AE-II_SERIES TEMPORAIS-parte IV

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Análise Estatística II-Deptº V- UERJ Profª Fernanda 1
II.2.4. Estimação do Mov. Estacional 
 
Dependendo da hipótese considerada sobre o esquema (modelo) de composição 
dos componentes da S.T. a estimação dos componentes Estacionais será 
diferentes. 
 
II.2.4.1. Modelo Aditivo 
 
No caso do Modelo aditivo: 
 
Yt = ft + Sj + zt 
 
A estimação do ft pela média móvel de período m, conduz a: 
 
ft = Mm(t) 
Yt – Mm(t) = Sj + zt 
 
Como podemos calcular (nm-m) médias móveis de período m, podemos também 
calcular (mn-m) diferenças Yt – Mm(t). O que resulta para um determinado j em (n-
1) diferenças Yt – Mm(t). Estas (n-1) diferenças podem ser consideradas as 
primeiras estimativas dos coeficientes estacionais, uma vez que despresando-
se zt (ou considerando os zt como os erros), estas diferenças são 
aproximadamente iguais a Sj. 
 
Porém, desta forma para cada intervalo j são obtidas (n-1) estimativas de Sj , uma 
para cada ano, e não uma única estimativa de Sj independente do ano i. Em outra 
palavras, esta primeira estimativa dos coeficientes estacionais não preserva a 
hipótese de Sj ser rigorosamente periódico. 
 
Assim, como nesta primeria estimativa do componente estacional, temos para um 
dado j diferentes valores de Sj um para cada ano i, representaremos estas 
estimativas preliminares dos coeficientes estacionais por Si,j e não apenas Sj. 
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Si,j = Yi,j – Mm(i,j) 
 
Para transformarmos Si,j em uma única estimativa para um dado j, podemos 
utilizar a média ou mediana dos (n-1) valores de Si,j para resumi-los em um único 
valor S’j. Em geral, é preferível adotar a mediana,pois a média pode ser afetada 
por valores extremos. Assim, 
 
S’j = Mediana{ Si,j}i=1,...,n-1 
 
S’j , j=1,...,m são as segundas estimativas dos componentes estacionais, 
agora respeitano a hipótese inicial de comportamento “rigorosamente 
periódico”. 
 
As estimativas S’j ainda apresentam um inconveniente, não há garantia que 
tenham média nula, devido as aproximações feitas durante o processo de 
estimação, tais como, estimar ft pela média móvel, despresar os desvios zt, etc). 
 
Para garantir média nula dos m valores dos coeficientes estacionais devemos 
calcular a média dos m valores de S’j , j=1,...,m e corrigi-los de forma a obtermos 
as novas e definitivas estimativas dos coeficientes estacionais jSˆ , j=1,..m. Assim, 
 
∑
=
=
m
j
jSm
S
1
'1
 
mjSSS jj ,...,1,ˆ
' =−= 
 
Procedimento para estimar os componentes estacionais Sj: 
 
1) Estimar fi,j pela média móvel de período p=m da função Yi,j. 
Fi,j = Mm(i,j) 
 
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2) Estimar Si,j pelas diferenças entre Yi,j e fi,j, 
Si,j = Yi,j – Mm(i,j) 
 
3) Para cada j , calcular S’j como a Mediana das (n-1) estimativas de Si,j, 
S’j = Mediana{ Si,j}i=1,...,n-1 
 
4) Calcular a média das m estimativas S’j, 
∑
=
=
m
j
jSm
S
1
'1
 
 
5) Corrigir as estimativas S’j , obtendo-se as estimativas finais dos coeficientes 
estacionais jSˆ de acordo com, 
mjSSS jj ,...,1,ˆ
' =−= 
 
 
II.2.4.2. Modelo Multiplicativo 
 
No caso do Modelo multiplicativo: 
 
Yt = ft (1+sj)(1+zt) 
 
A estimação do ft pela média móvel de período m, conduz a: 
 
ft = Mm(t) 
Yt /Mm(t) = (1+sj)(1+ zt) 
 
Como podemos calcular (nm-m) médias móveis de período m, podemos também 
calcular (mn-m) razões Yt / Mm(t). O que resulta para um determinado j em (n-1) 
razões Yt / Mm(t). Estas (n-1) razões podem ser consideradas as primeiras 
estimativas dos coeficientes estacionais, uma vez que despresando-se zt (ou 
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considerando os zt como os erros), estas diferenças são aproximadamente iguais 
a 1+sj. 
 
Porém, desta forma para cada intervalo j são obtidas (n-1) estimativas de (1+sj ), 
uma para cada ano, e não uma única estimativa de (1+sj ) independente do ano i. 
Em outra palavras, esta primeira estimativa dos coeficientes estacionais não 
preserva a hipótese de (1+sj ) ser rigorosamente periódico. 
 
Assim, como nesta primeria estimativa do componente estacional, temos para um 
dado j diferentes valores de (1+sj ) um para cada ano i, representaremos estas 
estimativas preliminares dos coeficientes estacionais por (1+si,j ) e não apenas 
(1+sj). 
(1+si,j) = Yi,j / Mm(i,j) 
 
Para transformarmos (1+si,j ) em uma única estimativa para um dado j, podemos 
utilizar a média ou mediana dos (n-1) valores de (1+si,j ) para resumi-los em um 
único valor (1+s’j). Em geral, é preferível adotar a mediana, pois a média pode ser 
afetada por valores extremos. Assim, 
 
(1+s’j) = Mediana{ 1+si,j}i=1,...,n-1 
 
(1+s’j) , j=1,...,m são as segundas estimativas dos componentes estacionais, 
agora respeitano a hipótese inicial de comportamento “rigorosamente 
periódico”. 
 
As estimativas (1+s’j ) ainda apresentam um inconveniente, não há garantia que 
tenham média unitária, devido as aproximações feitas durante o processo de 
estimação, tais como, estimar ft pela média móvel, despresar os desvios zt, etc). 
 
Para garantir média unitária dos m valores dos coeficientes estacionais devemos 
calcular a média dos m valores de (1+s’j) , j=1,...,m e corrigi-los de forma a 
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obtermos as novas e definitivas estimativas dos coeficientes estacionais (1+ jSˆ ), 
j=1,..m. Assim, 
 
∑+
=
+=
m
j
jsms 1
'
______
)1(11 
mjsS sjj ,...,1,/()1()ˆ1( )1
______
' =+=+ + 
 
Procedimento para estimar os componentes estacionais (1+sj): 
 
1) Estimar fi,j pela média móvel de período p=m da função Yi,j. 
Fi,j = Mm(i,j) 
2) Estimar (1+si,j ) pelas razões entre Yi,j e fi,j, 
(1+si,j ) = Yi,j /Mm(i,j) 
 
3) Para cada j , calcular (1+s’j ) como a Mediana das (n-1) estimativas de 
(1+Si,j), 
(1+s’j ) = Mediana{ (1+si,j) }i=1,...,n-1 
 
4) Calcular a média das m estimativas (1+s’j), 
∑+
=
+=
m
j
jsms 1
'
______
)1(11 
 
5) Corrigir as estimativas (1+s’j), obtendo-se as estimativas finais dos 
coeficientes estacionais (1+ jSˆ ) de acordo com, 
mjsS sjj ,...,1,/()1()ˆ1( )1
______
' =+=+ + 
 
 
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II.2.4.3. Modelo Misto 
 
No caso do modelo misto: 
 
Y(t) = ft (1+aj) + bj + zt 
 
A estimação do ft pela média móvel da função Y(t) de período m, conduz a: 
 
ft = Mm(t) 
Y(t) = Mm(t) . (1+aj) + bj + zt 
 
As estimativas de (1+aj) e bj são obtidas através da relação entre os pares (y(t), 
Mm(t)). Isto por que, se o modelo misto é o correto para cada j existirão (n-1) 
pontos (y(i,j), Mm(i,j)), um para cada ano que dispomos de valores de y(i,j) e da 
sua Mm(i,j). Assim, para um determinado j , a relação entre y(i,j) e da sua Mm(i,j) 
é dadapela reta: 
 
Y(i,j) = Mm(i,j) . (1+aj) + bj j fixo 
 
Onde: (1+aj) é o coeficiente angular e bj o coeficiente linear da reta que relaciona 
os pares (Y(i,j), Mm(i,j)). 
 
Pelo exposto acima, é possível estimar os valores dos m (1+a’j) e b’j através do 
ajuste de m retas aos m conjuntos de pares (Y(i,j), Mm(i,j)) uma para cada j. 
 
Caso os m (1+a’j) estimados não tenham média unitária devemos corrigir as m 
estimativas (1+a’j) através de: 
 
∑
=
′+=+
m
j
jam
a
1
)1(1)1( e )1(/)1()ˆ1( aaa jj +′+=+ 
 
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Caso os m b’j estimados não tenham média nula devemos corrigi-los através de: 
 
∑
=
′=
m
j
jbm
b
1'
1 e bbb jj −′=ˆ 
 
Procedimento para estimar os componentes estacionais Sj: 
 
1) Estimar fi,j pela média móvel de período
p=m da função Yi,j. 
fi,j = Mm(i,j) 
 
2) Para cada j , comos (n-1) pares (y(i,j), Mm(i,j)) estimar os coeficientes 
angulares (1+a’j) e b’j das retas que relacionam os valores de y(i,j) com 
Mm(i,j) para um j fixo. 
 
 
 
 
 
 
3) Calcular a média das m estimativas b’j e (1+a’j) 
∑
=
′=
m
j
jbm
b
1'
1 e ∑
=
′+=+
m
j
jam
a
1
)1(1)1( 
 
4) Corrigir as estimativas b’j e (1+a’j) obtendo-se as estimativas finais dos 
coeficientes estacionais de acordo com, 
bbb jj −′=ˆ e )1(/)1()ˆ1( aaa jj +′+=+ 
O que garante que jbˆ e )ˆ1( ja+ tenham respectivamente média nula e média 
unitária. 
 
 
(1+a’j) = ∆y/∆M 
Y(i,j) 
Mm(i,j)
∆y
∆M 
b’j 
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II.2.5. Definição do Modelo de Composição da S.T. 
 
Dada uma S.T., a primeira hipótese que devemos assumir sobre sua composição 
é que ela segue o modelo Misto, uma vez que este modelo é mais geral e engloba 
os outros dois (aditivo e multiplicativo). 
 
Desta forma, após estimarmos o movimento extra-estacional pela média móvel da 
função y(t) de período p=m, devemos estimar as duas parcelas dos componentes 
sazonais (1+aj) e bj , j=1,m, de acordo com os procedimentos descritos no item 
II.2.4.3, referentes ao modelo Misto. 
 
Caso os jbˆ , j=1,...,m sejam todos aproximadamente iguais a zero, então a parcela 
do componentes estacionais relativa a composição aditiva não é significativa e o 
modelo Misto pode ser reduzido ao modelo Multiplicativo, devemos então seguir 
os procedimentos do item II.2.4.2, referentes ao modelo Multiplicativo, para 
estimar os componentes sazonais (1+sj). 
 
Caso os ( )jaˆ1+ , j=1,...,m sejam todos aproximadamente iguais a um, então a 
parcela do componentes estacionais relativa a composição multiplicativa não é 
significativa e o modelo Misto pode ser reduzido ao modelo Aditivo, devemos 
então seguir os procedimentos do item II.2.4.1, referentes ao modelo Aditivo, para 
estimar os componentes sazonais sj. 
 
Caso contrário, ( )jaˆ1+ , j=1,...,m diferentes de um e jbˆ , j=1,...,m diferentes de 
zero, devemos permanecer com o modelo Misto e prosseguir com os 
procedimentos descritos no item II.4.3, referentes a estimação dos coeficientes 
estacionais pelo modelo Misto. 
 
Exemplos em planilhas Excel.