Para analisar a curva dada em coordenadas polares \( r = a \cos \theta + b \sen \theta \), podemos reescrever essa equação em coordenadas cartesianas. Sabemos que: - \( x = r \cos \theta \) - \( y = r \sen \theta \) Substituindo \( r \) na equação, temos: \[ x = (a \cos \theta + b \sen \theta) \cos \theta \] \[ y = (a \cos \theta + b \sen \theta) \sen \theta \] Multiplicando e rearranjando, podemos chegar a uma forma que nos permita identificar a natureza da curva. Após a manipulação, a equação resultante é: \[ x^2 + y^2 + 2ax + 2by = 0 \] Agora, vamos analisar as alternativas: (A) A curva é uma circunferência de centro \{a, b\} e raio \(\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\) - Incorreta. (B) A curva é uma circunferência de centro \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\) e raio \(\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\) - Incorreta. (C) A equação cartesiana da curva é \(\{x-a\}^{2}+\{y-b\}^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{4}\) - Incorreta. (D) A equação cartesiana da curva é \(x^{2}+y^{2}+2 a x+2 b y=0\) - Correta. (E) A curva é uma elipse cuja equação cartesiana é \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a D.