Lista4-SMA301

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Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #4
1. A func¸a˜o f(x) = x/
√
1 + x2 e´ mono´tona crescente. Ratifique isso. Ela e´ estritamente
crescente?
2. A func¸a˜o f(x) = (1 +
√
x)/(1−√x) na˜o e´ crescente. Comprove isso. No entanto, ela e´
crescente em [0, 1) e em (1,∞) (separadamente).
3. A func¸a˜o f(x) = −x(1 − |x|)−1 na˜o e´ decrescente. Verifique isso. Ratifique que ela e´
estritamente decrescente em cada intervalo (−∞,−1), (−1, 1) e (1,∞).
4. Calcule os seguintes valores:
arcsen (1/2) arctg (−1) arccos(1/
√
2)
arccos(1/2) arccotg (1/
√
3) arccossec 2
sen (2 arcsen (8/17)) tg (2 arccos(3/5)) tg (arctg (−3/5) + arctg (3/4))
3 sec( arctg 2) cossec ( arcsen (1/
√
10)) sen ( arctg (1/3) + arctg (1/2))
5. Ratifique as fo´rmulas abaixo (para x nos domı´nios apropriados):
cos(2 arcsenx) = 1−2x2 arccos(−x) = pi−arccosx arccotgx = pi
2
−arctgx
cos( arcsenx) =
√
1− x2 tg ( arcsenx) = x
1− x2 sen (2 arccosx) = 2x
√
1− x2
6. Deduza a igualdade arcsenx+ arccosx = pi/2, x ∈ [−1, 1].
7. Simplifique as expresso˜es (para x e y nos domı´nios apropriados):
cos( arcsenx) tg ( arcsen 2x) tg ( arctgx+ arctg y) arccossecx+ arccossec (−x)
8. Verifique que
arctgx+ arctg y = arctg
(
x+ y
1− xy
)
quando xy 6= 1 e | arctgx+ arctg y| < pi/2.
9. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es dadas:
arcsen 3x arctg (x/4)
1
arccotgx
2− arcsecx arccossec 2x
2
10. Se u = arcsen (
√
3/2) e v = arcsen (1/2), calcule cos(u− v), cos(u+ v) e tg 2u.
11. Se u = arcsen (1/4) e v = arctg (−2), calcule sen (u+ v), cos(u+ v) e cos 2u.
1
12. Tente justificar as fo´rmulas abaixo, mas na˜o fique triste se na˜o conseguir. E´ mais fa´cil
resolver apo´s estudarmos derivadas. Por enquanto, tente acreditar na validade delas.
arccotgx =
pi
2
− arctgx, x ∈ R
arcsecx = arccos
(
1
x
)
, |x| ≥ 1
arccossecx = arcsen
(
1
x
)
, |x| ≥ 1
13. Encontre o domı´nio das func¸o˜es abaixo. Encontre a imagem de pelo menos uma delas.
f(x) = arccos
x
1 + x
g(x) =
arctg (3x− 1)
arccotg (3x− 1) h(x) = arccossec
1 +
√
x
1−√x
f(x) =
senx
arcsenx
g(x) =
arcsenx
bx− 1c h(x) =
arcsecx− arcsec 2x
arcsec 3x
14. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es abaixo:
f(x) = 3− arctg (3− x) g(x) = arcsenx
2
h(x) = 2− arsec 2x
2