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Apresentando dados em 
tabelas e gráficos –
Parte II 
Laboratório de Ciências
Algumas Técnicas Estatísticas
� Uma das formas de organizar e resumir a 
informação contida em dados observados é 
através da tabela de freqüências (distribuição 
de freqüências) e gráficos.
� Técnicas que ajudam na visualização das 
características dos dados.
Algumas Técnicas Estatísticas
� As técnicas estatísticas diferem em função 
do tipo de variável que está sendo analisada.
Quantitativas
• Idade
• Peso
• Distância
• Salário
Qualitativas 
• Sexo
• Raça
• Estado Civil
• Gravidade de doença
Variáveis
Tipos de Variáveis
Variáveis Quantitativas
Contínuas
•Altura(cm)
•Temperatura 
(oC)
Variáveis Qualitativas
Ordinais
•Gravidade (L/M/S)
•Classe social (A/M/B)
Discretas
•No de filhos
•No de 
gânglios
Nominais
•Sexo
•Religião
•Raça
Dados Qualitativos
� Como organizar os dados qualitativos?
�Tabela de freqüências (distribuição de 
freqüências).
�Gráfico de barras, gráfico setorial (ou em 
forma de pizza) e o diagrama de Pareto.
Dados Quantitativos
� Como organizar os dados quantitativos?
�Tabela de freqüências (distribuição de 
freqüências).
�Histograma.
Exemplo I
� Um pesquisador está interessado em fazer um 
levantamento sobre alguns aspectos 
socioeconômicos dos empregados da seção de 
orçamentos da Companhia MB. 
� Usando informações obtidas do departamento 
pessoal, ele coletou, por exemplo, informações 
sobre número de filhos e salário (salários 
mínimos). 
Tabela 1: Número de filhos dos funcionários casados da Cia. MB da 
Seção de Orçamentos.
Func. Número de Filhos Func. Número de Filhos
1 1 11 0
2 2 12 2
3 0 13 2
4 1 14 0
5 2 15 5
6 3 16 2
7 0 17 1
8 1 18 3
9 2 19 2
10 1 20 3
Fonte: Tabela de dados brutos – Bussab e Morettin (2010).
Comentários
� Variável de interesse: número de filhos.
� Classificação da variável: variável quantitativa 
discreta. 
� Possíveis valores: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
� Número pequeno de valores distintos.
Notação – Tabela de Freqüências
if
n
ff iri =
%100*%
ii rr
ff =
Frequência absoluta da categoria i (número de 
observações que pertencem à categoria i.
Frequência relativa da categoria i. 
Porcentagem da categoria i. 
Tabela 2: Distribuição de freqüências da variável número de filhos.
i Número de filhos Número de 
funcionários
% de funcionários
(fi ) (fri%)
1 0 4 20%
2 1 5 25%
3 2 7 35%
4 3 3 15%
5 4 0 0%
6 5 1 5%
Total 20 100%
Fonte : Tabela 1.
Comentários
� Não temos perda de informação dos dados 
originais. 
� Percebemos que as famílias mais freqüentes 
são as de 2 filhos, seguida pelas famílias de 1 
filho. Ainda 20% das famílias não tem filhos e 
são mais comuns que as famílias com 4 ou 5 
filhos.
Comentários
� Quando existe uma ordenação das categorias 
de uma variável (qualitativa ordinal ou 
quantitativa), faz sentido inserirmos na tabela 
uma outra coluna, a da frequência acumulada 
(fac), que é a soma das frequências relativas, do 
menor valor até o atual.
Construção do Histograma para 
Dados Discretos
� Determine a freqüência e a freqüência relativa 
de cada valor da variável de interesse.
� Marque os valores possíveis da variável em 
uma escala horizontal. Acima de cada valor, 
desenhe um retângulo cuja altura seja a 
freqüência relativa (ou a freqüência) daquele 
valor.
Comentários
� A forma da distribuição não sofrerá modificação 
alguma, devido à proporcionalidade existente 
entre freqüência e freqüência relativa.
� Essa construção assegura que a área de cada 
retângulo seja proporcional à freqüência relativa 
do valor.
Comentários
� Por exemplo, se as freqüências relativas de 
número de filhos = 3 e número de filhos = 5 são 
0,15 e 0,05, respectivamente, a área do 
retângulo acima de número de filhos = 3 será 3 
vezes a área do retângulo acima de número de 
filhos = 5.
Comentários
� O histograma é um gráfico de barras para os 
dados quantitativos, no qual não existem 
espaços em branco ou lacunas entre as barras 
adjacentes, como ocorre em um gráfico de 
barras para dados qualitativos.
Exemplo I
543210
30
20
10
0
Número de Filhos
P
o
r
c
e
n
t
a
g
e
m
5
0
15
35
25
20
Histograma para a variável número de filhos.
Discussão
� % famílias que não têm filhos?
� % famílias com pelo menos 2 filhos?
� % famílias com mais de 3 filhos? 5%
55%
20%
Exemplo II
Tabela 3: Salário dos funcionários da Cia. MB da Seção de Orçamentos.
Func. Salário Func. Salário
1 4,00 19 10,53
2 4,56 20 10,76
3 5,25 21 11,06
4 5,73 22 11,59
5 6,26 23 12,00
6 6,66 24 12,79
7 6,86 25 13,23
8 7,39 26 13,6
9 7,59 27 13,85
10 7,44 28 14,69
11 8,12 29 14,71
12 8,46 30 15,99
13 8,74 31 16,22
14 8,95 32 16,61
15 9,13 33 17,26
16 9,35 34 18,75
17 9,77 35 19,40
18 9,80 36 23,30
Fonte: Tabela de dados brutos – Bussab e Morettin (2010).
Comentários
� Variável de interesse: salário.
� Classificação da variável: variável quantitativa 
contínua.
� Possíveis valores: 4,00; 4,56; ...
� Muitos valores distintos.
Comentários
� Solução: agrupar os valores em classes 
(intervalos) para montar a distribuição de 
freqüências.
� Quantas classes consideramos???
� Depende do tamanho do conjunto de dados (n).
Comentários
� A escolha dos intervalos é arbitrária e a 
familiaridade do pesquisador com os dados é 
que lhe indicará quantas e quais classes devem 
ser usadas.
� Deve-se observar que, com um pequeno 
número de classes, perde-se informação, e com 
um número grande de classes, o objetivo de 
resumir os dados fica prejudicado.
Comentários
� Regra prática: 
� Em geral, sugere-se o uso de 5 a 15 classes 
com a mesma amplitude (preferencialmente).
n
Procedimento para a Construção da 
Distribuição de Freqüências com 
Classes de Mesma Largura
Distribuição de Freqüências para 
Variáveis Contínuas
� Encontre o menor e o maior valor das observa-
ções (conjunto de dados).
�Menor valor = 4,00.
�Maior valor = 23,30.
Amplitude (R): Maior valor – Menor valor = 
23,30 - 4,00 = 19,30.
Distribuição de Freqüências para 
Variáveis Contínuas
� Determinar o número de classes (k): 
�K = = 6 (no máximo 6 classes).n
�Determinar o tamanho das classes (h): 
�h = R/k = 3,21666 ≈ 4.
Distribuição de Freqüências para 
Variáveis Contínuas
� Primeira classe: 4,00 |-- 8,00.
� Segunda classe: 8,00 |-- 12,00.
� E assim por diante...
Distribuição de Freqüências para 
Variáveis Contínuas
Classes
4,00|--8,00
8,00|--12,00
12,00|--16,00
16,00|--20,00
20,00|--24,00
Notação: a|-- b 
a: limite inferior da classe
b: limite superior da classe
Intervalo fechado em “a” e aberto 
em “b” = [a,b).
Distribuição de Freqüências para 
Variáveis Contínuas
� Freqüências absolutas de 
cada classe.
� Freqüências relativas de 
cada classe.
� Porcentagem de cada 
classe.
Classes
4,00|--8,00
8,00|--12,00
12,00|--16,00
16,00|--20,00
20,00|--24,00
Tabela 4: Distribuição de freqüências da variável salário.
i Classes Freqüência 
Absoluta
Freqüência 
Relativa 
Porcentagem
1 4,00|--8,00 10 27,78
2 8,00|--12,00 12 0,3333 33,33
3 12,00|--16,00 8 0,2222 22,22
4 16,00|--20,00 5 0,1389 13,89
5 20,00|--24,00 1 0,0278 2,78
Total 36 1 100
Fonte: Tabela 3.
0,2778
Nesta organização de dados, temos perda de informa-
ção dos dados originais.
Construção do Histograma: Classes 
de Mesma Largura 
� Determine a freqüência e a freqüência relativa 
de cada classe.
� Marque os limites de classe em um eixo de 
medida horizontal.
� Acima de cada intervalo, desenhe um
retângulo 
cuja altura seja a freqüência relativa 
correspondente (ou a freqüência).
Histograma para a variável salário
Histograma para a variável salário
Comentários
� Para o caso de termos dados discretos com 
valores muito distintos é usual proceder o 
agrupamento dos dados em classes (ou 
intervalos).
� Exemplo: Número de casos de uma doença, 
número de acidentes, etc.
Comentários
� Classes de mesma largura podem não ser uma 
boa escolha se o conjunto de dados se estender 
para um lado ou para outro.
� Usar um número pequeno de classes de mesma 
largura resulta em quase todas as observações 
em apenas uma ou duas classes.
Comentários
� Se for usado um grande número de classes de 
mesma largura, muitas classes terão freqüência 
zero.
� Uma opção melhor é usar alguns intervalos 
mais amplos próximos às observações dos 
extremos e intervalos mais estreitos na região 
de concentração.
Interpretação do Histograma
� Em uma análise gráfica procuramos identificar:
� PADRÃO GLOBAL nos dados
� Desvios acentuados em relação ao mesmo
� Importante:
� Não perceberemos padrões nos dados se houver um 
número muito pequeno ou muito grande de intervalos 
ou classes.
Interpretação do Histograma
� Procuramos uma impressão geral suavizada.
� Não reagimos a pequenas subidas ou descidas.
Valores Atípicos (Outliers)
� Procuramos por observações que estejam bem 
afastadas da maioria dos dados.
�Observações discrepantes (outliers).
� Analisar estas observações com mais cuidado.
� Porque razão são tão diferentes?
� Está ocorrendo algo incomum ou interessante?
� São erros?
Valores Atípicos (Outliers)
Existência de Mais de Um Pico
Existência de Mais de Um Pico
� Picos são chamados modas.
�Quando há apenas um pico, a moda representa o 
valor mais popular (ou classe: classe modal).
� Presença de diversas modas é indicador de diversos 
grupos distintos de dados.
� Deve-se investigar os motivos de multimodalidade.
Moda
� Uma distribuição pode não possuir moda 
(amodal – distribuição “achatada”).
� Uma distribuição pode possuir mais de uma 
moda (multimodal).
� Uma distribuição pode possuir apenas uma 
moda (unimodal).
Distribuição “Achatada”
Distribuição Multimodal
Valores Centrais e Dispersão
� Observar:
�Onde os dados parecem estar centrados.
�Quão espalhados estão os dados.
� Posição das modas (caso de multimodalidade).
Valores Centrais e Dispersão
43210-1-2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
dados
p
o
r
c
e
n
t
a
g
e
m
Valores Centrais e Dispersão
43210-1-2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
dados
p
o
r
c
e
n
t
a
g
e
m
Mudanças Abruptas
� Suspeite de mudanças abruptas.
� Tente estabelecer suas causas.
Forma da Distribuição
� O gráfico parece ser aproximadamente 
simétrico?
� O gráfico apresenta assimetria moderada?
Forma da Distribuição
� O gráfico apresenta assimetria extrema?
Forma da Distribuição
� A distribuição de uma variável pode ter várias 
formas, mas existem duas formas básicas:
�Simétrica.
�Assimétrica.
Distribuição Simétrica
� Quando uma distribuição é simétrica em torno 
de um valor (o mais freqüente), significa que as 
observações estão igualmente distribuídas em 
torno desse valor (metade acima e metade 
abaixo).
Exemplos - Forma
simétrica assimétrica à esquerda assimétrica à direita
Comentários
� Usualmente, técnicas estatísticas formais 
preferem trabalhar com um histograma simétrico 
com forma de sino.
� A forma do histograma pode sugerir uma função 
matemática cuja curva se ajusta bem ao 
histograma.
43210-1-2-3-4
100
50
0
dados
f
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
 
a
b
s
o
l
u
t
a
Características a serem procuradas 
no histograma
Fonte: Wild, C. J. & Seber, G. A. Encontros com o Acaso, LTC, 
2000.
Aspectos Gerais da Distribuição de 
Freqüências
� Ao estudarmos a distribuição de freqüências de 
uma variável quantitativa, devemos verificar 
basicamente três características:
�Posição Central.
�Variabilidade.
�Forma.
Aspectos Gerais da Distribuição de 
Freqüências
� O histograma permite a visualização destas 
características da distribuição de freqüências. 
� Além disso, elas podem ser quantificadas 
através das medidas resumo (discutidas 
anteriormente), por exemplo, média, moda e 
variância.
Atividade 
Descrição dos Dados
� Suponha que um questionário foi aplicado aos 
alunos do primeiro ano de uma escola fornecendo 
as seguintes informações:
� Id: identificação do aluno.
� Turma: turma a que o aluno foi alocado (A ou B).
� Sexo: F se feminino ou M se masculino.
� Idade: idade em anos.
� Alt: altura em metros.
� Peso: peso em quilogramas.
� Filhos: número de filhos na família.
Descrição dos Dados
� Fuma: hábito de fumar, sim ou não.
� Toler: tolerância ao cigarro (I: indiferente, P: 
incomoda pouco e M: incomoda muito.
� Exerc: horas de atividade física, por semana.
� Cine: número de vezes que vai ao cinema por 
semana.
�OpCine: opinião a respeito das salas de cinema na 
cidade (b: regular a boa e M: muito boa).
� TV: horas gastas assistindo TV, por semana.
�OpTV: opinião a respeito da qualidade da 
programação na TV (R: ruim, M: média, B: boa e N: 
não sabe).
Tabela 6: Informações de questionário estudantil.
Fonte: Magalhães e Lima (2010).
Atividade 
� Construa a tabela de frequências e um gráfico 
apropriado para a variável Peso: peso em 
quilogramas.
� Interprete os resultados. 
Id Peso Id Peso Id Peso
1 60,5 11 70,0 21 60,0
2 55,0 12 54,0 22 58,5
3 72,8 13 58,0 23 49,2
4 80,9 14 68,5 24 48,0
5 55,0 15 63,5 25 51,6
6 60,0 16 47,4 26 57,0
7 58,0 17 66,0 27 63,0
8 47,0 18 85,2 28 52,0
9 57,8 19 54,5 29 49,0
10 58,0 20 52,5