limites_definicao_2010

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Cálculo diferencial e Integra I – Prof.ª Ivete Baraldi 1
LIMITES DE FUNÇÃO 
1 – Noção intuitiva 
1 – Seja f(x) = x + 1; D(f) = R. 
Vamos analisar o que acontece com f(x) quando x assume valores cada vez mais próximos de 2. 
x f(x) = x + 1 
1,9 2,9 
1,98 2,98 
1,99 2,99 
1,99999 2,99999 
2,1 3,1 
2,01 3,01 
2,0001 3,0001 
2,00001 3,00001 
Valores maiores 
do que 2 
Valores menores
do que 2
 
Verificamos que quando x → 2 (x tende a 2), temos f(x) → 3 (f(x) tendendo a 3), o que equivale a 
dizer: 
“PARA x BASTANTE PRÓXIMO DE 2, f(x) ESTARÁ TÃO PRÓXIMA DE 3 QUANTO 
DESEJARMOS.” 
∴ lim x + 1 = 3 lim x + 1 = 3 
x→2- x→2+
valores menores do que 2 valores maiores do que 2 
Graficamente 
 
 
 
 
 3)1(lim
2
=+∴
→
x
x
 
 
 
 
 
 
2 – S
Vam
eja f(x) = 1,
1
)12( ≠−
+ x
x
x . 
os analisar o que acontece com f(x) quando x .1→
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3 – A função y = x2 + 3x – 2 tende para ∞+ quando ±∞→x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – A figura nos mostra o gráfico da função .
)1(
1
2+= xy O que acontece quando x tende para -1. 
 
 
Exercício: seja f(x) a função definida pelo gráfico. Intuitivamente, encontre se existir: 
a) 
)()()(
)()()(
limlimlim
limlimlim
4
333
xfxfxf
xfxfxf
xxx
xxx
→∞+→∞−→
→→→ +−
 
 
 
 
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b) 
 
)()(
)()()(
limlim
limlimlim
222
xfxf
xfxfxf
xx
xxx
∞+→∞−→
−→−→−→ +−
 
 
 
 
 
c) 
 
 
)()()(
)()()(
limlimlim
limlimlim
2
000
xfxfxf
xfxfxf
xxx
xxx
→∞+→∞−→
→→→ +− 
 
 
 
 
d) 
 
)()(
)()()(
limlim
limlimlim
122
xfxf
xfxfxf
xx
xxx
∞+→∞−→
→→→ +− 
 
 
 
 
e) 
)()(
)()()(
limlim
limlimlim
111
xfxf
xfxfxf
xx
xxx
∞+→∞−→
→→→ +−
 
 
 
 
 
 
2 – Definição formal de limite 
Intuitivamente, dizemos que uma função f(x) tem limite L quando x tende para a, se é possível 
tornar f(x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomemos valores de x, x ≠ a suficientemente 
próximos de a. 
De uma maneira formal, temos: 
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Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto, possivelmente, no próprio a. dizemos 
que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos se, para todo ε > 0, 
existe δ > 0, tal que |f(x) – L| < ε sempre 0 < |x – a| < δ. 
Lxf
ax
=
→
)(lim
Exemplos: usando a definição provar que: 
a) b) 2)13(lim
1
=−
→
x
x
162
4
lim =→ xx
Exercício: Dado o limite abaixo, determinar um número δ para o ε dado tal que | f(x) – L | < ε 
sempre que 0 < | x – a | < δ. 
01,0;8)42(lim
2
==+
→
εx
x
 
3 – Proposição – Unicidade do limite 
 
4 – Propriedades dos limites 
Anteriormente, usamos a definição de limite para provar que um dado número era limite de uma 
função. Foi um processo relativamente simples para funções de 1º e 2º graus. No entanto, pode se 
tornar bastante complicado para funções mais elaboradas. As propriedades a seguir podem ser 
usadas para acharmos muitos limites sem apelar para a definição. 
Proposição: Se a, m e n são números reais, então nmanmx
ax
+=+
→
)(lim . 
 Proposição: Se e existem, e c é um número real qualquer, então: )(lim xf
ax→
)(lim xg
ax→
a) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→ ±=±
 Exemplo: 
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b) )(lim.)(.lim xfcxfc
axax →→
=
Exemplo: 102.5lim.55lim
22
===
→→
xx
xx
 
c) )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxf
axaxax →→→ =
Exemplo: 
d) 
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→ = 
 Exemplo: 
 
e) 
 Exemplo: 
 
f) 
 Exemplo: 
 
g) 
 Exemplo: 
 
h) 
 Exemplo: 
 
i) 
 Exemplo: 
 
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Limite de uma função polinomial para ±∞→x 
 Seja a função polinomial . Então: 
 Demonstração: 
 
 
 Mas: 
 
Logo: 
 
 
 De forma análoga, para , temos: 
 Exemplos: 
 
Exercícios 
1 – Calcular os limites usando as propriedades estudadas: 
15
65))92())4()
]cotcos2[)32)
13
4)
])2()4[())26())573()
23
32
3
4
2
3
42
13
1
45
1
2
0
limlimlim
limlimlim
limlimlim
++
−+−+
+−+−
+
++++−−−
−∞→∞→→
→→→
−
−→−→→
xx
xxixxhxeg
gxxsenxfxe
x
xd
xxcxxbxxa
xx
x
x
xxx
xxx
π
 
 
2 – Encontrar 
x
senx
x
1.2
0
lim→ .
1
 
1 Use o teorema do confronto: “Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente em x = a, e se .)(,)()( limlimlim LxhentãoxgLxf
axaxax
===
→→→
 
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