Resolvendo as Equacoes Absolutistas de Espaco3

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Resolvendo as Equacoes Absolutistas de Espaco3.rtf
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Resolvendo as Equações Absolutistas de Espaço - 
- Terceira Parte
	Continuando, agora vamos supor que o corpo B, cujas coordenadas espaciais são x e y , está girando em torno do centro "O" do referencial S em movimento real (em translação absoluta com velocidade v ), a uma distância constante r daquele centro, com velocidade angular constante w sobre o plano XY (veja Fig.12A abaixo). 
Fig.12A
			( r , w são constantes ) 			12.1
			( r , w são constantes )			12.2
			( ut º velocidade tangencial do corpo B ) 		12.3
			( w º velocidade angular do corpo B )		12.4
			( P º período de revolução do corpo B ) 		12.5
 
	Neste caso, tomemos as definições originais das formas diferenciais da Transformação TETA, Ek. 3.16 e Ek. 3.17, abaixo repetidas como : 
								12.6 		
								12.7
	Introduzindo nas equações acima as fórmulas Ek.12.1 e Ek.12.2 para o movimento angular do corpo B, encontramos : 
							12.8
							12.9
	Integrando as expressões acima, encontramos : 
			12.10 
							12.11
	Nas soluções acima, não explicitamos as "constantes de integração" por simplicidade. 
	Suponhamos agora que o corpo B descreve um certo movimento periódico mais geral, de tal maneira que suas coordenadas x e y são dadas como funções periódicas x(t) e y(t) , que têm períodos Px e Py (respectivamente) tal que : 
			( para todo t > 0 ) 	
			( para todo t > 0 )	
		º período do movimento sobre a direção x 
		º período do movimento sobre a direção y 
	Por exemplo, para as funções x(t) = cos(wt) e y(t) = sen(wt) já vistas, seus períodos são ambos P = 2p/w , pois : 
x( t + 2p/w ) = cos(w [t + 2p/w] ) = cos(w t + 2p) = cos(wt) = x(t) ; e também :
y( t + 2p/w ) = sen(w [t+ 2p/w] ) = sen(w t + 2p) = sen(wt) = y(t) . 
	Contudo, visto que agora estamos interessados num movimento periódico mais geral executado pelo corpo B, logo nós vamos supor que esse movimento pode ser descrito através das Séries de Fourier, conforme segue. 
				12.12
				12.13
	Nas Séries de Fourier acima, os Coeficientes de Fourier são os seguintes : 
	( Ek.12.14 ) : 					( Ek.12.15 ) :	
				
		
	
	Suponhamos que devemos integrar a função H2 ( Ek. 11.47 ) ao longo de um ciclo completo da função x( t ) , aqui suposta periódica com período P = 2Q . Assim devemos integrar : 
		( onde x(t + 2Q) = x(t) ) 		12.16
	Relembremos que a Identidade de PARSEVAL nos diz que : 
					12.17
	onde f( t + 2Q ) = f( t ) ; isto é, f( t ) (na integral) é uma função periódica com período P igual à 2Q ( P = 2Q ), definida no intervalo z < t < z+2Q. E Co , Cj , Ej , são os mesmos Coeficientes de Fourier dados pela Ek.12.14 acima, com f( t ) no lugar de x( t ), naturalmente. Isso é : 
				12.18	
								12.19
						12.20
						12.21
	Assim, se f( t ) na Ek.12.17 é f( t ) = Ñ[x( t )]/Ñ( t ) , logo : 
		12.22
			( = zero )				12.23
						12.24
	Aplicando a integração parte-por-parte na expressão acima, vem : 
		12.25
	Ou ainda : 
			12.26
	onde Bj é dado por Ek. 12.14 . 
	E também : 
						12.27
	Aplicando a integração parte-por-parte na expressão acima, vem : 
		12.28
	Ou ainda : 
			12.29
	onde Aj é dado por Ek. 12.14 . 
Logo encontramos : 
			12.30
onde x(t) é uma função periódica com período P = 2Q . I.e. x(t + 2Q) = x(t) . 
E Aj e Bj são os mesmos como em Ek. 12.14. 
	Suponhamos agora que devemos integrar a função L1 ( Ek. 11.49 ) ao longo de um ciclo completo das funções x( t ) e y( t ) , aqui supostas ambas periódicas com o mesmo período P = 2Q . Assim devemos integrar : 
						12.31
( onde x(t + 2Q) = x(t) e y(t + 2Q) = y(t) )		
	Relembremos que a Identidade de PARSEVAL generalizada nos diz que : 
			12.32
	onde Co , Cj , Ej e Go , Gj , Wj , são os Coeficientes de Fourier das funções f(t) e g(t), respectivamente, que neste caso têm o mesmo período P = 2Q. 
	Na fórmula acima, temos f( t ) = Ñ[x( t )]/Ñt , como no caso já estudado para a simples Identidade de PARSEVAL. Mas agora também temos g( t ) = Ñ[y( t )]/Ñt , e assim : 
				12.33
			12.34
			( = zero )				12.35
						12.36
		12.37
	Ou ainda : 
			12.38
	onde Lj é dado por Ek. 12.15. 
	E também : 
						12.39
		12.40
	Ou ainda : 
			12.41
onde Kj é dado por Ek. 12.15. 
Logo nós encontramos : 
	12.42
onde x(t) e y(t) são funções periódicas, ambas com período P = 2Q . 
Isso é, x(t + 2Q) = x(t) e y(t + 2Q) = y(t) . 
Aj e Bj são os mesmos dados por Ek. 12.14. 
Kj e Lj são os mesmos dados por Ek. 12.15. 
Texto gentilmente cedido por Itamar Alves Itxe (itxe@goldenlink.com.br) URL: http://www.alfa.teta.nom.br www.sti.com.br