a. Resolva a equação diferencial dy/dx=3y com a condição inicial y(0)=2. A) y=2e^(3x) B) y=e^(3x) C) y=3e^(2x) D) y=2e^(2x)

Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 3y \) com a condição inicial \( y(0) = 2 \), vamos seguir os passos: 1. Separação de Variáveis: Podemos reescrever a equação como \( \frac{dy}{y} = 3dx \). 2. Integração: Integrando ambos os lados, temos: \[ \int \frac{dy}{y} = \int 3dx \] Isso resulta em: \[ \ln|y| = 3x + C \] 3. Exponenciação: Elevando \( e \) à potência de ambos os lados, obtemos: \[ y = e^{3x + C} = e^{3x} \cdot e^C \] Podemos definir \( e^C \) como uma constante \( K \), então: \[ y = Ke^{3x} \] 4. Aplicando a Condição Inicial: Usando a condição inicial \( y(0) = 2 \): \[ 2 = Ke^{3 \cdot 0} \Rightarrow 2 = K \cdot 1 \Rightarrow K = 2 \] 5. Solução Final: Portanto, a solução da equação diferencial é: \[ y = 2e^{3x} \] Assim, a alternativa correta é: A) y = 2e^(3x).