Aula 09 EDO 2012

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JU´LIO DE MESQUITA FILHO”
UNESP - Campus de Ilha Solteira - Departamento de Matema´tica
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS - 2012.
Aula 09 (21/03) Teoremas de existeˆncia e Unicidade
Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e p, q : I → R duas func¸o˜es cont´ınuas, isto e´, p, q ∈ C(I,R).
Lembrete:
C(I,R): espac¸o vetorial com operac¸o˜es
[p+ q](t) = p(t) + q(t)
[λ p](t) = λ p(t)
p, q ∈ C(I,R), λ ∈ R
Consideremos o subespac¸o C2(I,R) ⊂ C(I,R) e o operador
L : C2(I,R)→ C(I,R)
Teorema Se p, q e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas num intervalo aberto I, com t0 ∈ I, enta˜o existe exata-
mente uma soluc¸a˜o y = φ(t), definida em I, do problema
Teorema Se y1 e y2 sa˜o duas soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial homogeˆnea
L(y) = y
′′
+ p(t) y
′
+ q(t) y = 0 , (1)
enta˜o toda combinac¸a˜o linear y = c1 y1 + c2 y2, c1, c2 ∈ R tambe´m e´ soluc¸a˜o de (5).
Quando podemos escolher as constantes c1 e c2
de modo que sejam satisfeitas as condic¸o˜es iniciais?
1
Para que y = c1 y1 + c2 y2 satisfac¸a a`s condic¸o˜es
y(t0) = y0 e y
′
(t0) = y
′
0
devemos ter

y(t0) = c1 y1(t0) + c2 y2(t0) = y0 ,
y
′
(t0) = c1 y
′
1(t0) + c2 y
′
2(t0) = y
′
0 .
(2)
Quando o determinante da matriz do sistema e´ na˜o-nulo, existe uma u´nica soluc¸a˜o de (2), isto e´,
quando
det
 y1(t0) y2(t0)
y
′
1(t0) y
′
2(t0)
 6= 0 , (3)
a soluc¸a˜o de (2) existe, e´ u´nica e e´ dada (pela regra de Cramer) por
c1 =
det
 y0 y2(t0)
y
′
0 y
′
2(t0)

det
 y1(t0) y2(t0)
y
′
1(t0) y
′
2(t0)
 e c2 =
det
 y1(t0) y0
y
′
1(t0) y
′
0

det
 y1(t0) y2(t0)
y
′
1(t0) y
′
2(t0)
 (4)
O determinante (3) e´ chamado de determinante Wronskiano das func¸o˜es y1 e y2, e e´ denotado
por
W (y1, y2)(t0)
Podemos sintetizar tudo isso no
Teorema Sejam y1 e y2 duas soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial homogeˆnea (5). E´ poss´ıvel escolher
constantes c1 e c2 de modo que
y = c1 y1 + c2 y2 ,
satisfac¸a as condic¸o˜es iniciais se, e somente se,
W (y1, y2)(t0) = y1(t0) y
′
2(t0)− y2(t0) y
′
1(t0) 6= 0 .
2
Dizemos que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es para a equac¸a˜o y
′′
+
p(t) y
′
+ q(t) y = 0, e
y(t) = c1 y1(t) + c2 y2(t) ,
e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o.
Teorema Considere a equac¸a˜o
L(y) = y
′′
+ p(t) y
′
+ q(t) y = 0 , (5)
com p e q cont´ınuas num intervalo I, e t0 ∈ I. Suponhamos que
y1(t0) = 1 , y
′
1(t0) = 0 ,
y2(t0) = 0 , y
′
2(t0) = 1 .
isto e´,
 y1(t0)
y
′
1(t0)
 =
 1
0
 e
 y2(t0)
y
′
2(t0)
 =
 0
1

Enta˜o {y1, y2} e´ um conjunto fundamental de soluc¸o˜es de (5).
Observac¸a˜o O conjunto fundamental de soluc¸o˜es e´ uma base para o espac¸o das soluc¸o˜es de (5):
• dizer que toda combinac¸a˜o linear de y1 e y2 tambe´m e´ soluc¸a˜o significa dizer que {y1, y2} gera
o conjunto das soluc¸o˜es de (5);
• dizer que W (y1, y2)(t0) 6= 0 significa dizer que {y1, y2} e´ um conjunto Linearmente Independente
de vetores (que neste caso sa˜o func¸o˜es).
Observac¸a˜o Como sabemos de A´lgebra Linear, existe va´rias bases para um espac¸o vetorial, e por-
tanto, existem va´rios conjuntos fundamentais de soluc¸o˜es de (5). Por exemplo, para a equac¸a˜o
y
′′ − y = 0, com t0 = 0, sabemos que um conjunto fundamental de soluc¸o˜es e´ {et, e−t}
W (et, e−t)(0) = det
 et e−t
et −e−t
 (0) = −2 6= 0
3
No entanto este na˜o e´ o conjunto fundamental de soluc¸o˜es garantido pelo teorema anterior, ja´ que
y1(0) = e
0 = 1 mas y
′
1 = e
0 6= 0.
Ainda considerando o exemplo anterior, podemos a partir do conjunto fundamental de soluc¸o˜es e´
{et, e−t} obter o conjunto fundamental de soluc¸o˜es e´ {y1, y2} indicado pelo teorema. Como devemos
ter que
y1(0) = 1 , y
′
1(0) = 0 , y2(0) = 0 , y
′
2(0) = 1 ,
e´ fa´cil ver que
y3(t) =
et + e−t
2
= cosh (t) e y4(t) =
et − e−t
2
= senh (t)
e´ o conjunto fundamental procurado.
Exemplo Vamos verificar que {et cos(2 t), et sen(2 t)}, para t ∈ R, e´ um conjunto fundamental de
soluc¸o˜es para a equac¸a˜o
y
′′ − 2 y′ + 5 y = 0 .
Podemos enta˜o determinar a soluc¸a˜o da equac¸a˜o que satisfaz as condic¸o˜es iniciais y(0) = 1 e
y
′
(0) = 0.
Teorema (de Abel) Se y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial homogeˆnea (5), com t ∈ I, e p e
q cont´ınuas em I (intervalo aberto), enta˜o o Wronskiano W (y1, y2)(t) e´ dado por
W (y1, y2)(t) = c exp
[
−
∫
p(t) dt
]
,
sendo c uma constante que depende de y1 e y2 mas na˜o depende de t. Ale´m disso, W (y1, y2)(t) e´
nulo, para todo t ∈ I (se c = 0), ou nunca se anula em I (se c 6= 0).
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