Calculo I - Integral por substituição de Variáveis MUITO BOA

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SALA: 211 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Segunda Feira 
 
 
 
 
 
3a Aula Integrais 
 
Integração por substituição de variáveis 
 
 
 
Códigos: T1204 B / T1506 B / T2011 A / T7005 B / T9525 B 
 
Turma: AMB108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
Integração por substituição de variáveis 
 
Exemplo: Para calcular uma integral do tipo ( )∫ + dxxx 1002 23 , se o método 
convencional fosse usado, teria de desenvolver-se o binômio ( )1002 23 +x , o que resulta 
em 101 termos, a serem integrados termo a termo, o que seria no mínimo enfadonho. 
 
Pelo método da substituição, faz-se: 
 
 
23 2 += xu
 
x
dudxxdxdu
6
6 =⇒=⇒
 
que substituída na integral dá: 
 
 
( )
6061016
1
6
1
6
23
101101
1001001002 uuduu
x
du
uxdxxx =⋅==⋅=+ ∫∫∫ 
 
voltando para x tem-se 
 
 
( ) ( ) Cxdxxx ++=+∫ 606
2323
1012
1002
 
 
Exercício: Calcular a integral ∫ + 21 x
xdx
 
 
x
dudxxdxduexu
x
xdx
2
21
1
2
2 =⇒=+=⇒+∫
, 
 
substituindo tem-se: 
 
( ) ( ) ( ) Cxnunu
du
xu
xdu
x
xdx
++====
+ ∫∫∫
2
2 12
1
2
1
2
1
21
ll 
 
 
Exercício: Calcular a integral ∫ + 22 xa
dx
 sabendo que ( ) Ct
t
dt
+=
+∫
arctan
1 2
 
 
adtdx
a
dxdte
a
x
t
a
x
dx
axa
dx
=⇒==⇒
+
=
+ ∫∫
2
2222
1
1
, 
 
substituindo tem-se: 
 
( ) C
a
x
a
t
at
dt
at
adt
axa
dx
+





==
+
=
+
=
+ ∫∫∫
arctan
1
arctan
1
1
1
1
1
22222 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 3a Aula Integração por substituição de variáveis 
 2 
Exercício: Calcular a integral ∫
− 73x
dx
 
 
3
373
73
dudxdxduexu
x
dx
=⇒=−=⇒
−
∫ , 
 
substituindo tem-se: 
 
( ) ( ) Cxnunu
du
u
du
x
dx
+−====
−
∫∫∫ 733
1
3
1
3
1
373
ll 
 
 
Regra geral para integrais do tipo ( )∫ + dxaxx sqp 
 
Outros problemas que podem ser resolvidos por substituição de variáveis. Exemplo, 
descobrir os valores dos expoentes para que a expressão seja integrável 
 
( )∫ + dxaxx sqp , faz 11 −− =⇒=⇒+= qqq qx
dudxdxqxduaxu
 
 
Substituindo na integral vem 
 
duxu
qxq
du
ux
qps
q
p 1
1
1
.
+−
− ∫∫ =⋅ ⇒ para que ""x possa ser substituído 
integralmente por ""u , isto é, para que a função ( )xf se torne totalmente em função 
( )uF deve satisfazer-se a seguinte condição: 
 
 
nqqp =+− 1
 para q obtido de axu q += , 
 
onde K,2,1,0=n . Então, ( ) 11 −+= qnp que substituído na integral, resulta em 
 
 
( ) ( ) dxaxx sqqn∫ +−+ 11 
 
Note-se que o expoente “ s ” e a constante “ a ” são quaisquer. 
 
 
Exemplo: Calcular a integral ( ) dxxx 743 9+∫ 
 
Donde, ( ) 0041431 =⇒==+−⇒=+− nnnqqp . Assim, pode fazer-se 
 
3
34
4
49
x
dudxdxxduexu =⇒=+= 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 3 
substituindo vem 
 
( )
32
)9(
84
1
4
1
4
9
848
7
3
73743 +
====+ ∫∫∫
xuduu
x
du
uxdxxx , isto é, 
 
( ) Cxdxxx ++=+∫ 32
)9(9
84
743
 
 
Exemplo: Calcular a integral ∫ + dxaxx
35
 
 
Donde, ( ) 1331351 =⇒==+−⇒=+− nnnqqp . Assim, pode fazer-se 
 
2
23
3
3
x
dudxdxxdueaxu =⇒=+= 
 
substituindo vem 
 
 
duux
x
du
uxdxaxx 2
13
2
2
1535
3
1
3 ∫∫∫ ==+ 
porém, 
auxaxu −=⇒+= 33 
donde 
 
 ( ) duauduuuduuauduux ∫∫∫∫ −=−= 2/12/121213 3
1
.
3
1
3
1
3
1
 
 
 





−=− ∫∫ 2/32/53
1
33
1 2/32/52/12/3 auuduuaduu 
 
 




+−+=+∫
2/332/5335 )(
3
2)(
5
2
3
1
ax
a
axdxaxx 
 
cax
a
axdxaxx ++−+=+∫
335335 )(
9
2)(
15
2
. 
 
Exercício: Calcular a integral ( ) dxaxx
ax
dxx
∫∫
−
+=
+
2
1
23
2
3
 
 
Donde, ( ) 1221231 =⇒==+−⇒=+− nnnqqp . Assim, pode fazer-se 
 
auxe
x
dudxxdxduaxu −==⇒=⇒+= 22
2
2 , 
 
substituindo tem-se: 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 3a Aula Integração por substituição de variáveis 
 4 
( ) duuauduux
x
du
ux 2
1
2
122
13
2
1
2
1
2
−−−
∫∫∫ −== 
 
( ) ∫∫∫∫∫ −−−− −=−=− duuaduuduauduuuduuau 212/1212121 22
1
2
1
2
1
2
1
 
 




+−+=





−− ∫∫
− 2/132/33
2/12/3
2
12/1 )(2)(
3
2
2
1
2/12/32
1
22
1
axaax
auuduuaduu
 
 
caxaaxaxaax ++−+=



+−+ 2/132/332/132/33 )()(
3
1)(2)(
3
2
2
1
 
 
caxaaxdx
ax
x
++−+=
+
∫
333
2
3
)(
3
1
. 
 
 
Exercício: Calcular a integral t
a
x
dxx
axa
dxx
∫∫
+
=
+
2
2
3
22
3
1
1
 
 
taxeadtdx
a
dxdt
a
x
t ==⇒=⇒= , 
 
substituindo tem-se: 
 
( )
∫∫∫∫
+
=
+
=
+
=
+ 2
3
2
2
3
2
3
22
3
11
1
1
1
t
dtt
a
t
dtat
at
dtx
axa
dxx
 
 
Donde, ( ) 1221231 =⇒==+−⇒=+− nnnqqp . Assim, pode fazer-se 
 
1
2
21 22 −==⇒=⇒+= ute
t
dudttdtdutu , 
 
 
( )∫∫∫∫∫ −− −===
+
=
+
duuuaduuta
ut
duta
t
dtt
a
xa
dxx 212212232
2
3
2
22
3
1
2221
 
 
( ) [ ]∫∫∫∫ −−− −=−=
+
duuduuaduuua
xa
dxx 212322122
22
3
2
1
2
 
 
( ) [ ] 





+−=+
−
=





−
−
=
+
−
−
∫ u
u
auu
auua
xa
dxx 1
2
2
21212
22121
221212
22
3
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 5 
 
( ) ( ) 







++
+
−=








++
+
−=
+
∫ 1
1
11
1
1 2
2
22
2
2
22
3
ax
ax
at
t
a
xa
dxx
 
 
C
ax
ax
aax
ax
a
xa
dxx
+








+
++
−=








++
+
−=
+
∫ 22
22
222
22
2
22
3 11
 
 
 
Exercício: Calcular a integral ∫ + dxxx 1
2
 
 
Donde, ( ) 2221121 =⇒==+−⇒=+− nnnqqp . Assim, pode fazer-se 
 
11 −==⇒=⇒+= uxedudtdtduxu , 
 
 
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ +−=+−=−==+ duuuuduuuuduuuduuxdxxx 232222 21211 
 
 
23
2
4
21
234
232 uuuduuduuduudxxx +−=+−=+ ∫∫∫∫ 
 
( ) ( ) ( ) Cxxxdxxx ++++−+=+∫ 2
1
3
12
4
11
234
2
 
 
 
Exercício: Calcular a integral ∫
+ 32 2
3
x
xdx
 
 
 
Exercício: Calcular a integral ( ) ( )∫ ++=+ Cxdx
x
x 3
2
2
3
22
 
 
Exercício: Calcular a integral ( )∫ ++=+ Cxdxx x 231341 
 
 
Exercício: Calcular a integral ∫ + 41 x
xdx
 
 
2
2
1
2
4
dt
xdxxdxdtext
x
xdx
=⇒==⇒
+∫ , 
 
substituindo tem-se: 
 
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 6 
( ) ( ) ( ) Cxtt
dt
x
xdx
+==
+
=
+ ∫∫
2
24 arctan2
1
arctan
2
1
12
1
1
 
 
 
 
Generalização da integração por substituição de variáveis 
 
 Em geral esse método funciona sempre que se tiver uma integral que possa ser 
escrita na forma ( )( ) ( )dxxgxgf ′∫ . Observe-se que se fFxd
Fd
=′= , então 
 
 ( )[ ] ( ) ( )[ ] CxgFdxxgxgF +=′′∫ ,
pois, pela regra da cadeia 
 
 ( )[ ]{ } ( )[ ] ( )xgxgFxgF
dx
d
′′= 
 
Fazendo–se a mudança de variável ( )xgu = , obtém-se: 
 
 ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′=+=+=′′ duuFCuFCxgFdxxgxgF 
 
e voltando a Ff ′= , fica 
 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ =′′=′ duufxg
du
xgufdxxgxgf . 
 
Observe-se que a Regra de Substituição de Variáveis foi provada usando a Regra 
da Cadeia para Diferenciação, ou seja, se ( )xgu = , então ( )[ ] ( )dxxgdxxg
dx
ddu ′== . 
Assim, a regra geral que acabou de ser provada pode ser escrita como segue. 
 
 
Regra geral da substituição de Variáveis: Se ( )xgu = for uma função diferenciável 
cuja variação ocorre em um intervalo I e f for contínua em I , então 
 
( )[ ] ( ) ( )∫∫ =′ duufdxxgxgf 
 
Note-se, que a troca de variável também pode ser usada em situações onde se 
tem uma função diferente de um binômio elevado a um expoente. Contanto, que a troca 
seja possível para toda a expressão. 
 
Exemplo: ( ) ( )∫ dxxx 2cossen 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
dudxdxxduxudxxx
sen
sen,coscossen 2
−
=∴−==⇒∫ 
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 7 
 
( ) ( )
( )
c
xuduu
x
du
ux +−=−=−=− ∫∫ 3
cos
3sen
sen
33
22
, 
 
Exercício: ( )∫ −+ 2151 x
dx
 
 
( ) 5515151 2
dudxdxdu,xu
x
dx
=∴=−=⇒
−+∫
 
 
( ) ( ) ( ) Cxarctanx
dx
uarctan
u
dx
+−=
−+
⇒=
+ ∫∫
15
5
1
1515
1
15
1
22 
 
Exercício: ( )∫ −+ 2414 x
dx
 
 
( ) 4441414 2
dudxdxdu,xu
x
dx
=∴=−=⇒
−+∫
 
 
( ) C
x
x
dxu
u
dx
+




 −
=
−+
⇒





=
+ ∫∫ 2
41
arctan
8
1
4142
arctan
8
1
44
1
22 
 
 
Exercício: ∫
−
x
x
e
dxe
21
 
 
x
xx
x
x
e
dudxdxedu,eu
e
dxe
=∴==⇒
−
∫ 21
 
 
( ) ( ) Ce
e
dxe
u
ue
due x
x
x
x
x
+=
−
⇒=
−
∫∫ arcsen1
arcsen
1 22
 
 
 
Exercício: ∫ 2
1
x
dxe x
 
 
duxdxdx
x
du,
x
u
x
dxe x 2
22
1 11
−=∴−==⇒∫ 
 
Ce
x
dxe
e
x
duex xxuu +−=⇒−=− ∫∫
1
2
1
2
2
 
 
 
Exercício: ( ) ( )dxxx∫ cossen 
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 8 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
dtdxdxxdtxtdxxx
cos
cos,sencossen =∴==⇒∫ 
 
( )
( ) ( ) ( ) Cxxtdttx
dtx
t +==== ∫∫
32
3
2
3
2
1
sen
3
2
sen
3
2
3
2
cos
cos
, 
 
 
Exercício: ( ) ( ) Cxdxx +−=∫ 5
5sen5cos 
 
 
Exercício: ( ) ( ) ( ) Cxdxxx +−=∫ 4
cos
sencos
4
3
 
 
 
 
Exercício: ( )[ ]∫ dxxnx
31
l 
 
( )[ ] ( ) xdtdx
x
dxdtexntdxxn
x
=⇒==⇒=∫ ll
31
, 
 
substituindo tem-se: 
 
( )[ ] ( )[ ] Cxntdttdxxn
x
+=== ∫∫
4
4
33
4
1
4
1
ll 
 
 
Exercício: ( ) ( )[ ] Cxndx
x
xn
+=∫
2
2
1
l
l
 
 
 
Exercício: Encontre ( )( )∫ +++ dxxxx 6423cot 2 
 
Solução: Fazendo ( ) ( )323223
2
+
=∴+=⇒++=
x
dudxdxxduxxu 
 
( )( ) ( ) ( )( ) ( )duudux
x
udxxxx ∫∫∫ =+
+
=+++ cot2
32
64
cot6423cot 2 
 
( ) ( ) cxxncun +++=+ 23sen2sen2 2ll 
 
( )( ) ( )[ ] Cxxndxxxx +++=+++∫ 23sen6423cot 222 l . 
 
 
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 9 
Exercício: ( )( )
( ) Cxdx
x
x
+=∫ 2
tan
cos
tan 2
2 
 
 
Exercícios: 
 
1) ( ) duxdx
x
dxduxudx
x
x 2
2
cos
=⇒=∴=⇒∫ 
 
( ) ( ) ( ) Cxuduu +==∫ sen2sen2cos2 
 
2) ( ) ( )dxxcosxsen∫ 
( ) ( ) ( )x
dtdxdxxdtxt
cos
cossen =⇒=⇒= 
 
( )
( ) ( ) Cxt
tdtt
x
dtx
t +==== ∫∫
33
3
sen
3
2
3
2
2
3cos
cos
 
3) ( ) ( )
15
151515tan15sec dudxdxduxudxxx =⇒=∴=⇒∫ 
( ) ( ) ( ) ( ) Cxuduuu +==∫ 15sec15
1
sec
15
1
tansec
15
1
 
 
4) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )dxxxduxux
dxxx
cotcsccsc1
csc1
cotcsc
4 −=∴+=⇒+∫
 
( ) ( ) ( ) ( )xx
dudxdxxxdu
cotcsc
cotcsc −=⇒−= 
C
x
uduuduu +
+−
=
−
−
=−=−
−
−−
∫∫ 3
3
44
)csc1(3
1
3
. 
 
5) ( )dxxduxxudxxxx 424)2)(4sen( 22 +=∴+=⇒++∫ 
( ) ( ) ( ) Cxxcuduu ++=+=∫ 4cos2
1
cos
2
1
sen
2
1 2
 
 
6) dxxduxudxxx 23322 155)5(csc =∴=⇒∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) Cxcuduu
x
du
ux +=+== ∫∫
32
2
22 5cot
15
1
cot
15
1
csc
15
1
15
csc 
 
7) Cedue
x
du
xedxxe xuux +=== ∫∫∫
22
2
1
2
1
2
 
8) Resolver por substituição de variáveis. dt
t
t
s ∫
+
=
23
2
. 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 3a Aula Integração por substituição de variáveis 
 10 
Solução: 
2
23
3
32
t
du
tdetdtdutu ==⇒+= 
 
substituindo tem-se: 
 
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
32
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
+======= ∫∫∫
−
−
tuu
uduu
t
duut
tu
dut
z
 
Resposta: Ctz ++= 2
3
2 3
 
 
9) Resolver por substituição de variáveis. ( )( ) dxx
xy ∫= 2sen
cos3
. 
 
Solução: 
( ) ( ) ( )x
dudxdxxduxu
cos
cossen =⇒=⇒= 
 
( )
( )
( )
( ) ( )xu
uduu
u
du
ux
duxdx
x
xy
sen
33
1
333
cos
cos3
sen
cos3 12
222 −=−=
−
===== ∫∫∫∫
−
−
 
 
Resposta: ( ) Cxy +−= csc3 
 
 
10) Resolver por substituição de variáveis. ( )( )∫ += 42sen5
2cos
x
xdx
y . 
 
Solução: 
 
( ) ( ) ( )x
dudxdxxduxu
2cos10
2cos1042sen5 =⇒=⇒+= 
 
( )
( )
( )
( ) ( ) 42sen55
1
10
2
10
1
10
1
 2cos
2cos
10
1
42sen5
2cos 2
1
2
1
+=====
+
= ∫∫∫∫
−
xuduu
u
ud
ux
udx
x
xdx
y
 
 
Resposta: ( ) Cxy ++= 42sen5
5
1
 
 
11) Resolver por substituição de variáveis. ( )( ) ( )dxxx∫ cossenln . 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 11 
12) Resolver por substituição de variáveis. dxxe x∫ . 
 
Ao tentar resolver a integral dxxe x∫ por substituição de variáveis, ver-se-á que isto não 
leva a nenhuma solução. Assim, deve usar se o método de integração por partes. 
 
 
 
Fórmulas de Integrais 
 
1) 1
1
1
−≠+
+
=
+
∫ ncn
udxu
n
n
 
2) ( ) ( ) cundxduu
dx
+=∫ l
1
 
3) ( ) cedxdudxe
uu +=∫
1
 
4) ( ) ( ) 10
1
≠>+=∫ aeacan
a
dxdu
dxa
u
u
l
 
5) ( ) ( ) cxdxx +−=∫ ωωω cos
1
sen
 
6) ( ) ( ) cxdxx +=∫ ωωω sen
1
cos
 
7) ( ) ( ) cxaxlnxdxaxln +−=∫ 
8) ( ) ( ) ( ) cxncxndxx +−=+=∫ cossectan ll 
9) ( ) ( ) cxndxx +=∫ sencot l 
10) ( ) ( ) ( ) cxxndxx ++=∫ tansecsec l 
11) ( ) ( ) ( ) cxxndxx +−=∫ cotcsccsc l 
 
onde “ cot ” é a cotangente e “ csc ” é a cossecante. 
 
12) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] cxxxcxxdxx +−=+−=∫ cossen2
1
4
2sen2
sen 2
 
13) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] cxxxcxxdxx ++=++=∫ cossen2
1
4
2sen2
cos 2
 
14) ( ) ( ) cxxdxx +−=∫ tantan 2 
15) ( ) ( ) cxxdxx +−−=∫ cotcot 2 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 3a Aula Integração por substituição de variáveis 
 12 
16) ( ) ( ) cxdxx +=∫ tansec 2 
17) ( ) ( ) cxdxx +−=∫ cotcsc 2 
18) ( ) ( ) ( ) cxdxxx +=∫ sectansec 
19) ( ) ( ) ( ) cxdxxx +−=∫ csccotcsc 
20) ( ) ( ) cxa
a
dxxa +=∫ cosh
1
senh
 
21) ( ) ( ) cxa
a
dxxa +=∫ senh
1
cosh
 
22) ( ) ( ) cxndxx +=∫ coshtanh l 
23) ( ) ( ) cxndxx +=∫ senhcoth l 
24) ( ) ( )[ ] ( ) cecxdxxh x +=+=∫ arctan2tanharcsensec 
25) ( ) ( ) cearccxndxxh
x +=+





=∫ cot2
tanhsec l
 
26) c
a
x
aax
dx
+





=
+∫
arctan
1
22 
27) 2222 coth
1
2
1
axc
a
x
arc
a
c
ax
ax
n
aax
dx
>+





−=+
+
−
=
−
∫ l 
28) 2222 arctan
1
2
1
ax
a
xh
aax
ax
n
axa
dx
<





=
−
+
=
−
∫ l 
29) c
a
x
xa
dx
+





=
−
∫ arcsen22 
30) c
a
xhcaxxn
ax
dx
+





=+++=
+
∫ arcsen
22
22
l 
31) caxxn
ax
dx
+−+=
−
∫
22
22
l 
32) c
a
x
arc
aaxx
dx
+=
−
∫ sec
1
22
 
33) c
x
axa
n
aaxx
dx
+
++
−=
+
∫
22
22
1
l 
34) c
x
xaa
n
axax
dx
+
−+
−=
−
∫
22
22
1
l 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 13 
35) cxa
a
x
xdx
a
x
+−+





=





∫
22arcsenarcsen 
36) cxa
a
x
xdx
a
x
+−−





=





∫
22arccosarccos