Lista 10

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Lista de problemas 10 
1)Um carrinho (ponto P) sobe um plano inclinado e a reta suporte da trajetória está mostrada na FIG.1. O movimento do carrinho é estudado por dois observadores. O observador 1 descreve o movimento do carrinho usando a coordenada sobre a trajetória, s; a referência R e a convenção de sinais do observador 1 estão indicadas na FIG.1. O observador 2 descreve o movimento por decomposição num sistema de referência cartesiano, este estando também indicado na FIG.1 pelos eixos x e y. A origem do sistema de referência cartesiano (o zero) coincide com o ponto R. A reta suporte da trajetória do carrinho faz um ângulo de 10o com a horizontal. Dados: sen (10o) = 0,174; cos (10o) = 0,985. O movimento é estudado entre t=0 e t=tr, onde tr é o instante em que P retorna ao ponto de partida. Na figura mostra-se a posição M, de máximo alcance do carrinho, na escala aproximada 1:10.
a)O modelo matemático obtido pelo observador 1 para o movimento do carrinho é a função s(t) = 40 + 62t -14t2 (cm,s). Marque na FIG.1 a posição do carrinho (ponto P), de Px e Py, em t=0.
b)Para descrever o movimento das projeções Px e Py, o observador 2 utilizou o modelo matemático já obtido pelo observador 1, isto é, utilizou como ponto de partida a função s(t). Quais são as funções x(t) e y(t)? Dê a resposta com 3 dígitos.
c)Escolha duas posições quaisquer de P e chame de t1 e t2 (t2 > t1) os instantes correspondentes. Represente por setas, na FIG.1, (s12, (x12 e (y12. Quanto vale a razão 
? 
d)Num certo intervalo (t, obteve-se o valor 48cm/s para a velocidade média de P. Determine as velocidades médias de Px e Py nesse intervalo (respostas com 3 dígitos).
e)A igualdade
=
 demonstrada no item anterior, é verdadeira num movimento de projétil? E a igualdade
=
, também demonstrada em (c)?(Consulte a aula XVII).
2)Um pequeno disco, representado por P, move-se com velocidade constante sobre uma placa de disposta horizontalmente, acoplada a um dispositivo de fluxo de ar para reduzir o atrito. A trajetória é retilínea e sobre a reta suporte representada na FIG.2. O movimento é estudado pela decomposição no sistema de referência cartesiano, mostrado na figura. Nesse sistema, a função que descreve o movimento de Px é x(t) = 45 + 50 t (cm,s) para 0≤t≤0,9s. As perguntas referem-se a esse intervalo de tempo. Para comprimentos, use a escala dada no gráfico.
a)Marque na FIG.2 as posições finais de P, de Px e de Py . Desenhe nesse instante e numa escala arbitrária de velocidade, o vetor 
 e suas componentes. Observação: Lembre que o vetor velocidade deve ter sua origem coincidente com a posição do corpo.
b)Marque na FIG.2 a posição inicial de Py, indicando também o sentido do seu movimento. Justifique a escolha do sentido ou desenhe o triângulo formado pelas velocidades de P, e das suas sombras. Use para as velocidades uma escala de sua escolha.
c)Usando geometria na FIG.2, obtenha a função y(t) que descreve o movimento de Py.
d)Desenhe na FIG.2 o trecho percorrido pelo ponto P nesse movimento e dê seu comprimento. Mostre os cálculos efetuados.
e)Escreva o vetor 
na representação analítica (em função dos unitários) e mostre que é constante (um vetor constante tem módulo, direção e sentido constantes). Se precisar, use um desenho para justificar toda ou partes da resposta.
 
3) No sistema de referência da FIG.3, um vetor é dado por 
= 3i + 2j. Desenhe-o na figura usando a escala 1:1. O vetor 
é perpendicular a 
, tem o mesmo módulo e sua componente x é positiva. Desenhe 
na figura, obtenha suas componentes e escreva-o na representação analítica. Use semelhança de triângulos para resolver.
4)Uma bola de tênis é lançada em t=0 do ponto A com velocidade 
 dada por suas componentes vx(0) = 2m/s e vy(0) = 4m/s. Suponha que seu movimento é devido unicamente à ação da gravidade. O sistema de referência utilizado é o indicado na FIG.4. Escala: comprimento: 5cm:1m. Tome g = 10m/s2. As perguntas de referem ao intervalo 0≤t≤tq (tq definido posteriormente).
 	
a)Obtenha as funções x(t) e y(t) que descrevem os movimentos de Px e Py.
b)Determine tq, instante em que a bola está na iminência de atingir o chão.
c) Fazendo os cálculos necessários, marque na FIG.4 :
a posição inicial da bola
a posição final da bola
a altura máxima alcançada
d) Fazendo os cálculos necessários, desenhe nas posições correspondentes da FIG.4 :
a direção de 
a direção do vetor velocidade na posição de altura máxima 
a direção de 
a aceleração da bola em cada um desses instantes	
e)Esboce na FIG.4 a trajetória da bola					
5)Uma pequena esfera metálica é lançada de um arremessador numa direção inclinada em relação à horizontal. Ao atingir a bandeja do cronômetro, este registra o valor 0,7s, contado a partir do lançamento (t=0). Para estudar o movimento utiliza-se o sistema de referência indicado na FIG.5, cuja origem coincide com a posição da esfera em t=0. Faça g=10m/s2.
a)Sabendo que Py atinge a altura máxima em t=0,3s, dê a função y(t) que descreve a posição desse ponto durante o movimento da esfera. Indique todos os passos de sua solução.
										
b)Ao atingir a bandeja do cronômetro Px encontra-se a 2,8m do ponto de lançamento. Dê a função x(t) que descreve o movimento desse ponto. Indique todos os passos de sua solução.
c)A bandeja do cronômetro encontra-se a uma distância h abaixo do ponto de lançamento. Calcule h.
d)Qual é a altura máxima atingida pela esfera e a que distância se encontra Px, ambas medidas a partir do ponto de lançamento? Indique todas as passagens da solução.
e)Escreva as funções 
e 
na representação analítica.
6) Duas bolinhas de aço, 1 e 2, são lançadas simultaneamente passando ambas a mover-se sob ação da gravidade. A bolinha 2 é lançada horizontalmente com velocidade de módulo 2V, na direção mostrada na figura abaixo, que indica também sua posição em t=0. A posição da bolinha 1 em t=0, bem como as componentes x e y da sua velocidade inicial estão mostradas. Através de filmagem verifica-se que as duas bolinhas estão na mesma posição 0,3s após o lançamento. Tome g = 10 m/s2.
a)Determine os valores de V e d. 
b)Suponha que os planos de movimento não são coincidentes de modo que as bolinhas não se chocam e cada uma segue seu percurso até atingir o chão. Qual delas chega primeiro ao chão e quanto tempo antes da outra isso ocorre? Dê as respostas com duas casas decimais.
c)Depois de ambas atingirem o chão, qual é a distância D entre elas? Resposta com duas casas decimais.
7) Um menino chuta uma bola no alto de uma escada de três degraus projetando-a para a frente, no instante t=0 com velocidade 
= 2,4 i m/s , escrita no sistema de referência da FIG.7. A partir desse momento a bola passa a mover-se sob ação unicamente da gravidade. Os degraus da escada têm largura igual a 27cm e altura de 15 cm. Tome g = 10m/s2. Escala : 1:10 (comprimento)
 
a)Ao atingir o solo, a que distância da escada encontra-se a bola? Marque na FIG. 7 esse ponto (chame de C).
b)Calcule o módulo vf da velocidade da bola ao atingir o solo. Dê a resposta com 3 dígitos.
c)Quer-se determinar a direção da velocidade da bola ao tocar o solo. Para isso, determine o ângulo α entre a velocidade e o eixo x. Indique na FIG. 7 essa direção e dê o vetor velocidade na representação analítica.
d)Qual foi a menor altura entre a bola e o primeiro degrau, durante o movimento?
Resposta com 2 dígitos.
8) Pedro dá um saque na bola, de uma altura de 80 cm do chão e esta leva 0,4s para cruzar a rede, a 2,0 m do chão. A bola cai no chão do campo adversário a uma distância L da rede. Considere que o movimento da bola se deve unicamente à ação da gravidade e tome g = 10 m/s2. O sistema de referência está indicado na FIG. 8, que mostra a situação no instante (t=0) do lançamento.
a)Obtenha as funções x(t) e y(t) que descrevem o movimento da bola no sistema de referência da FIG. 8. Use a anti-derivada, a partir de x’’(t) = ax e y’’(t) = ay, para obter as funções desejadas.
b)Quanto tempo depois de lançada e a que distância L da rede, cai a bola? Dê as respostas com 3 dígitos.
c)Esboce na FIG.8 a trajetória da bola.
9) Lança-se um projétil em t = 0 com velocidade 
 fazendo um ângulo θ com a horizontal. A esfera move-se sob ação unicamente da gravidade, atingindo o solo em t = 1,2s, tomado como o instante final. A velocidade inicial da sombra x é vx(0) = 1,5 m/s. O sistema de referência utilizado para estudar o movimento está representado na FIG. 9, que mostra também a posição inicial da esfera. Todas as perguntas referem-se a esse sistema de referência e ao intervalo 0≤t≤1,2s. 
Dados: 
 ; g = 10m/s2. Considere escalas iguais nos dois eixos. O vetor 
está fora de escala; não deve ser usado para obtenção de dados. A esfera pode ser representada por um ponto.
Marque V(verdadeiro) ou F(falso) ao lado de cada uma das afirmações. 
1[ ] quando a esfera atinge o solo, Px está a 0,6m da origem.
2[ ] a velocidade inicial de Py é igual a 5 m/s.
3[ ] a função que descreve a posição de Px é x(t) = 1,5 t (m,s)
4[ ] a velocidade de Px varia linearmente com o tempo.
5[ ] a velocidade de Py é dada por vy(t) = 5 -10t (m,s) 
6[ ] o solo encontra-se a 1,2m abaixo da linha de lançamento
7[ ] em t=0 a esfera coincide com Py.
8[ ] quando a esfera atinge a altura máxima, sua velocidade é igual a zero.
9[ ] a função que descreve o movimento de Py é y(t) = 5t - 5 t2 (m,s)
10[ ] o módulo da velocidade final é igual ao módulo da velocidade inicial
11[ ] em x = 0,3m, a esfera coincide com Px.
12[ ] tg θ = 
13[ ] tg θ = 
14[ ] a esfera nunca passa pela origem
15[ ] no instante em que a esfera cruza o eixo y, Py move-se para baixo, com velocidade de módulo igual a 3m/s.
Respostas
1-	b)x(t) = 39,4 + 61,1 t -13,8t2 (cm,s); x(t) = 6,96 + 10,8 t -2,44t2 (cm,s); 
c) e d) : use geometria;
2-	c) y(t) = 11,25 – 37,5 t(cm,s)
4-	a) x(t) = 2t (m,s); y(t) = 1 + 4t - 5t2 (m,s). 
b) tq = 1 s.
6-	a) V = 1,0 m/s ; d = 0,6m
b) A bolinha 2 chega 0,05 s segundos antes da outra.
c) 0,77 m
7-	a) 18 cm (a 1,8 cm do 1o degrau, no papel)
	b) 3,84 m/s
c) 
d) 20 cm , quando a bola passa por cima da quina externa do 1º degrau. 
 
8-	a) x(t) = 3,6 – 9t (m,s); y(t) = 0,8 + 5 t – 5 t2 (m,s)
	b) 1,14 s; L = 6,67 m
9-	V V F F V V F F V F V V F V V
FIG. 1
 R 
0
x 
y 
 + 
- 
M
x(cm)
y(cm)
FIG. 2
45
60
reta suporte
i
j
x(m)
y (m)
FIG. 4
A
chão
1 m
x(m)
y(m)
bandeja
posição em t=0
FIG. 5
 h
do cronômetro
 1,5
y (m)
1,45
chão
2
2V
x (m)
1
V
V
1,15
 d
FIG.6
x
y
0
FIG. 7
27 cm
15 cm
solo
� EMBED Equation.3 ���
primeiro degrau
FIG. 8 
3,6 m 
0,8 m
x 
0 
y 
rede 
 -1,2 -0,6	 0,6	 1,2	 
y (m)
- 1,2
0,6
-0,6
x (m)
� EMBED Equation.3 ���
1,2
t = 0
θ
FIG. 9
51o
_1398332512.unknown
_1398335733.unknown
_1398337812.unknown
_1398434692.unknown
_1398434743.unknown
_1398337468.unknown
_1398335010.unknown
_1305720558.unknown
_1398263774.unknown
_1398267131.unknown
_1398332505.unknown
_1398266517.unknown
_1398263767.unknown
_1305300926.unknown
_1305316558.unknown
_1305316699.unknown
_1305299253.unknown
_1305300352.unknown
_1016437215.doc