Lista de Exercicios

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 Número 19 | Março 2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Listas de Exercícios de 
Sinais e Sistemas (2ª edição) 
 
Ana Pavani 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
AAPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO 
 
 
Estas listas de exercícios têm o objetivo de orientar o estudo da matéria de Sinais e Sistemas ao longo 
do período letivo. A solução e entrega das mesmas é recomendada e fará parte da avaliação da 
disciplina como uma parte da nota de cada uma das provas. A maneira como a nota é calculada e 
computada se encontra nas instruções sobre a disciplina que você recebeu e que está disponível na 
Sala de Aula do Sistema Maxwell, na disciplina ENG1400 – Sinais e Sistemas, no material da disciplina. 
 
A entrega das soluções das lista será na data, no horário e na sala de aula do dia agendado. Todas as 
datas serão dias de aula. Você encontrará o cronograma de entrega das listas na Sala de Aula do 
Sistema Maxwell, na disciplina ENG1400 – Sinais e Sistemas, em Atividades. Observa-se que entregas 
anteriores à data e à hora marcadas serão aceitas, enquanto posteriores não, implicando na atribuição 
de grau zero na lista correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 11 
 
Assunto: 
 
Números complexos e sua álgebra. 
 
Compreenda a necessidade: 
 
Os estudo de Sinais e Sistemas e de várias outras disciplinas que a têm como pré-requisito pressupõe o 
conhecimento de números complexos e de sua manipulação. Para que você possa ter um bom 
aproveitamento da disciplina e compreender bem a matéria nela ensinada, você precisa estar 
familiarizado e saber manipular os referidos números. 
 
Consulte a bibliografia e resolva os exercícios que seguem. 
 
 
Problema 1 
 
Considere os seguintes números complexos, representados na forma cartesiana. 
 
5 j5n
1

 
10 j10n
2

 
2 j1n
3

 
15 j10n
4

 
 
a. Desenhe-os no plano complexo. 
b. Encontre a forma polar de cada um deles. 
 
 
Problema 2 
 
Considere os seguintes números complexos, representados na forma polar. 
 
3
j
5
e 20n

 3
2
j
6
e 15n


 
3
4
j
7
e 10n

 3
j-
8
e 30n


 
 
a. Desenhe-os no plano complexo. 
b. Encontre a forma cartesiana de cada um deles. 
 
 
Problema 3 
 
Encontre os seguintes resultados: 
 
a. 
519
nnn 
 
b. 
6210
nnn 
 
c. 
7311
nnn 
 
d. 
8412
n/nn 
 
e. 
313
nn 
 
f. 
 5
814
nn 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 22 
 
Assunto: 
 
Funções e sistemas – classificações, funções especiais, energia e operações. 
 
 
Problema 1 
 
Crie um sinal de duração limitada, no tempo contínuo, utilizando 2 rampas e 1 degrau. 
 
 
Problema 2 
 
Crie um sinal de duração limitada, no tempo discreto, utilizando uma rampa e uma função pulso. 
 
 
Problema 3 
 
Considere a função exponecial dada por: 
 







0 t ; 0
0 t ,a ; ef(t)
at- R
 
 
OBS: É uma exponencial descrescente. 
 
Para a função calcule: 
 
a. A energia total. 
b. A função deslocada 5 unidades de tempo à direita e a desenhe. 
c. Calcule a energia total da função do item ‘b’. 
d. Compare se a energia total calculada em ‘c’ é igual ou diferente daquela daterminada em ‘a’. 
Explique o resultado. 
e. A função deslocada 5 unidades de tempo à esquerda sem perda de informação e a desenhe. 
f. Calcule a energia total da função do item ‘e’. 
g. Compare se a energia total calculada em ‘f’ é igual ou diferente daquela daterminada em ‘a’. 
Explique o resultado. 
h. A função deslocada 5 unidades de tempo à esquerda com perda de informação e a desenhe. 
i. Calcule a energia total da função do item ‘h’. 
j. Compare se a energia total calculada em ‘j’ é igual ou diferente daquela daterminada em ‘a’. 
Explique o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 33 
 
Assunto: 
 
Funções e sistemas – classificações, funções especiais, energia e operações. 
 
 
Problema 1 
 
Considere a função a seguir. 
 


 

intervalo do oraf ; 0
9 k 0 ;k 
x(k) 
 
Utilizando papel, lápis e régua, e fazendo os desenhos em escala, desenhe as seguintes funções, que 
são obtidas pelas operações discriminadas. 
 
a. Multiplicação por constante: 
 
x(k) 5.0(k)y1  
 
b. Escalonamento no tempo (expansão): 
 






park ; 0
parímk ; x(k)
(k)y
2 
 
c. Deslocamento à esquerda sem perda de informação: 
 






3- k ; 0
3k ; )3x(k
)3x(k(k)y
3
 
 
d. Deslocamento à esquerda com perda de informação: 
 






0 k ; 0
0k ; )3x(k
)3x(k(k)y
4
 
 
e. Reversão no tempo: 
 
x(-k) (k)y5  
 
OBS: Não esqueça de colocar os indicativos das variáveis em cada um dos eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 44 
 
Assunto: 
 
Equações a diferenças finitas. 
 
 
Problema 1 
 
Crie uma EDF homogênea de quarta ordem cujos valores característicos sejam: 
 
0.8pp 21  
1p3  
0.3p4 
 
 
Utilize condições iniciais genéricas. 
 
 
Problema 2 
 
Para a equação criada no problema 1, determine os modos que compõem a solução homogênea da 
equação. 
 
 
Problema 3 
 
Examine os modos determinados no problema 2 e diga: 
 
a. Se há algum e, em caso positivo, qual(is) é(são) o(s) modo(s) oscilante(s). 
b. Se há algum e, em caso positivo, qual(is) é(são) o(s) modo(s) cujo(s) módulo(s) tende(am) a zero 
com o tempo crescente. 
 
 
Problema 4 
 
Considere que a parte não recursiva da equação que você criou é: 
 
 )k(u 10 
 
a. Determine a reposta impulsional. 
b. Determine a resposta ao degrau unitário aplicado no tempo 10, com a equação com condições 
iniciais nulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 55 
 
Assunto: 
 
Transformada Z. 
 
 
Problema 1 
 
Para a EDF criada nos problemas 1 e 4 da Lista de Exercícios 4, determine a função de transferência. 
 
 
Problema 2 
 
Calcule os pólos da função de transferência determinada no problema 1. Compare os resultados com os 
valores característicos fornecidos no problema 1 da Lista de Exercícios 4. 
 
 
Problema 3 
 
Calcule a Transformada Z da: 
 
a. Resposta impulsional da EDF em questão. 
b. Resposta ao degrau uniário aplicado na origem sobre a EDF com condições iniciais nulas. 
c. Resposta a um pulso de largura 10 amostras, amplitude 50 e iniciando em 0. 
 
 
Problema 4 
 
Determine as Transformadas Z Inversas das 3 respostas do problema 3. 
 
 
Problema 5 
 
Verifique a relação entre as funções obtidas na primeira Transformada Z Inversa do problema anterior 
e no item “a” do problema 4 da Lista de Exercícios 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 66 
 
Assunto: 
 
Transformadas Z e de Laplace. 
 
 
Problema 1 
 
Considere a função seno e sua Transfomada de Laplace apresentadas a seguir: 
 
)t(u )tcos(g(t)
1-

 
22s
s
G(s)


 
 
Conhecendo as relações entre as funções seno e cosseno, e as propriedades
da Transformada de 
Laplace, determine a Transformada de Laplace da função: 
 
)t(u )t( senf(t)
1-

 
 
OBS: Não use a integral, somente as relações e as propriedades. 
 
 
Problema 2 
 
Demonstre a propriedade da Transformada de Laplace da integral de uma função. 
 
 
Problema 3 
 
Demonstre a propriedade da Transformada de Laplace da derivada de uma função. 
 
 
Problema 4 
 
Considere a função de transferência de um SLIT-TD: 
 
)z(D
)z(N
H(z) 
 
 
Mostre que quando o grau do polinômio do numerador for superior ao do polinômio do denominador o 
sistema em consideração é não causal. 
 
 
Problema 5 
 
Considere a função de transferência de um SLIT-TC: 
 
)s(D
)s(N
H(s)
 
 
Mostre que quando o grau do polinômio do numerador for superior ao do polinômio do denominador o 
sistema em consideração é não causal. 
 
 
 
 9 
LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 77 
 
Assunto: 
 
Funções periódicas e Séries de Fourier. 
 
 
Problema 1 
 
Considere a função a seguir: 
 
f(t) = 10 + 10 sen (/5)t + 20 cos (/10)t ; - < t <  
 
Para ela: 
 
a. Mostre que é periódica. 
b. Determine o período fundamental. 
c. Decomponha-a em partes par (even) e ímpar (odd). 
 
 
Problema 2 
 
Considere a função x(k), periódica e de período fundamental K0, cuja definição para um período 
fundamental é dada por: 
 






1Kk1 ; 0
k0 ; 1
)k(x
0
 
 
Os valores são: 
 
K0 = 5 e  = 3 
 
Com x(k) é criada uma nova função y(k), através da definição a seguir: 
 
)1k(x)k(x)k(y 
 
 
a. Desenhe y(k). 
b. Escreva a expressão analítica que representa um período de 
)k(y
 – análoga à que foi usada para 
definir 
)k(x
. 
c. Demonstre que 
)k(y
 é periódica de período fundamental K0. 
d. Decomponha-a em partes par (even) e ímpar (odd). 
 
 
Problema 3 
 
Na sala de aula, foi feito um exemplo de determinação da Série de Fourier de uma onda quadrada (no 
tempo contínuo) de valor médio zero, período 6 e valores 8 e -8. 
 
Faça as seguintes modificações na onda quadrada e recalcule a sua Séride Fourier (fazendo a 
determinação dos coeficientes da série através da integral). 
 
Para ela: 
 
a. Some -10 à onda. 
b. Desloque a onda à direita de um tempo 3. 
 
 
 
 
 
 
 10 
Problema 4 
 
Considere as duas situações do problema 3. Utilizando as propriedades das Séries de Fourier e os 
resultados obtidos na sala de aula, determine as Séries de Fourier do problema anterior. Compare os 
resultados obtidos com os anteriores. 
 
 
 
 
 
 11 
LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 88 
 
Assunto: 
 
Séries de Fourier. 
 
 
Problema 1 
 
Considere, novamente, o problema 3 da Lista 7. Normalize os valores das amplitudes de cada 
componente, considerando que a da primeira harmônica é 1; com isto, você determinará as proporções 
das amplitudes da terceira e da quinta harmônicas com respeito a ela. 
 
Na Internet, existem alguns simuladores de Séries de Fourier em acesso aberto. Alguns podem ser 
usados para ajudar a desenvolver a intuição sobre a composição/decomposição de sinais periódicos de 
duração infinita no tempo contínuo. Vá às URLs listadas a seguir: 
 
a. http://www.falstad.com/fourier/ 
b. http://www.nst.ing.tu-bs.de/schaukasten/fourier/en_idx.html 
c. http://socr.stat.ucla.edu/htmls/SOCR_Games.html 
 
Com cada um dos simuladores, “monte” as ondas quadradas mantendo a proporção dos coeficientes 
que você calculou em 3 da Lista 7. Imprima as 3 telas e anexe-as à lista. O que você achou da 
qualidade da aproximação com 3 termos? Depois aumente o número de termos para 5 e 7. Observe se 
a aproximação melhorou; é claro que melhorará, mas é bom ver. 
 
 
Problema 2 
 
Escolha uma outra onda – triangular ou dente de serra. Aproxime-a escolhendo, intuitivamente, os 
coeficientes e fases. Imprima a tela com a onda escolhida. 
 
 
Problema 3 
 
Considere uma onda quadrada no TD de valor médio zero com período 16. Vá à URL listada a seguir: 
 
http://www.jhu.edu/signals/discretefourier/index.htm 
 
No segundo applet, defina o período e desenhe a onda. Veja quais são as componentes. Imprima a tela 
para anexá-la à solução. 
 
 
Problema 4 
 
Repita o problema 3 com uma onda quadrada de valor médio positivo. Imprima a tela para anexá-la à 
solução.
 
 
Problema 5 
 
Repita o problema 3 com uma onda quadrada de valor médio negativo. Imprima a tela para anexá-la à 
solução. 
 
 
Problema 6 
 
Compare os resultados dos problemas 4 e 5. Comente as diferenças e as semelhanças. 
 
 
 
 
 
 12 
LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 99 
 
Assunto: 
 
Transformadas de Fourier. 
 
 
Problema 1 
 
Considere a expressão que define a Transformada de Laplace. Faça 
0
 e mostre que se chega à 
Transformada de Fouirier de um sinal no tempo contínuo. Suponha que a função possui ambas as 
transformadas. 
 
 
Problema 2 
 
Considere a expressão que define a Transformada Z. Faça 
1r 
 e mostre que se chega à Transformada 
de Fouirier de um sinal no tempo discreto. Suponha que a função possui ambas as transformadas. 
 
 
Problema 3 
 
No desenvolvimento da Transformada de Fourier dos sinais a tempo contínuo, uma das funções para as 
quais se determinou a transformada foi o pulso unitário centrado na origem. Para ela, determinou-se 
que a Transformada de Fourier é uma função real – é a função amostragem ou sinc. Considere que a 
função a ser estudada é uma função pulso unitário, mas que não está centrada na origem, que ela tem 
a mesma largura da anterior, mas está à direita do zero, dada por: 
 


 

intervalo do fora ; 0
a T2 t0 ; 1)t(p
 
 
Determine a sua Transformada de Fourier fazendo todas as contas, como se as Propriedades não 
fossem conhecidas. Compare o resultado com a do pulso unitário, de mesma largura, centrado na 
origem. 
 
 
Problema 4 
 
No desenvolvimento da Transformada de Fourier dos sinais a tempo discreto, uma das funções para as 
quais se determinou a transformada foi o pulso unitário centrado na origem. Para ela, determinou-se 
que a Transformada de Fourier é uma função real. Considere que a função a ser estudada é uma 
função pulso unitário, mas que não está centrada na origem, que ela tem a mesma largura da anterior, 
mas está à direita do zero, dada por: 
 


 

intervalo do fora ; 0
K 2 k 0 ; 1
p(k) a
 
 
Determine a sua Transformada de Fourier fazendo todas as contas, como se as Propriedades não 
fossem conhecidas. Compare o resultado com a do pulso unitário, de mesma largura, centrado na 
origem. 
 
 
Problema 5 
 
Considere a função a tempo discreto e de duração limitada definida a seguir. 
 








intervalos dos fora ; 0
[4,6]k ; 8
[7,9]k e [1,3]k ; 5
x(k)
 
 
 13 
Determine: 
 
a. A Transformada de Fourier de x(K) utilizando, somente, transformadas tabeladas e propriedades. 
 
Como resultado do item “a”, determine: 
 
b. A Transformada de Fourier de 
)k(xy(k) 
. 
c. A Transfromada de Fourier de 
)10k(xg(k) 
. 
d. A Transformada de Fourier de 
)k(x)k(xf(k) 
. 
 
 
Problema 6 
 
Prove a Relação de Parseval para: 
 
a. Sinais no tempo contínuo. 
b. Sinais no tempo discreto. 
 
 
Problema 7 
 
Considere a função apresentada no gráfico
a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os 2 segmentos da função são exponenciais iguais e simétricas, ambas deslocadas para baixo de 10 
unidades. Ambos os segmentos exponenciais da função têm duração finita de 1 unidade de tempo. À 
esquerda do tempo 0 e à direita do tempo 2, a função é nula. Os valores marcados no gráfico são: 
 
 Valor -10 – é o valor da ordenada nos extremos da função, nos pontos 0 e 2 unidades de 
tempo. 
 Valor (-20+10/e) – é o valor da ordenada no ponto em que o tempo vale 1. 
 
Para a função apresentada: 
 
a. Determine sua representação analítica utilizando funções escolhidas entre as funções: degrau, 
exponencial, impulso e rampa. As funções escolhidas podem ser ponderadas, deslocadas e 
somadas de acordo com a maneira julgada necessária. 
b. Explique a razão pela qual a função possui Transformada de Fourier. A explicação pode ser em 
palavras, baseada em condições, ou analítica, baseada em cálculos que não sejam a determinação 
da Transformada. 
c. Calcule a Transformada de Fourier utilizando, somente, resultados tabelados e propriedades. 
Resultados obtidos a partir da equação de análise, que define o cálculo da Transformada de Fourier, 
não serão corrigidos. 
d. Calcule o módulo e a fase da Transformada de Fourier determinada no item anterior. Dica: faça 
todas as transformações e simplificações possíveis antes de determinar o módulo e a fase. 
 
f(t) 
t 
-20+10/e 
1 2 
-10 -10