1. Intervalo de Confiança - Parte I

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Parâmetros: 
Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da 
população  =(, 2 , p). 
Identificada uma v.a. X sus parâmetros podem ser a média e variância 
Estatísticas: 
Uma estatística T é uma função
de X1, X2 ..., Xn
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parâmetros e Estatísticas
 nXXXfT ,,, 21  1
Parâmetros e Estatísticas
)pˆ,ˆ,ˆ(ˆ 2 
Parâmetros:  =(, 2 , p)
Estimativas:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
xpsX  ˆˆˆ 22
2
)(X  nXiX
)(2 XVar   )1/()( 22 nXxS i
Denominação População Amostra
N de elementos N n
Média
Variância
Proporção p pˆ
Símbolos mais comuns a seguir
3
Amostras
Distribuição amostral da estatística T
4
População 
com media 

Uma amostra aleatória
simples de n elementos 
é selecionada a partir 
da população
Os dados da amostra
fornecem um valor
para a média da
amostra X
O valor de é usado 
para fazer inferências
sobre o valor de 
X
O valor esperado de iguala-se a  a partir da qual 
a amostra é extraída. 
X
5
Giulia Berbel
1
Giulia Berbel
Giulia Berbel
Giulia Berbel
2
Giulia Berbel
Giulia Berbel
Giulia Berbel
3
Giulia Berbel
Giulia Berbel
Giulia Berbel
Giulia Berbel
4
Giulia Berbel
Teorema Central do Limite
Dado que :
• A variável aleatória X tem distribuição (que pode ser 
normal, ou não), com média  e desvio padrão .
• Amostra  de  tamanho    “n”    são  extraídas  aleatoriamente  
dessa população.
6
Teorema Central do Limite
Conclusões: 
• Na medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição 
das médias amostrais tende para uma distribuição normal.
• A média das médias amostrais será a média populacional.
• O desvio padrão das médias amostrais será 
 x
nx
 
7
Teorema Central do Limite
Regras Práticas de Uso Comum:
• Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das médias
amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente por uma
distribuição normal.
• Se a própria distribuição original tem distribuição normal,
então as médias amostrais terão distribuição normal para
qualquer tamanho amostral n.
X
8
Intervalo de Confiança IC
Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é 
uma amplitude (ou um intervalo) de valores que tem 
probabilidade de conter o verdadeiro valor do 
parâmetro populacional.
 =(,2 , p)
)()( xUxL 
9
Intervalo de Confiança IC
A partir de uma amostra de uma distribuição f(x,), que 
depende de um parâmetro  desconhecido, desejamos 
encontrar um intervalo aleatório que contenha  com alta 
probabilidade
é chamado de intervalo de confiança (1-) se
)()( xUxL 
    1)()(Pr xUxL
10
Estimação:
Um estimador é uma estatística amostral utilizada para 
obter uma aproximação de um parâmetro populacional.
)pˆ,ˆ,ˆ(ˆ 2 
Uma estimativa pontual é um valor (ou ponto) único 
usado para aproximar um parâmetro populacional.
n
xpsX  ˆ,ˆ,ˆ 22
11
Estimativa de uma Média Populacional: 
Grandes Amostras
Coeficiente de confiança é 
a probabilidade ( 1- ) de 
o intervalo de confiança 
conter o verdadeiro valor 
do parâmetro populacional.
Coeficiente de Confiança
(1- )
/2 /2 
12
Coeficiente de Confiança
(1- )
/2 /2 
z/2- z/2 A distribuição normal padronizada o valor z/2 
é o valor crítico
O grau de confiança é 
também chamado de 
nível de confiança ou 
coeficiente de confiança.
Estimativa de uma Média Populacional: 
Grandes Amostras
13
Valores críticos mais comuns:
1 -  0,80 0,85 0,90 0,95 0,99
z/2 1,28 1,44 1,645 1,96 2,58
 /2 
 /2 1 - 
0 z/2- z/2
Normal(0,1)
14
A margem de erro, denotado por E é a diferença máxima
provável (com probabilidade 1- ) entre a média amostral
observada e a verdadeira média populacional  .X
A margem de erro pode ser obtida multiplicando-se o valor
crítico pelo desvio padrão das médias amostrais,
n.zE 2


Margem de Erro
15
Áreas de uma distribuição amostral de usada para
fazer declarações de probabilidade sobre o erro de
amostragem
 /2  /2 
Distribuição amostral da X
(1-  )%

X
 
nz

 2/
16
Tamanho da Amostra para estimar 
Pode-se aplicar a fórmula E também para determinar o
tamanho da amostra que é necessário para atingir um grau de
precisão desejado .
Resolvendo a equação do erro em n obtemos,
2
2 




 E
z
n

n.zE 2


17
Intervalo de Confiança para a média populacional  (com 
base a grandes amostras: n > 30)
EXEX   Onde n.zE 2 



 
n
zX;
n
zX
22


Outras formas equivalentes de escrever:
• com variância conhecida o intervalo de confiança 100(1-)% 
para 
Intervalo de Confiança (IC) para 
• com variância desconhecida, usa-se a distribuição 
normal com o estimador s2 de 2 .
18
Intervalo de Confiança (IC) para 
Exemplo 1: Sejam X1, X2, ... X40 uma amostra aleatória de uma
variável aleatória que tem distribuição Normal com média
desconhecida e variância  = 410. Se encontre um
intervalo de confiança 95% para ..
1428X
Olhando a tabela da Distribuição Normal, temos que o ponto crítico, 
tal que 
Se  = 0,05, temos que z0,025 = 1,96. 
  2/2/   zZP
19
Giulia Berbel
Giulia Berbel
Intervalo de Confiança (IC) para 
Pr[Z > 1,96 ] = 0,025Pr[Z < - 1,96]= 0,025
- 1,96
Pr[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95 
1,96
O IC de 95% de confiança para a  é [1300,85 ; 1555,15]
20
Giulia Berbel
Giulia Berbel
X - z(∝/2)*σ/√n =
= 1428 - 1,96*410/√40 = 
= 1.300,94
Giulia Berbel
Giulia Berbel
Giulia Berbel
X + z(∝/2)*σ/√n =
= 1428 + 1,96*410/√40 = 
= 1.555,06
Giulia Berbel
Intervalo de Confiança para a média populacional 
(com base a pequenas amostras: n < 30)
Variáveis aleatórias independentes, então: 
• com variância desconhecida
Intervalo de Confiança (IC) para 
Pode-se mostrar que:
e 2 1n
2
~S)1n( 
 
  )1,0(Normal~Xn 

 
1nt~S
Xn

 
21
Intervalo de Confiança para a média populacional  (com 
base a pequenas amostras: n < 30)



   n
stX
n
stX nn 11 ;
• com variância desconhecida
Intervalo de Confiança (IC) para 
O intervalo de confiança 100(1-)% para 
Onde t é o percentil (1 - /2) da distribuição de Student 
com n -1 graus de liberdade.
22
Intervalo de Confiança (IC) para 



   n
stX
n
stX nn 11 ;
 /2  /2 
tn-1- tn-1
Pr[ t > tn-1] = /2
Ex. Se n = 10 e  = 0,05, temos Pr[ t < 2,262] = 0,975
23
Giulia Berbel
Giulia Berbel
Intervalo de Confiança (IC) para 
Exemplo 2: Sejam X1, X2, ... X40 uma amostra aleatória 
de uma variável aleatória que tem distribuição Normal 
com média e variância desconhecidas. Dado que 
e s= 496, encontre um intervalo de confiança 95% para 
.
1428X
Se n > 30, então usa-se a distribuição normal com 
estimador s2 de 2.
24
Giulia Berbel
Giulia Berbel
Intervalo de Confiança (IC) para 
Pr[Z > 1,96 ] = 0,025Pr[Z < - 1,96]= 0,025
- 1,96
Pr[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95 
1,96
O IC de 95% de confiança para a  é [1274,18 ; 1581,82]
25
Giulia Berbel
X - t(n-1)*s/√n = 
= 1428 - 1,96*496/√40 = 
= 1.274,29
Giulia Berbel
Giulia Berbel
X - t(n-1)*s/√n = 
= 1428 + 1,96*496/√40 = 
= 1.581,71
Intervalo de Confiança (IC) para 
Exemplo 3: Sejam X1, X2, ... X25 uma amostra aleatória de uma 
variável aleatória que tem distribuição Normal com média e 
variância desconhecidas. Dado que e s2 = 36, encontre um 
intervalo de
confiança 95% para .
15X
Olhando a tabela da Distribuição t de Student, temos que o ponto 
crítico t24,0,025=2,064 então 
Pr[t24 > 2,064] = 0,025. 
26
Giulia Berbel
Intervalo de Confiança (IC) para 
Pr[t > 2,064 ] = 0,025Pr[t < - 2,064]= 0,025
- 2,064
Pr[-2,064 < t < 2,064] = 0,95 
2,064
O IC de 95% de confiança para a  é [ 12,523 ; 17,477]
27
Giulia Berbel
Giulia Berbel
X + t(n-1)*√s²/√n = 
= 15 + 2,064*√36/√25 = 
= 17,477
Giulia Berbel
X - t(n-1)*√s²/√n = 
= 15 - 2,064*√36/√25 = 
= 12,523
Lembrando que quando p populacional é conhecida, tem 
distribuição assintotica
.
 pp zpzp ˆ0ˆ0 22 ˆ;ˆ   
Logo, temos que o IC para a proporção populacional ao nível de 
significância (1-) :
Intervalo de Confiança (IC) para proporções
n
xp ˆ




 n
pqpNp ,ˆ
Para construir o IC para p desconhecida, determinarmos na 
amostra e consideremos 
0pˆ
n
qp
p
00
ˆ
ˆˆ
28
Giulia Berbel
Exemplo: Retiramos de uma população uma amostra de 100
elementos e encontramos 20 sucessos. Ao nível de 1%, construir um
IC para a proporção real de sucessos na população.
Intervalo de Confiança (IC) para proporções
29
O IC de 99% de confiança para p é [ 0,0972; 0,3028]
Giulia Berbel
p(o) - z(∝/2)*σ(p) = 
= 0,01 - 2,58*?? =
= 
Giulia Berbel
p(o) + z(∝/2)*σ(p) = 
= 0,01 + 2,58*?? =
= 
Giulia Berbel
Aumentando o tamanho da amostra para melhorar a precisão.
•Uma maneira de melhorar a precisão do intervalo de confiança sem
diminuir o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra.
Obtendo o tamanho mínimo da amostra para estimar p
Dado um nível de confiança (1-) e um erro máximo de estimativa E, o
mínimo tamanho necessário da amostra para estimar p é
Essa formula supõe que haja uma estimativa preliminar para e .
Caso não seja assim, use e
30
2
2/ˆˆ 



 E
zqpn 
pˆ qˆ
5,0ˆ p 5,0ˆ q
Determinando um tamanho mínimo para a amostra.
•Você é auxiliar em uma campanha política e deseja estimar, com 95% 
de confiança, a proporção de eleitores registrados que votarão em seu 
candidato.
•Qual é o mínimo tamanho necessário da amostra para estimar a 
proporção populacional com precisão dentro de 3%?
Solução: Uma vez que não temos estimativas preliminares usaremos
e . Usando e E=0,03 temos que
Pelo menos 1.068 eleitores registrados devem ser incluídos na amostra.
Exemplo
5,0ˆ p
31
5,0ˆ q 96,12/ z
11,106703,0
96,1)5,0)(5,0(ˆˆ
22
2/ 







 E
zqpn 
Giulia Berbel
População Normal com média  desconhecida. 
     



  111 2
1
2
2
2
2
2 snsnP
Logo, o IC para a proporção populacional ao nível de significância 
(1-) :
Intervalo de Confiança (IC) para a variância
  2 12
1
2


 n
n
i
i xx 
Demostra-se que tem distribuição relacionada com 
com (n-1) graus de liberdade, isto é,
 


n
i
i xx
1
2 2
Como temos   
22
1
1 xxns i
    2
1
2 1 snxx
n
i
i 

  22 12 1 snn  
32
Giulia Berbel
     



  111 2
1
2
2
2
2
2 snsnP
O IC para a variância populacional ao nível de significância (1-) :
Intervalo de Confiança (IC) para a variância
Onde: e 2 )%2/(,121   n
2
)%2/1(,1
2
2   n
33
Exemplo: Sabe-se que o tempo de vida de certo tipo de válvula tem 
distribuição aproximadamente normal. Uma amostra de 25 válvulas 
forneceu média amostral de 500 h e s=50 h. Construir um IC para 
2, ao nível de 2%.
Intervalo de Confiança (IC) para a variância
Se n = 25, s2=2500 856,102 %1,2421   980,422 %99,2422  
     



  111 2
1
2
2
2
2
2 snsnP
34
O IC de 98% de confiança para 2 é [ 1395,9; 5526,9]
Giulia Berbel
Giulia Berbel
(n-1)*s²/x2² =
= (25-1)*2500/42,980 = 
= 1.396
Giulia Berbel
Giulia Berbel
(n-1)*s²/x1² =
= (25-1)*2500/10,856 = 
= 5.526,90
Giulia Berbel