Exercicios Derivadas e Aplicações

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues 
 http: www.robson.mat.br e-mail: robsonmat@uol.com.br 
 
 
6ª Lista de Exercícios – Derivadas: cálculos e aplicações 
 
Questão 01. Utilizando a regra do produto, calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) y = (2x-3)(x
2
 – 5x) b) w = ( t – 1)(t + 3) c) p = (t
2
 – 5)(2t + 3) 
 
Questão 02. Utilizando a regra do quociente, determine a derivada das funções abaixo: 
 
a) 
5x
3x2
y



 b) w = 
4t3
t2t2


 c) p = 
5t3t
5
2 
 
 
Questão 03. Utilizando a “regra da cadeia”, diferencie as funções abaixo: 
a) y = (5x – 2)
3
 b) w = 
t5t2 2 
 c) 
2)5t2(
3
p


 
Questão 04. Um corpo se move em linha reta de acordo com a equação S = 
2t34 
, onde S é dado 
em metros e t em segundos. 
a) Determine a velocidade média desse corpo no intervalo [0,2]. 
b) Determine a velocidade do corpo no instante t = 2s. 
 
Questão 05. Um empresário estima que quando x unidades de certo produto são vendidas, a receita 
bruta associada ao produto é dada por C = 0,5x
2
 + 3x – 2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação da 
receita quando 3 unidades estão sendo vendidas? Interprete o resultado obtido. 
 
Questão 06. No instante t = 0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. Como a 
velocidade inicial do mergulhador é de 16 pés por segundo, sua função posição é: H = -16t
2
 +16t + 32. 
a) Em que instante o mergulhador atinge a água? 
b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto? 
 
Questão 07. O modelo 
1t
1tt
N
2
2



 mede a percentagem do nível de oxigênio em uma lagoa; t é o 
tempo em semanas, após o lançamento de detritos orgânicos na lagoa. Ache a taxa de variação de N 
em relação a t quando: 
a) t = 0,5 b) t = 2 c) t = 8. 
 
Questão 08. Determine a taxa de variação do volume V de uma esfera em relação ao seu raio r para: 
a) r arbitrário b) r = 1 m 
 
Questão 09. Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área A 
da superfície da mancha em relação ao raio r do círculo para: 
a) r arbitrário b) r = 200 m 
 Prof. Ms. Robson Rodrigues 
 
Questão 10. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um 
cone com diâmetro de base igual à altura. Quando a altura do monte é de 3 m, a taxa de variação com 
que a areia é despejada é de 0,01 m
3
/ min. Qual a taxa de variação da altura do monte quando esta for 
de 3 m? 
 
Questão 11. Sabemos que a área de um quadrado é função do seu lado. Determinar: 
a) A taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 para 
3 m. 
b) A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m. 
 
Questão 12. Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o 
número n de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro 
dia de epidemia) é, aproximadamente, dado por n = 
3
t
t64
3

. 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5° dia? 
 
Questão 13. Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no 
reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por
2)t80(50V 
. Determinar: 
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de 
escoamento. 
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. 
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. 
 
Questão 14. Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l = 2 + t
2
, onde a variável t 
representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado quando t = 2. 
 
Questão 15. Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da 
base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m
3
/h, a que razão aumenta a área da base quando 
a altura do monte é de 4 m? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues 
 http: www.robson.mat.br e-mail: robsonmat@uol.com.br 
 
 
GABARITO PARCIAL 
 
Questão 01. 
a) y’ = 2(x
2
 – 5x) + (2x – 3)(2x – 5) = 2x
2
 – 10x + 4x
2
 – 10x – 6x + 15 = 6x
2
 – 26x + 15 
b) w’ = 1(t + 3) + (t – 1)1 = t + 3 + t – 1 = 2t + 2 
c) p’ = 2t(2t + 3) + (t
2
 – 5)2 = 4t
2
 + 6t + 2t
2
 – 10 = 6t
2
 + 6t – 10 
 
Questão 02. 
a) y’ = 
2)5x(
13

 b) w’ = 
2
2
)4t3(
8t8t3


 c) p’ = 
22 )5t3t(
15t10


 
 
Questão 03. 
a) y’ = 15(5x – 2)
2
 b) w’ = 
t5t22
5t4
2 

 c) p’ = 
3)5t2(
12


 
Questão 04. a) vm = 1 m/s b) v = 
2t34
t3

  v(2) = 
16
2.3
= 1,5 m/s 
Questão 05. 
dx
dC
= x + 3  
dx
dC
(3) = 3 + 3 = 6 mil reais / unidade 
Quando a produção é de 3 unidades a receita da empresa está aumentado a uma taxa de 6 mil reais por 
unidade produzida. 
 
Questão 06. 
a) Na água temos H = 0  - 16t2 + 16t + 32 = 0  t = 2s 
b) v = 
dt
dH
  v = -32t + 16  v(2) = - 48 m/s. 
Questão 07. Como 
dt
dN
= 
22
2
)1t(
1t


 temos: 
a) 
dt
dN
(0,5) = - 0,48 % / semana b) 
dt
dN
(2) = 0,12 % / semana c) 
dt
dN
(8) = 0,015 % / 
semana 
 
Questão 08. Resolvida em aula 
 
Questão 09. Resolvida em aula 
 
 
 Prof. Ms. Robson Rodrigues 
Questão 11. a) 
l
A


 = 5,5 b) 
l2
dl
dA

  
84.2)2(
dl
dA

 
Questão 12. 
a) 
2t64
dt
dn

  
)4(
dt
dn
= 64 – 4
2
 = 48 pessoas/ dia 
Logo, no tempo t = 4, a moléstia está se espalhando à razão de 48 pessoas por dia. 
b) 
)8(
dt
dn
= 0. Logo, no tempo t = 8, a epidemia está controlada. 
c) O número de pessoas atingidas pela moléstia durante o 5° dia é dado por: n(5) – n(4)  43 pessoas. 
 
Questão 13. 
a) 
t
V


 = - 7500 litros /hora ( o sinal negativo indica que o volume de água está diminuindo com o tempo) 
b) 
dt
dV
= -100(80 – t)  
dt
dV
(8) = - 7200 litros / hora 
c) No início temos V(0) = 320000 litros 
 5 horas depois o volume de água é dado por V(5) = 281250 litros 
 Volume de água que saiu do reservatório nas 5 primeiras horas é : 320000 – 281250 = 38750 litros. 
 
Questão 14. 
Sendo A a área de uma quadrado de lado l segue que A = l
2
, como l = 2 + t
2
 temos: A = (2 + t
2
)
2
. 
Queremos 
dt
dA
(2). 
dt
dA
 = 2(2 + t
2
).2t = 4t(2 + t
2
)  
dt
dA
(2) = 48 unidades de área / unidade de tempo