Questão 3. Determine m e n para que os planos (2m-1)x - 2y + 3 = 0 e 4x + 4y - z = 0 sejam paralelos.

Para que os planos \( (2m-1)x - 2y + 3 = 0 \) e \( 4x + 4y - z = 0 \) sejam paralelos, seus vetores normais devem ser proporcionais. 1. O vetor normal do primeiro plano é \( \vec{n_1} = (2m-1, -2, 0) \). 2. O vetor normal do segundo plano é \( \vec{n_2} = (4, 4, -1) \). Os vetores são proporcionais se existir um escalar \( k \) tal que: \[ (2m-1) = k \cdot 4 \] \[ -2 = k \cdot 4 \] \[ 0 = k \cdot (-1) \] Da segunda equação, temos: \[ k = -\frac{1}{2} \] Substituindo \( k \) na primeira equação: \[ 2m - 1 = -\frac{1}{2} \cdot 4 \] \[ 2m - 1 = -2 \] \[ 2m = -1 \] \[ m = -\frac{1}{2} \] Agora, substituindo \( k \) na terceira equação: \[ 0 = -\frac{1}{2} \cdot (-1) \] Isso é verdade, então não há restrição para \( n \). Portanto, \( m = -\frac{1}{2} \) e \( n \) pode ser qualquer valor.