ENG1007_P3_12.1E

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Terceira prova (P3) – turma E 14/06/2012 
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1a Questão (3,0 pontos) 
A viga da figura está submetida ao carregamento abaixo. Obtenha os diagramas de esforço cortante (V) 
e momento fletor (M), determinando também as suas expressões algébricas. As reações de apoio já 
estão indicadas na figura. 
)()( xq
dx
xdV
−=
 
)()( xV
dx
xdM
=
 
 
 
 
 
0 1x< ≤ : ( ) 85V x = , ( ) 85 315M x x= − 
1 3x≤ ≤ : ( ) 100 15V x x= − , 2( ) 100 7,5 322,5M x x x= − − 
3 5x≤ ≤ : ( ) 95 15V x x= − , 2( ) 95 7,5 307,5M x x x= − − 
5 6x≤ ≤ : ( ) 20V x = , ( ) 20 120M x x= − 
 
1a 2a 3a Nota 
 
85 kN 
315 kNm 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
2a Questão (3,5 pontos) 
Determine para a viga abaixo, de seção retangular b=10 cm e h=50 cm, e para a qual já são fornecidos 
os diagramas e reações de apoio: 
1-as máximas tensões normais (trativa e compressiva), dando as coordenadas de onde ocorrem; 
2- a máxima tensão cisalhante, dando as coordenadas de onde ocorre. 
kNm18M
kN20A
A
y
=
=
 






−==
==
2
y
8
hbQ,
bI
VQ
12
bhI,
I
My
22
z
z
z
3
z
z
x
τ
σ
 
 
 
 DEC 
 
 
 
 
 DMF 
Resposta: 
)qq,m0,m0(,MPa6,0
)qq,m25,0,m1(,MPa8,4
m10x4,10I
x
44
z
=
±±=
=
−
τ
σ 
 
5kN 
x 
M=20 kNm 
1m 1m 2m 
12 kN 
q2=2 kN/m 
q1=4 kN/m 
Ay 
MA 
20kN 
10kN 
15kN 
-20kNm 
-15kNm 
-10kNm 
-5kNm 
3a Questão (3,5 pontos) 
Calcular a expressão da deflexão transversal ( )v x da viga, dada pela fórmula 
2
2
( ) ( )z
d v xEI M x
dx
= . 
( ) 4M x kNm= para 0 3x< ≤ 
223( ) 10
3
xM x x kNm= − + − para 3 6x< < 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
Serão realizadas integrações em dois trechos, com as seguintes condições de contorno, para a 
determinação das constantes de integração: 1 2 2(3) 0, (3) 0, (6) 0v v v= = = , 2 1
(3) (3)dv dv
dx dx
= . 
Primeiro trecho: 
2
21 1
1 1 1 22
( ) ( )4 4 ( ) 2z z z
d v x dv xEI EI x C EI v x x C x C
dx dx
= ⇒ = + ⇒ = + + 
Segundo trecho: 
2 2 3 3 4
2 22 2
3 2 3 42
( ) ( )23 23 2310 10 ( ) 5
3 6 3 18 12z z z
d v x dv xx x x x xEI x EI x C EI v x x C x C
dx dx
= − + − ⇒ = − + − + ⇒ = − + − + +
De 2 2(3) 0, (6) 0v v= = , obtém-se 3 4
693
4
C C+ = e 3 46 12C C+ = . Portanto, 3 4
7 45
,
4 2
C C= − = 
De 2 1(3) (3)dv dv
dx dx
= , obtém-se 1
73
4
C = − 
De 1 2(3) (3)v v= , obtém-se 2
147
4
C = 
Resposta: 
2
1
73 147( ) 2
4 4z
xEI v x x= − +
 
3 4
2
2
23 7 45( ) 5
18 12 4 2z
x x xEI v x x= − + − − +
 
 
3 m 3 m 
M = 4 kNm q = 2 kN/m 
A 
x