Método do Lugar das Raízes

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Controle de Sistemas 
Lineares
Método do Lugar das Raízes
Livro “Sistemas de Controle Moderno”, 
Autor Richard Dorf, Editora LTC
Pólos vs Ganho de Malha
• Valor Pólos de malha fechada depende do ganho de malha (k).
– Valor dos pólos variam caso o ganho de malha varie.
• Exemplo: o sistema de controle da figura abaixo tem como equação 
caracteristica a equação s(s+1)(s+2)+k=0.
– Observe que as raízes (pólos) da equação característica depende do 
valor de k.
Resposta transitória e Localização 
dos pólos no plano “s”
• Característica básica da resposta transitória de 
um sistema de malha fechada está intimamente 
ligada ao valor dos pólos (σ+jω) de malha 
fechada e sua consequente localização no 
plano “s”.
Diagrama do lugar das raízes
• Um ponto do plano “s” é um 
pólo caso torne a equação 
caracteristica nula.
– Do diagrama de blocos geral 
de um sistema de controle 
com realimentação negativa 
(vide figs. ao lado), a equação 
característica pode ser escrita 
como: 1+G(s)H(s)=0
– Portanto um ponto 
s1=(σ1+jω1) é pólo do 
sistema caso torne a equação 
caracteristica verdadeira, isto 
é, 1+G(s1)H(s1)=0.
Polinônimo 
característico
Diagrama do lugar das raízes
– Considerando o pólo na forma polar 
complexa, a condição anterior pode ser 
separada em duas condições uma de módulo 
e outra de fase.
• Condição de módulo:
• Condição angular:
Teste gráfico: conceito
• Considere um 
sistema de controle 
com realimentação 
negativa genérico 
cuja função de 
transfêrencia é
mostrada na figura 
abaixo.
• Um ponto s qualquer 
do plano “s” é pólo do 
sistema caso os 
valores obtidos 
graficamente satifaz 
as condições de 
módulo e fase:
Teste gráfico: análise gráfica
Lugar das raízes
• Lugar das raízes (LR) é o percurso das 
raízes da equação característica trçado no 
plano “s”à medida que um parâmetro do 
sistema é alterado
– A constução do (LR) requer o emprego de 
uma metodologia para sua determinação.
– Atualmente os programas compuacionais 
fazem este trabalho com exatidão mas o uso 
da metodologia é importante pois seu uso 
ajuda a compreender e analisar o sistema.
Lugar das raízes: Procedimento
• Passo 1: determinar os 
LR sobre o eixo real.
– Assinalar as raízes do 
sistema em malha aberta 
no plano “s”.
– O segmento do eixo real 
faz parte do LR caso o 
número de raízes (pólos e 
zeros) à sua direita no 
plano seja ímpar. Caso 
contrário o segmento não 
faz parte do LR
Lugar das raízes: Procedimento
• Passo 2: Escrever a equação 
característica como 1+F(s)=0 e rearrajar a 
equação tal que o ganho do sistema 
apareça como fator multiplicativo 
resultando na forma genérica 1+KP(s)=0.
Lugar das raízes: Procedimento
• Passo 3: identificar o número de lugares separados (LS) e quantos 
tendem para infinito.
– O número de LS é igual ao número de pólos.
– O número de LS que tendem para infinito é igual ao número de pólos 
menos o número de zeros: np-nz
– O restante dos LS tendem para a localização dos zeros
– Observação: o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real pois 
as raízes compexas aparecem como pares complexos conjugados.
Lugar das raízes: Procedimento
• Passo 4: Determinar as assintotas do LR
– Assíntotas são retas suporte ao gráfigo do LR que indicam a 
direção na qual um LS tende para o infinito.
– O número de assíntotas é igual ao número de LS que tende 
para o infinito: np-nz.
– Todas as assíntotas se interceptam no eixo real na mesma 
coordenada x=σA
– Cada assíntota forma ângulo φA com o eixo real
Lugar das raízes: Procedimento
• Passo 4: Determinar 
as assintotas do LR
– Exemplo:
– p1,2=-4 (duplo); p3=-2 e 
p3=0
– np-nz=4-1=3, daí 3 
assíntotas
Lugar das raízes: Procedimento
• Passo 5: Determinar o ponto de 
intersecção do LR com o eixo imaginário, 
se existir.
– Aplicar o critério de Routh-Hurwitz.
Lugar das raízes: Procedimento
• Passo 6: Determinar o ponto de saída do 
eixo real, se existir
– Método:
• Do passo 2, fazer K=p(s)
• Obter δp/δs=0
• Determinar as raízes de δp/δs
Lugar das raízes: Procedimento
• Passo 6:
– Exemplo
Lugar das raízes: Procedimento
• Passo 7: Determinar ângulo de 
partida dos pólo a malha 
aberta complexos-conjugados.
– Método gráfico
• Escolher um ponto (s1) 
próximo ao polo complexo 
conjugado
• Realizar a ligação gráfica do 
ponto escolhido à todos os 
pólos e zeros em malha 
aberta.
• Anotar os ângulos das retas 
de ligação conforme figura
• o ângulo de partida θ1 pode 
ser considerado como o 
ângulo de partida usando a 
condição de fase
Aproxi
mação
Exercício
• Contrua o LR do sistema cuja a equação 
caracteristica é:
Exercício
• Resultado