Calculo I - Introdução a Integrais

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SALA: ___ 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
1a Aula Introdução 
 
Diferenciais 
 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
CRONOGRAMA DAS AULAS 
 
06 / 01 Introdução; conceito e propriedades da integral indefinida 
13 / 02 Método da integração por substituição de variáveis 
20 / 02 Método da integração por partes 
27 / 02 Método da integração por substituição de variáveis trigonométricas 
06 / 03 Método da integração de trinômios 
09 / 03 Conceito e propriedades da integral definida 
20 / 03 Teorema Fundamental do Cálculo 
27 / 03 Revisão para a 1a prova 
03 / 04 1a Prova 
10 / 04 Sexta Feira da Paixão 
17 / 04 1o Módulo: Cálculo de áreas por integrais definidas; 2o Módulo: discussão da prova 
24 / 04 Aplicações de integrais definidas: volume 
01 / 05 Dia do Trabalho 
08 / 05 Aplicações de integrais definidas: centróide 
15 / 05 Derivadas parciais: Conceituação de derivadas parciais 
22 / 05 1o Módulo: Derivadas parciais: interpretação geométrica; 2o Módulo: revisão para a 2a 
prova 
29 / 05 2a Prova 
05 / 06 1o Módulo: Aplicações de derivadas parciais; 2o Módulo: discussão da prova 
12 / 06 Revisão da matéria para a prova de recuperação 
19 / 06 Revisão da matéria para a prova de recuperação 
27 / 06 Prova de recuperação 
 
 
AVALIAÇÃO 
 
A avaliação consta de quatro (4) notas, sendo duas relativas às provas parciais 1P e 2P , 
com peso três e meio (3,5) cada; uma relativa à média de listas exercícios ML , que 
estarão na página, http://www.dem.inpe.br/~hans/, no dia da aula relativa à matéria do 
dia e que deverão ser entregues impreterivelmente na aula seguinte, com peso (2); e 
uma relativa ao conceito pessoal do aluno por parte do professor C , com peso (1). 
A nota será obtida dada pela média ponderada N como segue: 
 
10
15,325,3 21 CPMLPN ⋅+⋅+⋅+⋅= , onde iP , ML e C variam de 0 a 10. 
 
ATENÇÃO: Segundo o Estatuto da Universidade a média da 1a avaliação do semestre 
( M ) resultará em uma nota inteira. 
 
Quando a avaliação do aluno for: 
 
 3<M o aluno está reprovado 
 
 6≥M o aluno está aprovado 
 
 63 <≤ M o aluno deverá fazer uma Prova de 
Recuperação na qual será cobrada toda matéria. 
 
Neste caso a nota final NF será a nota da Prova de Recuperação, assim a nota final 
NF deverá ser igual ou maior que seis, isto é, 6≥NF para ser aprovado. 
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 2 
 
ATENÇÃO: As provas serão sem consulta e deverão ser feitas a caneta, apenas 
cálculos auxiliares poderão ser feitos a lápis, embora estes também sejam levados em 
conta pelo professor. Em dia de prova, o estudante deverá trazer apenas o material 
necessário para efetuar a prova, caso tenha trazido algum outro material, este deverá 
ficar junto ao quadro verde durante a prova. 
 
Provas substitutivas serão concedidas para a primeira prova, no período das primeiras 
duas semanas após a prova, mediante comprovação por escrito da convocação para 
trabalhar, no horário da prova, por parte da firma onde o estudante trabalha, mediante 
atestado médico ou outra justificativa que comprove a impossibilidade de comparecer à 
prova. Para a segunda prova, a princípio não haverá prova substitutiva por falta de 
tempo hábil para efetuá-la. Os estudantes ficarão em posse das provas corrigidas, 
apenas durante o módulo de discussão da prova; devendo dar um visto nessa e fazer 
sua devolução após a correção desta, caso haja fraude na resolução desta, a prova será 
anulada e a nota do estudante será zero. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
BÁSICA 
 
MUNEM, M. A. & FOULIS, D. J. Cálculo. vols. 1 e 2. 1. ed. Rio de Janeiro: 
Guanabara, 1982. 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. vols. 1 e 2. 3. ed. São Paulo: 
Harbra, 1994. 
FINNEY, R. L.; WEIR, M. D. & GIORDANO, F. R. Cálculo, vols. 1 e 2. 10. ed. São 
Paulo: Addison Wesley, 2002. 
 
COMPLEMENTAR: 
 
PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. Vols. 1 e 2. 4. ed. São Paulo: 
Martins Fontes, 1993. 
ROCHA, L. M. Cálculo. Vols. 1 e 2. 2. ed. São Paulo: Editora Atlas, 1995. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1 e 2. 2. ed. São Paulo: 
Makron Books do Brasil,1994. 
COURANT, R. Cálculo diferencial e integral. Vols. 1 e 2. 1. ed. São Paulo: Editora 
Globo, 1955. 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. Vols. 1 e 2. 1. ed. São Paulo: Makron 
Books do Brasil, 1999. 
 
 
REVISÃO DE DERIVADAS 
 
As notações de derivadas mais usadas para representar a derivada de uma função 
)(xfy = são: 
( )( ) ( ) y
dx
dy
dx
xdf
xf
dx
d
xf ′====′ )(
 
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 3 
 
 
onde a derivada, por definição é: 
 
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
dx
xdf
x ∆
−∆+
=
→∆ 0
lim 
 
 
Uma das fórmulas mais usadas em derivadas é a da derivada de funções do tipo variável 
elevada a expoente, ou seja, 
 
nxy =
 que tem por derivada 1−=′ nnxy , pois se 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x
xxxnxxx
nn
xnxx
x
xxx
dx
xdf
nnnnnn
nn
xx ∆
−




 ∆+∆++∆−+∆+
=
∆
−∆+
=
−
−−
→∆→∆
1221
2
1
limlim
00
L
, 
 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
x
xxnxxx
nn
xnx
dx
xdf
nnnn
x ∆



 ∆+∆++∆−+∆
=
−
−−
→∆
1221
2
1
lim
0
L
, 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 


 ∆+∆++∆−+= −−−−
→∆
1221
2
1lim
0
nnnn
xxnxxx
nn
nx
dx
xdf
x
L , 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2
1lim 11221
0
+=


 ∆+∆++∆−+= −−−−−
→∆
nnnnn
nxxxnxxx
nn
nx
dx
xdf
x
L , 
 
 
( ) 11 −−
==′⇒= nn nx
dx
dyynx
dx
xdf
. 
 
e o expoente n pode ser qualquer número positivo, negativo, inteiro ou fracionário. 
Quando y ao invés de nx , é nuy = onde )(xuu = tem-se que a derivada de y será: 
 
unu
dx
dy n
′=
−1
 ou 
1−
′=
nnuu
dx
dy
 
 
onde dx
du
u =′ , ou seja, é a derivada de u em relação a x . 
 
Exemplos de uso dessa fórmula: 
 
a) ( ) 0==⇒=
dx
kd
dx
dyky
 ( derivada da constante k em relação a x ) 
 
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 4 
b) ( ) 1==⇒=
dx
xd
dx
dy
xy ( derivada de x em relação a x ) 
 
c) ( ) 343232 22 +=+=⇒+= x
dx
xxd
dx
dy
xxy y 
 
d) ( )
x
x
dx
xd
dx
dy
xxy
2
1
2
1 2
121
2
1
===⇒==
−
 
 
e) ( ) 44
3
3
3
331
x
x
dx
xd
dx
dy
x
x
y −=−==⇒== −
−
−
 
 
f) n nmn
m
n
m
n
m
n m x
n
m
x
n
m
dx
xd
dx
dy
xxy −
−
==








=⇒==
1
 
 
 
Outros tipos de derivadas de funções são as de funções do tipo exponencial, logarítmica, 
trigonométrica, etc. 
 
Exemplo: 
 
 
a) Função Exponencial, uey = , onde ( )xuu = 
 
uey =
 e sua derivada é uedx
dy u
′⋅=
 
 
 
Exemplo: ( ) 52452 2525 45 ++++ +=⇒= xxxx exxdx
dy
ey
 
 
 
b) Função Exponencial de base qualquer (“ a ”). 
 
uay =
 e sua derivada é ( ) uaanudx
dy
⋅′= l
 
 
Exemplo: ( ) ( ) 52452 2525 22452 ++++
⋅⋅+=⇒= xxxx nxx
dx
dyy l 
 
c) Função Logarítmica ( )uny l= ( logaritmo natural) 
( )uny l=
 e sua derivada é 
u
u
dx
dy ′
=
 
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 5 
 
Exemplo: ( )
xx
x
dx
dy
xxny
3
323 2
2
+
+
=⇒+= l 
d) Outras fórmulas sem exemplos com funções. 
 
 O logaritmo não natural, de base (“ a ”), 
uogy al= e sua derivada é ( )anu
u
dx
dy
l
′
= 
Por exemplo o decimal 
uogy 10l= e sua derivada é ( )10nu
u
dx
dy
l
′
= 
 
e) Algumas funções trigonométricas e as fórmulas de suas derivadas: 
 
( )uy sen= e sua derivada é ( )uu
dx
dy
′= cos 
( )uy cos= e sua derivada é ( ) uu
dx
dy
′
−= sen 
( )uy tan= e sua derivada é ( ) uu
dx
dy
′=
2sec 
( )uy csc= e sua derivada é ( ) ( ) uuu
dx
dy
′
−= cotcsc 
( )uy sec= e sua derivada é ( ) ( ) uuu
dx
dy
′= tansec 
( )uy cot= e sua derivada é ( ) uu
dx
dy
′
−=
2seccos 
( )uy arcsen= e sua derivada é 
21 u
u
dx
dy
−
′
= 
( )uy arccos= e sua derivada é 
21 u
u
dx
dy
−
′
−= 
( )uy arctan= e sua derivada é 21 u
u
dx
dy
+
′
= 
( )uy secarccos= e sua derivada é 
12 −
′
−=
uu
u
dx
dy
 
( )uy arccos= e sua derivada é 
12 −
′
=
uu
u
dx
dy
 
( )uy arctan= e sua derivada é 21 u
u
dx
dy
+
′
−= 
 
Observação: As demais funções seguem esse mesmo método de derivação e portanto 
não serão tratadas nesta revisão. 
 
 
DIFERENCIAIS 
 
Diferencial 
 
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 6 
 
Seja )( xf uma função e sejam x e y , variáveis e relacionadas por )( xfy = . 
Então, a diferencial dx é um valor qualquer do domínio de )( xf para o qual a 
derivada ( )
dx
xdf
existe , e a diferencial de dy é definida por 
 
( )
xd
xd
fddx
xd
xfdyd 





=





=
 
 
Exemplo: Se 123)( 2 +−== xxxfy , obter a diferencial dy . 
 
Solução: 
 
1o passo: obtém-se a derivada 
dx
yd
, isto é, 
 
 
( ) 26123 2 −=+−= x
dx
xxd
dx
yd
. 
 
2o passo: obtém-se a diferencial dy , sabendo que esta é igual à derivada 
dx
yd
multiplicada pela diferencial xd , ou seja, 
 
 
( ) xdxyd 26 −= . 
 
Em resumo: 
 
 
( ) ( ) ( ) xdxydx
dx
xxd
dx
xfd
dx
yd 2626123
2
−=⇒−=
+−
== . 
 
 
Deve observar-se a diferença entre a diferencial dx da variável independente x e a 
diferencial dy da variável dependente y . Pois, dx pode assumir qualquer valor, mas 
o valor de dy depende de x , dx e )( xf ; e por tanto, de ( )dx
xdf
. 
 
A Figura 1 mostra a interpretação geométrica de dy comparando-o a y∆ . Aqui, 
supõe-se que )( xf é diferenciável em 1x e toma-se xdx ∆= , representa-se x∆ 
como um incremento no valor 1x até 11 xx ∆+ e y∆ será variação correspondente 
em 1y , isto é, yyy ∆+= 12 . Entretanto, desde que 
( )
dx
xdf
é o coeficiente angular 
da reta tangente ao gráfico de )( xf em ( ))(, 11 xfx , isto é, ( )11 , yx ,segue-se que 
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 7 
( ) dx
dx
xdfdy = será o incremento correspondente no valor de y , seguindo–se a 
direção da tangente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na Figura 1, tem-se que o incremento da função )(xfy = que é dada por 
 
( ) ( )xfxxfy −∆+=∆
 
 
 
Note que quando se dá o incremento x∆ , o ponto P desloca para Q , e observe que no 
ponto P passa uma reta tangente ( )T , enquanto por P e Q , passa uma reta secante 
( )S . Aplicando o conceito de limite, quando x∆ tende para zero ( 0→∆ x ) , o ponto 
Q tende para o ponto P , e a reta secante tende para a reta tangente em P , o 
acréscimo y∆ tende para a diferencial dy e x∆ tende para a diferencial dx . 
 
Assim, 
 
( ) ( )[ ]xfxxfydy
xx
−∆+=∆=
→∆→∆ 00
limlim 
 
dxyx
x
yydy
xx
′=∆⋅





∆
∆
=∆=
→∆→∆ 00
limlim , 
ou finalmente : 
43421
x∆
Reta tangente T em P 
xdx ∆= 
Fig.1 – reta tangente T ao ponto P= ( )11 , yx da função )( xf e reta secante 
S que passa por P= ( )11 , yx e Q= ( )yyxx ∆+∆+ 11 , da função )( xf . 
 
reta S secante por P e Q 
( ) dx
dx
xdfdyy
yyy
xxx
=≅∆
−=∆
−=∆
12
12
 
1x 2x 
T 
S
 
}
 
Q 
P 
1y 
2y 
( )xf Y 
X
 
ydy ≈∆
 
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 8 
( ) ( )dxxfdx
dx
xdfdy ′==
 
 
A expressão 2.2 é a própria definição de diferencial, e pela Figura 1 observa-se que 
quanto menor for x∆ , menor será a diferença entre o acréscimo y∆ e a diferencial 
dy . 
 
Assim, a diferencial de uma função é obtida pelo produto da derivada da função pela 
diferencial da variável de derivação. 
 
Para uma função ( )xf , a diferencial segue a seqüência abaixo 
 
 
Função derivada Diferencial 
( )xfy =
 ( )xf
dx
dyy ′==′
 
( )dxxfdy ′=
 
( )tgy =
 ( )
dt
dg
tgy =′=′
 
( ) dgdttgdy =′=
 
 
Exemplo: Achar a diferencial da função 523 2 +−= xxy 
 
Solução: Primeiro acha-se a sua derivada, que é 
26 −= x
dx
dy
 
em seguida escreve-se a diferencial, 
 
 
( ) dxxdx
dx
dydy 26 −==
. 
 
Exemplo: diferenciar a função ( ) 52 −= tetg 
 
Solução: ( ) ( ) 252 ⋅=′ −tetg , portanto a diferencial é 
 
( ) ( ) ( )dtedttgtdg t 522 −=′=
 
 
 
Da Figura 1 fica claro que dy pode ser considerado uma boa aproximação de y∆ desde 
que xdx ∆= e que x∆ seja suficientemente pequeno. A razão ( )xf
x
y
′→
∆
∆
 quando 
0→∆x que difere de 
dx
dy
 por um número extremamente pequeno α , donde 
 
 xx
dx
dyyx
dx
dyy
dx
dy
x
y ∆+∆=∆⇒∆





+=∆⇒+=
∆
∆
ααα 
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 9 
 
 




 ∆+∆=∆⇒∆





+=∆⇒+=
∆
∆
→∆→∆
xx
dx
dyyx
dx
dyy
dx
dy
x
y
xx
ααα
00
limlim 
 
 
( ) dx
dx
dy
xdx
dx
dydyxx
dx
dyy
xxx
=∆+=⇒




 ∆+∆=∆
=
→∆→∆→∆ 43421
0
000
limlimlim αα 
 
( )
( ) ( )
dyy
xfxxfy
dxxfdydx
dx
dydy
≈∆⇒







−∆+=∆
′=⇒=
 
 
 
Assim, ( ) ( ) ( )dxxfxfxxf ′≈−∆+ 
 
 
Observação: A diferencial pode ser usada para efetuar cálculos aproximados. 
 
 
Exemplo: Tendo-se função ( ) 423 2 +−== xxxfy , para 11 =x e 02,0=∆x . 
 
a) Calcular ( ) ( )11 xfxxfy −∆+=∆ exatamente 
b) Fazer uma estimativa de y∆ , usando ( )dxxfdy 1′= 
c) Determinar o erro dyy −∆=ε 
 
 
Solução: 
 
a) ( ) ( )11 xfxxfy −∆+=∆ 
 
( ) ( ) ( ) 0812,5402,1202,13 21 =+−=∆+ xxf 
 
( ) ( ) ( ) 541213 21 =+−=xf 
 
0812,050812,5 =−=∆ y 
 
b) ( )dxx
dx
dydy 1= 
 
26 −= x
dx
dy
 
 
como 11 =x e 02,0==∆ dxx 
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 10 
 
( ) 08,002,044 =⋅==⇒= dx
dx
dydy
dx
dy
 
 
c) O erro é: 0012,008,00812,0 =−=−∆= dyyε
Exemplo: Usar diferenciais para estimar 35 . 
 
Para isso toma-se a raiz conhecida mais próxima como referência, ou seja, 636 = e 
faz-se dxxxdxy =−=∆⇒−=−=∆=⇒= 11363536 , então 
 
( )dxxfy ′+≈∆+= 63635 pois ( ) ( ) xxfdxxfdyy ∆′=′=≈∆ 
 
( ) K0833,0
12
1
6
1
2
11
36
1
2
1
36
1
2
1
−=−=⋅−=−





=≅∆⇒





= dyy
dx
dy
 
 
 KK 9166,50833,06
12
1635 =−=−= 
 
 
Exercício resolvido: Calcular a raiz 3 28 . 
 
Para isso toma-se a raiz conhecida mais próxima como referência, ou seja, 3273 = e 
faz-se 33 27== xy . Assim, 33 28=∆+=∆+ xxyy , logo 
12728 =−=⇒=∆ dxdxx , então 
 
( )
3
63 63 2
3
3.3
131
33
13
3
133328 +=+=+=′+≈∆+= dx
x
dxyy 
037,3037,03
27
13
3
13
3.3
1328 32
3
=+=+=+=+=
 
 
Exercício resolvido: Avaliar por diferenciais o ( )o44cos . 
 
Para isso toma-se o coseno conhecido mais próxima como referência, ou seja, 
( )
2
245cos =o e faz-se ( ) ( )oxy 45coscos == . Assim, ( ) ( )oxxyy 44coscos =∆+=∆+ , 
logo K01745,0
180
14544 000 −=×−=−=⇒=∆
o
dxdxx pi , então 
 
( ) ( ) ( )( )dxdxxfy oo 45sen
2
2
2
2
2
244cos −+=′+=∆+= 
( ) ( ) KK 7194,001745,0
2
2
2
244cos =−






−+=o 
 
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 11 
Exemplo: O raio de uma esfera de aço mede cm5,1 e sabe-se que o erro cometido na 
medição é menor ou igual a cm1,0 . Estimar o erro possível no cálculo do volume da 
esfera. 
O volume de uma esfera é calculado a partir do raio é 3
3
4
rV pi= . Note-se que, nesse 
caso, o raio da esfera de aço terá como medida ( ) cmrr ∆±= 5,1 , 
onde cmr 1,0≤∆ , por tanto, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]33333 5,11,05,1
3
41,05,1
3
45,1
3
41,05,1
3
4
−±=−±=∆⇒=≠±=∆± pipipipi VVVVV , 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) 




 ±+±=−±+±=∆ 32233223 1,0
3
11,05,11,05,145,11,01,05,131,05,135,1
3
4
pipiV , 
 
[ ] [ ]



−=∆
=∆
⇒±=±+±=∆ 3
2
3
1
6427,2
01969,32253,0015,040003,0015,0225,04
cmV
cmV
V
K
K
pipi 
 
 
Estimando-se V∆ por drrVdV )(′= , 
 
 ( ) drrVrr
dr
d
dr
dV
rV 223 44
3
4
pipipi =∆⇒=





==′ 
 
e como cmdrdrr 1,0=⇒=∆ , tem-se 
 
 ( ) ( ) ( )( ) pipipipi 9,01,025,241,05,144 22 ±=±=±==∆ drrV , 
 
 
3827,29,0827,29,0 cmVV ==∆⇒±=±=∆ pipi 
que é o erro possível no cálculo do volume da esfera, ou seja, 3827,2 cm=ε . 
 
Exercício resolvido: Usar Diferenciais para encontrar o volume aproximado de uma 
casca cilíndrica circular CV , com altura de cm6 , cujo raio interno mede cm2 e possui 
espessura cm1,0 . 
 
O volume de um cilindro é calculado a partir do raio e da base, isto é, bhV ×= , onde 
cmh 6= e 2rb pi= , assim o volume é 26 rV pi= . Como a espessura da casca é 
cmdrdrr 1,0=⇒=∆ , tem-se que volume da casca cilíndrica circular é V∆ , por 
tanto, 
 
estimando-se V∆ por drrVdV )(′= , 
 
 ( ) ( ) drrVrr
dr
d
dr
dV
rV pipipi 12126 2 =∆⇒===′ 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 1a Aula Diferenciais 
 12 
 ( )( ) 3
5
12
10
1241,021212 cmdrrV pipipipi =





===∆ 
 
o volume aproximado da casca cilíndrica circular, ou seja, 
 
35,7 cmVC = . 
 
Como foi visto pode ser importante determinar a diferencial dy , de uma função 
qualquer y. Porém uma vez que se possua a derivada 
dx
dy
 dessa função sempre é fácil 
determinar dy , pois dx
dx
dydy = , isto é, ( )dxxfdy ′= , como no caso da função 
( ) ( ) ( ) ⇒+= xvxuxy ( )dxxfdydx
dx
dv
dx
dudy
dx
dv
dx
du
dx
dy
′=⇒





+=⇒+= 
 
Exemplo: Encontrar a diferencial dy da função 123 32147 −+−= xxxy 
 
 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 22212 3421413221347
x
xxxxx
dx
dy
−−=+−= −− 
 
 dx
x
xxdy 





−−= 2
2 342141 .