoasegeneralizadaspara
umapopulação,mantendo-sea terminologia.Claramente,o
raciocíniobaseadonasmedidasdealgunsobjetosparamedidas
emtodososobjetospoderesultaremerros(chamadosdeerros
deamostragem).No entanto,sea amostrafor selecionadaade-
quadamente,essesriscospoderãoserquantificadoseumtama-
nhoapropriadodeamostrapodeserdeterminado.
• =f2 polegada
o= ~ polegada
Fig. 1.6Inferênciaestatisticaéumtipoderaciocínio.
População
futura
?
Tempo.
1- - - - - - - - - - - ,
I
I
I
I
I
I
I
I
I I
, J
Estudo
analítico
Estudo
enumerativo
1- - - - - - - - - - - ,
I
I População
I ?
: (:::):!_-~---j
xl' X2"'" xn.
Em algunscasos,aamostraérealmenteselecionadaapar-
tir dapopulação.A amostraéumsubconjuntodapopulação.
Por exemplo,umaamostradetrêspastilhaspodeserselecio-
nadade um lote de produçãodepastilhasna fabricaçãode
semicondutores.Baseadonos dadosda amostra,queremos
concluiralgumacoisaarespeitodolote.Por exemplo,amédia
dasmedidasderesistividadena amostra(:X) nãoé esperada
paraigualarexatamenteàmédiadasmedidasderesistividade
no lote (f.L). Entretanto,se :x for alta,devemosestarpreocu-
padoscomque f.L sejamuitoalta.A inferênciaestatísticaé a
partirde :x para f.L.
Em outroscasos,apopulaçãonãoexisteainda,masdeveser
pensadacomofuturasréplicasdosobjetosnaamostra.Parares-
ponderàsquestõesprévias,os oito protótiposdosconectores
têmdeserrepresentantivos,decertomodo,daquelesqueserão
vendidosaosconsumidores.Geralmente,osoitoconectoressão
vistoscomoumaamostradapopulaçãodeconectoresqueserão
vendidosaosconsumidores.Claramente,essaanáliserequeral-
gumanoçãodeestabilidadecomoumasuposiçãoadicional.Por
exemplo,deveserconsideradoqueasfontesdevariabilidadena
fabricaçãodeprotótipos(taiscomotemperatura,pressãoetem-
po decura)sãoasmesmasqueaquelasparaosconectoresque
serãovendidosaosconsumidores.
O exemplodepastilhasapartirdeloteséchamadodeestudo
enumerador.Umaamostraéusadaparafazerumainferênciaà
populaçãodaqualaamostraéselecionada.O exemplodoconector
échamadodeestudoanalítico.Umaamostraéusadaparafazer
umainferênciaaumapopulaçãofutura.As análisesestatísticas
sãogeralmenteasmesmasemambososcasos,porémumestudo
analíticorequer,claramente,umasuposiçãodeestabilidade.Ver
Fig.1.7.
I
15
o• 00 00 o o o• •• •••
I
13 14
Forçade remoção
•
12
Fig. 1.5Diagramadepontosdaforçaderemoçãoparaduasespessurasdeparede. Fig. 1.7Estudoenumerativoversusestudoanalítico.
6 O PAPEL DA ESTATÍSTICA NA ENGENHARIA
1.2COLETANDO DADOS DE ENGENHARIA
Na seçãoprévia,ilustramosalgunsmétodossimplespararesu-
mirdados.No ambientedeengenharia,osdadossãoquasesem-
preumaamostraquefoi selecionadaapartirdealgumapopula-
ção.Geralmente,essesdadossãocoletadosemumadasduas
maneirasaseguir.
A primeiramaneirapelaqualosengenheirosfreqüentemente
coletamdadoséapartirdeumestudoobservacional.Nessasitu-
ação,o processoou sistemaqueestásendoestudadopodeser
observadosomentepelo engenheiroe os dadossãoobtidosà
medidaquesetomamdisponíveis.Porexemplo,suponhaqueum
engenheiroestejaavaliandoo desempenhodeumprocessode
fabricaçãodecomponentesplásticosatravésdainjeçãoemmol-
de.Pode-seobservaro processo,selecionarcomponentesà
medidaquesãofabricadosemedirimportantescaracterísticasde
interesse,taiscomoaespessuradaparede,o encolhimentooua
resistênciadapeça.O engenheiropodemedirtambémeregistrar
asvariáveisdeprocessopotencialmenteimportantes,taiscomo
atemperaturadomolde,o conteúdodeumidadedamatéria-pri-
maeotempodociclo.Freqüentemente,emumestudoobserva-
dor,o engenheiroestáinteressadoemusarosdadosparacons-
truir um modelodo sistemaou processo.Essesmodelossão
freqüentementechamadosdemodelosempíricos,sendointrodu-
zidose ilustradosemmaioresdetalhesnapróximaseção.Uma
outramaneiraé queos dadosobservadossãoobtidosatravés
daanálisededadoshistóricosdosistemaouprocesso.Porexem-
plo, nafabricaçãodesemicondutores,érazoavelmentecomum
manterregistrosextensosdecadabateladaou lotedepastilhas
quefoi produzido.Essesregistrosincluiriamdadosdetestede
característicasfisicase elétricasdaspastilhas,assimcomoas
condiçõesdeprocessamentosobasquaiscadabateladadepas-
tilhasfoi produzida.Se apareceremquestõesrelativasa uma
mudançaemumaimportantecaracterísticaelétrica,ahistóriado
processopodeserestudadaemum esforçoparadeterminaro
pontono tempoondea mudançaocorreue paraganharalgum
discernimentoemrelaçãoàsvariáveisdoprocessoquedevem
serresponsáveispelamudança.Freqüentemente,essesestudos
envolvemumconjuntomuitograndededadose requeremum
firmedomíniodosprincípiosestatísticos,seoengenheiroquiser
alcançaro sucesso.
A segundamaneirapelaqualosdadosdeengenhariasãoob-
tidoséatravésdeumexperimentoplanejado.Em umexperi-
mentoplanejado,oengenheirofazvaríaçõespropositaisnasva-
riáveiscontroláveisdealgunssistemasouprocessos,observaos
dadosdesaídadosistemaresultantee,então,fazumainferência
oudecisãosobreasvariáveisquesãoresponsáveispelasmudan-
çasobservadasnodesempenhodesaída.O exemplodoconector
deplásticonaseçãopréviailustrouumexperimentoplanejado;
ouseja,umamudançadeliberadafoi feitanaespessuradapare-
dedoconector,como objetivodedescobrirseumaforçadere-
moçãomaiorpoderiaserounãoobtida.O planejamentodeex-
perimentostemumpapelmuitoimportantenoprojetoedesen-
volvimentodeengenhariaenamelhoriadosprocessosdefabri-
cação.Geralmente,quandoprodutoseprocessossãoplanejados
edesenvolvidoscomexperimentosplanejados,elestêmmelhor
desempenho,maisaltaconfiabilidadeemenorescustosglobais.
Experimentosplanejadostambémdesempenhamum papel
crucialnareduçãodotempodeconduçãodeumprojetodeen-
genhariaedodesenvolvimentodeatividades.Na Seção1.4,ilus-
traremosváriostiposdeexperimentosplanejadosparao exem-
plo doconector.
Na Seção 1.1, introduzimos os conceitos de estudos
enumeradorese analíticos.A maioriadosproblemasde enge-
nhariaenvolveosestudosanalíticos.Os dadosprovenientesde
observaçãoeosdadosprovenientesdeexperimentosplanejados
podemserobtidosemambosos tiposdeestudos,masfreqüen-
tementeelesenvolvemestudosanalíticos;istoé,ainferênciaou
decisãodaanáliseésobrecomoo sistemaouo processosede-
sempenharáno futuro.
A habilidadedepensareanalisar,estatisticamente,osdados
amostraisnoscapacitaráa responderquestõessobreo sistema
ouo processoemestudo.Por exemplo,considereo problemaa
respeitodaescolhadaespessuradaparededoconectordenái-
lon.Uma abordagemquepoderiaserusadanaresoluçãodesse
problemaécompararasmédiasdaforçaderemoçãopara3/32
polegada,JkJI32, epara1/8polegada,J.LU8, usandoatécnicadeteste
estatísticodehipóteses.Os Caps.8 e9 discutirãoo testedehi-
póteseseoutrastécnicasrelacionadas.Emgeral,umahipóteseé
umaafirmaçãosobrealgumaspectodo sistemaemquetenha-
mosinteresse.Por exemplo,o engenheiropodeestarinteressa-
do emsabersea forçamédiaderemoçãode3/32polegadaex-
cedeacargamáximatípicaaserencontradanessaaplicação,ou
seja,12,75libras-pé.Assim sendo,estaríamosinteressadosem
testarotestedehipótesesemquearesistênciamédiaJ.L3132 exce-
deria12,75libras-pé.Isso é chamadodeproblemadetestede
hipótesescomumaúnicaamostra.O Capo8 apresentarátécni-
casparaessetipodeproblema.Alternativamente,o engenheiro
podeestarinteressadoemtestarahipótesedequeumaumento
daespessuradaparedede3/32para1/8depolegadaresultaem
umaumentodaforçamédiaderemoção.Claramente,esseéum
exemplodeestudoanalíticoetambémumexemplodeumpro-
blemaenvolvendotestedehipótesesparaduasamostras.Pro-
blemasdessetiposerãodiscutidosno Capo9.
---------EXERCÍCIOS PARA AS SEÇÕES 1.1E 1.2---------
1.1. Foramfeitasoitomedidasdodiâmetrointernodeanéisdepis- 7099;6930;6992;7518;7100;6935;7518;7013;6800;7041
tãoforjadosdeummotordeumautomóvel.Osdados(emmm) e 6890.Calculea médiae o desvio-padrãodaamostra.Cons-
são:74,001;74,003;74,015;74,000;74,005;74,002;74,005e truaumdiagramadepontosdosdados.
74,004.Calculeamédiaeodesvio-padrãodaamostra,construa 1.4. Um artigono Journal o/ StructuralEngineering(Vol. 115,
umdiagramadepontosecomenteosdados. 1989)descreveumexperimentoparatestara resistênciaresul-
1.2. Em AppliedLi/e DataAnalysis(Wiley, 1982),WayneNelson tanteemtuboscircularescomcalotassoldadasnasextremida-
apresentao tempodeesgotamentodeumfluido isolanteentre des.Osprimeirosresultados(emkN) são:96;96;102;102;102;
eletrodosa 34 kV. Os tempos,emminutos,são:0,19;0,78; 104;104;108;126;126;128;128;140;156;160;160;164e
0,96;1,31;2,78;3,16;4,15;4,67;4,85;6,50;7,35;8,01;8,27; 170.Calculea médiae o desvio-padrãodaamostra.Construa
12,06;31,75;32,52;33,91;36,71e 72,89.Calculea médiae umdiagramadepontosdosdados.
o desvio-padrãodaamostra. 1.5. Um artigoemHumanFactors (junhode1989)apresentouda-
1.3. A ediçãodejaneirode 1990deArizona Trendcontémum su- dossobreaacomodaçãovisual(umafunçãodomovimentodo
plementodescrevendoos 12"melhores"camposde golfedo olho),reconhecendoumpadrãodemanchaemumvídeoCRT
estado.Os comprimentosdessescamposemjardassão:6981; de altaresolução.Os dadossão:36,45;67,90;38,77;42,18;
o PAPEL DA EsTATÍSTlCA NA ENGENHARIA 7
1.6.
26,72; 50,77; 39,30e 49,71. Calcule a média e o desvio- 1.7.
padrão da amostra.Construaum diagramade pontos dos
dados. 1.8.
Os seguintesdadossãomedidasde intensidadesolar direta
(watts/m2), emdiasdiferentes,emumalocalizaçãono sul da
Espanha:562;869;708;775;775;704;809;856;655;806;878;
909;918;558;768;870;918;940;946;661;820;898;935;
952;957;693;835;905;939;955;960;498;653;730e 753.
Calculeamédiae o desvio-padrãodaamostra.
ParacadaumdosExercícios1.1a 1.6,discutaseosdadosresul-
tamdeumestudoobservadooudeumexperimentoplanejado.
A ediçãode22 deabrilde 1991deAviation WeekandSpace
Technologyreportaque,duranteumaoperaçãodeguerrano
deserto,pilotosdaforçaaéreaamericana(F-117A)realizaram
1270vôos decombate,comumtotalde6905horas.Qual foi
a duraçãomédiadeumamissãoF-117A duranteessaopera-
ção?Por queo parâmetroquevocêcalculoufoi a médiapo-
pu1aciona1?
1.3MODELOS MECANICISTAS E EMPÍRICOS
em que aforma da funçãof édesconhecida.Talvez, um modelo
de trabalho pudesse ser desenvolvido a partir de uma expansão
em série de Taylor, considerando apenas o termo de primeira
ordem, produzindo assimum modelo da forma
Mn = 130 + 131V + !32C + !33T (1.10)
sendo f3's os parâmetrosdesconhecidos.Agora, assim como na
lei deOhm, essemodelo não descreveráexatamenteo fenômeno,
de modo que devemosconsiderar outrasfontes de variabilidade
Os modelos desempenhamum importante papel na análise de
praticamentetodos os problemas de engenharia.Muito da edu-
cação formal de engenheiros envolve o aprendizado sobre os
modelos relevantes a campos e a técnicas específicos para apli-
car essesmodelos na formulação e solução deproblemas. Como
um simples exemplo, suponhaqueestejamosmedindo a corren-
te em um fio fino de cobre. Nosso modelo para essefenômeno
pode ser a lei de Ohm
Corrente =voltagem/resistência
(1.11)
Tabela 1.2Dadossobrea ResistênciadeTraçãodaCola no Arame
Resistência
Comprimento
Número da
à Traçãodo ArameAltura do Molde
Observação
yXI X,
I
9,95250
2
24,458110
3
31,7511120
4
35,0010550
5
25,028295
6
16,864200
7
14,382375
8
9,60252
9
24,359100
10
27,508300
11
17,084412
12
37,0011400
13
41,9512500
14
11,662360
15
21,654205
16
17,894400
17
69,0020600
18
10,301585
19
34,9310540
20
46,5915250
21
44,8815290
22
54,1216510
23
56,6317590
24
22,136100
25
21,155400
Esse é o modelo queusaremospararelacionaro pesomolecularàs
outrastrêsvariáveis.Essetipoéchamadomodelo empírico; ou seja,
eleusaanossaengenhariae o conhecimentocientífico do fenôme-
no,porémnãoédiretamentedesenvolvidoapartirdenossoconheci-
mentoteórico ou dosprimeiros princípios do mecanismobásico.
Com o objetivo de ilustraressasidéias comum exemploespe-
cífico, considereos dadosna Tabela 1.2.Essa tabelacontém da-
dos dastrêsvariáveis, que foram coletadosem uma plantade fa-
bricação de semicondutores.Nessa planta, o semicondutor[mal
é um aramecolado a uma estrutura.As variáveis reportadassão
a resistência à tração (uma medida da quantidade de força
requeridapararomper a cola), o comprimentodo aramee a altura
da matriz. Gostariamos de encontrarum modelo relacionando a
resistênciaà tração,ao comprimentodo aramee à alturadamatriz.
Infelizmente, não há mecanismofisico quepossamosfacilmente
aplicar aqui. Por conseguinte,não pareceprovável quea aborda-
gem de modelo mecanicistapossa ser usada com sucesso.Note
queesseé um exemplode um estudoobservador(ver Seção 1.2).
quepossam afetar o peso molecular. Desse modo, adicionamos
um outro termo ao modelo resultando
(1.9)
(1.8)
(1. 7)
1= E/R
I=E/R+E
Mn =I(V, C, T)
sendo E um termo adicionado ao modelo para considerar o fato
de que os valores observados da correntenão seguemperfeita-
menteo modelo mecanicista.Podemos pensarE como sendoum
termo que inclui os efeitos de todas as fontes não modeladas de
variabilidade que afetamesse sistema.
Algumas vezes, os engenheiros trabalham com problemas
para os quaisnão há modelo mecanicista simples ou bem enten-
dido, queexplique o fenômeno.Por exemplo, suponhaque este-
jamos interessados no peso molecular médio (Mil) de um
polímero. Agora, sabemos que Mil está relacionado à viscosi-
dade (V) do material e também depende da quantidade de
catalisador (C) e da temperatura(1)no reatorde polimerização,
quando o material é fabricado. A relação entreMil e essasvariá-
veis é
Chamamos esse tipo de modelo mecanístico, porque ele é
construído a partir denosso conhecimento do mecanismo fisico
básico,querelacionaessasvariáveis.No entanto,sefizermosesse
processo de medição mais de uma vez, talvez em tempos dife-
rentes,ou mesmo em dias diferentes, a con"enteobservadapo-
derádiferir levementepor causadepequenasmudançasou vari-
açõesemfatoresquenão estejamperfeitamentecontrolados,tais
como mudançasnatemperaturaambiente,flutuaçõesno desem-
penho do medidor, pequenasimpurezaspresentesem diferentes
localizações
do fio e impulsos na voltagem. Logo, um modelo
mais realista da corrente observadapode ser
ou
8 o PAPEL DA Esr ATÍSTICA NA ENGENHARIA
Fig. 1.8Gráficotridimensionaldosdadosdoarameedaresistênciaàtração.
Fig. 1.9Gráfico devaloresprevistosdaresistênciaàtração,apartirdomodelo
empíriconaEq. 1.12.
Muito doquesabemosemengenhariaenasciênciasfisico-quí-
micasédesenvolvidoatravésdetestesouexperiências.Freqüen-
temente,engenheirostrabalhamemáreasproblemáticas,emque
nenhumateoriacientíficaou de engenhariaé completamente
aplicável.Assim,aexperiênciaeaobservaçãodosdadosresul-
tantesconstituemasúnicasmaneiraspelasquaisoproblemapode
serresolvido.Mesmoquehajaumaboateoriacientíficabásica
emquepossamosconfiarnaexplicaçãodofenômenodeinteres-
se,é quasesemprenecessárioconduzirtestesou experimentos
paraconfirmarqueateoriaé,naverdade,operativanasituação
ouno ambienteno qualelaestásendoaplicada.Julgamentoes-
tatísticoe métodosestatísticosdesempenhamumpapelimpor-
tantenoplanejamento,conduçãoe análisededadosapartirde
experimentosdeengenharia.
A Seção1.1continhaumbreveexemploenvolvendoumen-
genheiroqueestavainvestigandoo impactodoaumentodaes-
pessuradaparededeum conectornaforçaderemoção.Lem-
bre-sedequeo engenheiroconstruiuoito protótiposde cada
projeto(3/32e 1/8polegada),testoucadaunidadee calculoua
médiae o desvio-padrãodaamostradaforçaderemoçãopara
cadaprojeto.Notamosqueotesteestatísticodehipótesesfoiuma
estruturapossívelparainvestigarqueo aumentodaespessura
daparedeno projetoconduziriaa níveis maisaltosda força
médiaderemoção.Essaéumailustraçãodousodojulgamento
estatísticoparaajudarnaanálisededados,apartirdeumsim-
plesexperimentocomparativo.
Julgamentoestatísticopodetambémseraplicadoa proble-
masexperimentaismaissérios.Parailustrar,reconsidereopro-
blemadaespessuradaparededoconector.Suponhaque,quan-
dooconectorforarranjadonaaplicação,eleseráprimeiroimerso
emumadesivo,sendoentãocuradoo arranjo,pelaaplicaçãode
caloraolongodealgumperíododetempo.A forçaderemoção
é medidano arranjofinal. O engenheirosuspeitaque,emadi-
çãoàespessuradaparede,o tempoe atemperaturadecurapo-
deriamteralgumefeitonodesempenhodoconector.Dessafor-
ma,énecessárioplanejarumexperimentoquenospermitiráin-
vestigaro efeitodetodosos trêsfatoresnaforçaderemoção.
Quandovários fatoressãopotencialmenteimportantes,a
melhorestratégiada experiênciaé planejaralgumtipo deex-
perimentofatorial. Um experimentofatorialé aqueleemque
os fatoressãovariadosconjuntamente.Parailustrar,suponha
que,noexperimentodoconector,ostemposdecuradeinteres-
sesejam1e 24 h e queosníveisdetemperaturasejam70°F e
100°F.Agora,umavezquetodosostrêsfatorestêmdoisníveis,
umexperimentofatorialconsistiriadasoitocombinaçõesdetes-
temostradasnosvérticesdocubonaFig. 1.10.Duastentativas,
ouréplicas,seriamfeitasemcadavértice,resultandoemumex-
perimentofatorialcom16corridas.Osvaloresobservadosdaforça
deremoçãoestãomostradosentreparêntesesnosvérticesdo
cubonaFig. 1.10.Notequeesseexperimentousaoitoprotótipos
de 3/32polegadae oito protótiposde 1/8polegada,o mesmo
númerousadonoestudocomparativosimplesdaSeção1.1,po-
rémagoraestamosinvestigandotrêsfatores.Geralmente,experi-
mentosfatoriaissãoamaneiramaiseficientedeestudarosefei-
tosde interaçãodosváriosfatores.
1.4PLANEJANDO INVESTIGAÇÕES
EXPERIMENTAIS
binaçõesdecomprimentodearamee alturadamatrizquefos-
semdeinteresse.Essencialmente,omodeloempíricopoderiaser
usadoporumengenheiroexatamentedamesmamaneiraqueum
modelomecanicistapoderiaserusado.
600
500
400 .•
300 ~\~
200 o~<S'
O 100 y>\~20 ~~
600
500
400
300 ~\1.-
200 o~(0'?>
O 100 ~20 ~y>\~
16
8
8
12 16
Comprimento do arame
12
Comprimento do arame
o O
080
"ti
<>
~ 60
·Ctl
Ctl
g 40
<Q)
üí
.~20
a:
80
o
'Ctl
~ 60
·Ctl
Ctl
40'ü c<Q)üí 20'üi Q)a: O 4
Resistênciaà tração= ~o+ ~1(comprimentodoarame)
+ ~2(alturadamatriz) +E
seriaapropriadocomoummodeloempíricoparaessarelação.Em
geral,essetipodemodeloempíricoéchamadodemodelodere-
gressão.Nos Caps.10e 11,mostraremoscomoconstruiresses
modelosetestarseelessãoadequadoscomofunçõesdeaproxi-
mação.Usaremosummétodoparaestimarosparâmetrosnos
modelosderegressão,chamadodemínimosquadrados,quese
originoudotrabalhodeKarl Gauss.Essencialmente,esseméto-
doescolheosparâmetros(f3's) nomodeloempíricoparamini-
mizarasomadosquadradosdasdistânciasentrecadapontodado
eoplanorepresentadopelaequaçãodomodelo.É aparente,en-
tão,queaaplicaçãodessatécnicaaosdadosdaTabela1.2resul-
teem
Resistênciaàtração= 2,26+2,74(comprimentodoarame)+
+ 0,0125(alturadamatriz) (1.12)
emqueo "chapéu"ou circunflexosobrea resistênciaà tração
indicaqueessaéumaquantidadeestimadaouprevista.
A Fig. 1.9éumgráficodosvaloresprevistosdaresistênciaà
traçãoversuso comprimentodoarameeaalturadamatriz,ob-
tidoapartirdaEq. 1.12.Notequeosvaloresprevistosrepousam
noplanoacimadoespaçocomprimentodoarame-alturadama-
triz. A partirdosgráficosdosdadosna Fig. 1.8,essemodelo
nãoparecerazoável.O modeloempíriconaEq. 1.12poderiaser
usadoparaprevervaloresdaresistênciaàtraçãoparaváriascom-
A Fig. 1.8apresentaumgráficotridimensionaldetodasas25
observaçõesdaresistênciaà tração,comprimentodo aramee
alturadamatriz.Examinandoessegráfico,vemosquearesistên-
ciaàtraçãoaumentaquandoo comprimentodoarameeaaltura
damatrizaumentam.Alémdisso,parecerazoávelpensarqueum
modelotalcomo
o PAPEL DA ESTATÍSTICA NA ENGENHARIA 9
14,8
(14,6, 15,0)
15,1
(14,9, 15,3)
13,6
(13,4, 13,8)
12,9
(12,6, 13,2)
e<f:'çO24h
"\ lh
l .1
32 8
Espessurada
parede(polegada)
~
'"
~ 100'
a>c.
E 70'~
13,6
(13,3, 13,9)
14,1
------ (13,9,14,3)
I
I
I
I
I
13,1 I
(12,9,13,3)--0----
/'/'/'/'/'/'
13,0
(12,5, 13,5)
Fig.1.10 O experimentofatorialparaoproblemadaespessuradaparededoconector.
Algumastentativasdeconclusõesmuitointeressantespodem
serretiradasdesseexperimento.Primeiro,compareaforçamé-
diaderemoçãodosoitoprotótiposde3/32polegadacomafor-
çamédiaderemoçãodosoitoprotótiposde1/8polegada(essas
sãoasmédiasdasoitocorridasnafaceesquerdaenafacedirei-
tadocubonaFig. 1.10,respectivamente)ou14,1- 13,45=0,65.
Assim,aumentandoaespessuradaparedede3/32para1/8po-
legadaaumentaa forçamédiaderemoçãopor0,65libra-pé.A
seguir,paramediro efeitodeaumentaro tempodecura,com-
parea médiadasoitocorridasnafacedetrásdo cubo(emque
tempo=24h),comamédiadasoitocorridasnafacedafrentedo
cubo(emquetempo=1h)ou 14,275- 13,275=1.O efeitode
aumentarotempodecurade1para24h éaumentaraforçamédia
deremoçãopor1libra-pé;ouseja,otempodecuratem,aparen-
temente,umefeitomaiorqueo deaumentaraespessuradapare-
de.O efeitodatemperaturadecurapodeseravaliado,comparan-
do-seamédiadasoitocorridasnotopodocubo(ondeatempe-
ratura=100°F)comamédiadasoitocorridasnaparteinferiordo
cubo(ondeatemperatura=70°F)ou14,125- 13,425=0,7.Des-
semodo,o efeitodeaumentaratemperaturadecuraéaumentar
aforçamédiaderemoçãoporO,7libra-pé.Logo,seo objetivodo
engenheiroforprojetarumconectortendoumaltovalordaforça
deremoção,háaparentementemuitasalternativas,taiscomoo
aumentodaespessuradaparedeeousodascondições"padrões"
de 1h e 70°Fou o usodaespessuraoriginaldaparedede3/32
polegada,porémespecificandoumtempomaiordecuraeuma
temperaturamaisalta.
Existeumarelaçãointeressanteentreotempodecuraeatem-
peraturadecura,quepodeservistaexaminando-seo gráficona
Fig. 1.11.Essegráficofoi construídocalculandoa forçamédia
deremoçãonasquatrocombinaçõesdiferentesdetempoe de
temperatura,graficandoessasmédiasversustempoe entãoco-
nectando,com linhasretas,os pontosrepresentandoos dois
níveisdetemperatura.A inclinaçãodecadaumadessaslinhas
retasrepresentao efeitodotempodecuranaforçaderemoção.
Note queasinclinaçõesdessasduaslinhasnãoparecemseras
mesmas,indicandoqueo efeitodotempodecuraédiferentenos
doisvaloresdatemperaturadecura.Esseéumexemplodeuma
interaçãoentreosdoisfatores.A interpretaçãodessainteração
émuitodireta;seotempopadrãodecura(1h) forusado,atem-
peraturadecuraterápoucoefeito,porémseo
tempomaiorde
curafor usado(24h), o aumentodatemperaturade curaterá
um efeitomaiorna forçamédiaderemoção.Interaçõesocor-
remfreqüentementeemsistemasfísicosequímicoseosexperi-
mentosfatoriaissãoa únicamaneiraparainvestigarseusefei-
tos.De fato,seasinteraçõesestiverempresentese a estratégia
fatorialdeexperimentosnãofor usada,resultadosincorretosou
enganosospodemserobtidos.
Podemosfacilmenteestendera estratégiafatorialparamais
fatores.Suponhaqueo engenheiroqueiraconsiderarumquar-
to fator,o tipodeadesivo.Há doistipos:o adesivopadrãoeum
novocompetidor.A Fig. 1.12ilustracomotodososquatrofato-
res- espessuradaparede,tempodecura,temperaturadecura
e tipo de adesivo- poderiamserinvestigadosemumplane-
Tempo Temp. Forçamédia
1 h 70"F 13,25
1 h 100"F 13,30
24 h 70"F 13,60
24 h 100"F 14,95
15,30
14,83
14,37
.a>c.
~ 13,90
..c
:::;
13,43
Temp.= 100'F
Temp.=70'F
Temp.=70'F
12,97
12,50
1 h 24 h
Tempo
Fig. 1.11A interaçãodesegundaordementreo tempodecuraeatemperaturadecura.
10 O PAPEL DA EsTATÍSTICA NA ENGENHARIA
Tipo de adesivo
I
I ./
, ./
, ./
í------"--
Velho
'\
Novo ~
::o
"§ 100'
O>
Q.
E 70'
~
If:'<P 24h
,,0 lh
3 1
32 "8
Espessura da
parede (polegada)
Fig. 1.12Um experimentofatorialcomquatrofatoresparaoproblemadaespessuradaparededoconector.
jamentofatorial.Já quetodososquatrofatorestêmdoisníveis,o
planejamentoexperimentalpodeaindaserrepresentadogeometri-
camenteporumcubo(naverdade,umhipercubo).Noteque,como
no planejamentofatorial,todasascombinaçõespossíveisdos
quatrofatoressãotestadas.O experimentorequer16ensaios.
Geralmente,sehouverk fatorese cadaum delestiver dois
níveis,umplanejamentofatorialdeexperimentosirá requerer
2k corridas.Por exemplo,comk =4, o planejamento24naFig.
1.12requer16testes.Claramente,àmedidaqueonúmerodefato-
resaumenta,onúmeronecessáriodecorridasemumplanejamento
fatorialaumentarapidamente;porexemplo,oitofatores,cadaum
comdoisníveis,requereriam256ensaios.Issosetomarapida-
menteimpraticável,dopontodevistadotempoe deoutrosre-
cursos.Felizmente,quandohouverquatro,cincooumaisfato-
res,égeralmentedesnecessáriotestartodasascombinaçõespos-
síveisdosníveisdosfatores.Uni experimentofatorialfracionário
éumavariaçãodoarranjobásicofatorial,emquesomentesetes-
ta realmenteum subconjuntodascombinaçõesdos fatores.A
Fig. 1.13mostraumplanejamentofatorialfracionáriodeexperi-
mentos,paraa versãocomquatrofatoresdo experimentodo
conector.As combinaçõesdetestecomum círculo,conforme
mostradonafigura,sãoasúnicascombinaçõesdetestequene-
cessitamserrealizadas.Esseplanejamentodeexperimentosre-
quersomenteoitocorridas,emvezdas16originais;porconse-
guinte,eleseráchamadodemeiafração.Esseé umexcelente
planejamentoexperimentalparaestudartodososquatrofatores.
Ele proveráboainformaçãoacercadosefeitosindividuaisdos
quatrofatorese algumainformaçãoacercadecomoessesfato-
resinteragem.
Experimentosfatoriaisefracionáriossãousadosextensivamen-
teporengenheirosecientistasempesquisae desenvolvimento
industriais,ondenova tecnologia,produtose processossão
projetadose desenvolvidose ondeprodutose processosexis-
tentessãomelhorados.Uma vez quemuitodotrabalhodeen-
genhariaenvolvetestare experimentar,é essencialquetodos
os engenheirosentendamosprincípiosbásicosdeumplaneja-
mentoeficientee efetivodeexperimentos.Discutiremosesses
princípiosnoCapo12.O Capo13concentrar-se-ánosfatoriaise
nosfatoriaisfracionários,queintroduzimosaqui.
1.5OBSERVANDO PROCESSOS AO LONGO
DO TEMPO
Todavezqueosdadossãocoletadosaolongodotempo,é im-
portanteplotá-losao longodotempo.Fenômenosquepossam
afetaro sistemaou o processotomam-secomfreqüênciamais
visíveisemumgráficocomumaescaladetempo,podendoocon-
ceitodeestabilidadesermelhorjulgado.
A Fig. 1.14éumdiagramadepontoscomleiturasdeconcen-
traçãotomadasperiodicamenteemumprocessoquímico.A gran-
devariaçãodescritano diagramadepontosindicaumpossível
problema,porémo gráficonãoajudaa explicara razãoparaa
variação.Pelofatodeosdadosseremcoletadosaolongodotem-
po,elessãoplotadosaolongodotemponaFig. 1.15.Um deslo-
camentononívelmédiodoprocessoévisívelno gráficoeuma
estimativadotempodo deslocamentopodeserobtida.
O gurudaqualidadeEdwardDemingenfatizouqueéimpor-
tanteentendera naturezadavariaçãoao longo do tempo.Ele
conduziuumexperimentoemquetentoudeixarcairbolinhasde
gudeomaispróximopossíveldeumalvoemumamesa.Eleusou
umfunil montadoemumanele asbolasdegudecaíramatra-
vésdofunil.Ver Fig. 1.16.O funil estavaalinhadoo maispró-
ximopossívelcomo centrodoalvo.Ele, então,usouduasestra-
tégiasdiferentesparaoperaroprocesso.(l) Ele nuncamoveuo
funil. Ele apenassoltouumaboladegudedepoisdaoutraere-
gistroua distânciaatéo alvo.(2)Ele soltouaprimeirabolade
gudeeregistrousualocalizaçãorelativaaoalvo.Ele,então,mo-
veuo funil porumadistânciaiguale oposta,emumatentativa
decompensaro erro.Ele continuoua fazeressetipo deajuste
depoisdecadabolatersidosolta.
Depoisdasduasestratégiasestaremcompletas,elenotouque
avariabilidadenadistânciaatéoalvoparaaestratégia2 foiapro-
70'
Tipo de adesivo
____ ./0-.- "
Novo ~
::o
"§ 100'
O>
Q.
E
O>
f-
lf:'çO 24h
"o lh
1.. 1
32 "8
Espessura da
parede (polegada)
Fig.1.13 Um experimentofatorialfracionárioparaoproblemadaespessuradaparededoconector.
oPAPEL DA EsTATÍSTICA NA ENGENHARIA 11
••••
•• •
•
.••• •• ••••••••••••••• •I IIIIIX
80,5
84,087,591,094,598,0
Concentração
Fig. 1.14O diagramadepontosilustraavariação,masnãoidentificaoproblema. Alvo
•
•• •.~
Bolinhas de gude
100
o
'lUo-~ 90c Q)ucoÜ
80
10 20 30
Número da observação
Fig. 1.15 Um gráfico temporal de concentraçãoprovê mais informações
do que o diagramade pontos.
ximadamenteduasvezesmaiorqueparaaestratégia1.Osajus-
tesno funil aumentaramos desviosatéo alvo.A explicaçãoé
queo erro(odesviodaposiçãodaboladegudeatéo alvo)para
umaboladegudenãoprovêinformaçãosobreo erroqueocor-
reráparaapróximabola.Conseqüentemente,osajustesno fu-
nil nãodiminuemerrosfuturos.Em vez disso,elestendema
movero funil paramaislongedo alvo.
Fig.1.16 O experimentodofunil deDeming.
Esseexperimentointeressantemostraqueosajustesemum
processo,baseadosemperturbaçõesaleatórias,podemrealmen-
te aumentara variaçãodo processo.Isso é conhecidocomo
sobrecontroleoucontroledemasiado.Ajustesdevemserapli-
cadossomenteparacompensarmudançanãoaleatórianopro-
cesso- então,elespodemajudar.Uma simulaçãocompu-
tacionalpodeserusadaparademonstrarasliçõesdoexperimen-
to dofunil. A Fig. 1.17(a)apresentaumgráficodotempo,com
50medidas(denotadaspory) deumprocessoemquesomente
perturbações!fleatóriasestãopresentes.O valoralvoparaopro-
cessoé de 10unidades.A Fig. 1.17(b)apresentaos mesmos
dadosdepoisdosajustesseremaplicadosàmédiadoprocesso,
emumatentativade produzirdadosmaispróximosao alvo.
Cada ajusteé igual e opostoao desviodamedidapréviaem
relaçãoaoalvo.Porexemplo,quandoamedidafor 11(umauni-
dadeacimado alvo),a médiaseráreduzidaporumaunidade
antesquea próximamedidasejagerada.O sobrecontroleau-
mentou·osdesviosemrelaçãoaoalvo.
A Fig. 1.18(a)apresentaosmesmosdadosdaFig. 1.17(a),
excetoqueasmedidasdepoisdaobservaçãodenúmero25são
14
13
12
11
y 10
9
8
7
6
10 20 30 40 50
Número da observação
Fig.1.17(a)Dadosdoprocessosomentecomdistúrbiosaleatórios.
14
13
12
11
y 10
9
8
7
6
10 20 30 40 50
Número da observação
Fig. 1.17(b)Ajustesaplicadosaosdistúrbiosaleatórioscontrolamemdemasiaoprocessoeaumentamosdesviosemrelaçãoaoalvo.
12 O PAPEL DA EsTATÍSTICA NA ENGENHARIA
14
13
12
11
y 10
9
8
7
6
10 20 30
Númerodaobservação
40 50
Fig. 1.18(a)A média do processomuda (paracima, por duasunidades)depoisda observaçãode número25.
14
13
12
11
y 10
9
8
7
6
A mudan a na média do
processoé detectada
10 20 30 40 50
Númerodaobservação
Fig. 1.18(b)A mudançanamédiadoprocessoédetectadanaobservaçãodenúmero28easmedidasseguintessãodiminuídasporduasunidades.
Fig. 1.19Um gráfico(carta)decontroleparaosdadosdeconcentraçãodeproces-
soquimico.
tesestãoabaixodalinha centrale duasdelasrealmentecaem
abaixodolimiteinferiordecontrole.Esseéumsinalmuitoforte
dequeumaaçãocorretivaénecessárianesseprocesso.Sepu-
dermosencontrareeliminaracausabásicadessedistúrbio,po-
demosmelhorar,consideravelmente,o desempenhodo pro-
cesso.
Gráficosdecontrolesãoumaaplicaçãomuitoimportantede
estatísticaparamonitorizar,controlare melhorarumprocesso.
O ramodaestatísticaquefazusodascartasdecontroleé cha-
madodecontroleestatísticode processoou CEP. Discutire-
mosCEP e gráficosdecontroleno Capo15.
Númerodaobservação
30252015105
Limiteinferiordecontrole=82,54
Limitesuperiordecontrole=100,5
o
100
80
o
1(1)
~c 90
~c:oÜ
aumentadasemduasunidadesparasimularo efeitodeumamu-
dançanamédiadoprocesso.Quandohouverumamudançaver-
dadeiranamédiadeumprocesso,umajustepoderáserútil. A
Fig. 1.18(b)apresentaosdadosobtidosquandoumajuste(dimi-
nuiçãoemduasunidades)for aplicadoàmédiadepoisdeamu-
dançatersidodetectada(naobservaçãodenúmero28).Noteque
esseajustediminuiosdesviosemrelaçãoaoalvo.
A questãodequandoaplicarajustes(eporqualquantidade)
começacomumentendimentodostiposdevariaçãoqueafetam
umprocesso.Umgráficooucartadecontroleéumamaneiraines-
timáveldeexaminaravariabilidadeemdadosaolongodotempo.
A Fig. 1.19mostraumgráficodecontroleparaosdadosdecon-
centraçãodoprocessoquímicodaFig. 1.15.A linhacentralna
cartadecontroleéapenasamédiadasmedidasdeconcentração
paraasprimeiras20amostras(x =91,5g/l),quandooprocesso
estiverestável.O limitesuperiordecontrolee o limiteinferior
decontrolesãoumparde limites,estatisticamentededuzidos,
querefletea variabilidadeinerenteounaturalnoprocesso.Es-
seslimitesestãolocalizadosacimaeabaixodalinhacentral,por
umadistânciacorrespondentea trêsdesvios-padrãodosvalo-
resdeconcentração.Seoprocessoestiveroperandocomodeve,
semquaisquerfontesexternasdevariabilidadepresentesnosis-
tema,asmedidasdeconcentraçãodeverãoflutuaraleatoriamen-
teemtomodalinhacentralequasetodaselasdeverãocairentre
oslimitesdecontrole.
No gráficodecontroledaFig. 1.19,aestruturavisualdere-
ferência,providapelalinhacentralepeloslimitesdecontrole,
indica quealgumtranstornoou distúrbioatingiuo processo,
emtomodaamostra20,porquetodasasobservaçõesseguin-
ExercíciosSuplementares
1.9. A prevençãodapropagaçãodafraturaporfadigaemestruturas
deaeronaveséumimportanteelementodasegurança.Um estu-
dodeengenhariaparainvestigara fraturapor fadigaemn =9
asascarregadasciclicamentereportouosseguintescomprimen-
tos(emmm)defratura:2,13;2,96;3,02;1,82;1,15;1,37;2,04; 1.13.
2,47;2,60.
(a) Calculea médiada amostra.
(b) Calculea variânciae o desvio-padrãodaamostra.
(c) A partirdosdados,prepareum diagramadepontos.
1.10. ConsidereosdadosdeintensidadesolamoExerCÍcio1.6.Com
essesdados,prepareum diagramadepontos.Indiqueondea
médiadaamostracaino diagrama.Dê umainterpretaçãoprá-
ticadamédiadaamostra. 1.14.
1.11. O ExerCÍcio1.5descreveos dadosdeum artigoemHuman
Factors emacomodaçãovisual, a partirdeum experimento
envolvendoum vídeoCRT dealtaresolução.
(a) A partirdosdados,prepareum diagramadepontos.
(b) Os dadosdeum segundoexperimento,usandoumvídeo
combaixaresolução,foramreportadosnoartigo.Elessão:
8,85;35,80;26,53;64,63;9,00;15,38;8,14e 8,24.Pre-
pareum diagramadepontosporessasegundaamostrae
compare-ocomo diagramaparaa primeiraamostra.O
quevocêpodeconcluiracercadaresoluçãodeCRT nes-
sa situação?
1.12. O pH deumasoluçãoé medidooitovezesporumaoperadora
usandoo mesmoinstrumento.Ela obtémos seguintesdados:
7,15;7,20;7,18;7,19;7,21;7,20;7,16e 7,18.
oPAPEL DA EsTATÍSTICA NA ENGENHARIA 13
(a) Calculea médiadaamostra.
(b) Calculea variânciae o desvio-padrãodaamostra.
(c) Quaissãoasmaioresfontesdevariabilidadenesseexpe-
rimento?
Um artigonoJournal ofAircraft (1988)descreveo cálculode
coeficientesdearrasteparao aerofólioNASA 0012.Diferen-
tesalgoritrnosdecálculoforamusadosparaM~=0,7,comos
seguintesresultados(oscoeficientesdearrasteestãoemuni-
dadesdecounts,ou seja,1counté equivalentea um coefici-
entede arrastede 0,0001):79; 100;74; 83; 81; 85; 82; 80 e
84.Calculeamédia,avariânciae o desvio-padrãodaamostra
e construaum diagramadepontos.
Os dadosa seguircorrespondemàstemperaturasdasjunções
dosanéis(grausF), paracadalançamentorealou detestede
ummotordeum fogueteespacial(daPresidentialCommissi-
onon theSpaceShuttleChallengerAccident,VoI. 1,pp. 129-
131):84;49;61;40;83;67;45;66;70;69;80;58;68;60;67;
72;73;70; 57;63;70;78;52;67; 53;67;75;61;70; 81;76;
79;75;76;58;31.
(a) Calcule a média, a variância e o desvio-padrão da
amostra.
(b) Construaum diagramadepontoscomos dadosdetem-
peratura.
(c) Semconsiderara menorobservação(31°F),recalculeas
quantidadesdo item(a).Comenteo queencontrou.Quão
"diferentes"sãoasoutrastemperaturasemrelaçãoaesse
últimovalor?
EXERCÍCIOS PARA EXPANDIR A MENTE
1.15. Considereosdadosdo aerofóliono ExerCÍcio1.13.De
cadavalor,subtraia30e entãomultipliqueasquantida-
desresultantespor 10.Agora,calculeS2 paraosnovos
dados.ComoestáessaquantidaderelacionadaaS2 para
osdadosoriginais?Expliqueporquê.
11
1.16. Considerea quantidade~ (Xi - a)20 Qualo valordea1=1
queminirnizaessaquantidade?
1.17. UsandoosresultadosdoExerCÍcio1.16,qualdasduas
11 n
quantidadesI (Xi - X )2 eI (Xi - fL)2 seráamenor,i=1 ;=1
desdequex * fL?
1.18. Codificando osdados.FaçaYi=a +bx;,i=1,2, ..o, n,
emquea ebsãoconstantesdiferentesdezero.Encontre
umarelaçãoentre.x ey e entreSx esr
1.19. Umaamostra,commedidasdetemperaturaemumafor-
nalha,resultouemumamédia(OF)de835,00eumdes-
vio-padrãode 10,50Usandoosresultadosdo Exercício
1018,quaissãoa médiae os desvios-padrãoexpressos
em°C?
1.20. Considerea amostraXI' x2, .. o Xn, commédiadaamos-
traX e desvio-padrãoso FaçaZi= (Xi - x )/s, i= 1,2,
.. o, no Quais são os valoresda médiae do desvio-pa-
drãodeZ,?
SumárioeApresentação
deDados
ESQUEMA DO CAPíTULO
2.1 IMPORT ANCIA DO SUMÁRIO E APRESENTAÇÃO
DEDADaS
2.2 DIAGRAMAS DE RAMO E FOLHAS
2.3 DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜtNCIA E
HISTOGRAMAS
2.1IMPORTÂNCIA DO SUMÁRIO E
APRESENTAÇÃO DE DADOS
No Capo1,introduzimosamédia,avariânciaeo desvio-padrão
daamostraeodiagramadepontoscomotécnicasparasumarizar
dados.Sumárioseapresentaçõesdedadosbemconstituídossão
essenciaisaobomjulgamentoestatístico,porquepermitemao
engenheirofocarascaracterísticasimportantesdosdadosouter
discemimentoacercado tipo demodeloquedeveriaserusado
nasoluçãodoproblema.
O computadorsetomouumaferramentaimportantenaapre-
sentaçãoenaanálisededados.Enquantomuitastécnicasesta-
tísticasnecessitamsomentedeumacalculadoraportátil,essa
abordagempoderequerermuitotempoeesforço,sendoneces-
sárioum computadorpararealizaras tarefasde formamuito
maiseficiente.
A maioriadaanáliseestatísticaéfeitausandoumabiblioteca
deprogramasestatísticos,escritosapriori. O usuárioentracom
os dadose, então,selecionaos tipos deanálisese apresenta-
çõesde saídaquesãode interesse.Pacotesestatísticosestão
disponíveistantoparacomputadoresdegrandeportecomopara
computadorespessoais.Entreospacotesmaispopularese lar-
gamenteusadosestãoo SAS (StatisticalAnalysisSystem),para
servidorese computadorespessoais(PCs), e o Statgraphicse
MinitabparaPc. Apresentaremosalgunsexemplosdesaídade
váriospacotesestatísticosemtodoo livro.Não discutiremosa
2.4 DIAGRAMA DE CAIXA
2.5 GRÁFICOS SEQÜENCIAIS DE TEMPO
facilidadedeusodospacotescomrelaçãoà entradae à edição
dedadosouaousodoscomandos.Vocêencontraráessespaco-
tes,ousimilares,disponíveisnasuainstituição,juntamentecom
pessoasexperientesemmanipulá-los.
2.2DIAGRAMAS DE RAMO E FOLHAS
O diagramadepontoséumaapresentaçãoútildedados,nocaso
deamostraspequenas,atécercade20observações.No entanto,
quandoo númerodeobservaçõesfor moderamentealto,outras
apresentaçõesgráficaspodemsermaisúteis.
Por exemplo,considereosdadosnaTabela2.1.Essesdados
sãoaresistênciaàcompressão,emlibrasporpolegadaquadra-
da(psi),de80corposdeprovadeumanovaliga dealumínio-
lítio, submetidaàavaliaçãocomoumpossívelmaterialparaele-
mentosestruturaisdeaeronaves.Os dadosforamregistradosà
medidaqueostestesiamsendorealizadose,nesseformato,eles
não contêm muita informação a respeito da resistência
compressiva.Questõescomo"Quepercentagemdoscorposde
provacai abaixode120psi?"nãosãofáceisderesponder.Por-
queexistemmuitasobservações,a construçãodeumdiagrama
depontos,usandoessesdados,seriarelativamenteineficiente;
apresentaçõesmaisefetivasestãodisponíveisparaconjuntoscom
muitosdados.
Um diagramaderamo efolhaséumaboamaneiradeobter
umaapresentaçãovisualinformativadeumconjuntodedados
XI,X2, ..• , x,,,emquecadanúmeroXi consisteem,nomínimo,dois
dígitos.Paraconstruiro diagramaderamoefolhas,dividimos
cadanúmeroXi emduaspartes:umramo, consistindoemum
ou maisdígitosiniciais,e umafolha, consistindonosdígitos
restantes.Parailustrar,seosdadosconsistirememinformações
percentuais,entreOe 100,dosdefeitosnoslotesdepastilhasde
semicondutores,entãopoderemosdividiro valor76 noramo7
e nafolha6. Em geral,devemosescolher,relativamente,pou-
cosramosemcomparaçãoaonúmerodeobservações.É geral-
mentemelhorescolherentreSe20ramos.Umavezqueumcon-
juntoderamostenhasidoescolhido,elessãolistadosaolongo
damargemesquerdadodiagrama.Ao ladodecadaramo,todas
asfolhascorrespondentesaosvaloresobservadossãolistadas
naordememqueelasforamencontradasnoconjuntodedados.
EXEMPLO 2.1
Parailustraraconstruçãodeumdiagramaderamoefolhas,
considereosdadosnaTabela2.1,sobrearesistênciaàcom-
pressãodeumaliga. Como valoresdosramos,selecionare-
mososnúmeros7,8,9, ...,24. O diagramaresultantederamo
e folhasé apresentadonaFig. 2.1. A últimacolunano dia-
gramaéafreqüênciadonúmerodefolhasassociadasacada
ramo.Uma inspeçãodessediagramarevelaimediatamente
queamaioriadasresistênciasàcompressãoestáentre110e
200psi equeumvalorcentralestáemalgumlugarentreISO
e 160psi.Além disso,asresistênciasestãodistribuídasapro-
ximadamentedeformasimétricaemtomodovalorcentral.O
SUMÁRIO E ApRESENTAÇÃO DE DADOS 15
diagramaderamoe folhasnoscapacitaa determinarrapida-
mentealgumascaracterísticasimportantesdosdados,quenão
foramimediatamenteóbviasquandodaapresentaçãooriginal
naTabela2.1.
Emalgunsconjuntosdedados,podeserdesejávelprovermais
intervalosouramos.Umamaneiradefazerissoseriadividiroramo
S (porexemplo)emdoisnovosramos,SL eSD. O ramoSL tem
folhas0,1,2,3 e4eoramoSUtemfolhasS,6,7,8 e9.Issodobra-
ráonúmeroderamosoriginais.Poderíamosaumentarquatrovezes
o númeroderamosoriginais,definindocinconovosramos:Sz
comfolhasOe 1,St (paradoisetrês)comfolhas2 e 3,Sf (para
quatroecinco)comfolhas4 eS,Ss(paraseisesete)comfolhas
6e7,eSecomfolhas8e9.
EXEMPLO 2.2
A Fig. 2.2ilustrao diagramaderamoefolhaspara25observa-
çõessobreos rendimentosdeumabateladadeum processo
químico.Na Fig. 2.2(a),usamos6,7, 8e9 comoosramos.Isso
resultaemmuitospoucosramoseo diagramaderamoefolhas
nãoprovêmuitainformaçãosobreosdados.NaFig.2.2(b),divi-
dimoscadaramoemduaspartes,resultandoemumaapresenta-
çãomaisadequadadosdados.A Fig. 2.2(c)ilustraumdiagrama
deramoefolhas,comcadaramodivididoemcincopartes.Háum
númeroexcessivoderamosnessegráfico,resultandoemumdi-
agramaquenãonosdiz muitoacercadaformadosdados.
Ramo FolhaFreqüência
7
6 1
8
7 1
9
7 1
10
5 1 2
11
580 3
12
103 3
13
4 1 353 5 6
14
29583169 8
15
471340886808 12
16
3073050879 10
17
8544162106 10
18
0361410 7
19
960934 6
20
7 108 4
21
8 1
22
1 89 3
23
7 1
24
5 1
Fig. 2.1 Diagrama de ramo e folhas paraos dadosde resistênciaà compressãona Tabela 2.1.
Tabela2.1ResistênciaàCompressãode80 CorposdeProvadaLigadeAluITÚnio-Lítio
105
221183186121181180143
97
154153174120168167141
245
228174199181158176110
163
131154115160208158133
207
180190193194133156123
134
17876167184135229146
218
157101171165172158169
199
151142163145171148158
160
17514987160237150135
196
201200176150170118149
16 SUMÁRIO E APRESENT AçAo DE DADOS
Ramo Folha
6 134556
7 011357889
8 1344788
9 235
(a)
Ramo Folha RamoFolha
6L
134 6z1
6U
556 6t3
7L
01 13 6f455
7U
57889 656
8L
1344 6e
8U
788 7z011
9L
23 7t3
9U
5 7f5
(b)
7s7
7e
889
8z
1
8t
3
8f
44
8s
7
8e
88
9z 9t
23
9f
5
9s ge
(c)
Fig. 2.3Diagramaderamoe folhasdoMinitab.
Diagramade Caracteresem Ramoe Folhas
Ramo e Folhas da Resistência
N =80 Unidade da Folha =1,0
q3' temaproximadamentetrêsquartos(75%)dasobservações
abaixodeseuvalor.Comono casodamediana,osquartispo-
demnãoserúnicos.Os dadosderesistênciaàcompressão,na
Fig. 2.3,contêmn =80observações.O pacoteMinitab calcu-
la o primeiroeo terceiroquartiscomosendoas(n +1)/4e3(n
+1)/4observaçõesordenadas,interpolandoquandonecessá-
rio. Por exemplo,(80 +1)/4=20,25e 3(80+ 1)/4=60,75.
Fig. 2.2Diagramaderamoe folhasparao Exemplo2.2.
A Fig. 2.3mostraumdiagramaderamoefolhasdosdadosde
resistênciaàcompressãonaTabela2.1,produzidopeloMinitab.
O pacoteusaosmesmosramosqueadotamosnaFig. 2.1.Note
tambémqueocomputadorordenaasfolhasdamenorparaamai-
or,emcadaramo.Essaformadográficoé geralmentechamada
dediagramaordenadode ramo e folhas.Por causadotempo
demandado,isso geralmentenãoé feito quandoo diagramaé
construídomanualmente.O computadoradicionaumacolunaà
esquerdadosramosqueprovêumacontagemdasobservações,
tantonoramocomoacimadelenametadesuperiordodiagrama,
eumacontagemdasobservações,tantonoramocomoabaixodele
nametadeinferiordodiagrama.No ramointermediário16,aco-
lunaindicao númerodeobservaçõesnesseramo.
.O diagramaordenadoderamoe folhastomarelativamente
fácil encontrarcaracterísticasdosdados,taiscomoospercentis,
osquartiseamediana.A medianadeumaamostraéumamedi-
dadetendênciacentral,quedivideosdadosemduaspartesiguais,
metadeabaixodamedianaemetadeacima.Seonúmerodeobser-
vaçõesfor par,amedianaestaránametadedadistânciaentreos
doisvalorescentrais.Da Fig. 2.3,encontramoso 40.0e o 41.0
valoresdaresistênciacomo160e163;logo,amedianaé(160+
163)/2=161,5.Seonúmerodeobservaçõesforímpar,amediana
seráo valorcentral.A modadaamostraéovalordaobservação
queocorrecommaisfreqüência.A Fig. 2.3indicaqueamodaé
158;essevalorocorrequatrovezesenenhumoutrovalorocorre
tãofreqüentementenaamostra.
Podemostambémdividir os dadosem mais de duaspar-
tes.Quandoum conjuntoordenadode dadosé dividido em
quatropartesiguais, os pontosde divisão sãochamadosde
quartis. O primeiro quartil ou quartil inferior, qj, é um va-
lor quetemaproximadamenteumquarto(25%)dasobserva-
çõesabaixo delee aproximadamente75% dasobservações
acima.O segundoquartil, q2,temaproximadamentemetade
(50%)dasobservaçõesabaixodeseuvalor.Osegundoquartiléexa-
tamenteigualà mediana.O terceiroquartilouquartilsuperior,
1
2
3
5
8
11
17
25
37
(10)
33
23
16
10
6
5
2
1
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
6
7
7
1 5
058
01 3
133455
12356899
001344678888
0003357789
0112445668
0011346
034699
0178
8
189
7
5
Conseqüentemente,o Minitab interpola entrea 20.3 e a 21.3 ob-
servaçãoordenada,de modo a obterql =143,50e entrea 60.3e
a 61.3observação ordenada, de modo a obter q3 = 181,00.Em
geral,o 100k.opercentil éo valor demodo queaproximadamente
100k%dasobservaçõesestãonesseou abaixodessevalor e apro-
ximadamente100(1- k)% deles estãoacima dele. Finalmente,
podemos usar a faixa interquartil definida como IQR =q3 -
qI,como uma medida de variabilidade. Em relação à faixa ordi-
nma da amostra,a faixa interquartil émenos sensível a valores
extremosna amostra.
Muitos pacotes estatísticos computacionais provêem sumá-
rios dedadosqueincluem essasquantidades.A saídaobtidapara
SUMÁRIO E APRESENTAÇÁO DE DADOS 17
os dados da resistênciaà compressãona Tabela 2.1, a partir do
Minitab, émostradana Tabela 2.2.
Tabela 2.2 ResumodasEstatísticasparaos Dadosde Resistênciaà
Compressão,Provenientesdo
Minitab
Erro-padrão
Variável
NMédiaMedianaDesvio-padrãoda média
80
162,66161,5033,773,78
Mín
MáxQ1Q3
76,00
245,00143,50181,00
EXERCíCIOS PARA A SEÇÃO 2.2
2.1.
Um artigoemTechnometrics(VaI. 19,1977,p.425)apresenta 34,233,633,834,7
osseguintesdadossobretaxasdeoctanagemdecombustívelpara
33,134,734,233,6
motor,deváriasmisturasdegasolina:
34,535,033,432,5
35,6
35,434,734,1
36,3
36,234,635,1
88,5
87,783,486,787,5 35,136,835,236,8
94,7
91,191,094,287,8 34,735,135,037,9
84,3
86,788,290,888,3Q33,6 35,334,936,4
90,1
93,488,590,189,2 37,832,635,834,6
89,0
96,193,391,892,3 36,633,137,633,6
89,8
89,687,488,488,9 35,434,637,334,1
91,6
90,491,192,689,8 34,635,934,634,7
Q
90,3 91,690,593,792,7 33,834,735,535,7
90,0
90,7100,396,593,3 37,133,632,836,8
91,5
88,687,684,386,7 34,032,932,134,3
89,9
88,392,793,291,0 34,133,534,532,7
98,8
94,287,988,690,9
88,3
85,393,088,789,9
90,4
90,194,492,791,82.4.Os dadosmostradosa seguirrepresentamo rendimentode90
91,2
89,390,489,389,7 bate1adasconsecutivasdeum substratode cerâmica,no qual
90,6
91,191,291,092,2 umrevestimentodemetalfoi aplicadoporumprocessodede-
92,2
92,2 posiçãoa vapor.Construaumdiagramaderamoe folhaspara
essesdados.
Construaum diagramaderamoe folhasparaessesdados.
2.2.
Os seguintesdadossãoosnúmerosdeciclosatéfalhardecor- 94,187,394,192,484,685,4
posdeprovadealumínio,sujeitosa umatensãoalternadare-
93,284,192,190,683,686,6
petida,de21.000psi e 18ciclospor segundo:
90,690,196,489,185,491,7
91,4
95,288,288,889,787,5
1115
1567122317821055 88,286,186,486,487,684,2
1310
188337515221764 86,194,385,085,185,185,1
1540
1203226517921330O95,193,284,984,089,690,5
1502
1207191010001608e=o90,086,778,393,790,095,6
1258
1015101818201535 92,483,089,687,790,188,3
Q
1315 845145219401781 87,395,390,390,694,384,1
1085
1674189011201750 86,694,193,189,497,383,7
798
101621009101501 91,297,894,688,696.882,9
1020
1102159417301238 86,193,196,384,194,487,3
865
16052023110299090,486,494,782,696,186,4
2130
706131515781468 89,187,691,183,198,084,5
1421
221512697581512
1109
785126014161750
1481
8851888156016422.5.Encontrea medianae os quartisparaos dadosdeoctanagemQ
do combustíveldo motorno Exercício2.1.
2.6.
Encontrea medianae os quartisparaos dadosde fraturano
(a)
Construaumdiagramaderamoe folhasparaessesdados.QExerCÍcio2.2.
(b)
Você achaqueo corpode prova"sobreviverá"alémde2.7.Encontrea mediana,a modae a médiadaamostradosdados
2.000ciclos? Justifiquesuaresposta.
QnoExercício2.3.Expliquecomoessastrêsmedidasdelocali-
23.
A percentagemdealgodãonomaterialusadoparafabricarca- zaçãodescrevemdiferentescaracterísticasdosdados.
misasdehomensé dadaa seguir.Construaum diagramade
2.8.Encontrea medianae osquartisparaos dadosderendimento
ramoe folhasparaessesdados.
Dno Exercício2.4.e=o
18 SUMÁRIO E APRESENTAÇÃO DE DADOS
2.3DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA E
HISTOGRAMAS
Umadistribuiçãodefreqüênciaéumsumáriomaiscompactodos
dados,emrelaçãoaodiagramaderamoefolhas.Paraconstruir
umadistribuiçãodefreqüência,temosdedividirafaixadedados
emintervalos,quesãogeralmentechamadosdeintervalosde
classeoucélulas.Sepossível,osintervalosdevemserdeiguais
largurasdemodoaaumentarainformaçãovisualnadistribuição
defreqüências.Algumjulgamentotemdeserusadonaseleção
donúmerodeintervalosdeclasses,demodoqueumaapresen-
taçãorazoávelpossaserdesenvolvida.O númerodeintervalos
dependedo númerodeobservaçõese daquantidadededisper-
sãodosdados.Umadistribuiçãodefreqüêncianãoseráinforma-
tivaseusarumnúmeromuitobaixooumuitoaltodeintervalos
de classe.Geralmente,achamosque 5 a 20 intervalos são
satisfatóriosnamaioriadoscasose queo númerodeintervalos
devecrescercomn.Naprática,trabalha-sebemseonúmerode
intervalosdeclassefor aproximadamenteigualàraizquadrada
do númerodeobservações.
Umadistribuiçãodefreqüênciaparaosdadosderesistência
àcompressãonaTabela2.1émostradanaTabela2.3.Umavez
queoconjuntodedadoscontém80observaçõese .j8O =9,sus-
peitamosdequecercade8 ou9 intervalosdeclassefornecerão
umadistribuiçãosatisfatóriadefreqüência.O maiore o menor
valoresdosdadossão245e76,respectivamente;assim,osinter-
valostêmdecobrirumafaixadenomínimo245- 76=169uni-
dadesnaescaladepsi.Sequisermosqueo limiteinferiorpara
o primeirointervalodeclassecomeceumpoucoabaixodome-
norvalordosdadosequeo limitesuperiorparao últimointer-
valodeclassecomeceumpoucoacimadomaiorvalordosda-
dos,entãopodemoscomeçaradistribuiçãodefreqüênciaem
70 e terminá-Iaem250.Esse é umintervalooufaixa de 180
unidadesdepsi.Nove intervalos,cadaumcom20 psi delar-
gura,fornecemumarazoáveldistribuiçãodefreqüência.Logo,
adistribuiçãodefreqüênciasnaTabela2.3ébaseadaemnove
intervalosde classe.
A quartacolunadaTabela2.3contémuma distribuiçãode
freqüênciasrelativas.As freqüênciasrelativassãoencontra-
dasdividindoafreqüênciaobservadaemcadaintervalopelonú-
merototalde observações.A últimacolunadaTabela2.3ex-
pressaasfreqüênciasrelativasnabasecumulativa.Distribuições
defreqüênciassãogeralmentemaisfáceisdeinterpretardoque
astabelasdedados.Por exemplo,naTabela2.3émuitofácil
verqueamaioriadoscorposdeprovatemresistênciasàcom-
pressãoentre130e190psieque97,5%doscorposdeprovacaem
abaixode230psi.
É tambémútil apresentaradistribuiçãodefreqüêncianafor-
magráfica,conformemostradonaFig. 2.4.Tal gráficoé cha-
madodehistograma.Paradesenharumhistograma,useo eixo
horizontalpararepresentaraescalademedidasedesenheosli-
mitesdosintervalos.O eixoverticalrepresentaa escaladefre-
qüência(oufreqüênciarelativa).Seosintervalosdeclassetive-
remigual largura,entãoasalturasdos retângulosdesenhados
noshistogramasserãoproporcionaisàs freqüências.Se os in-
tervalosdeclassetiveremlargurasdesiguais,entãoé costume
desenharretânguloscujasáreasserãoproporcionaisàsfreqüên-
cias.Entretanto,os histogramassãomaisfáceisde interpre-
tar quandoos intervalosde classetêma mesmalargura.O
histograma,comoo diagramaderamoe folhas,forneceuma
impressãovisualda formadadistribuiçãodasmedidas,assim
comoinformaçãosobreadispersãodosdados.NaFig. 2.4,note
adistribuiçãosimétricaemformadesinodasmedidasderesis-
tência.
Duranteapassagemdosdadosoriginaisoudo diagramade
ramo e folhas paraum diagramade freqüênciaou paraum
histograma,perdemosalgumainformaçãoporquenãotemosmais
asobservaçõesindividuais.Entretanto,essaperdade informa-
çãoépequenacomparadaaoganhodeconcisãoe defacilidade
deinterpretaçãoaousaradistribuiçãodefreqüênciaehistograma.
A Fig. 2.5 mostraumhistograma,obtidono Minitab, dos
dadosderesistênciaàcompressão.Os números"padrões"fo-
ramusadosnessehistograma,levandoa 17intervalosdeclas-
se.Notamosque os histogramaspodemser, relativamente,
0,3125 25
'"
0,2500 20
> ~ '"~ 0,1895
'ü15
<:'" 'a>'ü ':J<:
c-
'a> 0,1250~10':J LLc- ~LL 0,0625 5
o
o
130 150
170190 210 23025070 90110
Resistênciaà compressão(psi)
Fig. 2.4Histogramaderesistênciaàcompressãopara80corposdeprovadaliga
alumínio-lítio.
Tabela 2.3DistribuiçãodeFreqüênciasparaosDadosdeResistênciaà CompressãonaTabela2.1
Intervalo de Classe
(psi)
70 <x<90
90<x <110
110<x <130
130<x <150
150 <x<170
170<x <190
190<x <210
210<x <230
230<x <250
Marcação
11
I1I
il111
il11tllJ.lIlI
il11tllJ.tllJ.tllJ.lI
il11il11tllJ.ll
il111lJl.
11I1
11
Freqüência
2
3
6
14
22
17
10
4
2
Freqüência
Relativa
0,0250
0,0375
0,0750
0,1750
0,2750
0,2125
0,1250
0,0500
0,0250
Freqüência Relativa
Cumulativa
0,0250
0,0625
0,1375
0,3125
0,5875
0,8000
0,9250
0,9750
1,0000
SUMÁRIO E APRESENTAÇÃO DE DAOOS 19
140 160 180 200 220 240
o
20
250200100
10
<1l
'(3c'o>,:;> 5r:r ~u..
O
150
Resistência
Fig. 2.5 Histogramados dadosde resistênciaà compressão,provenientedo
Minitab com 17 intervalos de classe.
Resistência
Fig. 2.6 Histogramados dadosde
resistênciaà compressão,provenientedo
Minitab com 9 intervalosde classe.
Fig. 2.7 Gráfico de distribuiçãocumulativados dadosde resistênciaà com-
pressão,provenientedo Minitab.
coincidirão.Usualmente,encontraremosquemoda<mediana<
média,sea distribuiçãofor distorcidaparaa direita,enquanto
moda> mediana>média,seadistribuiçãofor distorcidaparaa
esquerda.
Distribuiçõesdefreqüênciasehistogramassãotambémusa-
doscomdadosqualitativosouporcategorias.Em algumasapli-
cações,haveráumaordemnaturaldascategorias(taiscomoca-
louro,segundo,terceiroequartanistanauniversidade),enquan-
to emoutras,a ordemdascategoriasseráarbitrária(taiscomo
machoefêmea).Quandousamosdadosporcategoria,osinter-
valosdevemteramesmalargura.
250200150
Resistência
100
10
o
80
<1l 70>
~ 60
:;>
~ 50u
.~ 40c
;~30
~ 20
u..
sensíveisaonúmeroe à larguradeseusintervalos.Paracon-
juntospequenosdedados,oshistogramaspodemmudardra-
maticamentenaaparência,seonúmeroe/oua larguradosin-
tervalosmudarem.Histogramassãomaisestáveisparacon-
juntos grandesde dados,preferencialmentecom70, 100ou
maisdados.A Fig. 2.6mostrao histograma,comnoveinter-
valos,feitopeloMinitab paraosdadosderesistênciaà com-
pressão.Ele é similar ao histogramaoriginal, mostradona
Fig. 2.4. Umavezqueonúmerodeobservaçõesémoderamente
grande(n =80),aescolhado númerodeintervalosnãoé es-
pecialmenteimportantee ambas(Figs. 2.5e2.6)conduzema
informaçãosimilar.
A Fig. 2.7mostraumavariaçãodehistograma,disponível
no Minitab,o gráfico de freqüênciacumulativa.Nessegrá-
fico, a alturade cadabarraé o númerototalde observações
queé menorou igual ao limite superiordo intervalo.Distri-
buiçõescumulativassão tambémúteis na interpretaçãode
dados;porexemplo,podemosler diretamentedaFig. 2.7 que
existem,aproximadamente,70 observaçõesmenoresqueou
iguaisa 200psi.
Histogramassãomaisefetivoscomoaapresentaçãodedados,
paraamostrasrelativamentegrandes,tipon 2:75a 100oumaior.
Quandoo tamanhodaamostrafor grande,o histogramapoderá
serumindicadorconfiáveldaformageraldapopulaçãodemedi-
dasdaqualaamostrafoi retirada.A Fig. 2.8apresentatrêscasos.
Geralmente,seosdadosforemsirnétricog;-comonaFig.2.8b,então
amédiaeamedianacoincidirão.Se,alémdisso,osdadostiverem
apenasumamoda(dizemosqueosdadossãounimodais),entãoa
média,amedianaeamodacoincidirão.Seosdadostiveremdes-
viodesimetria(assirnétricos,comumalongacaudaparaumlado),
comonasFigs.2.8aec,entãoamédia,amedianae amodanão
Desvioparaa esquerdaou negativo Simétrico Desvioparaa direitaou positivo
(a) (b) (e)
Fig. 2.8Histogramasparadistribuiçõessimétricasedeslocadas.
20 SUMÁRIO E ApRESENTAÇÃO DE DAOOS
EXEMPLO 2.3
I A Fig. 2.9apre"otaap<adoçãodee'Paçooave,pelaCompa-
nhiaBoeing,em 1985.Notequeo modelo737foi o maispo-
pular,seguidopelosmodelos757,747,767e707.
Um histogramade ocorrênciaspor categoria(emque as
categoriassãoordenadaspelo númerode ocorrências)é al-
gumasvezeschamadode diagrama de Pareto. Ver Exercí-
cio 2.14.
Nestaseção,temosnosconcentradoemmétodosdescritivos
paraa situaçãoem quecadaobservação,emum conjuntode
pontos,é umnúmeroúnico ou pertencea umacategoria.Em
muitoscasos,trabalhamoscomdadosemquecadaobservação
consisteemváriasmedidas.Por exemplo,emumestudoderni-
lhagemde gasolina,cadaobservaçãopodeconsistiremuma
medidademilhasporgalão,notamanhodomotornoveículo,
napotênciadomotor,nopesodoveículoenocomprimentodo
veículo.Esseéumexemplodedadosmultivariáveis.Nos ca-
pítulosmaisadiante,discutiremosessetipodedados.
250
",LO
150
(l)CO ~º;:?
~ E(l) (l)
1J'" 100-o o ~1J(l) ro.~~z.!l! 50
-.
O
737
747757 767707
Modelodoavião
Fig. 2.9Produçãodeaviõesem1985.(Fonte:CompanhiaBoeing.)
----------- EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 2.3
2.9.
D
""'"
2.10.
Q
2.11.
.g,
2.12.
Q
2.13.
~
Construaumadistribuiçãodefreqüênciae histogramaparaos
dadosdeoctanagemdo combustívelparamotordoExercício
2.1.Use oito intervalosde classe.
Construaumadistribuiçãodefreqüênciae histograma,usan-
do os dadosdefraturadoExercício2.2.
Construaumadistribuiçãode freqüênciase histogramapara
os dadosdoteordealgodãodo Exercício2.3.
Construaumadistribuiçãodefreqüênciae histogramaparaos
dadosderendimentodo Exercício2.4.
Construaumadistribuiçãodefreqüênciae histograma,com
16intervalosdeclasse,paraosdadosdeoctanagemdocom-
bustívelparamotordoExercício2.1.Comparesuaformacom
aqueladohistogramacomoito intervalosdeclassedoExer-
cício 2.9.Os doishistogramasapresentaminformaçãosimi-
lar?
2.14. oDiagramadePareto.Umavariaçãoimportantedeumhis-
togramaparadadosporcategoriaéo diagramadePareto.Esse
gráficoé largamenteempregadonosesforçosdemelhoriada
qualidade,emqueascategoriasgeralmenterepresentamtipos
diferentesdedefeitos,modosdefalhaouproblemasnosprodu-
tos/processos.As categoriassãoordenadasdemodoqueacate-
goriacomamaiorfreqüênciaficaráàesquerda,seguidapelaca-
tegoriacomasegundamaiorfreqüência,eassimpordiante.Esses
diagramastêmo nomedomatemáticoitalianoV. Paretoeeles
geralmenteexibemaleidePareto;ouseja,amaioriadosdefeitos.
podesercreditadaapenasa umaspoucascategorias.Supo-
nhaqueaseguinteinformaçãosobredefeitosestruturaisnas
portasdosautomóveissejaobtida:4 arranhões,4buracos,6
itensarrumadosfora daseqüência,21 peçassubaparadas,8
fendasperdidas,5 peçasnão lubrificadas,30 peçasfora de
contornoe 3peçascomrebarbas.Construaumdiagramade
Pareto e interprete.
2.4DIAGRAMA DE CAIXA (Box Plof )
odiagramade.ramoe folhase o histogramafornecemimpres-
sõesvisuaisgeraiS"acercadeumconjuntodedados,enquanto
quantidadesnuméricas,taiscomox ous forneceminformação
sobresomenteumacaracterísticadosdados.O diagrama de
caixaéumaapresentaçãográficaquedescrevesimultaneamen-
te váriascaracterísticasimportantesdeumconjuntodedados,
taiscomocentro,dispersão,desviodasimetriae identificação
dasobservaçõesqueestãosurpreendentementelongedoseiodos
dados.(Essasobservaçõessãochamadas"outliers".)
Um diagramadecaixaapresentatrêsquartis,o mínimoe o
máximodosdadosemumacaixaretangular,alinhadostantoho-
rizontal como verticalmente.A caixa inclui a amplitude
interquartil,com o cantoesquerdo(ou inferior) no primeiro
quartil,ql' eocantodireito(ousuperior)noterceiroquartil,q3.
Uma linha é desenhada,atravésda caixa,no segundoquartil
(queéo percentil50ouamediana),q2 = x. Uma linhaesten-
de-sede cadaextremidadedacaixa.A linhainferior começa
noprimeiroquartilindoatéo menorvalordoconjuntodepon-
tos dentrodas faixasde 1,5interquartila partirdo primeiro
quartil.A linhasuperiorcomeçano terceiroquartilindoatéo
maior valor do conjuntodepontosdentrodas faixasde 1,5
interquartildoterceiroquartil.Dadosmaisafastadosdoqueos
bigodessãograficadoscomopontosindividuais.Um ponto
alémdalinha,porémamenosde3 amplitudesinterquartisda
extremidadedacaixa,échamadodeoutlier. Um pontoamais
de 3 faixas interquartisda extremidadeda caixaé chamado
de outlier extremo.Ver Fig. 2.10.Ocasionalmente,símbo-
los diferentes,taiscomocírculosabertosefechados,sãousa-
dosparaidentificarosdoistipos deoutliers.Algumasvezes,
diagramas'de caixa são chamadosde diagramasde caixa e
linha.
A Fig. 2.11 representao diagramade caixa obtido pelo
Minitab,paraosdadosdaresistênciadaligaàcompressão,mos-
tradosnaTabela2.1.Essediagramadecaixaindicaqueadistri-
buiçãoaresistênciascompressivasérazoavelmentesimétricaem
tomodovalorcentral,porqueosbigodesdadireitaedaesquer-
daeoscomprimentosdascaixasdadireitaedaesquerdaaore-
dordamedianasãoaproximadamenteosmesmos.Há também
doissuavesoutliersemcadaextremidadedosdados.
Os diagramasdecaixasãomuitoúteisemcomparaçõesgrá-
ficasentreconjuntosdedados,umavezquetêmaltoimpacto
visualesãofáceisdeentender.Por exemplo,aFig. 2.12mos-
traosdiagramascomparativosdecaixaparao índicedaqua-
lidade de fabricaçãoem equipamentossemicondutores,em
trêsplantasdefabricação.A inspeçãodessaapresentaçãore-
vela queexistemuitomaisvariabilidadenaplanta2 e queas
plantas2 e3precisammelhoraro desempenhodeseusíndices
daqualidade.
SUMÁRIO E APRESENTAÇÃO DE DADOS
21
A linha se estende, a
partir do primeiro quartil, até
o menor ponto dado que esteja
na faixa de 1,5 interquarti.
A iinha se estende, a partir
do terceiro quartil, até o
maior ponto dado que esteja
na faixa de 1,5 interquarti.
o o'\/
Outliers
o/
Outlierextremo
f.+--l,5 rQR •• 1 •• 1,5rQR •• I :( raR 01< 1,5IQR 01<
Fig. 2.10Descriçãodeumdiagramadecaixa.
120
110
Q)
'O'" 100:2 '"::>c-Q)'OQ) 90u 'õ..E
80
100
150200250
70Resistência
23
Planta
Fig. 2.11DiagramadecaixaparaosdadosderesistênciaàcompressãonaTabela
2.1. Fig. 2.12Diagramasdecaixacomparativosdeumindicedequalidadeemtrêsplantas.
49
51
50
46
46
49
50
49
50
52
44
48
48
51
50
51
46
44
47
52
45
Calculea médiae a medianada amostra.
Calculea variânciae o desvio-padrãodaamostra.
Construaumdiagramadecaixadosdadosecomentesobre
ainformaçãonessediagrama.
Encontreos percentis5% e 95% datemperatura.
(a)
(b)
(c)
(d)
As novemedidasqueseguemsãotemperaturasde fornalha,
registradasembateladassucessivasdeum processodefabri-
caçãodesemicondutores(unidadesem°F):953;950;948;955;
951;949;957;954e 955.
(a) Calculeamédia,avariânciaeo desvio-padrãodaamostra.
(b) Encontreamediana.Dequantoamaiormedidadetempe-
raturapoderiaaumentar,semmudaro valordamediana?
(c) Construaum diagramadecaixadosdados.
O Exercício 1.13 apresentacoeficientesde arrastepara o
aerofólio0012daNASA. Você calculoua média,a variância
e o desvio-padrãodaamostradetodosaquelescoeficientes.
(a) Encontreos quartisinferior e superiordoscoeficientes
de arraste.
(b) Construaum diagramadecaixadosdados.
(c) Isolea maiorobservação(100)erefaçaos itens(a)e (b).
Comentesuaresposta.
Os seguintesdadossãoastemperaturas,emdias consecuti-
vos,doefluentenadescargadeumaunidadedetratamentode
esgoto:
43
45
49
2.20.
D
""'"
2.19.
EXERCíCIOS PARA A SEÇÃO 2.4 ----------
2.18.oExercício 1.14apresentouastemperaturasnajunção dos
anéis (grausFahrenheit)paracadalançamentode testeou
realdo fogueteespacial.Naqueleexercício,desejava-seen-
contrara médiae o desvio-padrãoda amostrade tempera-
tura.
(a) Encontreos quartisinferiore superiordetemperatura.
(b) Encontrea mediana.
(c) Isoleamenorobservação(31°F)erecalculeasquantida-
desdaspartes(a)e (b).Comenteo queencontrou.Quão
diferentessãoas outrastemperaturasemrelaçãoa esse
menorvalor?
(d) Construa,apartirdosdados,umdiagramadecaixae co-
mentea possívelpresençade outliers.
Um artigono Transactionsof the!nstitutionof ChemicalEn-
gineers(Vol. 34,1956,pp.280-293)reportoudadossobreum
experimento,investigandoo efeitodemuitasvariáveisdepro-
cessosna oxidação,emfasevapor,denaftaleno.Uma amos-
tra da conversãopercentualmolar de naftalenoemanidrido
maléicoresultaem:4,2; 4,7;4,7; 5,0;3,8;3,6; 3,0; 5,1;3,1;
3,8;4,8;4,0; 5,2;4,3; 2,8;2,0;2,8;3,3;4,8e 5,0.
(a) Calculea médiada amostra.
(b) Calculea variânciae o desvio-padrãodaamostra.
(c) Construaum diagramadecaixadosdados.
O "tempode igniçãofria" deum motorde carroestásendo
investigadopor umfabricantedegasolina.Os seguintestem-
pos(emsegundos)foramobtidosemumveículodeteste:1,75;
1,92;2,62;2,35;3,09;3,15;2,53e 1,91.
(a) Calculea médiae o desvio-padrãodaamostra.
(b) Construaumdiagramadecaixadosdados.
2.17.
2.16.
2.15.
Q
22 SUMÁRIO E APRESENTAÇÃO DE DADOS
2.5GRÁFICOS SEQÜENCIAIS DE TEMPO
Fig. 2.13 Vendas da companhiapor ano (a) e por quadrimestre(b).
1982 1983 19841985 1986 1987 1988 1989 19901991 Anos
(a)
234
1991 Quadrimestres
2 3 4
1990
(b)
2 3 4
1989
ramoEssediagramaapresentaefetivamenteavariabilidadeglo-
balnosdadosderesistênciaàcompressãoemostra,simultane-
amente,a variabilidadenessasmedidasao longodo tempo.A
impressãogeraléquearesistênciaàcompressãovariaemtomo
dovalormédiode162,67,nãohavendopadrãoóbviofortenessa
variabilidadeaolongodotempo.
O gráficodigipontonaFig. 2.15noscontaumfatodiferente.
Essegráficoresume30observaçõesdeconcentraçãonoprodu-
><:
g
""O
C
Q)>
As apresentaçõesgráficasquetemosconsiderado,comohisto-
gramas,diagramasderamoe folhase diagramasdecaixa,são
métodosvisuaismuitoúteisparamostrara variabilidadenos
dados.Entretanto,notamosnaSeção1.5queo tempoé umfa-
torimportantequecontribuiparaavariabilidadedosdadoseos
métodosgráficosacimamencionadosnãolevamissoemconsi-
deração.Umasérietemporalouseqüênciatemporaléumcon-
juntodedadosemqueasobservaçõessãoregistradasnaordem
emqueelasocorrem.Um gráfico de sérietemporalé aquele
emqueoeixoverticaldenotaovalorobservadodavariável(por
exemplo,x) eo eixohorizontaldenotao tempo(quepoderiaser
minutos,dias,anos,etc.).Quandoasmedidassãoplotadascomo
umasérietemporal,freqüentementevemostendências,ciclosou
outrascaracterísticasgeraisdosdadosquenãopoderiamservis-
tosdeoutraforma.
Porexemplo,considereaFig. 2.13(a),queapresentaumgráfi-
co desérietemporaldasvendasanuaisdeumacompanhia,du-
ranteosúltimos10anos.A impressãogeraldessegráficoéque
asvendasmostraramumatendênciaparacima.Existealguma
variabilidadeemtomodessatendência,comalgumasvendas
anuaisaumentandosobreaquelasdoúltimoanoealgumasven-
dasanuaisdiminuindo.A Fig. 2.13(b)mostraosúltimostrêsanos
devendasregistradasnotrimestre.Essegráficomostraclaramente
queasvendasanuaisnessenegócioexibemumavariabilidade
cíclica no trimestre,comasvendasno primeiroe no segundo
trimestressendo,geralmente,maioresdoqueasvendasdurante
o terceiroeo quartotrimestres.
Algumasvezes,podesermuitoútil combinarumgráficode
sérietemporalcomalgumasoutrasapresentaçõesgráficasque
consideramospreviamente.J. StuartHunter (TheAmerican
Statiscian,VoI. 42, 1988,p. 54)sugeriucombinaro diagrama
deramoefolhascomográficodesérietemporalparaformarum
gráficodigiponto.
A Fig. 2.14mostraumgráficodigipontoparaasobservações
deresistênciaà compressãodaTabela2.1,considerandoque
essasobservaçõessãoregistradasnaordememqueelasocorre-
Folha Ramo Gráfico de série temDoral
•
•
•
•
•
•
.. \ .. ...
'.·vf·~.'..~~f•
r······
<I' •
r ·•
•
•
•.. Ã
\ .
.J• ••
•
•
•
~•
•
•
•
•
•
•
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
5
7
189
8
7108
960934
0361410
8544162106
3073050879
471340886808
29583169
413535
103
580
15
7
7
6
Fig. 2.14GráficodigipontodosdadosderesistênciaàcompressãonaTabela2.1.
Folha Ramo Grálicodesérietemporal
SUMÁRIO E APRESENTAÇÃO DE DADOS 23
8
ge •
6
9s
· f\45
9f
f\ · ·2333
9t • ._e e\
0010000
9z
IV J.J'v \~ .99998
8e
~. / /\·/v66677
8s
45
81 · li
23
8t
•
•1 8z
Fig.2.15Gráficodigipontodasleiturasdeconcentraçãodeumprocessoquímico,observadasdehoraemhora.
to na saída de um processo químico, em que as observaçõessão
registradasemintervalosdeuma hora. Esse diagramaindica que
duranteasprimeiras 20 horas de operação,esseprocessoprodu-
ziu concentraçõesgeralmenteacimade85g/l; porém,depoisdesse
tempo, alguma coisa pode ter ocorrido no processo, que resul-
tou emconcentraçõesmais baixas. Se essavariabilidade na con-
centraçãode saída do produto puder serreduzida, entãoa opera-
ção desseprocesso poderá ser melhorada.
EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 2.5
2.21. O CollegeofEngineeringandAppliedSciencenaArizonaState
Universitytemum sistemaVAX de computadores.Os tem- )1;1,
posderespostapara20tarefasconsecutivasforamregistrados,
sendomostradosabaixoeemordem(leiaparabaixoe,então,
da esquerdaparaa direita).
225
248
203
195
249
195
255
245
235
220
199
183
213
236
245
190
175
178
175
190
(a) Construaum diagramada sérietemporaldosdados.
(b) Construaeinterpreteumgráficodigipontoouumdiagra-
maderamoe folhasdosdados.
2.24. Em seulivro TimeSeriesAnalysis,Forecasting,and Control
(PrenticeRal!, 1994),G. E. P. Box, G. M. Jenkis e G. C.
Reinselapresentamleiturasdeconcentraçãodeum processo
químico,feitasa cadaduashoras.Alguns dessesdadossão
mostradosa seguir(leiaparabaixoe,então,daesquerdapara
a direita).
5,3 6,28,512,4
5,0
5,94,73,9
9,5
7,211,28,1
10,1
10,07,39,2
5,8
12,26,410,5
Construae interpreteum diagramade sérietemporaldesses
dados.
_.22. Os seguintesdadossãomedidasdeviscosidadeparaumpro-
dutoquímicoobservadode horaemhora(leia parabaixo e,
então,daesquerdaparaa direita).
47,948,848,643,243,0
47,9
48,148,043,042,8
O
48,6
48,347,943,543,1 O
48,0
47,248,343,143,2
""'"
.==l
48,4
48,948,543,043,6
48,1
48,648,142,943,2
48,0
48,048,043,643,5
48,6
47,548,343,343,0
(a)
Construaeinterpreteumgráficodigipontoouumdiagra-
maseparadoderamoefolhaseumdiagramadesérietem-poraldessesdados.
2.25.
(b)
As especificaçõesnaviscosidadedoprodutosãoem48O
±2.Queconclusõesvocêpodetirarsobreo desempenho
""'"
desseprocesso? 2.23.
A força deremoçãoparaum conectoré medidaemumteste
delaboratório.Dadospara40 corposdeprovasãomostradosaseguir(naordememqueforammedidos;leiaparabaixoe,então,daesquerdaparaadireita):
241
220249209 2.26.
258
194251212 O
237
245238185
""'"
210
209210187
194
201198218
17,0 16,717,117,517,6
16,6
17,417,418,117,5
16,3
17,217,417,516,5
16,1
17,417,517,417,8
17,1
17,417,417,417,3
16,9
17,017,617,117,3
16,8
17,317,417,617,1
17,4
17,217,317,717,4
17,1
17,417,017,416,9
17,0
16,817,817,817,3
Construae interpreteum gráficodigipontoou um diagrama
deramoe folhasdessesdados.
OsnúmerosanuaisWolferdemanchassolares,de1770a 1869,
sãomostradosnaTabela2.4.(Paraumaanáliseinteresssantee
umainterpretaçãodessesnúmeros,vero livro deBox, Jenkins
eReinsel,referenciadonoExercício2.24.A análisedelesrequer
algumconhecimentoavançadodeestatísticae construçãode
modeloestatístico.)
(a) Construaum diagramada sérietemporaldessesdados.
(b) Construaeinterpreteumgráficodigipontoouumdiagra-
maderamoe folhasdessesdados.
Em seulivro ForecastingandTimeSeriesAnalysis,2."edição
(McGraw-Rill, 1990),D. C. Montgomery,L. A. Johnsone1.S.
GardineranalisamosdadosnaTabela2.5,quecorrespondem
aototaldemilhasvoadas,mensalmente,pelospassageirosda
UnitedKingdom,entre1964e 1970(em!TIÍlhõesdemilhas).
24 SUMÁRIO E ApRESENTAÇÃO DE DADOS
Tabela 2.4NúmerosAnuais deManchasSolares
1770
101179521182016184540
1771
821796161821 7184662
1772
66179761822 4184798
1773
35179841823 21848124
1774
31179971824 8184996
1775
71800 14182517185066
1776
20180134182636185164
1777
92180245182750185254
1778
154180343182862185339
1779
125180448182967185421
1780
8518054218307118557
1781
6818062818314818564
1782
38180710183228185723
1783
23180881833 8185855
1784
101809 21834 13185994
1785
241810O183557186096
1786
83181111836122186177
1787
132181251837138186259
1788
1311813121838103186344
1789
118181414183986186447
1790
90181535184063186530
1791
67181646184137186616
1792
6018174118422418677
1793
47181830184311186837
1794
41181924184415186974
Tabela 2.5Milhas VoadaspelosPassageirosda UnitedKingdom
Mês
1964196519661967196819691970
Jan
7,2698,3508,1868,3348,6399,49110,840
Fev
6,7757,8297,4447,8998,7728,91910,436
Mar
7,8198,8298,4849,99410,89411,60713,589
Abr
8,3719,9489,86410,07810,4558,85213,402
Mai
9,06910,63810,25210,80111,17912,53713,103
Jun
10,24811,25312,28212,95310,58814,75914,933
Ju!
11,03011,42411,63712,22210,79413,66714,147
Ago
10,88211,39111,57712,24612,77013,73114,057
Set
10,33310,66512,41713,28113,81215,11016,234
Out
9,1099,3969,63710,36610,85712,18512,389
Nov
7,6857,7758,0948,7309,29010,64511,594
Dez
7,6827,9339,2809,61410,92512,16112,772
(a) Desenheumdiagramadesérietemporaldosdadose co-
mentequalquercaracterísticaaparentedessesdados.
(b) Construaeinterpreteumgráficodigipontoouumdiagra-
maderamoe folhasdessesdados.
ExercíciosSuplementares
2.27. A concentraçãodeumasoluçãoé medidaseisvezesporuma
operadoraqueusao mesmoinstrumento.Ela obtémosseguin-
tesdados:63,2;67,1;65,8;64,0;65,1e 65,3(g/l). 2.28.
(a) Calculeamédiadaamostra.Suponhaqueovalordeseja-
do paraessasoluçãotenhasido especificadoem65 g/
1.Você achaqueo valormédiocalculadoaquiésuficien-
tementepróximodo valor alvo,paraquesepossaafir-
mar quea soluçãotenhaatingidoo alvo? Justifique sua
resposta.
(b) Calculeavariânciaeo desvio-padrãodaamostra.
(c) Suponhaque,paramedira concentração,a operadorate-
nha decalibraro aparelhoe usarum materialreagente.
Quais asmaioresfontesde variabilidadequevocêima-
ginaparaesseexperimento?Por queé desejávelteruma
pequenavariânciadessasmedidas?
Uma amostracomresistoresresultouasseguintesresistências
(ohms):x]=45,x2 = 38,x3 =47,x4 =41,xs =35 eX6 =43.
(a) Calculea variânciae o desvio-padrãodaamostra,usan-
do o métododaEq. 1.4.
912 6971412467
8
5978113677
11
448756458
19
191812111715171313
2.34.
Um canaldecomunicaçãoestásendomonitoradopeloregistro
donúmerodeerrosemum conjuntodecaracteres(string)de1.000bits.Dadospara20dessesconjuntossãovistosa seguir.Leia os dadosdaesquerdaparaa direita.
3
O132413
1
2332O2O
(a) Construaum diagramaderamoe folhasdosdados.
(b) Encontrea médiadaamostrae o desvio-padrão.
(c) Construaumdiagramadasérietemporaldosdados.Há al-
gumaevidênciadequehouveumaumentooudiminuição
nonúmeromédiodeerrosemumconjuntodecaracteres?
Explique.
2.35. Transformações.Em algunsconjuntosdedados,umatrans-
formaçãoporalgumafunçãomatemáticaaplicadaaosdados
originais,taiscomo.jY oulog(y),poderesultaremdadosque
sejammais fáceis de trabalhar,estatisticamente,do queos
dadosoriginais.Parailustraro efeitodeumatransformação,
considereos seguintesdados,querepresentamciclos defa-
lhasdeum tecido:675;3.650; 175;1.150;290;2.000; 100;
375.
(a) Construaumdiagramadecaixaecomenteaformadadis-
tribuiçãodosdados.
(b) Transformeosdadosusandologaritmos;ou seja,façay*
(novovalor)=log(y)(valorantigo).Construaumdiagra-
madecaixadosdadostransformadosecomenteoefeitoda
transformação.
(b) Calculeavariânciaeo desvio-padrãodaamostra,usando
adefiniçãodaEq. 1.3.Expliqueporqueosresultadossão
iguaisaosdo item(a).
(c) Não usea medidadaresistênciaiguala 35e calculeS2 e
s.Compareseusresultadoscomaquelesobtidosnositens
(a) e (b) e justifiquesuaresposta.
(d) Se asresistênciasfossem450;380;470;410;350e 430
ohms,vocêpoderiausaros resultadosdositensanterio-
resdesseproblema,paraencontrarS2 e s?
2.29. Um artigo no Transactions01tlle Institution 01Cllemical
Engineers (Vol. 34, 1956,pp. 280-293)reportoudadosso-
bre um experimento,investigandoo efeito de muitasvari-
áveisdeprocessosnaoxidaçãoemfasevapordenaftaleno.
Uma amostrada conversãopercentualmolar de naftaleno
emanidridomaléicoresultaem:4,2; 4,7; 4,7; 5,0;3,8; 3,6;
3,0; 5,1; 3,1; 3,8; 4,8; 4,0; 5,2; 4,3; 2,8; 2,0; 2,8; 3,3;4,8 e
5,0.
(a) Calcule a amplitude,a variânciae o desvio-padrãoda
amostra.
(b) Calcule a amplitude,a variânciae o desvio-padrãoda
amostranovamente,masprimeirosubtraiao número1,0
decadaobservação.Compareseusresultadoscomaque-
lesobtidosno item(a).Há algumacoisa"especial"sobre
o valorconstante1,0ou algumoutrovalor qualquerpo-
deriaterdadoosmesmosresultados?
2.30. Considereasduasamostrasdadasabaixo:
Amostra1: 10;9; 8; 7; 8; 6; 10e 6.
Amostra2: 10;6; 10;6; 8; 10;8 e 6.
(a) Calculea amplitudeparaambasasamostras.Você con-
cluiriaqueambasasamostrasexibema mesmavariabi-
lidade?Explique.
(b) Calcule o desvio-padrãode ambasas amostras.Essas
quantidadesindicamqueambasasamostrastêma mes-
mavariabilidade?Explique.
(c) Escrevaumcurtotextocontrastandoaamplitudedaamos-
tracomo desvio-padrãodaamostra,comomedidadeva-
riabilidade.
2.31. Um artigoem Quality Engineering (VaI. 4, 1992,pp. 487-
495) apresentadadosde viscosidadedeum processoquími-
co embatelada.Uma amostradessesdadosé apresentadaa
seguir.
13,314,915,816,0
14,5
13,713,714,9
15,3
15,215,113,6
15,3
14,513,415,3
14,3
15,314,114,3
14,8
15,614,815,6
15,2
15,814,316,1
14,5
13,314,313,9
Q
14,614,116,415,2
14,1
15,416,914,4
14,3
15,214,214,0
·16,1
15,216,914,4
13,1
15,914,913,7
15,5
16,515,213,8
12,6
14,814,415,6
14,6
15,115,214,5
14,3
17,014,612,8
15,4
14,916,416,1
15,2
14,814,216,6
16,8
14,015,715,6
(a)
Lendoparabaixoedaesquerdaparaadireita,desenheum
diagramadesérietemporaldetodososdadose comentequalquercaracterísticadosdadosquesejareveladaporessediagrama.
2.32.
2.33.
SUMÁRIO E APRESENTAÇÃO DE DADOS 25
(b) Considereanoçãodequeas40primeirasobservaçõesfo-
ramgeradasapartirdeumprocessoespecífico,enquanto
as40 últimasobservaçõesforamgeradasa partirdeum
processodiferente.O gráficoindicaqueosdoisprocessos
geramresultadossimilares?
(c) Calculea médiae a variânciadas40 primeirasobserva-
ções;então,calculeessesvaloresparaas40 últimasob-
servações.Essasquantidadesindicamqueambosospro-
cessosresultamno mesmonível demédia?E a mesma
variabilidade?Explique.
OsdadosmostradosnaTabela2.6representamasvendasmen-
saisdechampanhenaFrança(1962-1969),emmilharesdegar-
rafas.
(a) Construaumdiagramadesérietemporaldosdadose co-
mentequalquercaracterísticadosdadosquesejarevela-
dapor essediagrama.
(b) Pergunte-secomovocêusariaumprocedimentográfico
paraprevervendasmensaisdechampanheparao anode
1970.
Um fabricantedemolasestáinteressadoemimplementarum
sistemadecontroledaqualidadeparamonitorarseuprocesso
deprodução.Comopartedessesistemadequalidade,foi deci-
didoregistraronúmerodemolasforadeconformidade,emcada
bateladadeprodução,comumtamanhoiguala50.Durante40
diasdeprodução,40bateladasdedadosforamcoletadassen-
doreportadasaqui.
(a) Construaumdiagramaderamoefolhasdosdados.
(b) Encontrea médiadaamostrae o desvio-padrão.
(c) Construaum diagramade sérietemporaldosdados.Há
algumaevidênciadequehouveumaumentooudiminui-
çãononúmeromédiodemolasforadeconformidade,fa-
bricadasduranteos 40 dias?Explique.
Leia os dadosda esquerdaparaa direita.
26 SUMÁRIO E APRESENTAÇÃO DE DADOS
Tabela 2.6VendasdeChampanhena França
Ano MêsVendas AnoMêsVendas AnoMêsVendas
1962
Jan.2,851 1963Jan.2,541 1964Jan.3,113
Fev.
2,672 Fev.2,475 Fev.3,006
Mar.
2,755 Mar.3,031 Mar.4,047
Abril
2,271 Abril3,266 Abril3,523
Maio
2,946 Maio3,776 Maio3,937
Junho
3,036 Junho3,230 Junho3,986
Julho
2,282 Julho3,028 Julho3,260
Agosto
2,212 Agosto1,759 Agosto1,573
Set.
2,922 Set.3,595 Set.3,528
Out.
4,301 Out.4,474 Out.5,211
Nov.
5,764 Nov.6,838 Nov.7,614
Dez.
7,132 Dez.8,357 Dez.9,254
1965
Jan.5,375 1966Jan.3,633 1967Jan.4,016
Fev.
3,088 Fev.4,292 Fev.3,957
Mar.
3,718 Mar.4,154 Mar.4,510
Abril
4,514 Abril4,121 Abril4,276
Maio
4,520 Maio4,647 Maio4,968
Junho
4,539 Junho4,753 Junho4,677
Julho
3,663 Julho3,965 Julho3,523
Agosto
1,643 Agosto1,723 Agosto1,821
Set.
4,739 Set.5,048 Set.5,222
Out.
5,428 Out.6,922 Out.6,&73
Nov.
8,314 Nov.9,858 Nov.10,803
Dez.
10,651 Dez.11,331 Dez.13,916
1968
Jan.2,639 1969Jan.3,934
Fev.
2,899 Fev.3,162
Mar.
3,370 Mar.4,286
Abril
3,740 Abril4,676
Maio
2,927 Maio5,010
Junho
3,986 Junho4,874
Julho
4,217 Julho4,633
Agosto
1,738 Agosto1,659
Set.
5,221 Set.5,591
Out.
6,424 Out.6,981
Nov.
9,842 Nov.9,851
Dez.
13,076 Dez.12,670
EXERCÍCIOS PARA EXPANDIR A MENTE
2.36. Um experimentoparainvestigaro tempodesobrevivência,
emhoras,deumcomponenteeletrônico,consisteemcolo-
caraspartesemumacéluladetesteecorrê-Iasdurante100
horas,sobcondiçõesdetemperaturaelevada.(Issoéchama-
doteste"acelerado"devida.)Oitocomponentesforamtes-
tadoscomosseguintestemposresultantesdefalha:
75;63; 100+;36;51;45;80e 90.
A observação"100+"indicaqueaunidadeaindafuncionou
no tempode100horas.Há algumamedidasignificantede
localizaçãoquepossasercalculadaparaessesdados?Qual
éo seuvalornumérico?
2.37. Suponhaquetenhamosumaamostrax,, Xz, ...,x" etenhamos
calculadox" e s~paraaamostra.Agora,uma(n + l)-ésima
observaçãosetornadisponíveLFaçaxn +1 es;+1 seramédia
e avariânciadaamostra,respectivamente,usandotodasas
n +1observações.
(a) Mostrecomo xn+I podesercalculado,usandox" e
xll+1"
(b) Mostrequens;+1=(n-1)s; +_n_ (xn+l-X,,)2.n+1
(c) Use os resultadosdos itens(a) e (b) paracalculara
novamédiaeo desvio-padrãodaamostraparaosda-
dosdoExercício 2.28,quandoa novaobservaçãofor
x7 =46.
2.38. A Média Podada (Trimmeá). Suponhaqueosdadoses-
tejamarranjadosemordemcrescente,queT% dasobser-
vaçõessejamremovidasdecadaextremidadeequeamédia
daamostradosnúmerosrestantessejacalculada.A quanti-
daderesultanteéchamadademédiapodada.A médiapo-
dadaestá,geralmente,entrea médiadaamostrax e a
medianadaamostraX. Por quê?
(a) Calculeamédia10%podadaparaosdadosderen-
dimentodoExercício2.10.
(b) Calculeamédia20%podadaparaosdadosderen-
dimentodoExercício2.10ecompare-acomaquan-
tidadeencontradano item(a).
(c) Compareos valorescalculadosnositens(a) e (b)
comamédiaeamedianadaamostraparaosdados
do Exercício 2.4.Há muitadiferençaentreessas
quantidades?Por quê?
2.39. A Média Podada (Trímmeá). Suponhaqueo tamanho
daamostran sejatalquea quantidadenTI100nãoseja
uminteiro.Desenvolvaumprocedimentoparaobteruma
médiapodadanessecaso.