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Lista 01 de GEX106 - Cálculo II 1. Esboce a curva de nível z = k para os valores especificados de k. (a) z = y/x ; k = −2, 0, 2. (b) z = x2 − y2 ; k = −2, 0, 2. 2. Descreva a superfície de nível em palavras. (a) f(x, y, z) = 3x− y + 2z. (b) f(x, y, z) = z − x2 − y2. 3. Seja f(x, y) = yex. Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto: (a) (ln2, 1). (b) (0, 3). 4. Use as leis do limite e as propriedades da continuidade para calcular o limite. (a) lim (x,y)→(1/2,pi) (xy2 sinxy). (b) lim (x,y)→(1,−3) e2x−y 2 . 5. Determine se o limite existe. Se existir, determine o seu valor. (a) lim (x,y)→(0,0) x4 − 16y4 x2 + 4y2 . (b) lim (x,y)→(0,0) 1− x2 − y2 x2 − y2 . (c) lim (x,y,z)→(2,0,−1) ln(2x+ y − z). (d) lim (x,y)→(0,0) x2y2√ x2 − y2 . 6. Descreva a maior região na qual a função f é contínua. (a) f(x, y, z) = ln(4− x2 − y2 − z2). (b) f(x, y, z) = sin√x2 + y2 + 3z2. 7. Um ponto move-se ao longo da interseção da parabolóide elíptico z = x2 + 3y2 e do plano x = 2. Qual é a taxa de variação de z em relação a y quando o ponto estiver em (4, 3, 2)? 8. A temperatura em um ponto (x, y) sobre uma placa de metal no plano x, y é T (x, y) = x3+2y2+x graus. Suponha que a distância seja medida em centímetros e determine a taxa na qual a temperatura varia com a distânica se iniciarmos no ponto (1, 2) e movermos (a) para a direita e paralelamente ao eixo x. (b) para cima e paralelamente ao eixo y. 9. A área de um triângulo é dada por A = 1 2 ab sin θ onde a e b são os comprimentos de dois dos lados e θ o ângulo entre eles. Suponha que a = 5, b = 10 e θ = pi 3 . (a) Encontre a taxa segundo a qual A varia em relação a a se b e θ forem mantidos constantes. (b) Encontre a taxa segundo a qual A varia em relação a θ se a e b forem mantidos constantes. 1 (c) Encontre a taxa segundo a qual b varia em relação a a se θ e A forem mantidos constantes. 10. Determine as equações paramétricas para a reta tangente em (1, 3, 3) para a curva de interseção da superfície z = x2y e (a) o plano x = 1. (b) o plano y = 3. 11. (a) Determine implicitamente, determine a inclinação do hiperbolóide x2 + y2 − z2 = 1 na direção de y nos pontos (3, 4, 2√6) e (3, 4,−2√6). (b) Verifique os resultados da parte (a) resolvendo para z e derivando as funções resultantes diretamente. 12. Determine ∂w ∂x , ∂w ∂y e ∂w ∂z usando diferenciação implícita. Deixe suas respostas em termos de x, y, z e w. (a) ln(2x2 + y − z3 + 3w) = z. (b) exy sinw − z2w + 1 = 0. 13. Considere a função f(x, y) = ∫ xy 1 et 2 dt. Determine fxx, fyy, fxy, fyx. 14. O volume V de um cone circular reto de raio r e altura h é dado por V = 1 3 pir2h. Suponha que a altura decresça de 20cm para 19, 95cm, enquando que o raio cresce de 4cm para 4, 05cm. Use uma diferencial total para aproximar a variação no volume do cone. 15. O comprimento, largura e a altura de uma caixa retangular são medidos com erros de, no máximo, r% (onde r é pequeno). Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo no valor calculado do volume. 16. Sejam w = rs r2 + s2 ; r = uv, s = u− 2v. Encontre ∂w ∂u e ∂w ∂v . 17. Use uma regra da cadeia para determinar dz dt ∣∣∣∣ t=3 se z = x2y; x = t2, y = t+ 7. 18. Use a lei dos gases ideais P = kT V com V em polegadas cúbicas (pol3), T em kelvins (K) e k = 10 pol.lb/K para determinar a taxa segundo a qual a temperatura de um gás está variando quando o volume for de 200 (pol3) e crescendo a uma taxa de 4 pol3/s, enquanto a pressão for 5 lb/pol2 e decrescendo a uma taxa de 1 lb/pol2/s. 19. Determine a derivada direcional de f(x, y) = x x+ y em P (1, 0) na direção e sentido de P a Q(−1,−1). 20. A temperatura em graus Celsius em um ponto (x, y) de uma placa de metal no plano xy é T (x, y) = xy 1 + x2 + y2 . 2 (a) Encontre a taxa de variação da temperatura em (1, 1) na direção e sentindo de a = 2i− j. (b) Uma formiga em (1, 1) precisa andar na direção na qual a temperatura baixe mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção. 21. Dado que a derivada direcional de f(x, y, z) mp ponto (3,−2, 1) e na direção de a = 2i− j− 2k é −5 e que ||∇f(3,−2, 1)|| = 5, determine ∇f(3,−2, 1). 22. Mostre que toda reta que é normal à esfera x2 + y2 + z2 = 1 passa pela origem. 23. Mostre que o elipsóide 2x2+3y2+z2 = 9 e a esfera x2+y2+z2−6x−8y−8z+24 = 0 têm um plano tangente em comum no ponto (1, 1, 2). 24. Mostre que a equação do plano que é tangente ao parabolóide z = x2 a2 + y2 b2 em (x0, y0, z0) pode ser escrita na forma z + z0 = 2x0 a2 x+ 2y0 b2 y. 3
