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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
Estatística Aplicada
a Engenharia I
Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha
andrerochaest@yahoo.com.br
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
Estatística Aplicada
a Engenharia I
Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha
andrerochaest@yahoo.com.br
Natal / RN
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
Estatística Aplicada
ÍNDICE
UNIDADE I - ESTATÍSTICA DESCRITIVA ......................................................... 1
1.1 - NATUREZA E CAMPO DA ESTATÍSTICA ................................................................................................................. 1
1.2 - O MÉTODO ESTATÍSTICO ..................................................................................................................................... 1
1.3 - POPULAÇÃO, AMOSTRA E TIPOS DE VARIÁVEIS .................................................................................................. 2
1.4 - REPRESENTAÇÃO TABULAR .................................................................................................................................. 7
1.4.1 - Distribuição de Frequências ........................................................................................................................... 8
1.5 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ....................................................................................................................... 16
1.5.1 - Gráfico de Setores ........................................................................................................................................ 16
1.5.2 - Gráfico de Colunas e Barras ........................................................................................................................ 17
1.5.3 - Histograma e Polígono de Frequências ........................................................................................................ 18
1.6 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL................................................................................................................... 20
1.6.1 - Média Aritmética ......................................................................................................................................... 21
1.6.2 – Mediana ....................................................................................................................................................... 23
1.6.3 - Moda ............................................................................................................................................................ 27
1.6.4 – Separatrizes ................................................................................................................................................. 30
1.7 - MEDIDAS DE DISPERSÃO .................................................................................................................................... 32
1.7.1 – Variância ..................................................................................................................................................... 34
1.7.2 - Desvio Padrão .............................................................................................................................................. 36
1.7.3 - Coeficiente de Variação ............................................................................................................................... 38
1.8 - ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS .................................................................................................................. 39
1.8.1 - Esquema dos 5-Números ............................................................................................................................. 39
1.8.2 - Box-Plot ....................................................................................................................................................... 40
UNIDADE II - PROBABILIDADE ......................................................................... 43
2.1 - EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS ............................................................................................................................. 43
2.2 - ESPAÇO AMOSTRAL ............................................................................................................................................ 44
2.3 - EVENTOS .............................................................................................................................................................. 44
2.4 - RESULTADOS EQUIPROVÁVEIS ........................................................................................................................... 47
2.5 – DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE ....................................................................................................................... 48
2.6 - PROBABILIDADE CONDICIONAL ......................................................................................................................... 50
2.7 - EVENTOS INDEPENDENTES .................................................................................................................................. 53
2.8 – VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL ........................................................................................................ 54
2.9 - MODELOS DE PROBABILIDADE DISCRETOS ....................................................................................................... 55
2.9.1 - Distribuição de Bernoulli ............................................................................................................................. 55
2.9.2 - Distribuição Binomial .................................................................................................................................. 57
2.9.3 - Distribuição de Poisson ................................................................................................................................ 61
2.10 - PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS ......................................................................................................... 63
2.10.1 - Distribuição Uniforme ............................................................................................................................... 63
2.10.2 - Distribuição Exponencial ........................................................................................................................... 64
2.10.3 – Distribuição Normal .................................................................................................................................. 64
2.10.4 - Distribuição t de Student ............................................................................................................................ 73
UNIDADE III - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA .................................................... 76
4.1 - DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E DA PROPORÇÃO .................................................................................. 78
4.1.1 – Distribuição Amostral da Média ................................................................................................................. 78
4.1.2 – Distribuição Amostral da Proporção ........................................................................................................... 79
4.2 - ESTIMAÇÃO POR PONTO E INTERVALO ............................................................................................................... 80
4.2.1 - Estimação Pontual ........................................................................................................................................
80
4.2.2 - Estimação Intervalar .................................................................................................................................... 80
4.2.2.1- Intervalo de confiança para a média ........................................................................................................................ 82
4.2.2.2 - Intervalo de confiança para a proporção ................................................................................................................ 86
4.3 - TESTES DE HIPÓTESES ........................................................................................................................................ 87
4.3.1 - Teste para a Média quando σ2 é conhecido .................................................................................................. 90
4.3.2 - Teste para a Média quando σ2 é desconhecido............................................................................................. 95
4.3.3 - Teste para Proporções .................................................................................................................................. 99
4.3.4 - Valor-P ...................................................................................................................................................... 101
REFERÊNCIAS
ANEXOS
ANEXO A - DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
TABELA B - DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT
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1
UNIDADE I
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1.1 - Natureza e Campo da Estatística
Estatística é a ciência que diz respeito à coleta, apresentação e análise de dados quantitativos, de tal
forma que seja possível efetuar julgamentos sobre os mesmos.
Ramos da Estatística:
a) Estatística descritiva → trata da observação de fenômenos de mesma natureza, da coleta de
dados numéricos referentes a esses fenômenos, da sua organização e classificação através de
tabelas e gráficos, bem como da análise e interpretação.
b) Probabilidade estatística → utilizada para analisar situações que envolvem o acaso
(aleatoriedade).
c) Inferência estatística → estuda as características de uma população com base em dados
obtidos de amostras.
OBS: Estatística Indutiva pode ser denominada como inferência. Portanto, a estatística indutiva
estuda as características de uma população, com base em dados obtidos de amostras.
Inferência = Indução + Margem de Erro
1.2 - O Método Estatístico
A realização de uma pesquisa deve passar, necessariamente pelas fases apresentadas abaixo:
Coletas
dos
Dados
Definição
do
problema
Planejamento
Crítica
dos
Dados
Apresentação
dos dados
Tabelas e Gráficos
Análise e interpretação
dos dados
→→→→ →→→→ →→→→
→→→→ →→→→
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2
1) Definição do problema →→→→ Saber exatamente o que se pretende pesquisar, ou seja, definir
corretamente o problema.
2) Planejamento →→→→ determinar o procedimento necessário para resolver o problema, como
levantar informações sobre o assunto objeto do estudo. É importante a escolha das perguntas em
um questionário, que na medida do possível, devem ser fechadas.
� O levantamento de dados pode ser de dois tipos: Censitário e Amostragem.
� Outros elementos do planejamento de uma pesquisa são:
• Cronograma das atividades;
• Custos envolvidos;
• Exame das informações disponíveis;
• Delineamento da amostra.
3) Coleta de Dados →→→→ consiste na busca ou compilação dos dados. Pode ser classificado,
quanto ao tempo em:
• Contínua (inflação, desemprego, etc);
• Periódica (Censo);
• Ocasional (pesquisa de mercado, eleitoral)
4) Crítica dos dados →→→→ objetiva a eliminação de erros capazes de provocar futuros enganos.
Faz-se uma revisão crítica dos dados suprimindo os valores estranhos ao levantamento.
5) Apresentação dos dados →→→→ a organização dos dados denomina-se “Série Estatística”. Sua
apresentação pode ocorrer por meio de tabelas e gráficos.
6) Análise e Interpretação dos Dados →→→→ consiste em tirar conclusões que auxiliem o
pesquisador a resolver seu problema, descrevendo o fenômeno através do cálculo de medidas
estatísticas, especialmente as de posição e as de dispersão.
1.3 - População, Amostra e Tipos de Variáveis
Inferência Obtenção de resultados para uma população com base em observações
Estatística extraídas a partir de uma amostra retirada desta população.
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POPULAÇÃO:
É o conjunto de elementos (na totalidade) que têm, em comum, uma determinada
característica. Pode ser finita, como o conjunto de alunos de uma determinada escola, ou infinita,
como o número de vezes que se pode jogar um dado.
AMOSTRA:
É qualquer subconjunto da população. A técnica de seleção desse subconjunto de elementos
é chamada de Amostragem.
Como já vimos, a inferência estatística tem como objetivo a estimação de parâmetros para uma
população tendo como base às informações extraídas através de uma amostra. Neste contexto, o
estudo dos mais diversos tipos de procedimentos de amostragem se faz necessário.
Exercício 1.1: Dentre os 3000 alunos de uma escola, selecionaram-se 30 e inquiriram-se sobre o
programa de televisão preferido. Sendo respondidos como programas preferidos “Telejornal”,
“Novelas” e “Cinema”, com 10, 12 e 8 alunos, respectivamente. Responda:
a) a população;
b) a amostra.
Exercício 1.2: Para saber a aceitação de uma nova ração canina para filhotes de médio porte, uma
empresa selecionou 200 filhotes com até 6 meses de idade de diversas raças de médio portem, e
contabilizou a engorda deles.
Indique:
a) a população;
b) a amostra;
Exercício 1.3: Para realizar um estudo sobre o tempo gasto, em segundos, por 100 atletas na corrida
dos 100 metros com obstáculos, registrou-se o tempo gasto por 16 desses atletas e obtiveram-se os
seguintes resultados:
Indique:
a) a população;
b) a amostra;
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4
Exercício 1.4: Um aluno da UFMG do curso de “Cinema de Animação e Artes Digitais ” realizou
um sorteio dentre todas as fitas de VHS da biblioteca de sua Universidade, de 8 fitas para seu
Trabalho de Conclusão de Curso.
a) a população;
b) a amostra;
Exercício 1.5: Um aluno de Biblioteconomia da UFRN está fazendo um levantamento de todas as
Dissertações do curso de História, Geografia e Pedagogia, defendidas a partir do ano de 2000 e que
estão cadastradas no banco de dados da Biblioteca Zila Mamede. Dentre elas eles selecionou 10 de
cada curso e contabilizou as datas de defesa..
a) a população;
b) a amostra;
As técnicas de amostragem podem ser classificadas em dois grandes grupos: a amostragem
probabilística e a amostragem não probabilística.
1. Amostragem Probabilística: neste grupo encontram-se os planos amostrais que utilizam
mecanismos aleatórios de seleção dos elementos da amostra, atribuindo a cada um deles
uma probabilidade, conhecida à priori, de pertencer à amostra.
2. Amostragem Não Probabilística: neste grupo encontram-se os planos amostrais que não
utilizam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos da amostra, e dessa forma, não
existe nenhuma probabilidade associada à seleção desses
elementos.
Ambos os procedimentos têm vantagens e desvantagens. A grande vantagem das amostras
probabilísticas é medir a precisão da amostra obtida. Tais medidas já são bem mais difíceis para os
procedimentos do outro grupo. Diante disso, amostras probabilísticas são comumente utilizadas na
prática. Os tipos de planos de amostragem probabilísticos são os seguintes:
• Amostragem Aleatória Simples: cada elemento da população tem a mesma chance (ou
probabilidade) de ser selecionado. Os elementos são escolhidos através de sorteio. Para isso,
tabelas de números aleatórios são frequentemente utilizadas. Por exemplo, selecionar 5
alunos de uma turma usando a lista de chamada.
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5
• Amostragem Estratificada: a população é dividida em estratos (ou grupos) homogêneos,
sendo selecionada uma amostra aleatória simples de cada estrato. Por exemplo, selecionar
alunos de 5ª a 8ª série de uma determinada escola. Neste caso, cada série corresponde a um
estrato, e de cada estrato uma amostra aleatória simples dos alunos é extraída, lembrando
que pra tanto seria necessário sorteio a partir da lista de chamada também.
• Amostragem Sistemática: os elementos são selecionados segundo uma regra pré-definida.
É bastante utilizada quando os elementos da população estão arranjados em uma ordem. Por
exemplo, se em uma concessionária deseja-se estimar o preço total dos seus carros a partir
de uma amostra de 10 carros selecionar possuindo para tanto uma lista dos carros em ordem
de preço do maior para o menor, ou do menor para o maior. Uma observação importante é
que, por exemplo, se os elementos escolhidos estiverem em ordem não se deve pegar os
primeiros elementos, ou os últimos, ou os do meios, deve-se percorrer elementos de cada
parte.
Exercício 1.6: Para cada uma das seguintes situações diga qual o tipo de amostragem foi utilizada.
− O conselho universitário de uma universidade deseja conhecer a opinião dos alunos e
professores sobre uma resolução a ser votada, que estabelece horários fixos para o
atendimento de alunos pelos professores. Para compor a amostra foram sorteados
aleatoriamente 10% dos alunos matriculados e 10% dos professores.
− Um treinador de uma confederação esportiva deseja dividir 20 times em dois grupos. Para o
primeiro grupo seleciona aleatoriamente 10 times, e considera os 10 restantes para o segundo
grupo.
− Uma lista de corredores de uma maratona contém 1000 nomes, numerados consecutivamente
de 1 a 1000. Iniciando-se do 5º nome, uma amostra foi composta considerando sorteados os
nomes referentes aos números 15º, 25º, 35º, 45º, 55º e assim sucessivamente até que fossem
escolhidos 100 nomes.
− Um sociólogo na Universidade de Charleston seleciona 12 homens e 12 mulheres de cada
uma de quatro turmas de educação física.
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− Um treinador sorteia 6 jogadores de seu time de futebol sem mais critério s de seleção e tira
uma amostra de urina de cada um.
− O programa Planned Parenthood (Planejamento Familiar) pesquisa 500 homens e 5000
mulheres sobre seus pontos de vista sobre o uso de anticoncepcionais.
TIPOS DE VARIÁVEIS:
É condição inerente a uma população natural existir variação quanto aos atributos que lhe podem
ser estudados. Portanto, a variabilidade é uma característica comum aos dados de observação e
experimentos. Um atributo sujeito à variação é descrito em Estatística por uma variável.
Nominal
Qualitativa
Ordinal
Variável
Discreta
Quantitativa
Contínua
Variável Qualitativa: os dados podem ser distribuídos em categorias mutuamente exclusivas. Por
exemplo, sexo (masculino, feminino), cor, causa de morte, grupo sanguíneo, etc.
- Nominal: as categorias podem ser permutáveis (não existe ordem natural dos seus níveis);
Exemplo: [masculino, feminino], [sim, não], [fuma, não fuma];
- Ordinal: as categorias descrevem uma ordenação natural dos seus níveis.
Exemplo: [péssimo, ruim, regular, bom, ótimo].
Variável Quantitativa: os dados são expressos através de números. Por exemplo, idade, estatura,
peso, etc.
- Discreta: Assumem valores que podem ser associados aos números naturais ( 1, 2,3,...=� ).
Dá uma ideia de contagem.
Exemplo: Número de irmãos dos 30 alunos da turma de Engenharia
[0, 1, 2, 5, 3, 4, 1, 0, 2, 3, 5, 4, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 3, 2 , 3, 4, 2, 1, 2].
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- Contínua: Assume infinitos valores em um dado intervalo. Dá uma ideia de medição.
Exemplo: altura e/ou peso de animais ou de pessoas.
[1.70, 1.57, 1.80, 1.94, 1.68, 1.71]
Exercício 1. 7: Classifique com relação ao tipo de variável as seguintes informações:
• Sexo (“Masculino” ou “Feminino”);
• Tempo de uso de um HD de 1 TB (em meses completos);
• Tempo em horas para término de uma simulação num software;
• Altura de jogadores de vôlei de certo time (em metros);
• Fuma (“Sim” ou “Não”);
• Peso de vigas de concreto (em quilogramas);
• Número de filhotes de uma ninhada;
• Tolerância ao cigarro (indiferente, incomoda pouco, incomoda muito);
• Horas que gasta estudando.
• Resultado final de uma disciplina da UFRN (“Aprovado” ou “Reprovado”)
1.4 - Representação Tabular
Consiste em dispor os dados em linhas e colunas, distribuídas de modo ordenado, segundo algumas
regras práticas e obedecendo (ainda) à Resolução nº 886/66, de 26 de outubro de 1966, do Conselho
Nacional de Estatística. As tabelas devem conter:
a) Título - O quê? (fenômeno). Onde? (época). Quando? (local).
b) Cabeçalho - indica o conteúdo das colunas
c) Coluna Indicadora - especifica o conteúdo das linhas
d) Cabeçalho da coluna indicadora - indica o conteúdo da coluna indicadora
e) Corpo - caselas ou células, onde são registrados os dados.
f) Rodapé - notas e identificação da fonte de onde foram coletados os dados.
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1.4.1 - Distribuição de Frequências
Tabelas com grandes números de dados são cansativas e não dão uma visão rápida e geral do
fenômeno. Dessa forma, é necessário que os dados sejam organizados em uma tabela de
distribuição de frequências. Estas podem ser simples (dados não-agrupados) ou por classes (dados
agrupados).
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS SIMPLES:
Série estatística para dados nominais, ordinais e discretos, organizados em uma tabela.
Construção de uma Distribuição de Frequências:
Para a construção de uma distribuição de frequências os seguintes componentes são necessários:
� Dados Brutos: são os dados apresentados desordenadamente, da forma como foram coletados.
Exemplo 1.1: Peso (kg) de 14 blocos de concreto (dados brutos):
74 58 69 80 74 95 56 74 76 81 60 57 64 62
� Rol: são os dados apresentados em ordem crescente.
Exemplo 1.1: Peso (kg) de 14 blocos de concreto (em forma de rol):
56 57 58 60 62 64 69 74 74 74 76 80 81 95
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Construção de uma Distribuição de frequências simples
1. Ordenar os dados brutos em forma de rol (ordem crescente)
2. Listar todos os elementos diferentes, numa coluna de nome “X”.
3. Listar a frequência de todos os elementos diferentes numa coluna de nome "fi" ou "frequência".
4. Somar todos os elementos da coluna "fi" (total).
Exemplo 1.2: Numa pesquisa feita para detectar o número de filhos de empregados de uma
multinacional, foram encontrados os seguintes valores:
1 4 2 5 3 2 0 3 2 1 5 4 2 5 0
3 2 4 2 3 2 3 2 1 4 2 1 3 4 2
Solução:
� Rol (dados em ordem crescente):
0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5
� Tabela de Distribuição de Frequências:
Número de filhos por empregado de uma multinacional
Número de filhos (X) fi f i%
0 2 6,7
1 4 13,3
2 10 33,3
3 6 20
4 5 16,7
5 3 10
Total 30 100
Fonte: Dados Fictícios
Algumas considerações ou conclusões:
Qual o número de funcionários que não tem filhos? Qual o seu percentual?
Quantos funcionários têm cinco filhos e qual o seu percentual?
A maioria dos funcionários tem quantos filhos? E a minoria? Informe o percentual de ambos.
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INFORMAÇÕES ADICIONAIS NUMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Além das informações contidas na tabela, destaca-se outros parâmetros relevantes:
- LI = limite inferior de cada classe;
- LS = limite superior de cada classe;
- Pm = ponto médio de cada classe � x = (Li + Ls) / 2;
- fi = frequência absoluta = número de ocorrências de cada classe;
- fi % = frequência percentual � fi % = (fi / n) 100;
- ↓F = frequência absoluta acumulada "abaixo de";
- ↑F = frequência absoluta acumulada "acima de";
- ↓F% = frequência percentual acumulada "abaixo de";
- ↑F% = frequência percentual acumulada "acima de";
Exemplo 1.3: Veremos como fica a distribuição de frequências simples com essas informações
adicionais:
Número de filhos de empregados de uma multinacional
Nº de filhos fi f % F↓ F↑ F↓% F↑%
0 2 6,7 2 30 6,7 100
1 4 13,3 6 28 20 93,3
2 10 33,3 16 24 53,3 80
3 6 20 22 14 73,3 46,7
4 5 16,7 27 8 90 26,7
5 3 10 30 3 100 10
Total 30 100 - - - -
Fonte: Dados fictícios
Responda:
a) Quantos empregados têm até 2 filhos?
Resp: Se dá por F↓, sendo igual a 16 filhos.
b) Quantos empregados têm ao menos 4 filhos?
Resp: Se dá por F↑, sendo igual a 8 filhos.
c) Qual o percentual de empregados com no máximo 1 filho?
Resp: Se dá por F%↓, sendo igual a 93,3%.
d) Qual o percentual de empregados com no mínimo 2 filhos?
Resp: Se dá por F↑%, sendo igual a 80%.
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS POR CLASSES:
Série estatística para dados contínuos. Os números são agrupados em classes, com suas respectivas
frequências absolutas, relativas e percentuais, com o objetivo de facilitar ao analista o seu estudo.
Os seguintes componentes são utilizados apenas em distribuição de frequências em classes:
� Amplitude Total (A): é a diferença entre o maior valor do rol (LS) e o menor valor (LI).
A = LS - LI
� Número de Classes (c): corresponde à quantidade de classes, nas quais serão agrupados os
elementos do rol. Para determinar c, utiliza-se a fórmula de Sturges:
C = 1 + (3,33333.....) · log(n)
em que n = número de elementos do rol.
� Amplitude ou Intervalo de Classe (i): geralmente utilizam-se intervalos iguais, obtidos através
da fórmula:
i = A/C
Construção de uma Distribuição de frequências por classes
a) Ordenar os dados brutos em forma de rol (ordem crescente)
b) Calcular a amplitude total: A = LS - LI
c) Calcular o número de classes e arredondar o valor final para um número inteiro utilizando a
regra e arredondamento:
C = 1 + (3,33333.....) • log(n)
d) Calcular o intervalo entre classes: i = A / C.
e) A 1º coluna será a das classes. O menor número dos dados em rol será o limite inferior da
primeira classe (“LI” da fórmula utilizada na amplitude total “A”), a partir do qual todas as
outras classes serão definidas a partir deste número, somando ele ao intervalo entre classes.
Exemplo: Para C = 5, i = 1,5 e LI = 7,4 (menor número dos dados em forma de rol).
O limite inferior da 1º classe será 7,4 e o limite superior da mesma classe será
LI + i = 7,4 + 1,5 = 8,9.
Por sua vez, o limite inferior da 2º classe será 8,9 e o superior: 8,9 + i = 8,9 + 1,5 = 10,4.
Este procedimento será realizado até termos o número “C” de classes (este previamente
calculado).
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f) Para indicar o intervalo, utilizaremos o símbolo |- . Por exemplo, no caso de haver o limite
inferior 7,4 e o limite superior 8,9. Indicaremos este intervalo como : 7,4 |- 8,9.
Isso significa todos os números que estão entre 7,4 e o mais próximo possível de 8,9, porém,
caso haja um número igual ao limite superior dessa classe, este deverá ser computado apenas
na próxima classe (para o Exemplo do número 5, na 2º classe, sendo esta: 8,9 |- 10,4).
g) Uma vez definidas as classes, a tabela de frequências pode ser construída, a partir da 2º coluna
de nome “frequência” ou simplesmente “fi”, fazendo-se o processo de contagem, que consiste
em verificar a qual classe cada dado pertence.
OBS: Em algumas situações, pode-se utilizar uma distribuição de frequências por classes para
dados discretos quando todos os números ou a maioria são diferentes.
Exemplo 1.4: Construir uma distribuição de frequências para o número diário de experimentos
realizados em um laboratório durante duas semanas. [0, 2, 3 ,4 , 5, 10, 12, 7, 9, 0, 5, 13, 17, 10, 6].
Para essa situação, a mais viável será uma distribuição por classes, que deverá seguir o mesmo
procedimento, apenas com o cuidado ao calcular o intervalo entre classes (i), o mesmo deverá ser
arredondado para um número inteiro.
Exemplo 1.5: Construa de uma Distribuição de Frequências com CLASSES para os dados
referentes ao Peso (kg) de 14 blocos de concreto:
56 57 58 60 62 64 69 74 74 74 76 80 81 95
Solução:
Amplitude Total (A): A = LS – LI = 95 – 56 = 39.
Número de Classes (C): C = 1 + (3,33333.....) · log(n) = 1 + 3,333 · log (14) = 4,82 ≈ 5.
Intervalo de Classe (i): A=39 e C=5 � i = A/C = 39/5 = 7,8.
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Peso de blocos de concreto
Peso (kg) fi fi%
56,0 |- 63,8 5 35,71%
63,8 |- 71,6 2 14,28%
71,6 |- 79,4 4 28,58%
79,4 |- 87,2 2 14,28%
87,2 |-| 95 1 7,14%
Total 14 100%
Fonte: Dados Fictícios
Exemplo 1.6: Um determinado hospital está interessado em analisar a quantidade de creatinina (em
miligramas por 100 mililitros) encontrada na urina (de 24 horas) de seus pacientes internados com
problemas renais. Os dados são os seguintes:
1,51 1,65 1,58 1,54 1,65 1,40 1,61 1,08 1,81 1,38 1,56 1,83
1,69 1,22 1,22 1,68 1,47 1,68 1,49 1,80 1,33 1,83 1,50 1,46
1,67 1,60 1,23 1,54 1,73 1,43 2,18 1,46 1,53 1,60 1,59 1,49
1,46 1,72 1,56 1,43 1,69 1,15 1,89 1,47 2,00 1,58 1,37 1,40
1,76 1,62 1,96 1,66 1,51 1,31 2,29 1,58 2,34 1,66 1,71 1,44
1,66 1,36 1,43 1,26 1,47 1,52 1,57 1,33 1,86 1,75 1,57 1,83
1,52 1,66 1,90 1,59 1,47 1,86 1,73 1,55 1,52 1,40 1,86 2,02
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14
Solução:
� Rol (dados em ordem crescente):
1,08 1,15 1,22 1,22 1,23 1,26 1,31 1,33 1,33 1,36 1,37 1,38
1,40 1,40 1,40 1,43 1,43 1,43 1,44 1,46 1,46 1,46 1,47 1,47
1,47 1,47 1,49 1,49 1,50 1,51 1,51 1,52 1,52 1,52 1,53 1,54
1,54 1,55 1,56 1,56 1,57 1,57 1,58 1,58 1,58 1,59 1,59 1,60
1,60 1,61 1,62 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66 1,66 1,67 1,68 1,68
1,69 1,69 1,71 1,72 1,73 1,73 1,75 1,76 1,80 1,81 1,86 1,86
1,86 1,86 1,86 1,86 1,89 1,90 1,96 2,00 2,02 2,18 2,29 2,34
� Amplitude Total (dá uma ideia do campo de variação dos dados):
A = LS - LI = (2,34) - (1,08) = 1,26
Analisando-se a quantidade de creatinina encontrada na urina dos 84 pacientes verificou-se que,
ocorreu a variação de 1,26 no seu campo (de 1,08 a 2,34).
� Estabelecer o Número de Classes (c):
c = 1 + (3,3333.....) · log(n) = 1 + (3,3333....) · log(84) = 7,414 ���� c = 7
� Estabelecer o Intervalo de Classe (i):
i = A / c = (1,26) / 7 = 0,18
Quantidade de creatinina (ml) encontrada na urina de 84 pacientes com problemas renais.
Classes fi f % Pm (X) ↓%f ↑%f ↓F ↑F
1,08 ├ 1,26 5 5,9 1,17 5,9 100 5 84
1,26 ├ 1,44 13 15,5 1,35 21,4 94,1 18 79
1,44 ├ 1,62 32 38,1 1,53 59,5 78,6 50 66
1,62 ├ 1,80 18 21,4 1,71 80,9 40,5 68 34
1,80 ├ 1,98 11 13,1 1,89 94,0 19,1 79 16
1,98 ├ 2,16 2 2,4 2,07 96,4 6,0 81 5
2,16 2,34 3 3,6 2,25 100 3,6 84 3
Total 84 100 - - - - -
Fonte: Dados fictícios
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15
Observação 1: O melhor valor para representar cada classe é o ponto médio (Pm), o qual se obtém
pela fórmula:
Pm = Li + (i / 2), ou ainda, Pm = (Li + Ls) / 2
Observação 2: 1,08 |- 1,26, intervalo fechado à esquerda (pertencem a classe valores iguais ao
extremo inferior) e aberto à direita (não pertencem a classe valores iguais ao extremo superior). De
forma análoga, 2,16 |-| 2,34, intervalo fechado à esquerda e à direita.
Responda:
a) Quantos pacientes têm até 1,79 ml de creatinina?
Resp: Se dá por F↓, sendo igual a 68 pacientes.
b) Quantos pacientes têm ao menos 1,98 ml de creatinina?
Resp: Se dá por F↑, sendo igual a 5 pacientes.
c) Qual o percentual de pacientes com no máximo 1,61 ml de creatinina?
Resp: Se dá por F%↓, sendo igual a 59,5%. (mais da metade).
d) Qual o percentual de pacientes com no mínimo 1,98 ml de creatinina?
Resp: Se dá por F↑%, sendo igual a 6%.
Exercício 1.8: Na fabricação de semicondutores, o ataque químico por via úmida é frequentemente
usado para remover silicone da parte posterior das pastilhas antes da metalização. A taxa de ataque
é uma característica importante no processo. Um tipo de solução pra ataque químico foi estudada,
usando uma amostra de 50 pastilhas. As taxas observadas de ataque (10-3 mils/min) são dadas a
seguir:
2,1 4,2 2,7 28,2 9,9 9 2 6,6 3,9 1,6 14,7 9,6 16,1 8,1 8,2 20,2 6,9
4,3 3,3 1,2 4,1 18,4 0,2 6,1 13,5 7,4 0,2 8,3 0,3 1,3 14,1 1,0 2,4 2,4
16,2 8,7 24,1 1,4 8,2 5,8 1,6 3,5 12,2 18 26,7 3,7 12,3 23,1 5,6 0,4
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1.5 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Todo o gráfico deve apresentar título (pode ser colocado tanto acima como abaixo) e escala
(crescem da esquerda para a direita e de baixo para cima). As legendas devem ser
direita ou abaixo do gráfico. A seguir vemos os principais tipos de gráficos:
1.5.1 - Gráfico de Setores
Também conhecido como Gráfico de Pizza, este grá
parte de um todo. É, então, usado um círculo de raio qualquer, com a área ou ângulo total sendo
proporcional ao total (100%) da série de dados a representar e a ár
circular sendo proporcional a cada dado da série.
Exemplo 1.7: Exemplo de um gráfico de setores
Tabela 1.1: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010
Marca da Ração
Figura 1.1: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Todo o gráfico deve apresentar título (pode ser colocado tanto acima como abaixo) e escala
(crescem da esquerda para a direita e de baixo para cima). As legendas devem ser
direita ou abaixo do gráfico. A seguir vemos os principais tipos de gráficos:
Também conhecido como Gráfico de Pizza, este gráfico é usado quando cada valor representa uma
parte de um todo. É, então, usado um círculo de raio qualquer, com a área ou ângulo total sendo
proporcional ao total (100%) da série de dados a representar e a área ou ângulo de cada setor
circular sendo proporcional a cada dado da série.
Exemplo de um gráfico de setores
: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010
Marca da Ração Percentual (%)
Caninu’s 18
Campeão 15
Foster 24
Pedigree 43
Fonte: Dados Fictícios
: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010
16
Todo o gráfico deve apresentar título (pode ser colocado tanto acima como abaixo) e escala
(crescem da esquerda para a direita e de baixo para cima). As legendas devem ser colocadas à
fico é usado quando cada valor representa uma
parte de um todo. É, então, usado um círculo de raio qualquer, com a área ou ângulo total sendo
ea ou ângulo de cada setor
: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010
: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade em 2010
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1.5.2 - Gráfico de Colunas e Barras
As variações quantitativas da tabela são r
horizontalmente. É usado para representar qualquer tipo de série.
Exemplo 1.8: Exemplo de um Gráfico de Barras
Tabela 1.2: Principais causas de morte nos EUA em 2004
Tipo de morte
Acidentes de carro
Álcool
Armas de fogo
Cigarro
Doenças Infecciosas
Doenças Venéreas
Drogas
Obesidade
Outras
Total
Fonte: Ie Estatísticas, 2004.
Figura 1.
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Gráfico de Colunas e Barras
As variações quantitativas da tabela são representadas por colunas dispostas verticalmente ou
horizontalmente. É usado para representar qualquer tipo de série.
Gráfico de Barras
: Principais causas de morte nos EUA em 2004
morte Frequência Percentual (%)
Acidentes de carro 856 23,70
457 12,65
Armas de fogo 985 27,27
247 6,84
Doenças Infecciosas 112 3,10
Doenças Venéreas 98 2,71
631 17,47
124 3,43
102 2,82
3612 100
Figura 1.2: Principais causas de morte nos EUA em 2004
17
epresentadas por colunas dispostas verticalmente ou
Percentual (%)
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Exemplo 1.9: Exemplo de um Gráfico de Colunas
Figura 1.3: Principais rações caninas vendidas numa certa cidade
1.5.3 - Histograma e Polígono de Frequências
A apresentação tabular dos dados é feita através de uma distribuição de frequências. Fica
complementada com uma representação grá
de frequências são tipos de gráficos usados para representar uma distribuiç
de uma variável quantitativa contínua.
Exemplo 1.10: Exemplo de um histograma e de um polígono de frequências
Tabela 1.3: Distribuição de frequências dos preços de ovos
Preço dos ovos
47 ├ 68
68 ├89
89 ├110
110 ├131
131 ├152
Total
Fonte: GUJARATI. Basic Econometrics
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Gráfico de Colunas
Principais rações caninas vendidas
numa certa cidade em 2010
Histograma e Polígono de Frequências
A apresentação tabular dos dados é feita através de uma distribuição de frequências. Fica
complementada com uma representação gráfica desses mesmos dados. O histograma e o polígono
ficos usados para representar uma distribuição de frequências simples
de uma variável quantitativa contínua.
Exemplo de um histograma e de um polígono de frequências
: Distribuição de frequências dos preços de ovos - EUA - 1990
f fr F↓ F%
19 38 19
19 38 38
9 18 47
2 4 49
1 2 50
50 100 -
Basic Econometrics. McGraw-Hill, 3a ed. 1995.
18
em 2010
A apresentação tabular dos dados é feita através de uma distribuição de frequências. Fica
fica desses mesmos dados. O histograma e o polígono
de frequências simples
F%↓
38
76
94
98
100
-
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19
Um histograma é um conjunto de retângulos com bases sobre um eixo horizontal dividido de
acordo com os comprimentos de classes, centros nos pontos médios das classes e áreas
proporcionais ou iguais às frequências.
Um polígono de frequências é um gráfico de linha que se obtém unindo por uma poligonal
os pontos correspondentes às frequências das diversas classes, centradas nos respectivos pontos
médios. Para obter as interseções da poligonal com o eixo, cria-se em cada extremo uma classe com
frequência nula. Note que esses gráficos podem ser construídos com base nas frequências absolutas
ou relativas. O importante é que a escala nos eixos horizontal e vertical, bem como os retângulos,
sejam construídos de forma a que suas áreas espelhem a proporcionalidade dessas frequências.
Na Figura 1.10 apresentamos o histograma para a distribuição de frequências dada na Tabela
1.17, referente ao preço da dúzia de ovos nos estados americanos em 1990. Aqui cabe uma
observação sobre o histograma, que foi construído com o software free R; cada retângulo foi
construído de modo que sua área fosse exatamente igual à frequência relativa. Por exemplo, todos
os retângulos têm base 21, que é a amplitude de classe. A altura dos dois primeiros retângulos é
[área/base = 0,38 / 21 = 0,0180952], de modo que a área resultante é 0,38. Para a terceira classe,
temos que [altura = área/base = 0,18 / 21 = 0,0085714].
O ponto fundamental na interpretação de um histograma é compreender que as áreas dos
retângulos representam as frequências de cada classe. Como a variável é contínua e a frequência
dada se refere a uma classe de valores, a suposição que se faz é que essa frequência se distribui
uniformemente pela classe. Na Figura 1.10, a frequência relativa da classe 47 ├ 68 é 0,38 (ou 38%)
e ela está uniformemente distribuída pela classe, o que significa que subclasses de mesmo
comprimento teriam a mesma frequência. Por exemplo, as frequências das classes 47├57,5 e
57,5├68 seriam ambas iguais 0,19. Já a subclasse 89├95 teria uma frequência de 0,0085714 ×
(95−89) = 0,0514286. Mais uma vez, o princípio é que área = frequência. Com relação ao polígono
de frequências, a ideia é representar o comportamento “típico” de cada classe através do seu ponto
médio. Assim, o polígono de frequência está representado na Figura 1.11
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20
HISTOGRAMA
Figura 1.4: Histograma da distribuição de frequência dos preços dos ovos nos estados
POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS
Figura 1.5: Polígono de frequência dos preços dos ovos nos estados americanos
1.6 – Medidas de Tendência Central
Os dados quantitativos, apresentados em tabelas e gráficos, constituem a informação básica
do problema. Mas é conveniente apresentar medidas que mostrem a informação de maneira
resumida.
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21
Medidas de Tendência Central
São medidas que tendem para o centro da distribuição e têm a capacidade de representá-la como um
todo. Dão o valor do ponto em torno do qual os dados se distribuem. As principais são: Média
Aritmética, Mediana e Moda e algumas.
1.6.1 - Média Aritmética
A média aritmética pode ser definida em dois tipos: populacional (µ ) e amostral ( X ). Nos dois
casos existem três situações quanto aos cálculos.
1. Dados apresentados em forma de rol:
A média será:
rol do elementos de número
rol do elementos os todosde soma
n
x
X
n
i
==
∑
=1i
Exemplo 1.11: Número de tonadas a serem trocadas em 12 hotéis de Natal (50, 62, 70, 86, 60, 64,
66, 77, 58, 55, 82, 74) � X =67
Análise: O número médio de tomadas para serem trocadas é de 67 por hotel.
Exercício 1.9: Um gerente de supermercado quer estudar a movimentação de pessoas em seu
estabelecimento, constata que 195, 1.002, 941, 768 e 1.283 pessoas entraram no seu
estabelecimento nos últimos cinco dias. Descubra o número médio de pessoas que entraram
diariamente neste estabelecimento nos últimos cinco dias.
2. Dados apresentados em forma de distribuição de frequência simples:
A média será:
∑
∑
=
=
=
n
1i
i
n
ii
f
fx
X 1i
Exemplo 1.12: Número de peças com defeitos produzidas em 27 dias em certa fábrica
X 0 1 2 3 4 Total
f 2 4 10 6 5 27
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22
2,3
27
(4).(5) (3).(6) (2).(10) (1).(4)(0).(2)
f
fx
X
n
1i
i
n
ii
=
++++
==
∑
∑
=
=1i
Análise: Verifica-se que o número médio de peças com defeitos é de 2,3 por dia.
Exercício 1.10: As informações abaixo apresentam a idade dos usuários de drogas internos numa
clínica para tratamento. Determine a idade média dos internos.
Idade fi
17 2
18 4
19 5
20 6
21 3
22 4
23 2
Total 26
3. Dados apresentados em forma de distribuição de frequência em classes:
A média será:
∑
∑
=
=
=
n
1i
i
n
1i
im
f
fP
X
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23
Exemplo 1.13: Nascidos vivos segundo o peso ao nascer, em kg.
Classes fi Pm
1,5 |- 2,0 3 1,75
2,0 |- 2,5 16 2,25
2,5 |- 3,0 31 2,75
3,0 |- 3,5 34 3,25
3,5 |- 4,0 11 3,75
4,0 |- 4,5 4 4,25
4,5 |-| 5,0 1 4,75
Total 100 -
3
100
(4,75).(1) )(2,25).(16(1,75).(3)
f
fP
X
n
1i
i
n
im
=
+++
==
∑
∑
=
=
…1i
Análise: Verifica-se que o peso médio dos 100 nascidos vivos observados é 3 kg.
1.6.2 – Mediana
Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de elementos. Isto é,
é o valor que ocupa o centro da distribuição, de onde se conclui que 50% dos elementos ficam
abaixo dela e 50% ficam acima.
Colocados em ordem crescente, a mediana (Med ou Md) é ou valor que divide a amostra, ou
população, em duas partes iguais.
0 Med 100%
a) Variável Discreta: os dados estão dispostos em forma de rol ou em uma distribuição de
frequência simples.
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24
� Se “n” for ímpar:
Med = elemento central (de ordem 1
2
n +
)
- Exemplo 1.14: Dados em forma de rol:
Seja
a amostra: 8, 10, 12, 14, 16 � Med = 5 1 3
2
+
=
�
elemento do rol = 12
Interpretação: o 3º elemento do rol (12) divide 50% da distribuição dos dados à direita
e à esquerda.
- Exemplo 1.15: Dados em uma distribuição de frequência simples:
Suponha a seguinte distribuição de frequência simples.
X fi ↓F
1 1 1
2 3 4
3 5 9
4 2 11
Total 11 -
n = 11 (ímpar)
Elemento mediano: [(n+1)/2]º = 6º elemento
3ª classe contém o 6º elemento � Med = 3.
� Se “n” for par:
Med = média aritmética dos dois elementos centrais (de ordem
2
n
e 1
2
n
+
)
- Exemplo 1.16: Dados em forma de rol:
Seja a amostra: 8, 10, 12, 14, 16, 19
6 3 elemento do rol
2 2
61 1 4 elemento do rol
2 2
n
n
= =
+ = + =
�
�
Med = 3 elemento 4 elemento 12 14 13
2 2
Mediana + += = =
� �
Interpretação: a média do 3º e 4º elemento do rol (13) divide 50% da distribuição dos dados à
direita e à esquerda.
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25
- Exemplo 1.17: Dados em uma distribuição de frequência simples:
Suponha a seguinte distribuição de frequência simples.
X fi ↓F
82 5 5
85 10 15
87 15 30
89 8 38
90 4 42
Total 42 -
Fonte: Dados fictícios
n = 42 (par)
Elemento mediano: (n/2)º = 21º elemento
(n/2)º + 1 = 22º elemento
3ª classe contém o 21º e o 22º elemento
Med = (87 + 87)/2 = 87
b) Variável Contínua: os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes,
então:
• 1º Passo: Organizar os dados em forma de rol (ordem crescente);
• 2º Passo: Calcular a ordem (n/2)º. Como a variável é contínua não importa se é par ou ímpar.
• 3º Passo: Através da ↓F identificar a classe que contém a mediana, isto é, a posição da
mediana.
• 4º Passo: Utilizar a fórmula:
Med
Med
Med
Med .if
FP
LIMed
↓−
+=
−
- LIMed = limite inferior da classe que contém a mediana;
- PMed = posição da mediana = 2f i /∑ = xº elemento;
-
-F ↓ = frequência absoluta acumulada "abaixo de" da classe anterior à classe que contém a
mediana;
- fMe = frequência absoluta da classe que contém a mediana;
- iMe = intervalo da classe que contém a mediana;
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26
Exemplo 1.18: Temperatura (Cº) para o derretimento de certo material eletrônico.
Temperatura fi Pm F↓
150 |- 200 35 175 35
200 |- 250 164 225 199
250 |- 300 31 275 230
300 |- 350 344 325 574
350 |- 400 112 375 686
400|- 450 32 425 718
455 |-| 500 10 475 728
Total 728 - -
Fonte: Dados fictícios
PMe = (n/2)� (728/2)� 364º elemento � 4ª classe: [300; 350)
0Med
Med Med
Med
P F 364 - 230Med LI .i 300 .(50) 319,75
f 344
C
−
− ↓
= + = + =
Exercício 1.11: Um determinado hospital está interessado em analisar a quantidade de creatinina
(em miligramas por 100 mililitros) encontrada na urina (de 24 horas) de seus pacientes internados
com problemas renais. Calcule a Mediana.
Quantidade de creatinina (ml) encontrada na urina de 84 pacientes com problemas renais.
Classes fi F↓
1,08 |- 1,26 5 5
1,26 |- 1,44 13 18
1,44 |- 1,62 32 50
1,62 |- 1,80 18 68
1,80 |- 1,98 11 79
1,98 |- 2,16 2 81
2,16 |-| 2,34 3 84
Total 84 -
Fonte: Dados fictícios
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27
1.6.3 - Moda
É o valor que ocorre com maior frequência na série, ou seja, aquele que mais se repete.
Exemplo: Na série 3, 4, 5, 7, 7, 7, 9, 9 � Mo = 7
� SÉRIE UNIMODAL (TEM UMA ÚNICA MODA)
Exemplo: Na série 3, 5, 6, 6, 6, 7, 8 � Mo = 6
� SÉRIE BIMODAL (OCORREM DUAS MODAS)
Exemplo: Na série 2, 5, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 9, 10, 10 � Mo1 = 5 e Mo2 = 9
� SÉRIE TRIMODAL (OCORREM TRÊS MODAS)
Exemplo: Na série 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9 � Mo1 = 4, Mo2 = 7 e Mo3 = 9
� SÉRIE POLIMODAL (OCORREM QUATRO OU MAIS MODAS)
Exemplo: Na série 0, 0, 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 11, 12, 12, 13, 13 � Mo1 = 0, Mo2 = 3, Mo3 = 8,
Mo4 = 12 e Mo5 = 13
� SÉRIE AMODAL (NÃO EXISTE MODA)
Exemplo: Na série 0, 1, 3, 4, 7, 8 � não existe moda
a) DADOS APRESENTADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SIMPLES.
Mo = elemento que tenha maior frequência
Exemplo 1.19:
X fi
1 13
3 15
6 25
10 8
Total 61
Mo = 6
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28
Exemplo 1.20:
Tipo de Sangue fi
O 547
A 441
B 123
AB 25
Total 1136
Mo = sangue do tipo "O"
b) DADOS APRESENTADOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA CLASSES.
Nesse caso, a moda pode ser determinada através de quatro processos.
1. Moda Bruta (MoB)
Corresponde ao ponto médio da classe modal, ou seja, MoB = (li + ls)/2
Exemplo 1.21: Quantidade de Creatinina
Classes fi
1,08 ├ 1,26 5
1,26 ├ 1,44 13
1,44 ├ 1,62 32
1,62 ├ 1,80 18
1,80 ├ 1,98 11
1,98 ├ 2,16 2
2,16 2,34 3
Fonte: Dados fictícios
2. Moda de Pearson (MoP)
Utilizada mais especificamente, juntamente com X e Med, para mostrar o comportamento da
distribuição, em relação a concentração ou não de seus elementos.
Mo 3 Med - 2 X= ⋅ ⋅
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Utiliza-se a MoP para a análise da assimetria.
a) Assimetria à esquerda: oPMMedX << (concentração à direita ou nos valores maiores);
b) Simétrica: XMedM oP == (concentração no centro);
c) Assimetria à direita: XMedM oP << (concentração à esquerda ou nos valores menores).
Exemplo 1.22: Calcule a moda de Pearson para os seguintes dados X = 1,61 e Med = 1,57.
Mo 3 Med- 2 X = 3(1,57) - 2(1,61) =1,49= ⋅ ⋅
Análise: XMedM oP << , o que indica uma assimetria à direita, isto é, uma maior concentração à
esquerda (ou em direção aos valores menores).
Exercício 1.12: Calcule a moda de pearson para a distribuição de frequências abaixo:
Quantidade (ml) encontrada numa amostra de 320 soluções utilizadas num processo químico.
Quantidade (ml) fi F↓
4,08 |- 5,44 49 49
5,44 |- 6,80 70 119
6,80 |- 8,16 142 261
8,16 |- 9,52 29 290
9,52 |-| 10,88 30 320
Total 320 -
Fonte: Dados fictícios
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30
1.6.4 – Separatrizes
Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente,
não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana, já que se baseiam em sua
posição na série. Essas medidas - os quartis, os percentis e os decis - são, juntamente com as
medianas, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.
Os quartis, decis e percentis são muito similares à mediana, uma vez que também
subdividem a distribuição de medidas de acordo com a proporção das frequências observadas.
Enquanto a mediana divide a distribuição em duas metades, os quartis dividem-se em quatro
quartos, os decis em 10 partes e os pontos
percentis dividem a distribuição em 100 partes.
Mediana (Me) divide em duas partes iguais
Quartis (Q1, Q2 e Q3) dividem em quatro partes iguais
Decis (D1, D2, ..., D9) dividem em dez partes iguais
Percentis (P1, P2, ..., P99 ) dividem em cem partes iguais
São utilizadas para se conhecer, com precisão, as distribuições dos dados como um todo. As
separatrizes podem ser utilizadas tanto em dados não-agrupados (em forma de rol ou em
distribuição de frequência simples) tanto quanto em dados agrupados (distribuição de frequências
em classes).
Relação visual das separatrizes
!-------------------!-------------------!
Md
!---------!---------!---------!---------!
Q1 Q2 Q3
!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!-----!
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------!----------!
P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90
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SEPARATRIZES PARA DADOS NÃO-AGRUPADOS
Primeiro encontra-se a posição e em seguida identifica a classe para cada separatriz.
As posições são calculadas da seguinte maneira:
1 – Posição da Mediana: PMe = 2
n
2 – Posição dos Quartis: PQx = . n4
x
, x = 1, 2, 3
3 – Posição dos Decis: PDx =
. n
10
x
, x = 1, 2, ..., 9
4 – Posição dos Percentis: PPx =
. n
100
x
, x = 1, 2, ..., 99
em que:
x refere-se à determinação da separatriz (exemplo para quartil, x=1,2,3);
n refere-se ao número de elementos dos dados ou distribuição.
Exemplo 1.23: Considere o tempo (anos) de 24 máquinas utilizadas numa indústria. Calcule os
Quartis.
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 32
33 35 38 39 42 44 46 48 50 54 57
Calculando os quartis, temos:
1
2
3
1 24 6 elemento=22
4 4
2 24 12 elemento=29
4
3 24 18 elemento=42
4
o
o
o
x nEq
Eq Mediana
Eq
⋅ ⋅
= = =
⋅
= = =
⋅
= =
Em relação aos quartis, encontramos os 6º, 12º e o 18º elemento da distribuição dos dados, que
correspondem aos números 22, 29 e 42. Assim, podemos concluir que 25% das máquinas têm idade
de até 22 anos de uso, como também metade delas têm até 29 anos e 25% têm ao menos 42 anos.
25% das máquinas têm mais de 42 anos de uso na indústria.
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32
Calculando os Decis 3, 7 e 9, temos:
3
5
9
3 24 7 8 23 247,2 23,5
10 10 2 2
5 24 12 elemento=29
10
9 24 21 22 48 5021,6 49
10 2 2
o o
o
o o
x n elemento elementoEd
Ed Mediana
elemento elementoEd
⋅ ⋅ + +
= = = ≈ = =
⋅
= = =
⋅ + +
= = ≈ = =
Em relação aos decis calculados, encontramos os 7º, 12º e o 22º elemento da distribuição dos
dados, que correspondem aos números 23,5, 29 e 49. Assim, podemos concluir que 30% das
máquinas têm até 23,5 anos de uso, como também metade delas têm até 29 anos e 90% têm ao
menos 49 anos. 10% das máquinas têm mais de 49 anos de uso na indústria.
Calculando os Percentis 30, 70 e 90, temos:
17
35
83
17 24 4 5 20 214,08 elemento 20,5
100 100 2 2
35 24 8 9 24 258,4 elemento 24,5
100 2 2
83 24 19 20 44 4619,92 elemento 45
100 2 2
o o
o
o o
o
o o
o
x nEp
Ep
Ep
⋅ ⋅ + +
= = = ≈ = =
⋅ + +
= = ≈ = =
⋅ + +
= = ≈ = =
Em relação aos percentis calculados, encontramos os 4º, 8º e o 20º elemento da distribuição dos
dados, que correspondem aos números 20,5; 24,5 e 45. Assim, podemos concluir que 17% das
máquinas têm até 20,5 anos de uso, como também 35% deles têm até 24,5 anos e 65% têm ao
menos 24,5 anos. Conclui-se também que 83% têm até 45 anos de utilização na indústria e 17%
têm no mínimo 45 anos.
1.7 - Medidas De Dispersão
Utilizaremos o termo dispersão para indicar o grau de afastamento de um conjunto de
números em relação a sua média, pois ainda que consideremos a média como um número que tem a
faculdade de representar uma série de valores ela não pode por si mesma, destacar o grau de
homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto. O nosso
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33
objetivo é construir medidas que avaliem a representatividade da média, para isto usaremos as
medidas de dispersão.
Uma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permite-nos concluir que elas não
são suficientes para caracterizar totalmente uma sequência numérica.
Se observarmos as seguintes sequências:
X: 70, 70, 70, 70, 70
Y: 68, 69, 70, 71, 72
Z: 1, 38, 70, 76, 165
Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos:
350
70
5
ixX X
n
= ⇒ = =
∑
iy 350Y 70
n 5
= = =
∑
iz 350Z 70
n 5
= = =
∑
Observamos, então, que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética igual a 70.
Calculando a mediana para os três, dará também o mesmo resultado, ou seja, 70. Assim,
pensaríamos que essas três variáveis são iguais, no entanto, são sequências completamente distintas
do ponto de vista da variabilidade de dados.
Na sequência X, não há variabilidade dos dados. A média 70 representa bem qualquer valor
da série. Na sequência Y, a média 70 representa bem a série, mas existem elementos da série
levemente diferenciados da média 70. Na sequência Z, existem muitos elementos bastante
diferenciados da média 70. Concluímos que a média 70 representa otimamente a sequência X,
representa razoavelmente bem a sequência Y, mas não representa bem a sequência Z.
Nosso objetivo é construir medidas que avaliem a representatividade da média. Para
isto, usaremos as medidas de dispersão.
Observe que na sequência X os dados estão totalmente concentrados sobre a média 70, não
há dispersão de dados. Na sequência Y, há forte concentração dos dados sobre a média 70, mas há
fraca dispersão de dados. Já na série Z há fraca concentração de dados em torno da média 70 e forte
dispersão de dados em relação à média 70.
As principais medidas de dispersão absolutas são: amplitude total, variância, desvio padrão e
coeficiente de variação.
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34
1.7.1 – Variância
È a medida de dispersão mais utilizada. É definida como sendo o quociente entre a soma
dos quadrados dos desvios e o número de elementos. É classificada em dois tipos:
Variância Populacional ( 2σ ) ⇒
( ) ( )2 22 21i i
i
X X X
X
N N N
σ
−
= = −
∑ ∑
∑
Variância Amostral (s2) ⇒
( ) ( )2 22 21
1 1
i i
i
X X X
S X
n n n
−
= = −
− −
∑ ∑
∑
Exemplo 1.24: Calcule a variância da estatura do tempo em anos do funcionamento de 5 geradores
de certa indústria automobilística:
1,92 1,72 1,82 1,80 1,84
Antes de calcular a variância, é necessário calcular a média ( X ). Logo:
1,92 1,72 1,82 1,80 1,84 9,1 1,82
5 5
X + + + += = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
1,92 1,82 1,72 1,82 1,82 1,82 1,80 1,82 1,84 1,82
1 5 1
0,1 0,1 0 0,02 0,02 0,01 0,01
0 0,0004 0,0004
4 4
0,0208 0,0052.
4
iX XS
n
−
− + − + − + − + −
= =
− −
+ − + + − + + + + +
= = =
= =
∑
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35
Exercício 1.13: Calcule a variância do número de incisões feitas em três crianças numa cirurgia dos
membros superiores e inferiores. Comenta sobre a variabilidade.
Laboratório
Corpo de prova
I II III IV
A 2,59 1,45 1,09 4,79
B 1,99 1,99 1,99 1,99
C 0,80 0,01 3,98 7,59
IMPORTANTE: Quando os dados estão dispostos em uma tabela de distribuição de frequência
(simples ou em classes), utilizam-se as seguintes fórmulas:
1º Caso – Frequência Simples
( )
⋅
−⋅
−
= ∑ ∑
n
fxfx
n
s
i
i
2
22
1
1
( )
⋅
−⋅= ∑ ∑ N
fxfx
N
i
i
2
22 1σ
2º Caso – Frequência em Classes
( )
⋅
−⋅
−
= ∑ ∑
n
fPmfPm
n
s
2
22
1
1
( )
⋅
−⋅= ∑ ∑ N
fPmfPm
N
2
22 1σ
ATENÇÃO: “Desvantagem” do uso da variância
No cálculo da variância, quando elevamos ao quadrado a diferença )x(x i −−−− , a unidade de
medida da série fica também elevada ao quadrado.
Portanto, a variância é dada sempre no quadrado da unidade de medida da série. Se os dados
são expressos em metros, a variância é expressa em metros quadrados. Em algumas situações, a
unidade de medida da variância nem faz sentido. É o caso, por exemplo, em que os dados são
expressos em litros. A variância será expressa em litros quadrados.
Logo, o valor da variância não pode ser comparado diretamente com os dados da série, ou
seja: variância não tem interpretação.
Solução: Utilizar o DESVIO PADRÃO como medida.
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36
1.7.2 - Desvio Padrão
Medida de dispersão que apresenta as propriedades da variância e tem a mesma unidade de
medida dos dados. É a raiz quadrada da variância.
Notações:
1) Quando a sequência de dados representa uma população a variância será denotada por 2σ e o
desvio padrão correspondente por σ .
2) Quando a sequência de dados representa uma amostra a variância será denotada por 2S e o
desvio padrão correspondente por S .
Desvio Padrão Populacional (σ) ⇒ ( )
2
iX X
N
σ
−
=
∑
Desvio Padrão Amostral (s) ⇒
( )2
1
iX XS
n
−
=
−
∑
OBS: Quanto maior o valor do desvio padrão significa que mais dispersos estão os elementos
em torno da média.
Exercício 1.14: Calcule o desvio-padrão do Exercício 1.13.
Interpretação do Desvio Padrão
O desvio padrão é, sem dúvida, a mais importante das medidas de dispersão.
É fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtido do desvio padrão com os
dados da série. Quando uma curva de frequência representativa da série é perfeitamente simétrica (
MoMdX ======== ), podemos afirmar que os intervalos:
] x ,x[ σσσσσσσσ ++++−−−− contém aproximadamente 68% dos valores da série.
]2 x ,2x[ σσσσσσσσ ++++−−−− contém aproximadamente 95% dos valores da série.
]3 x ,3x[ σσσσσσσσ ++++−−−− contém aproximadamente 99% dos valores da série.
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OBS: Quando a distribuição não é perfeitamente simétrica, estes percentuais apresentam pequenas
variações para mais ou para menos, segundo
as três propriedades definidas acima não ocorrem com exatidão.
Exemplo 1.25: Suponha uma série com média
estes valores da seguinte forma:
1. Os valores da série estão concentrados em torno de 100.
2. O intervalo [95, 105] contém aproximadamente 68% dos valores da série.
O intervalo [90, 110] contém aproximadamente 95% dos valores da série.
O intervalo [85, 115] contém aproximadamente 99% dos valores da série.
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Quando a distribuição não é perfeitamente simétrica, estes percentuais apresentam pequenas
variações para mais ou para menos, segundo o caso. Ou seja, na presença de assimetria ou
as três propriedades definidas acima não ocorrem com exatidão.
Suponha uma série com média 100====x e desvio padrão 5====σσσσ
Os valores da série estão concentrados em torno de 100.
O intervalo [95, 105] contém aproximadamente 68% dos valores da série.
O intervalo [90, 110] contém aproximadamente 95% dos valores da série.
15] contém aproximadamente 99% dos valores da série.
37
Quando a distribuição não é perfeitamente simétrica, estes percentuais apresentam pequenas
o caso. Ou seja, na presença de assimetria ou outliers,
5 , podemos interpretar
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38
1.7.3 - Coeficiente de Variação
Dissemos antes que, por serem as unidades do desvio-padrão as mesmas que as unidades dos
dados originais, é mais fácil entender o desvio-padrão do que a variância. No entanto, aquela
mesma propriedade torna difícil comparar a variação para valores originados de diferentes
populações, ou seja, quando as medidas de duas ou mais variáveis são expressas em unidades
diferentes como peso/altura, capacidade/comprimento, etc. Usa-se então o Coeficiente de Variação
(CV), que é uma medida relativa, que expressa o desvio padrão como uma porcentagem da média
aritmética e ele não tem unidade específica. Quanto mais próximo de zero, mais homogênea é a
distribuição. Quanto mais distante, mais dispersas.
O CV mede a dispersão em relação à média. É a razão entre o desvio padrão e a média. O
resultado obtido dessa operação é multiplicado por 100, para que o coeficiente de variação seja
dado em porcentagem.
100sCV
X
= ⋅
ANÁLISE
1. DISPERSÃO BAIXA: CV ≤ 15%
2. DISPERSÃO MÉDIA: 15% ≤ CV ≤ 30%
3. DISPERSÃO ALTA: CV ≥ 30%
OBS.: Um CV alto indica que a dispersão dos dados em torno da média é muito grande.
Exemplo 1.26: Alturas e Pesos de Homens. Usando os dados amostrais de alturas e pesos de 40
homens de uma turma de estatística, encontramos as estatísticas dadas na tabela a seguir.
Média - X Desvio padrão - S
Altura (cm) 168 7,56
Peso (kg) 72 10,98
Calcule o coeficiente de variação para altura e peso, e a seguir, compare os dois resultados.
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39
Solução:
CV para Altura: 7,56100 100 0,045 100 4,5%.
168Altura
SCV
X
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
CV para Peso: 10,98100 100 0,1525 100 15,25%.
72Peso
SCV
X
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Reparem que se fôssemos comparar apenas o desvio padrão (fazendo isso já estaríamos
errando, pois não se podem comparar desvios-padrão de populações com unidades de medição
diferentes, neste caso cm e kg), iríamos erroneamente deduzir que as duas populações tinham
variabilidade muito próximas. No entanto, ao calcular os coeficientes de variação para as duas
populações, analisa-se que a variabilidade das alturas dos homens é quase quatro vezes menos que a
variabilidade dos pesos. Isso faz sentido intuitivamente, porque vemos rotineiramente que os pesos
entre homens variam muito mais do que as alturas. Por exemplo, é muito raro ver dois homens
adultos com um deles tendo duas vezes a altura do outro,
mas é muito comum ver dois homens com
um deles pesando duas vezes o peso do outro.
Exercício 1.14: Em um grupo de pacientes, foram tomadas as pulsações (batidas por minuto) e
dosadas as taxas de ácido úrico (mg/100ml). Mas médias e os desvios-padrão foram:
Variável Média - Desvio padrão - S
Pulsação 68,7 8,7
Ácido úrico 5,46 1,03
Compare a dispersão da Pulsação com as taxas de ácido úrico.
1.8 - Análise Exploratória de Dados
1.8.1 - Esquema dos 5-Números
No caso de uma distribuição com outliers, não é ideal representar um conjunto de valores
com o uso da média e do desvio-padrão, pois devido a presença de valores extremos, elas foram
afetados. Tukey (1970, 1977) sugeriu o uso de cinco medidas para analisar casos como esse, sendo
elas:
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40
a) Limite Inferior (Li) e Limite Superior ( Ls)
b) Q1, Q2 e Q3
Forma de representação:
Notações:
a) Q3 - Q1 = Intervalo interquartil (dj)
b) Me - Li = Dispersão inferior
c) Ls - Me = Dispersão superior.
Estas cinco medidas são chamadas de estatística de ordem e são medidas resistentes de
posição de uma distribuição. Dizemos que uma medida de posição é resistente quando for pouco
afetada por mudanças de uma pequena porção dos dados. A mediana é uma medida resistente, ao
passo que a média não o é.
1.8.2 – BOX-PLOT
É a representação gráfica dos 5-números, em que são destacados o intervalo interquartil (dj)
e as observações discrepantes, ou seja: valores menores que Q dj1 3
2
− ou maiores que Q dj3 3
2
+ . (Os
pontos discrepantes são representados por um asterisco ou travessão).
O desenho esquemático (Figura abaixo) dá uma ideia da posição, dispersão, assimetria,
caudas e dados discrepantes. A posição central dos valores é dada pela mediana e a dispersão por dj.
As posições relativas de Q1, Q2 e Q3, dão uma noção da assimetria. As caudas são as linhas acima e
abaixo do retângulo (ou caixa).
Ls Q2 = Med Li Q3 Q1
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41
(Q3 + 3/2dj)
LS
Q1
LI
(Q1 - 3/2dj)
Q2 = Med
Q3
Desenho esquemático do Box-plot
Exemplo 1.27: Os dados abaixo são referentes ao tempo em segundos até uma reação química
realizada em 40 tubos de ensaio. Construa um Boxplot e faça uma breve descrição sobre os dados.
47,5 50 50 57,5 60 62,3 63,2 63,56 64,5 65,1 72,2 72,3 74,1 74,8
75,7 76,2 79 79,2 79,3 81,5 82,1 84 85,3 88,1 88,5 90 92,6 94,7
95,5 96 98,3 98,7 99,2 100 101,2 110 122,7 125,9 134,6 136,2
O que vamos precisar:
LI = 47,5
LS = 136,2
1
2
3
1 40 10 elemento = 65,1
4 4
2 40 20 elemento = 81,5
4
3 40 30 elemento = 96
4
o
o
o
x nQ
Q Mediana
Q
⋅ ⋅
= = =
⋅
= = =
⋅
= =
dj = Q3 - Q1 = 96 – 65,1 = 30,9.
Me - Li = 81,5 – 47,5 = 34
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Ls - Me = 136,2 – 81,5 = 54,7
Assim, podemos calcular os limites que informarão se há pontos discrepantes (
3
1
3 396 30,9 142,35
2 2
3 365,1 30,9 18,75
2 2
Q dj
Q dj
+ = + =
− = − =
Logo, não há nenhum outlier, uma vez que não existe nenhum
segundos ou com tempo inferior a
1. Podemos analisar que 25% dos
e que metade deles houve reação em
reação química acima de 81 segundos
2. Analisa-se também que 75% dos
25% delas no mínimo 96 s.
3. Chama-se atenção que a reação mais rápida
segundos.
4. Não há outliers na distribuição dos dados.
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Assim, podemos calcular os limites que informarão se há pontos discrepantes (
96 30,9 142,35
65,1 30,9 18,75
, uma vez que não existe nenhuma reação com tempo superior
tempo inferior a 18 segundos. O gráfico é representado abaixo:
Podemos analisar que 25% dos experimentos tiveram uma reação química em
houve reação em até 81 segundos. Assim como na outra
segundos.
se também que 75% dos reações ocorreram no máximo em 96 segundos
a reação mais rápida foi em 47 segundos e a mais demorada,
na distribuição dos dados.
42
Assim, podemos calcular os limites que informarão se há pontos discrepantes (outliers).
empo superior a 142
. O gráfico é representado abaixo:
experimentos tiveram uma reação química em até 65 segundos,
na outra metade, teve
segundos, assim como,
a mais demorada, de 136
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43
UNIDADE II
PROBABILIDADE
A Teoria da probabilidade é útil para analisar situações que envolvem o acaso. Jogos de
dados e de cartas, ou o lançamento de uma moeda para o ar. As distribuições de probabilidade
incorporam a estatística descritiva e a teoria da probabilidade. Ambas formam a base da inferência
estatística. Algumas aplicações:
- Na maioria dos jogos esportivos (futebol, basquete, surfe...), até certo ponto;
- Na decisão de parar de imunizar pessoas com menos de 20 anos contra determinada doença;
- Na decisão de arriscar-se a atravessar uma rua no meio do quarteirão;
- Na engenharia, com uso na tomada de decisões, sendo aplicado principalmente conceitos de
planejamento de experimentos e amostragem;
- Todas utilizam a probabilidade consciente ou inconscientemente.
2.1 - Experimentos Aleatórios
São experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem sempre o mesmo
resultado, ou seja, exibem variação nos seus resultados.
Exemplo 2.1: Considere alguns exemplos de experimentos aleatórios, denotados aqui por ε.
• ε1: Tempo, em horas, até a falha de um equipamento;
• ε2: Número de itens defeituosos em uma linha de produção em um período de 24 horas;
• ε3: Ocorrência ou não da ruptura de uma viga a um peso x em toneladas;
• ε4: A sequência de caras e coroas verificada no lançamento de uma moeda 4 vezes;
• ε5: Lançamento de uma moeda até que apareça cara pela primeira vez.
Embora não sejamos capazes de afirmar qual o particular resultado deste experimento, poderemos
descrever o conjunto de todo os seus possíveis resultados.
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2.2 - Espaço Amostral
Denotado por S ou Ω, é definido como o conjunto de todos os possíveis resultados de um
experimento aleatório.
Exemplo 2.2: Consideramos a seguir o espaço amostral associado a cada um dos experimentos
citados no Exemplo 2.1.
• Tempo, em horas, até a falha de um equipamento;
Ω1 = { t ; t ≥ 0 }
• Número de itens defeituosos em uma linha de produção em um período de 24 horas;
Ω2 = {0, 1, ..., n}; sendo n o número máximo de itens produzidos em 1 dia.
• Ocorrência ou não da ruptura de uma viga a um peso x em toneladas;
Ω3 = { sim , não }
• A sequência de caras e coroas verificada no lançamento de uma moeda 4 vezes;
Ω4 = {cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, kkkk, kkkc, kkck, kckk, ckkk, cckk, ckck, kckc, kkcc, ckkc, kcck}
• Lançamento de uma moeda até que apareça cara pela primeira
vez.
Ω5 = {c, kc, kkc, kkkc, kkkkc, ...}
2.3 - Eventos
É um subconjunto de um espaço amostral.
Exemplo 2.3: Os eventos Ai a seguir referem-se aos espaços amostrais dados no Exemplo 2.2.
• Tempo, em horas, até a falha de um equipamento;
A1 = {“ ocorre falha em menos de 3 horas ”} � A1 = { t, t > 3};
• Número de itens defeituosos em uma linha de produção em um período de 24 horas;
A2 = {“ menos de 5 itens defeituosos ”}� A2 = { 0, 1, 2, 3, 4 };
• Ocorrência ou não da ruptura de uma viga a um peso x em toneladas;
A3 = {“ viga com ruptura”} � A3 = { sim };
• A sequência de caras e coroas verificada no lançamento de uma moeda 4 vezes;
A4 = {“ somente caras ”} � A4 = { cccc };
• Lançamento de uma moeda até que apareça cara pela primeira vez.
A5 = {“ apareça cara em até 3 lançamentos ”} � A5 = { c, kc, kkc }.
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Obs: Também são eventos o próprio
conjunto vazio Ø (chamado de evento impossível
individual de Ω.
Dado que os eventos associados a um espaço amostral são por sua vez conjuntos, podemos
efetuar as operações do tipo: união, intercessão, complementação e diferença,
às respectivas operações que se realizam com os subconjuntos de qualquer conjunto abstrato, e
formar a partir destas operações, novos eventos tais como:
• { ouAx:xBA ∈=∪
A ou sempre que ocorre B, e somente neste caso.
• { eAx:xBA ∈=∩
ocorrem A e B simultanea
• Ac = {x : x ∈ Ω, x ∉
ocorre, (e não ocorre, se A ocorre). Claramente nota
• A – B = {x : x ∈ A e x
ocorre A e não ocorre B.
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Também são eventos o próprio Ω (chamado de evento certo, ou seja, sempre ocorre),
evento impossível, ou seja, nunca ocorre), ou qualquer resultado
Dado que os eventos associados a um espaço amostral são por sua vez conjuntos, podemos
união, intercessão, complementação e diferença,
às respectivas operações que se realizam com os subconjuntos de qualquer conjunto abstrato, e
formar a partir destas operações, novos eventos tais como:
}Bxou ∈ , isto é: A ∪ B é o evento que ocorre sempre que ocorre
A ou sempre que ocorre B, e somente neste caso.
A B∪
}Bx ∈ isto é: A ∩ B é o evento que ocorre somente quando
simultaneamente.
A B∩
A}, isto é Ac é o evento contrário de A, somente ocorre se A não
ocorre, (e não ocorre, se A ocorre). Claramente nota-se que Ac ∪ A =
A e x ∉ B}, isto é: (A – B) é o evento que ocorre unicamente quando
ocorre A e não ocorre B.
A-B
A B
A
Ac
45
, ou seja, sempre ocorre), o
, ou qualquer resultado
Dado que os eventos associados a um espaço amostral são por sua vez conjuntos, podemos
união, intercessão, complementação e diferença, de forma semelhante
às respectivas operações que se realizam com os subconjuntos de qualquer conjunto abstrato, e
B é o evento que ocorre sempre que ocorre
B é o evento que ocorre somente quando
é o evento contrário de A, somente ocorre se A não
A = Ω.
B) é o evento que ocorre unicamente quando
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46
Quando dois eventos são tais que, eles nunca podem ocorrer simultaneamente, neste caso se
tem que A ∩ B = ∅, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos ou mutuamente
excludentes, (em termos de conjunto, diríamos que são conjuntos disjuntos). Seguem-se exemplos,
para melhor esclarecer do acima exposto.
Ex. 1. Uma fábrica produz processadores para computador. Da linha de produção são
retirados 03 processadores e cada um testado. Classificando como B (bom) ou D (defeituoso). Um
espaço amostral associado ao experimento é:
ΩΩΩΩ = {BBB, DDD, BBD, DBB, DDB, DBD, BDD, BDB}
Ex. 2. Considere o experimento que consiste em selecionar uma família aleatoriamente, em
certo distrito do Seridó, e verificar o nº de filhos que esta família já registrou. Um espaço amostral
associado a este experimento é:
ΩΩΩΩ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Ex. 3. Seja agora o experimento que consiste em retirar uma lâmpada de um lote e medir
seu tempo de vida antes de se queimar. Um espaço amostral pode ser:
ΩΩΩΩ = R+, isto é, ΩΩΩΩ = {t : t ≥ 0}
Ex. 4. Um dado é lançado e o nº que aparece na face superior é observado. Um espaço
amostral é:
ΩΩΩΩ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Com exceção do exemplo 3, que é contínuo, todos os demais são espaços amostrais do tipo
chamado discreto. Um espaço amostral é discreto quando é formado por um conjunto contável
(finito ou infinito). Caso contrário, ele é dito contínuo.
Consideremos novamente o Ex. 1. Sejam os eventos associados a este espaço, tais como:
• A = “obter dois processadores defeituosos”. Logo, A = {DDB, DBD, BDD}
• B =“obter no mínimo 1 processador bom”. Logo, B={DDB, DBD, BDD, BBD, BDB, DBB,
BBB}
• C = “obter no máximo 1 processador defeituoso”. Logo, C = {BBB, BBD, BDB, DBB}
Então poderemos ter, por exemplo, os novos eventos (resultantes das operações).
• A ∩ B = {DDB, DBD, BDD} = A
• A ∩ C = ∅, (portanto A e C são incompatíveis ou mutuamente exclusivos ou excludentes).
• A ∪ C = {BBB, BBD, DBB, DDB, DBD, BDD, BDB}
• Bc = {DDD}, (portanto Bc é um evento elementar).
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Consideremos agora o exemplo 3 (espaço amostral contínuo), e seja A o evento dado por:
A = “o tempo de vida da lâmpada é inferior a 20 horas”. Então, A = {t : 0 ≤ t < 20} e Ac = (t ≥ 20}.
Naturalmente que A ∪ Ac = (t : t ≥ 0) = Ω é o evento certo. E observe que, sempre,
A∩Ac=∅, para qualquer evento A.
Obs: Vale a pena lembrar as leis de MORGAN, referente a álgebra de conjuntos:
• (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (o complementar da união é igual à interseção dos complementares)
• (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (o complementar da interseção é igual à união dos complementares)
2.4 - Resultados Equiprováveis
Muitos experimentos aleatórios sugerem que os distintos resultados de um espaço amostral
finito estejam associados, cada um deles, a um mesmo valor p, que representa a probabilidade de
sua ocorrência. Por exemplo, em um lançamento de um dado honesto se tem que o espaço amostral
finito é formado por:
ΩΩΩΩ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
e cada ponto amostral tem a mesma probabilidade de ocorrência que será neste caso, p = 1/6.
Suponha, por exemplo, que sorteamos numa urna com n bolas numeradas, 1, 2, 3, ..., n, uma
bola ao acaso. A probabilidade de cada bola (cada ponto amostral) será 1/n. Se um evento A,
associado a este espaço é formado por K pontos, digamos A = 1, 2, ..., 10, (n>10), então se tem :
1 10( ) 10P A
n n
= =
nº de elementos do evento casos favoráveis( )
nº de elementos do espaço casos possíveis
AP A = =
Ω
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2.5 – Definições de Probabilidade
ABORDAGEM CLÁSSICA
Seja Ω um espaço amostral finito, formado por n eventos equiprováveis. Seja A um evento de Ω
com m destes elementos. Então a probabilidade de A é a fração
P(A) = m / n
Exemplo 2.4. Considere o lançamento de um dado “honesto”. Queremos obter a probabilidade da
ocorrência de um número par.
O espaço amostral associado é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Resultados
de Ω � disjuntos e equiprováveis. Se definimos A = {“número par”} = {2, 4, 6}, a
probabilidade deste evento é dada por P(A) = 3/6 = 1/2.
Exemplo 2.5. Considere o lançamento de duas moedas. Queremos saber a probabilidade do evento
A={“duas caras”}. Considere o espaço amostral Ω1 = {“duas caras”, “duas coroas”, “uma cara e
uma coroa”}.
Se usamos a definição acima com este espaço amostral, diríamos que P(A) = 1/3. Esta resposta é
falsa, pois os elementos de Ω1 não são equiprováveis. O espaço amostral equiprovável seria
Ω={cc, ck, kc, kk} e como A = {cc} temos que P(A) = 1/4.
ABORDAGEM FREQUENTISTA
Suponha que lançamos um dado conhecido por favorecer a ocorrência do número 3.
- Os 6 eventos elementares do espaço amostral são igualmente prováveis?
o NÃO!
- Qual a probabilidade da ocorrência do número 1?
o A definição clássica não nos ajuda neste caso. Pois os eventos não são equiprováveis.
Limitações da definição clássica: Só se aplica a espaços amostrais finitos e equiprováveis. Assim,
levaram a considerar outra forma de calcular probabilidade de um evento partindo da frequência
relativa do evento ao se repetir o experimento, n vezes, sob as mesmas condições.
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Definição: Podemos definir P(A)
repetições independentes de um experimento, com n tendendo ao in
número de vezes em que o evento A ocorreu nas n repetições independentes de um expe
dizemos então que
Na prática a probabilidade de A é aproximada pela frequência relativa do evento em um certo
número de repetições.
Exemplo 2.6. Considere uma certa
desconhecida. Para se obter essa
independentes de cada lançamento. A Tabela 1 e a Figura 1 a seguir mostram os resultados obtidos.
Figura 1: Frequência relativa de “cara”
Tabela 1: Frequência relativa de “cara”
n 10 100 200
F(A) 0,800 0,520 0,595
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P(A) como o limite da frequência relativa da ocorrência de A em n
repetições independentes de um experimento, com n tendendo ao infinito, ou seja, se #(A) é o
número de vezes em que o evento A ocorreu nas n repetições independentes de um expe
#( )( ) lim
n
AP A
n→∞
=
Na prática a probabilidade de A é aproximada pela frequência relativa do evento em um certo
Considere uma certa moeda cuja probabilidade de ocorrência
essa probabilidade, esta moeda é submetida
de cada lançamento. A Tabela 1 e a Figura 1 a seguir mostram os resultados obtidos.
Figura 1: Frequência relativa de “cara”
de “cara”
300 ... 1600 1800 2000 2300
0,5000 ... 0,506 0,509 0,501 0,496
49
como o limite da frequência relativa da ocorrência de A em n
finito, ou seja, se #(A) é o
número de vezes em que o evento A ocorreu nas n repetições independentes de um experimento,
Na prática a probabilidade de A é aproximada pela frequência relativa do evento em um certo
ocorrência de “cara” é
submetida a n repetições
de cada lançamento. A Tabela 1 e a Figura 1 a seguir mostram os resultados obtidos.
2300 2600
0,496 0,499
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ABORDAGEM AXIOMÁTICA
A abordagem axiomática é motivada pelas definições clássica e frequentista. Ela representa uma
proposta para dar à teoria da probabilidade uma base matemática sólida. Assim, é nesta abordagem
que se baseiam as propriedades estabelecidas daqui em diante.
Este conceito de probabilidade se estabelece a partir de uma função real P(A), definida sobre
os eventos associados a um espaço amostral, a qual faz corresponder a cada subconjunto A, de Ω
(sendo este subconjunto um evento), um nº real, tal que cumpra os seguintes axiomas:
a) 0 ≤ P(A) ≤ 1
b) P(Ω) = 1
c) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é A ∩ B = ∅, então se tem que
P(A∪B) = P(A) + P(B).
Obs: Esta definição axiomática é mais abrangente que a regra de Laplace, dado que a definição
clássica se limita aos espaços amostrais finitos equiprováveis.
Teoremas Fundamentais do Cálculo das Probabilidades
a) Se ∅ é um conjunto vazio, então � P(∅∅∅∅) = 0;
b) Sejam A e B eventos quaisquer, então � P(A ∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩∩∩∩ B);
c) Se Ac é o complementar de A, então � P(Ac) = 1 – P(A);
d) Se A ⊂ B então � P(A) ≤≤≤≤ P(B);
2.6 - Probabilidade Condicional
Sejam A e D, eventos quaisquer, associados a um espaço amostral sendo P(D) > 0. Muitos
problemas envolvem o cálculo da probabilidade da ocorrência de A, quando já se tem a informação
de que houve a ocorrência de D. Isto é, a probabilidade de A será calculada considerando-se a
condição de que já houve a ocorrência de D. Esta nova informação (de que D ocorreu) equivale a
restringir o espaço amostral, que agora será considerado como o conjunto dos pontos amostrais que
formam o evento D. A probabilidade de A, dentro desta condição, chama-se “probabilidade
condicional de A, dado que D ocorreu”. Na qual será escrita sob a forma: P(A / D), sendo definida
como:
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)D(P
)DA(P)D/A(P ∩= , com P(D) > 0
Desta relação acima, obtemos a chamada REGRA DO PRODUTO DE PROBABILIDADE,
dada por:
P(A ∩∩∩∩ D) = P(D) · P(A / D) ou P(A ∩∩∩∩ D) = P(A) · P(D / A)
Esta regra pode ser estendida para mais de dois eventos: Sejam A1, A2, … , An eventos quaisquer
associados a Ω, então:
P(A1 ∩∩∩∩ A2 ∩∩∩∩ ... ∩∩∩∩ An) = P(A1)·P(A2/A1)·P(A3/A1 ∩∩∩∩ A2)· ...· P(An/A1 ∩∩∩∩ A2 ∩∩∩∩ … ∩∩∩∩ An-1)
Exemplo 2.7: Um par de dados “honestos” é lançado. Qual a probabilidade de ocorrer o nº 2 em
pelo menos um dos dados, se já tem a informação de que ocorreu que a soma dos nº é igual a seis?
Solução:
Sejam os eventos: A: “a soma dos dois dados é 6”
B: “ocorre o nº 2 em pelo menos um dos dados”
)A(P
)BA(P)A/B(P ∩=
# Ω = 6 x 6 = 36
A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} ⇒ # A = 5 � P(A)=5/36
B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)} ⇒ # B = 11 � P(B)=11/36
A ∩ B = {(2,4), (4,2)} ⇒ # (A ∩ B) = 2 � P(A ∩ B) = 2/36
Portanto,
2( ) 236( / ) 5( ) 536
P A BP B A
P A
∩
= = = .
Exemplo 2.8: Consideremos novamente o lançamento de dois dados “honestos”. Qual a
probabilidade de ocorrer a soma igual a 6, sabendo-se que em um dos dados apareceu o nº 2”?
Solução:
Agora pede-se P(A/B). Portanto
2( ) 236( / ) 11( ) 1136
P A BP A B
P B
∩
= = = .
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Exemplo 2.9: Para a 3ª avaliação de estatística, um professor indica os 10 primeiros capítulos do
livro adotado e diz que elaborará 10 problemas, numerados de 1 a 10, onde cada um deles será
baseado no respectivo capítulo a ser estudado (ex: problema 1 – capítulo 1, etc.) O professor avisa
que a prova constará de apenas 3 destes 10 problemas, os quais serão sorteados no início da
avaliação aleatoriamente, um após outro, entre 10 papeizinhos numerados de 1 a 10, que
corresponderão aos respectivos problemas. Um estudante, por causa da festa da padroeira, somente
estudou os 4 primeiros capítulos.
a) Qual a probabilidade de que “caia” na avaliação somente capítulos que ele tenha estudado?
b) Qual a probabilidade de que somente no 3º sorteio (a 3ª questão) “caia” exatamente um
ponto que ele não estudou?
Solução:
Sejam os eventos:
A1 = “No 1º sorteio “cai” um ponto que ele estudou”
A2 = “No 2º sorteio “cai” um ponto
que ele estudou”
A3 = “No 3º sorteio “cai” um ponto que ele estudou”
B = “No 3º sorteio “cai” um ponto que ele não estudou”
a) (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)·P(A2/A1)·P(A3/A1∩ A2) = 4/10 · 3/9 · 2/8 = 1/30
b) (A1 ∩ A2 ∩ B) = P(A1)·P(A2/A1)·P(B/A1∩ A2) = 4/10 · 3/9 · 6/8 = 1/10
Exercício 2.1: Discos de plástico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, são analisados
com relação à resistência a arranhões e a choque. Os resultados de 130 discos estão resumidos a
seguir:
RESISTÊNCIA AO CHOQUE
Alta Baixa
RESISTÊNCIA A
ARRANHÕES
Alta 90 9
Baixa 16 15
Determine as seguintes probabilidades:
1) Probabilidade de o disco ter alta resistência a choque.
2) Probabilidade de o disco ter alta resistência a choque sabendo que o disco tem alta
resistência a arranhões.
3) Probabilidade de o disco ter alta resistência a arranhões.
4) Probabilidade de o disco ter alta resistência a arranhões sabendo que ele tem alta resistência
a choque.
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2.7 - Eventos Independentes
Definição: Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A
é igual a probabilidade condicional de A dado B, isto é:
P(A) = P(A/B)
Naturalmente, que, se A é independente de B, B é também independente de A, desta forma:
P(B) = P(B/A)
A partir do teorema do produto podemos afirmar que se os eventos A e B são independentes então
se tem: P(A ∩∩∩∩ B) = P(A) · P(B)
Têm-se n eventos: A1, A2, … , An, diremos que eles são independentes se e somente se, eles forem
independentes dois a dois; três a três; quatro a quatro; n a n.
P(A1 ∩∩∩∩ A2) = P(A1) · P(A2)
P(A1 ∩∩∩∩ A2 ∩∩∩∩ A3) = P(A1) · P(A2) · P(A3)
P(A1 ∩∩∩∩ A2 ∩∩∩∩ A3∩∩∩∩ A4) = P(A1) · P(A2) · P(A3) · P(A4)
. . . . .
. . . . .
. . . . .
P(A1 ∩∩∩∩ A2 ∩∩∩∩ ... ∩∩∩∩ An) = P(A1) · P(A2) · ... · P(An-1) · P(An)
Exemplo 2.10: Um lote de 165 chips semicondutores contém 40 itens defeituosos. Dois deles são
selecionados, ao acaso, sem reposição.
a) Qual a probabilidade de que o primeiro chip selecionado seja defeituoso?
b) Qual a probabilidade de que o segundo chip selecionado seja defeituoso, sabendo que o
primeiro deles foi defeituoso?
c) Qual a probabilidade de que ambos sejam defeituosos?
d) Como a resposta do item (b) mudaria se os chips selecionados fossem repostos antes da
primeira seleção?
e) Caso realizássemos um sorteio com reposição de 5 chips semicondutores, qual a
probabilidade do 1º, 2º e o 5º serem defeituosos e os demais não serem defeituosos?
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Solução:
Sejam os eventos:
D: {O chip selecionado É defeituoso} ND: {O chip selecionado NÃO é defeituoso}
a) P(D1) = 40/165 = 24,24%
b) P(D2|D1) = 39/164 = 23,78%
c) P(D1∩D2) = P(D1) P(D2|D1) = 0,2424 · 0,2378 = 5,76%
d) n = 2 COM Reposição � Eventos independentes �
� P(D2|D1) = P(D2) = P(D1) = 24,24%
a) n = 5 COM Reposição � P(D1∩D2 ∩ND3 ∩ND4 ∩D5) �
� P(D1)·P(D2|D1)·P(ND3|D1∩D2 )·P(ND4|D1∩D2 ∩ND3)·P(D5|D1∩D2 ∩ND3 ∩ND4)
� Sob independência � P(D1)·P(D2)·P(ND3)·P(ND4)·P(D5) �
� (0,2424)3 · (125/165)2 = (0,0142)·(0,5739) = 0,0081 = 0,81%
2.8 – Variável Aleatória Unidimensional
Ao descrever um espaço amostral de um experimento, não especificamos que um resultado
individual necessariamente seja um número. Por exemplo, ao descrever uma peça manufaturada,
podemos empregar apenas as categorias “defeituosa” e “não defeituosa”. Também, ao observar a
temperatura durante o período de 24 horas, podemos simplesmente registrar a curva traçada pelo
termógrafo. Contudo, em muitas situações experimentais, estaremos interessados na mensuração de
alguma coisa e no seu registro como um número. Mesmo nos casos mencionados acima, poderemos
atribuir um número a cada resultado (não numérico) do experimento. Por exemplo, poderemos
atribuir o valor 1 (um) às peças perfeitas e o valor 0 (zero) às defeituosas. Poderemos registrar a
temperatura máxima do dia, ou a temperatura mínima, ou a média das temperaturas máxima e
mínima. Consideremos um experimento aleatório ε, e seja Ω o espaço amostral associado a este
experimento.
Definição: Variável aleatória (que escrevemos de modo abreviado: v.a.) num espaço amostral Ω, é
uma função x, que associa Ω, (isto é, a cada ω ∈ Ω), um nº real, X(ω). Ver Figura abaixo.
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ΩΩΩΩ X R
ω X(ω)
Como foi visto anteriormente em classificação de tipo de variáveis numéricas, as variáveis
aleatórias podem ser de dois tipos: discretas ou contínuas.
Exercício 2.2: Classifique com relação ao tipo de variável aleatória:
a) Tempo, em horas, até a falha de um equipamento;
b) Ocorrência ou não de hipertensão em um paciente;
c) Idade de pacientes de uma clínica de Pediatria;
d) Contágio ou não de uma doença;
e) Número de pessoas contagiadas com um vírus;
f) Nível de colesterol no sangue de um paciente;
A partir do estudo das variáveis aleatórias, foram definidos modelos probabilísticos (discretos e
contínuos) para as principais situações do cotidiano. Destes, estudaremos a seguir três modelos:
2.9 - Modelos de Probabilidade Discretos
Em muitos problemas teóricos e aplicados, e a primeira vista, sob diversas condições, várias
funções de probabilidade aparecem com tanta frequência que merecem ser estudadas. Nesta
Unidade, estudaremos o Modelo de Probabilidade Discreto de Bernoulli e Binomial.
2.9.1 - Distribuição de Bernoulli
Um experimento ou ensaio de Bernoulli é um experimento aleatório cujo resultado pode ser
classificado em duas categorias, chamadas de “sucesso” e “fracasso”. Uma v.a. que associa o valor
1 (com probabilidade p) à ocorrência de sucesso e o valor 0 (com probabilidade 1-p) à ocorrência de
fracasso em uma realização de um ensaio de Bernoulli é dita ter distribuição de Bernoulli.
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Exemplo 2.11: Suspeita-se que uma moléstia contagiosa possa ter atingido os moradores de uma
região. Cada morador da região é classificado conforme tenha sido contagiado ou não.
Evento de interesse (Sucesso): A pessoa examinada foi contagiada.
Fracasso: A pessoa examinada NÃO foi contagiada.
Exemplo 2.11: Uma operação de enchimento tente encher embalagens de detergentes até o peso
especificado.
Evento de interesse (Sucesso): A embalagem do detergente está com o peso especificado.
Fracasso: A embalagem do detergente NÃO está com o peso especificado.
Exemplo 2.12: Dentre os portadores de um determinado vírus, foram avaliados, após a aplicação de
uma nova vacina teste, se cada um obteve cura ou não no determinado vírus.
Evento de interesse (Sucesso): O portador obteve a cura após a aplicação da nova vacina.
Fracasso: O portador do vírus NÃO obteve a cura após a aplicação da nova vacina.
A função de probabilidade da distribuição de Bernoulli é dada por:
( ) ( )11 , 0,1.xxP X x p p x−= = − =
em que p∈[0, 1].
Usaremos a notação X ~ Bernoulli (p). Observe que poderíamos também representar a distribuição
de X coma tabela abaixo:
X 0 1
P(X) 1 - p p
• Esperança
(média) e Variância
Se X ~ Bernoulli (p) � ( ) ( )11 , 0,1xxP X x p p x−= = − = , logo ;
pXE =)(
pqXVar =)(
Exemplo 2.13: Uma empresa de cimento têm no estoque 10 sacos que foram produzidos a 3
semanas, 20 sacos que foram produzidos a 2 semanas e 20 sacos produzidos a 3 dias. Retira-se um
saco de cimento do estoque. Seja X o evento em que o saco de cimento foi fabricado a 3 dias.
Determine a probabilidade de sucesso e fracasso.
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57
Solução:
1, se o saco de ciemnto foi fabricado a 3 dias;
0, se o saco de ciemento NÃO foi fabricado a 3 dias.X
=
Podemos calcular a distribuição de X pela sua fórmula de distribuição de probabilidade, sendo esta
calculada abaixo:
( ) ( )11 , 0,1xxP X x p p x−= = − =
( )
0 1 020 200 1 1 0,6 0,6
50 50
P X
−
= = − = ⋅ =
( )
1 1 120 201 1 0, 4 1 0, 4
50 50
P X
−
= = − = ⋅ =
Logo, a distribuição de X pode ser representada por:
X 0 1
P(X) 0,6 0,4
Podemos calcula também a esperança e variância da v.a. X:
E(X)=p=0,4;
Var(X)=p(1-p)=0,4(1-0,4)=0,24.
2.9.2 - Distribuição Binomial
Consideremos n tentativas de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite
apenas dois resultados: fracasso com probabilidade q e sucesso com probabilidade p, p + q = 1. As
probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada tentativa.
Seja X: nº de sucessos de n tentativas independentes. Vamos determinar a função de
probabilidades da variável X, isto é, P(X = k).
Um resultado particular (RP) seria: ������
knk
F...FFFS...SSS
−
Logo, a probabilidade de ocorrer esse resultado particular é dada por:
P(RP) = P(SSS ... SFFF ... F) =
������
knk
q...qqp...p.p
−
Considerando todas as n-úplas com k sucessos, temos:
( ) .k n knP X k p q
k
−
= =
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58
em que
X = Número de sucessos variando de 1 até n;
p = Probabilidade de sucesso em cada repetição;
1-p = Probabilidade de fracasso em cada repetição;
n = Número de repetições
A variável X tem distribuição Binomial, com parâmetros n e p, e indicaremos pela notação
X~Binomial (n, p).
• Esperança (média) e Variância
Se X ~ Binomial ( n, p ) ⇒ ( ) .k n knP X k p q
k
−
= =
, logo ;
E( X ) = n·p
Var( X ) = n·p·q= n·p·(1-p)
O número esperado ou esperança de sucessos na distribuição Binomial é facilmente encontrado.
Intuitivamente, analise as duas perguntas a seguir:
- Se lançarmos uma moeda 100 vezes, qual o número esperado de caras (p=1/2)?
- Se lançarmos um dado 600 vezes, qual o número esperado de faces “5” (p=1/6)?
Solução:
1) X~Binomail (100; 0,5) � E(X)=np=100·0,5=50.
Assim, se lançarmos uma moeda 100 vezes, esperamos que ocorram 50 caras. (Obs: Isso
quando estamos supondo que a moeda é honesta, ou seja, a probabilidade de cara e coroa é a
mesma, que nessa situação é igual a 1/2).
2) X~Binomail (600; 1/6) � E(X)=np=600·(1/6)=100.
Assim, se lançarmos um dado 600 vezes, esperamos que o número de faces “5” ocorra 100
vezes.
Exemplo 2.14: Uma prova tem 10 questões independentes de igual pontuação. Cada questão tem 5
alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a
esmo as questões, qual a probabilidade de tirar nota 6?
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59
Solução:
X = nº de acertos. X = 0, 1, .........., 10
p = Probabilidade (acerto) = 1/5 ⇒ X~Binomial( 10, 1/5 )
( )
6 10 610 1 46 0,0055=0,55%
6 5 5
k n knP X p q
k
−
−
= = ⋅ = ⋅ ⋅ =
Podemos calcula também a esperança e variância da v.a. X:
E(X)=n·p=10·(1/5)=2;
Var(X)=n·p·(1-p)=10·(1/5)·(1-1/5)=10·0,2·0,8=1,6.
Exemplo 2.15: Um engenheiro químico resolveu testar oito bicos de
bunsen que acabaram de chegar de uma compra realizada para seu
laboratório. Ele selecionou aleatoriamente 5 itens, sendo desses, 4
estavam funcionando perfeitamente. Caso ele deseje analisar outros 10
bicos de bunsen que foram comprados para outro laboratório, calcule:
• A probabilidade de exatamente sete estarem funcionando
corretamente?
• Qual é a probabilidade de que até dois estejam funcionando
corretamente?
• Qual é a probabilidade de que nenhum esteja funcionando corretamente?
• Qual é a probabilidade de que metade dos bicos de bunsen estejam funcionando
corretamente?
• Qual é a probabilidade de que ao menos nove bicos de bunsen estejam funcionando
corretamente?
Soluão:
a) Seja X = {nº de bicos de bunsen que estão funcionando corretamente dentre os 10 testados no
laboratório}. X = 0, 1, ..., 10.
p = P( sucesso ) = P (o bico de bunsen está funcionando corretamente) = 4/5 = 0,8.
Assim, podemos definir X como: X ~ Binomial (n = 10; p = 0,8) .
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60
( )
( )
( ) ( ) ( )
7 10 7
7 3
10 4 1P 7 . .
7 5 5
10! 4 1
. =
10 7 !7! 5 5
= 120 0,2097152 0,008 0,201326592=20,13%
X
−
= = =
= ⋅
−
⋅ ⋅ =
( ) 410 8
5
E X n p= ⋅ = ⋅ =
( ) 4 110 1,6
5 5
Var X n p q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
b) Nesse, a probabilidade procurada se dará por:
P(até 2 dois bicos de bunsen estão funcionando corretamente) = P(X≤2) =
= [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]
Assim, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 10 0 10100 0,8 1 0,8 1 1 0,2 0,0000001024=0,00001%
0
P X −
= = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10 1 9101 0,8 1 0,8 10 0,8 0,2 0,000004096=0,0004%
1
P X −
= = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 10 2 8102 0,8 1 0,8 45 0,64 0, 2 0,000073728=0,007%
2
P X −
= = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2
0,00001% 0,0004% 0,007% 0,00741%
P X P X P X P X≤ = = + = + = =
= + + =
c)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 10 0
10
10
0 0,8 1 0,8
0
1 1 0, 2 0,0000001024=0,00001%
P X −
= = ⋅ ⋅ − =
= ⋅ ⋅ =
d) P(metade dos itens estão funcionando corretamente) = P(X=5)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
5 10 5105 0,8 1 0,8
5
252 0,32768 0,00032 0,025690112 2,56%
P X −
= = ⋅ ⋅ − =
= ⋅ ⋅ = =
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61
e) P(ao menos 9 bicos de bunsen estão funcionando corretamente) = P(X≥9) = [P(X=9) + P(X=10)]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
9 10 9
1
10
9 0,8 1 0,8
9
10 0,134217728 0,2 0,2684=26,84%
P X −
= = ⋅ ⋅ − =
= ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 10 101010 0,8 1 0,8
10
1 0,1073741824 1 0,1073741824=10,74%
P X −
= = ⋅ ⋅ − =
= ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( )9 9 10
26,84% 10,74% 37,58%
P X P X P X≥ = = + = =
= + =
Exercício 2.3: Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. O fabricante declarou que 1 a
cada 50 é defeituoso. Os circuitos integrados são independentes. O produto opera somente se
houver até dois circuitos integrados defeituosos.
a) Qual a probabilidade de que o produto opere?
b) Qual a probabilidade
de que o produto não opere?
2.9.3 - Distribuição de Poisson
Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo.
A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo. A
probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação à
probabilidade de um sucesso.
Por exemplo: automóveis que passam numa esquina. Poderemos num determinado intervalo
de tempo anotar o nº de carros que passaram, porém, o nº de carros que deixaram de passar pela
esquina não poderá ser determinado.
Seja X o nº de sucessos no intervalo então:
!k
.e)kX(P
kλ
==
λ−
• Esperança (média) e Variância
E( X ) = λ
Var( X ) = λ
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62
Exemplo 2.16: Uma central telefônica recebe em média 5 chamadas por minuto. Suponha que as
chamadas seguem uma distribuição de Poisson. Calcule a probabilidade de:
a) Não receber chamadas em um minuto;
b) Receber no máximo duas chamadas em quatro minutos;
c) Receber duas chamadas em trinta segundos;
d) Receber cinco chamadas em trinta segundos;
e) Receber três chamadas em dois minutos.
Solução:
Letra (a):
Seja X = o número de chamadas que chegam em t minutos, com distribuição de Poisson com
parâmetro λ =5t.
( ) ( )
05
5
5 1 5
5
0 0,00673
0!
e
P X e
λ
−
−
= ⋅ =
= = = =
Letra (b):
( ) ( ) ( ) ( )
5 4 20
2 0 1 2 0,000000455P X P X P X P X
λ = ⋅ =
≤ = = + = + = =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
020
120
220
20
0
0!
20
1
1!
20
2
2!
e
P X
e
P X
e
P X
−
−
−
= = =
= = =
= = =
Letra (c):
( )
( ) ( )
22,5
5 0,5 2,5
2,5
2 0,256
2!
e
P X
λ
−
= ⋅ =
= = =
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63
Letra (d):
( )
( ) ( )
52,5
5 0,5 2,5
2,5
5 0,067
5!
e
P X
λ
−
= ⋅ =
= = =
Letra (e):
( ) ( )
310
5 2 10
10
3 0,0075
3!
e
P X
λ
−
= ⋅ =
= = =
Exercício 2.4: O número de falhas na superfície de painéis de plástico usados no interior de
automóveis tem uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,05 falha por pé quadrado de
painel de plástico. Considere que o interior de uma automóvel contém 10 pés quadrados de painel
plástico. Calcule:
e) Probabilidade de não haver falha na superfície do interior do automóvel.
f) Se 10 carros forem vendidos para uma companhia de aluguel de carros, qual será a
probabilidade de nenhum dos 10 carros ter qualquer falha na superfície?
g) Se 10 carros forem vendidos para uma companhia de aluguel de carros, qual será a
probabilidade de no máximo dois carros terem qualquer falha na superfície?
2.10 - Principais Distribuições Contínuas
2.10.1 - Distribuição Uniforme
Se X é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade:
1
, se ( , )( )
0, caso contrário
X a bf X b a
∈
=
−
Então dizemos que X tem distribuição uniforme no intervalo (a, b).
Exemplo 2.17: A dureza de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória
com distribuição uniforme no intervalo (50; 70) da escala de Rockwell. Calcular a probabilidade de
que uma peça tenha dureza entre 55 e 60.
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64
Solução:
Definindo X = “Dureza de uma peça de aço”, temos:
1
, se (50,70)( ) 70 50
0, caso contrário
Xf X
∈
=
−
Logo:
( ) 60
55
601 5 155 60
5520 20 20 4
xP X dx≤ ≤ = = = =∫
• Esperança (média) e Variância
( )
2
a bE X +=
( ) ( )
2
12
b a
Var X
−
=
Exercício 2.5: O peso líquido, em libras, de um pacote com herbicida químico é uniforme no
intervalo de 49,75 a 50,25 libras. Determine:
a) Média e variância do peso dos pacotes;
b) Probabilidade de um pacote de herbicida ter peso inferior a 50,1 libras.
2.10.2 - Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial envolve probabilidades ao longo do tempo ou da distância entre
ocorrências num intervalo contínuo. Por exemplo, a exponencial é usada como modelo do tempo
entre falhas de equipamento elétrico, tempo entre a chegada de clientes a um supermercado, tempo
entre chamadas telefônicas, etc. Há estreita relação entre a distribuição exponencial e a de Poisson.
Na verdade, se um processo de Poisson tem média de λ ocorrências durante um intervalo, o espaço
(ou tempo, etc) entre ocorrências naquele intervalo é de 1/λ. Por exemplo, se as chamadas
telefônicas ocorrem em média à razão de 6 por hora, então o tempo médio entre as chamadas será
de 1/6 de hora, ou 10 minutos.
Uma variável aleatória X tem distribuição Exponencial de probabilidade se a sua f.d.p. é
dada por:
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65
<
≥λ
=
λ−
0xse0
0xsee)x(f
x
o gráfico da f.d.p. de X é:
0
( ) | 1
0
x Xe dx eλ λλ∞ − − ∞= − =∫
Esperança (média) e Variância
( ) 1E X λ=
( ) 21 Var X λ=
Exemplo 2.18: Uma fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua
fabricação é de 800 horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial. Qual a
probabilidade de que a fábrica não tenha que substituir um tubo gratuitamente, se oferece uma
garantia de 300 horas de uso?
Solução:
X: vida útil dos tubos de TV e E(X) = 800
Como ( ) 1 1 1800
800
E X λλ λ= ⇒ = ⇒ =
Logo
1
8001
800 , 0( )
0 , 0
x
e se xf x
se x
− ≥
=
<
300
1 1 800
800 800
300 3/8
0
3001(0 300) ( ) 1 1 0,3127
0800
x XP X e dx e e e
−
− −
−< < = = − = − + = − =∫
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66
Exercício 2.6: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial
com vida média de 100 horas. Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas?
2.10.3 – Distribuição Normal
Definição: Dizemos que a v. a. X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2, e+∞<µ<∞−
+∞<σ< 20 , se sua f.d.p. é dada por
22
2)x(
e.
2
1)x(f σ
µ−
−
piσ
= , +∞<<∞− x
Gráfico: A figura abaixo ilustra uma particular curva normal, determinada por valores particulares
de µ e σ2.
Pode-se demonstrar que:
a) E(X) = µ
b) Var(X) = σ2
c) f(x) → 0 quando x → ∞±
d) µ - σ e µ + σ são pontos de inflexão de f(x);
e) x = µ é ponto de máximo de f(x), e o valor máximo é
piσ 2
1 ;
f) f(x) é simétrica ao redor de x = µ, isto é, f(µ + x) = f(µ - x), para todo +∞<<∞− x
A distribuição normal, independente dos valores dos parâmetros, apresenta sempre a seguinte
relação:
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Se X tem distribuição normal, com média
Entendendo os parâmetros da distribuição Normal:
1) A média µ informa o centro da distribuição. É um parâmetro de locação.
2) O desvio-padrão σ informa o formato da curva.
• A Normal-Padrão
Para o cálculo das probabilidades, surgem
1) Para integração de f(x), pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento em séries;
2) Seria a elaboração de uma tabela de probabilidades, pois f(x) depende de dois
parâmetros,
fato este que acarretaria um grande trabalho para tabel
se as várias combinações de
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Se X tem distribuição normal, com média µ e variância σ2, escreveremos: X~N(
Entendendo os parâmetros da distribuição Normal:
A média µ informa o centro da distribuição. É um parâmetro de locação.
informa o formato da curva.
Para o cálculo das probabilidades, surgem dois grandes problemas:
Para integração de f(x), pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento em séries;
Seria a elaboração de uma tabela de probabilidades, pois f(x) depende de dois parâmetros,
fato este que acarretaria um grande trabalho para tabelar essas probabilidades considerando
se as várias combinações de µ e σ2.
67
X~N(µ, σ2).
A média µ informa o centro da distribuição. É um parâmetro de locação.
Para integração de f(x), pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento em séries;
Seria a elaboração de uma tabela de probabilidades, pois f(x) depende de dois parâmetros,
ar essas probabilidades considerando-
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68
Os problemas foram solucionados por meio de uma mudança de variável obtendo-se, assim,
a distribuição normal padronizada ou reduzida: Quando µ = 0 e σ2 = 1, temos uma normal padrão
ou reduzida, e escrevemos: N(0,1). Se X~N(µ, σ2), então a v.a. Z definida por
σ
µ−
=
XZ
terá uma distribuição N(0,1).
É fácil demonstrar que Z tem média 0 e variância 1. A normalidade de Z já não é imediata e não
será provada aqui. A figura abaixo ilustra a N(0,1).
Uma das propriedades associadas à distribuição normal é a sua capacidade para predizer as
probabilidades de encontrar um valor entre dois números quaisquer.
As probabilidades associadas à distribuição normal são facilmente obtidas em tabelas.
Vejamos alguns exemplos:
Com vemos na figura a seguir a área total sob a curva vale 1. Isto significa que a
probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1. A curva é simétrica em torno da média zero. A
probabilidade de ocorrer valer maior que zero é 0,5, mas qual seria a probabilidade de ocorrer valor
entre zero e z = 1,25 ?
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69
Probabilidade de ocorrer valor entre zero e z=1,25
A probabilidade da ocorrência do valor entre zero e z = 1,25, corresponde à área pontilhada na
figura acima. Podemos encontrar esta probabilidade na tabela de distribuição normal (Tabela do
ANEXO A). Como usar esta tabela?
- Localizar na 1a coluna o valor 1,2
- Na 1a linha, está o valor 5.
- n
0
1,2 compõe com o algarismo 5, o n0 z = 1,25.
- No cruzamento da linha 1,2 com a coluna 5 está o número 0,3944. Está é a probabilidade
(39,44%) do ocorrer valor entre zero e z= 1,25.
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70
0 1 2 3 4 5 6
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279
Tabela da Distribuição Normal Padrão
Versão Reduzida (Versão completa no ANEXO A)
Exemplo 2.19: Suponhamos que o comprimento de um tubo de PVC tem distribuição normal com
média de 200cm e desvio padrão de 20 cm. Veja o gráfico desta distribuição.
Distribuição normal do comprimento de um tubo de PVC
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71
Qual a probabilidade de um tubo apresentar comprimento entre 200 e 225 cm. Está probabilidade
corresponde a figura a seguir.
Probabilidade de taxa de colesterol entre 200 e 225
Para calcular a probabilidade associada à distribuição normal, usa - se a fórmula:
XZ µ
σ
−
=
- µ = média; σ = desvio padrão
- X = valor pesquisado
A estatística Z (Standard score) baseia-se na curva normal. Ela mede quanto um
determinado resultado (valor) afasta-se da média em unidades de desvio-padrão. Um resultado cujo
valor coincide com a média tem escore z=0.
Como a quantidade de colesterol tem distribuição normal com média µ = 200 e desvio
padrão (σ) de 20, a variável
Z = X - 200 tem distribuição normal reduzida.
20
Nesta distribuição, a média é zero e, ao valor X = 225, corresponde:
Z = X - 200 = 1,25
20
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72
Consultando a Tabela do ANEXO A da distribuição normal padrão, vemos que a probabilidade de
Z assumir valor entre zero e z = 1,25 é de 0,3944 ou 39,44%.
Exemplo 2.20: Referente ao Exemplo .19, qual é a probabilidade do tubo de PVC apresentar menos
do que 190 cm de comprimento. Para resolver este problema, é preciso "reduzir" o valor X = 190
para uma normal padrão. Assim, temos:
Z = 190 - 200 = - 0,50 .
20
A probabilidade de z assumir o valor menor que z = - 0,50 é igual a probabilidade de ocorrer valor
maior do que z = 0,50 (fato este pela normal ser simétrica em torno do zero). Consultando o
ANEXO A da distribuição normal reduzida, vemos que no cruzamento entre a linha e a coluna, na
primeira coluna, temos o valor 0,5 e na primeira linha o valor zero para compor o número z = 0,50,
em que está o valor 0,1915; que é a probabilidade de ocorrer valor zero e z = 0,50. Como a
probabilidade de ocorrer valor maior do que a média zero é 0,5, a probabilidade pedida é dada por:
0,5 - 0,1915 = 0,3085 ou 30,85%.
Exercício 2.7: Sabendo a quantidade de calcário por 100kg de cimento CP II – F do tipo Composto
é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ=16 kg e desvio padrão σ=1,75 kg.
Calcule a probabilidade de numa amostra de 1000kg desse cimento apresentar de 13 a 18kg de
calcário.
Exercício 2.8: Seja Z uma variável aleatória Normal Padrão, determine:
a) P(Z = 0)
b) P(Z ≤ 0)
c) P(Z < 1,96)
d) P( Z ≤ -1,89)
e) P(Z > -1,89)
f) P(Z > -2,33)
g) P( Z ≥ 2,8)
h) P(0,16 < Z < 2,08)
i) P( -1,15 ≤ Z ≤ 2,37)
j) P( Z > 4,88)
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2.10.4 - Distribuição t de Student
A Distribuição t de Student trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha
à distribuição normal padrão, N(0,1). Ela
é utilizada particularmente, quando se tem amostras com
tamanhos inferiores a 30 elementos ou quando não conhecemos o desvio-padrão populacional.
Diferente da Normal que necessita apenas do nível de significância α, além do valor de α, a
distribuição t possui um parâmetro adicional chamado "grau de liberdade".
Se a distribuição de uma população é essencialmente normal (com a forma
aproximadamente de um sino), então a distribuição de
n/s
X
t
µ−
=
, com (n-1) graus de liberdade,
é essencialmente uma distribuição t de Student para todas as amostras de tamanho n. A
distribuição t de Student, geralmente conhecida como distribuição t, é utilizada na determinação de
valores críticos denotados por 2/tα .
A tabela da t (Tabela do ANEXO B) relaciona valores da distribuição t juntamente com
áreas denotadas por α . Os valores de 2/tα são obtidos localizando o número adequado de graus de
liberdade ((n-1) gruas de liberdade).
OBS: O número de graus de liberdade para um conjunto de dados corresponde ao número de
valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores.
PROPRIEDADES IMPORTANTES DA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT:
1. A distribuição t de Student tem a mesma forma geral simétrica (curva em forma de sino) que a
distribuição normal, mas reflete maior variabilidade que é esperada em pequenas amostras. Ver
Figura abaixo.
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74
2. A distribuição t de Student tem média t = 0 (tal como a normal padronizada, com média Z = 0).
3. O desvio-padrão da distribuição t de Student varia com o tamanho da amostra, mas é superior a
1 (ao contrário da distribuição normal padronizada).
4. Na medida em que aumenta o tamanho da amostra, a distribuição t de Student se aproxima mais
e mais da distribuição normal padronizada. Para valores n > 30, as diferenças são tão pequenas
que podemos utilizar os valores críticos Z.
CONDIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT
1. O tamanho da amostra é pequeno 30n ≤ ;
2. σ é desconhecido;
3. A população original tem distribuição essencialmente normal (como a distribuição da
população original normalmente é desconhecida, estimamos construindo um histograma dos
dados amostrais ou realizando algum teste de normalidade como o teste de Shapiro-Wilk).
GRAUS DE LIBERDADE DE UMA ESTATÍSTICA:
Sabe-se que, a variância de uma amostra deve ser calculada por
( )2
2 1
1
n
i
i
x x
S
n
=
−
=
−
∑
.
A necessidade dessa correção esta relacionada com o número de g.l., por exemplo:
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75
1
n
i
i
xX
n
µ
=
= =∑ e
( )2
2 1
n
i
i
x
n
µ
σ =
−
=
∑
são estatísticas com "n" graus de liberdade, pois existem n valores xi livres que devem ser
considerados para podermos calcular o valor da estatística.
A estatística s2, por usar X ao invés de µ , tem um grau de liberdade a menos. Isso ocorre porque
para o cálculo de s2 é necessário que se tenha calculado X , ou seja, já utilizamos uma vez todo os
valores da amostra; estes estiram sendo usados pela segunda vez para o cálculo de s2.
Exercício 2.9: Com base na tabela t de Student determine o valor da distribuição nos seguinte
casos:
a) t (5; 1%)
b) t (6; 2%)
c) t (19; 5%)
d) t (21; 10%)
e) t (28; 5%)
f) t (12; 1%)
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76
UNIDADE III
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Introdução
Nas últimas unidades vimos como construir modelos probabilísticos para descrever alguns
fenômenos. Nessa parte, iremos estudar um ramo muito importante da Estatística conhecido como
Inferência Estatística, ou seja, como fazer afirmações sobre características de uma população,
baseando-se em resultados de uma mostra.
Inferência Estatística é o ramo da Estatística que refere-se ao processo de obter informações sobre
uma população a partir de resultados observados na amostra.
POPULAÇÃO (N) AMOSTRA (n)
θ
θˆ
Inferência Estatística
POPULAÇÃO: Conjunto de indivíduos (ou objetos), tendo pelo menos uma variável comum
observável. Pode ser finita, como o conjunto de alunos de uma escola em um determinado ano, ou
infinita, como o número de vezes que se pode jogar um dado.
AMOSTRA: Qualquer subconjunto da população
A maioria das pesquisas realizadas nas mais variadas áreas do conhecimento humano são
feitas com amostras. O pesquisador, no entanto, almeja generalizar seus resultados, ou seja, saber
se o que obteve com amostras é válido para toda a população. Essa é, sem dúvida, a essência da
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inferência estatística. Formalmente, a Inferência ou Estatística Indutiva é a parte da Estatística que
estuda a estimação e os testes sobre os parâmetros populacionais.
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES
AMOSTRA ALEATÓRIA: Seja X uma variável populacional. Uma amostra aleatória é o
conjunto de n variáveis aleatórias independentes, ( )nxxx ,,, 21 … , extraídas de uma população,
tal que cada ix tem a mesma característica, ou distribuição da variável X.
PARÂMETRO: Medida usada para descrever uma característica da população [ ),...(),(, 2 xx σσµ ].
ESTIMADOR (ESTATÍSTICA): Medida usada para descrever uma característica da amostra.
[ ),...(),(, 2 xSxSX ]
ESTIMATIVA: É o valor numérico do estimador. Por exemplo, 8,17X = é uma estimativa da
média populacional µ .
ESTIMAÇÃO (Pontual e Intervalar)
INFERÊNCIA
ESTATÍSTICA
TESTES DE HIPÓTESES
(Paramétricos e Não-Paramétricos)
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4.1 - Distribuição Amostral da Média e da Proporção
4.1.1 – Distribuição Amostral da Média
Sejam X uma v.a. com valor esperado µ e variância σ2 e X a média de uma amostra
aleatória de tamanho n de X. Então:
- E( X )=µ
- Var( X )=σ2/n
- A distribuição de X aproxima-se de uma distribuição normal com valor esperado µ
e variância σ2/n, quando n tende ao infinito. (Teorema Central do Limite).
Observações:
i. Como regra prática, aceita-se que para amostras com mais de 30 elementos, a
aproximação citada em (iii) já pode ser considerada boa.
ii. Se a distribuição é normal com valor esperado µ e a variância σ2, então a média
amostral baseada em uma amostra aleatória de tamanho n tem distribuição normal
com valor esperado µ e variância σ2/n, independente do tamanho da amostra.
Exemplo 3.1: A elasticidade de um polímero é afetada pela concentração de um reagente. Numa
baixa concentração, a elasticidade média verdadeira é igual a 55 e o desvio-padrão da elasticidade
igual a 16. Se retirada uma amostra de tamanho 40, qual será a probabilidade da elasticidade média
estar acima de 60?
Solução:
Temos nesse exemplo que a distribuição da média amostral X é aproximadamente N(55; 6,4).
Ou seja, ( )
2 256
~ , ~ 55, ~ 55; 6, 4
40
X N X N X N
n
σµ
⇒ ⇒
. Assim, teremos:
( ) 55 60 5560 ( 1,98) 0,5 0,4761 0,9761
6, 4 6, 4
XP X P P Z
− −
> = > = > = + =
Logo, probabilidade da média amostral estar acima de 60 é de 97,61%.
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4.1.2 – Distribuição Amostral da Proporção
Consideremos uma população que tem uma proporção p de portadores de certa característica
e seja X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória onde Xi, 1 ≤ i ≤ n, é definida por:
1, se o i-ésimo elemento é portador da característica;
0, em caso contrário. i
X
=
Temos que Xi, 1 ≤ i ≤ n, tem distribuição de Bernoulli, com E(Xi)=p e Var(X)=p(1-p). Portanto, a
distribuição da média amostral X se aproxima de uma distribuição normal, com valor esperado p e
variância p(1-p)/n, quando n tende ao infinito. (Teorema Central do Limite).
Observação: Dado que X é a proporção de elementos da amostra que são portadores da citada
característica, então costumamos fazer ˆX p= .
Exemplo 3.2: Em certa cidade, 30% dos motoristas envolvidos em acidentes fatais mostram
evidência do uso de drogas. Numa amostra de 200 acidentes fatais, qual será a probabilidade de que
mais de 25% desses motoristas tenham usado drogas?
Solução:
Definindo a variável aleatória pˆ =proporção de motoristas que usam drogas numa amostra de 200
acidentes fatais, temos que a distribuição de pˆ é aproximadamente N(0,30; 0,00105). Assim,
( ) ( )ˆ 0,30 0,25 0,30ˆ 0, 25 1,54 0,9382
0,00105 0,00105
pP p P P Z
− −
> = > = > − =
.
Logo, a probabilidade de que mais de 25% desses motoristas tenham usado drogas é de 93,82%.
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80
4.2 - Estimação por ponto e intervalo
4.2.1 - Estimação Pontual
A partir da amostra procura-se obter um único valor aproximado de um determinado parâmetro
populacional.
Exemplo 3.3: A média amostral ( X ) é um estimador pontual da média populacional ( µ ).
Desvantagens: Por obter um único valor aproximado de um determinado parâmetro populacional,
em geral é INSUFICIENTE! Pois a estimação pontual não fornece meios diretos para aferir a
qualidade da estimativa. Alternativamente, podem-se determinar intervalos que contenham o
parâmetro populacional com uma confiança elevada. Estes são chamados de Intervalos de
Confiança, em que nesse caso, se faz necessário realizar uma Estimação Intervalar.
4.2.2 - Estimação Intervalar
A partir da amostra procura-se construir um intervalo de variação, 21 ˆˆ θθθ ≤≤ , com uma
certa probabilidade de conter o verdadeiro parâmetro populacional.
1) TESTES PARAMÉTRICOS
• A hipótese é formulada com respeito ao valor de um parâmetro populacional.
2) TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS
• A hipótese é formulada com respeito à natureza da distribuição da população.
INTERVALOS DE CONFIANÇA
É um intervalo real, centrado na estimativa pontual que deverá conter o parâmetro com
determinada probabilidade. A probabilidade de o intervalo conter o parâmetro estimado é
denominada de nível de confiança associado ao intervalo. A notação mais usual para o nível de
confiança associado ao intervalo é 1 -α ou (1 -α )%.
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81
Assim como as estimações pontuais, os intervalos de confiança podem ser vistos como uma
técnica para se fazer inferência estatística. Ou seja, a partir de um intervalo de confiança, construído
com os elementos amostrais, pode-se inferir sobre um parâmetro populacional.
Fundamenta-se nas distribuições amostrais
� θ : Parâmetro populacional
� θˆ : Estimador de θ
� A partir da distribuição de probabilidade de θˆ é possível construir um intervalo
21
ˆˆ θθθ ≤≤ , que contém θ , e exigir que a probabilidade do intervalo seja de ( )α−1 .
O valor da probabilidade ( )α−1 que usualmente assume os valores 90%, 95%, 98%, etc.,
é denominado NÍVEL DE CONFIANÇA (quanto maior melhor), e o valor α é chamado NÍVEL
DE SIGNIFICÂNCIA (quanto menor melhor), isto é, representa o erro que se está cometendo
quando se afirma que a probabilidade do intervalo, 21 ˆˆ θθθ ≤≤ , conter o verdadeiro valor do
parâmetro populacional é ( )α−1 .
VANTAGEM DO USO DE ESTIMAÇÃO INTERVALAR:
Permite uma idéia da precisão com que foi calculada a estimativa do parâmetro, pois
expressa o erro aceito ao calculá-la.
- Intervalo muito pequeno � ALTA PRECISÃO DA ESTIMATIVA DO PARÂMETRO;
- Quanto maior o grau de confiança � MENOR PRECISÃO DA ESTIMATIVA DO
PARÂMETRO.
Exemplo 3.4: Suponha, n = 25, 12=X e 1,2S = .
( ) ( )49.1251.11%95 <<= µIC : amplitude = 0,98
( ) ( )67.1231.11%99 <<= µIC : amplitude = 1,36
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82
4.2.2.1- Intervalo de confiança para a média
Neste caso, existem 2 métodos para estimativa de µ através do intervalo de confiança; as
utilizações desses métodos dependem do tamanho da amostra ou do fato de ter ou não
conhecimento do valor do desvio-padrão populacional.
1° Caso: Se n ≥ 30 e a variância populacional é conhecida
1) Utiliza-se o método da distribuição normal (a variável utilizada será a Z).
2° Caso: Para amostras pequenas (n < 30) e variância populacional desconhecida
2) Utiliza-se o método da distribuição t-Student (a variável utilizada será a t).
Fatores
Métodos
Distribuição Normal Distribuição t-Student
Tamanho da amostra n ≥ 30 n < 30
Variância σ2 (conhecida) S2 (desconhecida)
Variável utilizada Z T
CASO 1: INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM A
VARIÂNCIA POPULACIONAL CONHECIDA
Seja ( )2,~ σµNX . Sabe-se que o estimador de µ , X (média amostral), tem distribuição de
probabilidade dada por:
( )nNX /,~ 2σµ , para populações infinitas
Então, ( )1,0~/ Nn
XZ
σ
µ−
=
Fixando-se um nível de confiança ( )α−1 tem-se:
( ) ααα −=≤≤− 12/2/ ZZZP
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83
α
σ
µ
αα −=
≤−≤− 1
/ 2/2/
Z
n
XZP
α
σµσ αα −=
−≤−≤−− 1.. 2/2/ X
n
ZX
n
ZP
α
σµσ αα −=
+≤≤− 1.. 2/2/
n
ZX
n
ZXP
Exemplo 3.5: O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa informa que o tempo
de execução de tarefas que envolvem participação manual varia de tarefa para tarefa, mas que o
desvio padrão permanece aproximadamente constante em 3 min. Uma nova tarefa está sendo
implantada na empresa. Uma amostra aleatória do tempo de execução de 50 dessas novas tarefas
forneceu o valor médio de 15 min. Determine o intervalo de confiança de 95% para o tempo médio
de execução dessa nova tarefa.
Sabe-se que, ( )nNX /,~ 2σµ , então ( )23~ 15, 50X N ;
Como o exemplo pede um intervalo de confiança de 95%, então α=100%-95%=5%.
Pela Tabela do ANEXO A (Tabela da Normal Padrão), o valor de α/2=1,96. Então, temos :
α
σµσ αα −=
+≤≤− 1.. 2/2/
n
ZX
n
ZXP
3 315 1, 96. 15 1, 96. 95%
50 50
P µ − ≤ ≤ + =
( )15 0, 8316 15 0, 8316 95%P µ− ≤ ≤ + =
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84
( )14,1684 15, 8316 95%P µ≤ ≤ =
[ ]5% 14,1684; 15, 8316ICα = =
Interpretação: Podemos afirmar, a um nível de 95% de confiança, que o intervalo [14,16; 15,83]
contém a verdadeira média. Logo, se realizássemos esse procedimento 100 vezes, por exemplo,
espera-se que 95 dos intervalos calculados contenham o verdadeiro valor do parâmetro estimado.
CASO 2: INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM A
VARIÂNCIA POPULACIONAL DESCONHECIDA
� Estimar σ com base na amostra, S.
� Como S é uma variável aleatória, a substituição só é verificada para amostras grandes
(n ≥ 30) � σ≅S
� S é um estimador viesado para σ , mas aumentando o tamanho da amostra o viés tende a
desaparecer; portanto o IC para µ pode ser construído.
� Quanto menor a amostra mais necessária se torna a introdução de uma correção: t(n-1) ao
invés de Z.
Sabe-se que, ( )nNX /,~ 2σµ e ( )1,0~/ Nn
XZ
σ
µ−
=
Então,
nS
X
tn /1
µ−
=
−
( ) ααα −=≤≤− 12/2/ tttP
α
µ
αα −=
≤−≤− 1
/ 2/2/
t
nS
X
tP
αµ αα −=
−≤−≤−− 1.. 2/2/ X
n
S
tX
n
S
tP
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85
αµ αα −=
+≤≤− 1.. 2/2/
n
S
tX
n
S
tXP
OBS: Quanto menor o tamanho da amostra, mais necessário se torna a introdução de uma correção,
a qual consiste em usar a variável t-Student (t(n-1)) ao invés de usar a variável Z.
Exemplo 3.6: Uma amostra de 25 peças de laminado usado na fabricação de placas de circuito foi
selecionada, e a quantidade de deformação (in.) sob condições específicas foi determinada para
cada peça, resultando em uma deformação média amostral de 0,0635 in. E um desvio-padrão
amostral de 0,0065 in. Construa um intervalo de confiança para a média ao nível de 99%.
Solução:
Média amostral: 0,0635 .X in=
Desvio padrão amostral: 0,0065 .S in=
Variável: t(n-1) = t(24; 1%/2) = 2,7969
αµ αα −=
+≤≤− 1.. 2/2/
n
S
tX
n
S
tXP
( ) ( )0, 0065 0, 00650, 0635 2, 7969 . 0, 0635 2, 7969 . 99%
25 25
P µ − ≤ ≤ + =
( )0, 0598 0, 0671 99%P µ≤ ≤ =
[ ]1% 0, 0598; 0, 0671ICα = =
Interpretação: Podemos afirmar, a um nível de 99% de confiança, que o intervalo [0,0598; 0,0671]
contém a verdadeira média; A precisão dessa estimativa nos permite afirmar, com 99% de certeza,
de que não estamos errando por mais de 0,00365 ([0,0671 - 0,0598] / 2) nessa estimação. Logo, se
realizássemos esse procedimento 100 vezes, por exemplo, espera-se que 99 dos intervalos
calculados contenham o verdadeiro valor do parâmetro estimado. Ou seja, espera-se a um nível de
99% de confiança, que a deformação média, medida em “in.”, nas placas de circuito seja entre
0,0671 in. a 0,0598 in.
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86
Exercício 3.1: Após analisar o teor alcoólico de 52 amostras de sangue de pessoas que estavam
numa festa, um químico obteve através do software R uma média de 3,9% de C2H5OH e um desvio-
padrão de 5,78% de C2H5OH.
a) Calcule um intervalo de 95% de confiança para o percentual médio de C2H5OH para as
pessoas que beberam nessa festa. Interprete os resultados.
b) Com 99% de confiança, o intervalo para o percentual médio de C2H5OH é de [1,76% ;
6,04%]. Por que é diferente do intervalo da letra (a)?
4.2.2.2 - Intervalo de confiança para a proporção
Sabendo que a distribuição amostral da proporção é: ( )ˆ ~ , pqp N p n
e
ˆ
kp
n
≈
.
Quando n for grande, n ≥ 30 a distribuição binomial se aproxima da Normal, então:
( )ˆ ~ 0,1
/
p pZ N
pq n
−
=
Fixando-se um nível de confiança ( )α−1 tem-se:
( ) ( )
/ 2 / 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ. . 1
p q p q
P p Z p p Z
n n
α α α
− ≤ ≤ + = −
Exemplo 3.7: Uma pesquisa recente efetuada com 300 habitantes de uma grande cidade revelou
que 128 pessoas apresentavam insuficiência respiratória. Determine um intervalo de confiança de
90% para a proporção de habitantes dessa cidade que apresentaram insuficiência respiratória.
Solução:
n=300 & k=128;
Logo, temos que a proporção das pessoas que apresentavam insuficiência respiratória é de
128
ˆ 0, 4267
300
p = =
ou 42,67%. Assim, teremos para o cálculo do intervalo de confiança:
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( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
/ 2 / 2
10%
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ. . . . 1
0, 4267 0, 5733 0, 4267 0, 5733
. . 0, 4267 1, 645. 0, 4267 1, 645. 90%
300 300
. . 0, 4267 0, 0285 0, 4267 0, 0285 90%
. . 0, 3982 0, 4552 90%
0, 3982
p q p q
I C p Z p p Z
n n
I C p
I C p
I C p
IC
α α
α
α
=
= − ≤ ≤ + = −
⋅ ⋅
= − ≤ ≤ + =
= − ≤ ≤ + =
= ≤ ≤ =
= [ ]; 0, 4552
Interpretação: Podemos afirmar, a um nível de 90% de confiança, que o intervalo [0,3982; 0,4552]
contém o valor verdadeira da proporção populacional. Logo, se realizássemos esse procedimento
100 vezes, por exemplo, espera-se que 90 dos intervalos calculados contenham o verdadeiro valor
do parâmetro estimado. Ou seja, com 10% de significância, o percentual de habitantes com
insuficiência respiratória será entre 39,82% a 45,52%.
Exercício 3.2: Um artigo em Fortune (21/09/1992) afirma que aproximadamente metade de todos
os engenheiros químicos continua seus estudos acadêmicos além do grau de bacharelado, recebendo
no final o grau de mestre ou doutor. Dados de um artigo em Engineering Hozizons indicaram que
117 de 484 novos engenheiros químicos graduados estavam planejando fazer uma pós-graduação.
Calcule um intervalo com 99% de confiança a cerca da proporção de engenheiros químicos que
continuam seus estudos além da graduação. Interprete os resultados.
4.3 - Testes de Hipóteses
Suponha que numa determinada região, o peso de crianças aos 12 anos, seja modulado pela
distribuição normal, tal que X ~N (48, 16). Um pesquisador da área médica desconfia que devido a
mudanças nos hábitos alimentares, o peso médio seja maior. Para tentar comprovar sua suposição o
pesquisador seleciona, por processo aleatório, uma amostra de 100 crianças dessa população,
obtendo como peso amostral x = 51,3 kg. Será que ele tem razão? A resposta deve ser analisada
cuidadosamente e uma decisão mais segura só é possível depois de submeter seus dados a um teste
estatístico, também conhecido como teste de hipóteses que estará sujeito a uma regra de decisão.
Regra de decisão que permite aceitar ou rejeitar uma hipótese, decisão esta que é tomada em
função dos valores amostrais. Em outras palavras, formula-se uma hipótese quanto ao valor do
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parâmetro populacional, e pelos elementos amostrais faz
da hipótese nula (H0).
HIPÓTESE ESTATÍSTICA
Suposição quanto ao valor de um parâmetro ou quanto à natureza da distribuição de uma
probabilidade de uma variável populacional.
TIPOS DE HIPÓTESES
0H : é aquela que será testada, sendo sempre contrária ao resultado do experimento amostral;
hipótese nula. É formulada com base nos dados populacionais.
1H : é qualquer hipótese diferente da hipótese nula, sendo sempre a favor do resultado do
experimento amostral; hipótese alternativa.
OBS: a aceitação de H0 implica
na rejeição de
REGIÃO DE REJEIÇÃO E TIPOS DE TESTES
É uma região da Distribuição Amostral, definida de modo que seja igual a
H0. O tamanho da região de rejeição é expresso por
distribuição amostral. A localização da R.C. (região
indica o sentido da diferença, usa
Exemplo: H0: µ = µ0
H1: µ > µ0
Região de Rejeição (RR) e de Aceitação (RA) da Hipótese Nula
Observe que essas duas regiões diferem entre si em localização, mas não em tamanho.
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parâmetro populacional, e pelos elementos amostrais faz-se um teste que indicará a rejeição, ou não,
Suposição quanto ao valor de um parâmetro ou quanto à natureza da distribuição de uma
lidade de uma variável populacional.
: é aquela que será testada, sendo sempre contrária ao resultado do experimento amostral;
hipótese nula. É formulada com base nos dados populacionais.
: é qualquer hipótese diferente da hipótese nula, sendo sempre a favor do resultado do
experimento amostral; hipótese alternativa.
implica na rejeição de H1, e a rejeição de H0 implica na aceitação de
IPOS DE TESTES
É uma região da Distribuição Amostral, definida de modo que seja igual a α
. O tamanho da região de rejeição é expresso por α, e está localizada nas extremidades da
distribuição amostral. A localização da R.C. (região crítica) está afetada pela natureza de H
indica o sentido da diferença, usa-se um teste unilateral, caso contrário, usa-se bilateral.
Região de Rejeição (RR) e de Aceitação (RA) da Hipótese Nula
as duas regiões diferem entre si em localização, mas não em tamanho.
88
se um teste que indicará a rejeição, ou não,
Suposição quanto ao valor de um parâmetro ou quanto à natureza da distribuição de uma
: é aquela que será testada, sendo sempre contrária ao resultado do experimento amostral;
: é qualquer hipótese diferente da hipótese nula, sendo sempre a favor do resultado do
implica na aceitação de H1.
α, a probabilidade sob
á localizada nas extremidades da
crítica) está afetada pela natureza de H1. Se H1
se bilateral.
Região de Rejeição (RR) e de Aceitação (RA) da Hipótese Nula
as duas regiões diferem entre si em localização, mas não em tamanho.
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89
Regra de Decisão
Se o teste estatístico acusar um valor na região de rejeição de H0. Quando a probabilidade associada
a um valor observado de um teste estatístico é menor ou igual do que o valor previamente
determinado de α, concluímos que H0 é falsa, tal valor observado é chamado "significativo". H0 é
rejeitada sempre que ocorre um valor "significativo".
TIPOS DE ERROS:
1 Erro Tipo I (α): P(rejeitar H0 | H0 é verdadeira) � Probabilidade de rejeitar H0 dado que H0 é
verdadeira.
2 Erro Tipo II (β): P(aceitar H0 | H0 é falsa) � Probabilidade de aceitar H0 dado que H0 é falsa.
Realidade
Decisão
Aceitar 0H Rejeitar 0H
0H é verdadeira Decisão Correta ( )α−1 Erro Tipo I ( )α
0H é falsa Erro Tipo II ( )β Decisão Correta ( )β−1
ERRO TIPO I ⇒ cometido quando rejeitamos H0 , quando na verdade, ela é verdadeira. Esse tipo
de erro é o mais importante a ser evitado. A probabilidade de se cometer um erro tipo I é o que se
chama de nível de significância de um teste. α =P(erro tipo I).
ERRO TIPO II ⇒ cometido quando não rejeitamos H0, quando na verdade ela é falsa.
Deseja-se: reduzir ao mínimo as probabilidades dos erros.
TAREFA DIFÍCIL: para uma amostra de tamanho n a probabilidade de se incorrer em um erro tipo
II aumenta à medida que diminui a probabilidade do erro tipo I (vice-versa).
REDUÇÃO SIMULTÂNEA AUMENTO DO
DOS ERROS TAMANHO DE n
PROCEDIMENTO PARA CONSTRUÇÃO DO TESTE DE HIPÓTESE:
1. Estabelecer as hipóteses de nulidade 0H e alternativa 1H ;
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90
2. Escolhe um nível de significância α , em geral, usa-se: 0,05; 0,01 ou 0,001;
3. Selecionar uma estatística apropriada e determinar as RA e RC para 0H , com o auxílio das
tabelas estatísticas, considerando α e a variável do teste.
4. Com os elementos amostrais, calcular o valor da variável do teste.
5. Concluir pela aceitação ou rejeição de 0H pela comparação do valor obtido no 4º passo
com RA e RC, ou seja, rejeitar Ho sempre que a estatística calculada pertencer à região
crítica, caso contrário, não rejeitar.
TESTES PARAMÉTRICOS
4.3.1 - Teste para a Média quando σ2 é conhecido
Quando queremos realizar um teste de hipótese para a média populacional, se conhecemos o valor
do desvio-padrão da população, teremos como base para a estatística do teste a distribuição normal.
É muito comum situações em que necessitamos estudar um determinado parâmetro ou característica
de certa população. No entanto, esse procedimento pode levar muito tempo e/ou necessitar de
recursos financeiros muito altos.
Assim, uma possível solução, seria estimar o resultado da característica de interesse da população
(com um nível (1-α) de certeza), extraindo uma amostra de tamanho n, e, utilizando o desvio-padrão
da população na estimação. A figura abaixo ilustra o procedimento proposto.
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91
REQUISITOS PARA O TESTE:
• A amostra é uma amostra aleatória simples;
• O valor do desvio-padrão populacional σ é CONhecido;
• Pelo menos uma das condições seguintes é verdadeira:
o A população é normalmente distribuída;
o O tamanho da amostra é superior a 30, ou seja, n>30. (TCL)
O procedimento para a realização desse teste de hipóteses pode ser resumido nos seguintes passos:
1. Enunciar as hipóteses:
( )
( )
( )
0 0
0
1 0
0
:
( ) Teste Bilateral 2
: ( ) Teste Unilateral
( ) Teste Unilateral
H
a
H b
c
µ µ
αµ µ
µ µ α
µ µ α
=
≠
>
<
Em que o verdadeiro valor de µ é µ0.
2. Determinar a distribuição de X , e, a estatística de teste.
2
2
~ , ~ (0,1)XX N Z N
n
n
σ µµ
σ
−
⇒ =
A estatística de teste é uma estatística amostral, usada para tomar uma decisão em relação à
hipótese nula.
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92
3. Fixar o nível de significância α . (normalmente é utilizado α = 5%).
4. Determinar a Região de Aceitação e a Região de Rejeição através da tabela Z –
Normal-Padrão. (É necessário ter fixado o valor de α).
5. Calcular a variável do teste
cal
XZ
n
µ
σ
−
=
6. Conclusões
1. Se –Zα/2 < ZCalc < Zα/2, não rejeita H0 � Teste Bilateral
2. Se ZCalc > Zα, rejeita-se H0 � Teste Unilateral
3. Se ZCalc < Zα, rejeita-se H0 � Teste Unilateral
Exemplo 3.8: Em indivíduos sadios, a taxa de fósforo no sangue tem distribuição aproximadamente
normal com média µ = 3 mg/100cc e desvio-padrão σ = 0,6mg/100cc. Com o objetivo de saber se
no artritismo essa taxa média aumentou, um pesquisador tomou uma amostra de 36 doentes e testou
sua hipótese ao nível de 5% de significância. Observou-se na amostra a média X = 3,12mg/100cc.
Solução:
As hipóteses serão as seguintes
H0: µ = 3,0
H1: µ > 3,0 (teste unilateral)
OU
H0:
A taxa de fósforo no sangue de pessoas com artritismo é igual a 3,0mg/100cc.
H1: A taxa de fósforo no sangue de pessoas com artritismo é maior que 3,0mg/100cc.
Usaremos α = 0, 05. A estatística a ser utilizada será:
2
3,12 3,0 0,12 1,20,6 0,1
36
Calc
XZ
n
µ
σ
− −
= = = =
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93
Após termos calculado a estatística do teste, vamos agora encontrar a probabilidade na tabela de
distribuição Normal-Padrão (Tabela do ANEXO A). Lembre-se que como o teste é unilateral, o
valor de α será igual a 5%, e não a 2,5%.
Logo, como a tabela da distribuição normal nos dá de 0 até +∞ (50% da área total, ou probabilidade
igual a 0,5), temos que:
50% - α = 50% - 5% = 45% = 0,45 � Z = 1,645.
Como na tabela não encontramos um valor exato de 0,45. O mais próximo dessa probabilidade são
dois valores de P(Z < 1,64) = 0,4495 e P(Z < 1,65) = 0,4505. Repare que para Z=1,64 e Z=1,65, um
é menor e outro é maior, respectivamente, que 0,45 na mesma proporção. Assim, faz-se necessário
realizar uma interpolação apenas realizando uma média aritmética de ambos os valores de Z, tendo
assim: P(Z < 1,645) ≈ 0,445.
( ) ( )1,64 1,650, 45 1,645 1,645 0, 45.
2
P Z x x P Z+< = ⇒ = = ⇒ < ≈
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Conclusão: Como ZCalc ≤ Zα , ou seja, 1,2
rejeitaremos a hipótese nula de que a taxa de fósforo no sangue de pessoas com artritismo seja igual
a 3,0mg/100cc.
Exercício 3.3: Em indivíduos normais, o consumo renal médio de oxigênio é de 12 cm
desvio-padrão de 2,3 cm3/min. Um pesquisador interessado em s
selecionou uma amostra de 28 pessoas sadias e obteve um consumo renal médio de oxigênio de
13,45 cm3/min. Teste a um nível de 5% se realmente ocorre o que o pesquisador averiguou
as hipóteses e interprete.
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, ou seja, 1,2 ≤ 1,645. Então, a um nível de significância de 5%, não
hipótese nula de que a taxa de fósforo no sangue de pessoas com artritismo seja igual
Em indivíduos normais, o consumo renal médio de oxigênio é de 12 cm
/min. Um pesquisador interessado em saber se isso realmente ocorre,
selecionou uma amostra de 28 pessoas sadias e obteve um consumo renal médio de oxigênio de
Teste a um nível de 5% se realmente ocorre o que o pesquisador averiguou
94
ão, a um nível de significância de 5%, não
hipótese nula de que a taxa de fósforo no sangue de pessoas com artritismo seja igual
Em indivíduos normais, o consumo renal médio de oxigênio é de 12 cm3/min com
aber se isso realmente ocorre,
selecionou uma amostra de 28 pessoas sadias e obteve um consumo renal médio de oxigênio de
Teste a um nível de 5% se realmente ocorre o que o pesquisador averiguou. Defina
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4.3.2 - Teste para a Média quando
Quando queremos realizar um teste de hipótese para a média populacional, se conhecemos o valor
do desvio-padrão da população, teremos como base para a estatística do teste a distribuição normal.
No entanto, quando desconhecemos o desvio
tomamos como base a distribuição
REQUISITOS PARA O TESTE:
a) A amostra é uma amostra aleatória simples;
b) O valor do desvio-padrão populacional
c) Pelo menos uma das condições seguintes é verdadeira:
a. A população é normalmente distribuída;
b. O tamanho da amostra é superior a 30, ou seja, n>30. (TCL)
Neste caso, como não conhecemos
Para a construção das hipóteses a serem analisadas, a região de rejeição será baseada numa
estatística de teste com base na distribuição
Assim, para realizar o teste, devemos seguir os seguintes procedimentos:
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Teste para a Média quando σ2 é desconhecido
Quando queremos realizar um teste de hipótese para a média populacional, se conhecemos o valor
padrão da população, teremos como base para a estatística do teste a distribuição normal.
uando desconhecemos o desvio-padrão populacional, que é o que ocorre na prática,
tomamos como base a distribuição t de Student.
REQUISITOS PARA O TESTE:
A amostra é uma amostra aleatória simples;
padrão populacional σ é DESconhecido;
Pelo menos uma das condições seguintes é verdadeira:
A população é normalmente distribuída;
O tamanho da amostra é superior a 30, ou seja, n>30. (TCL)
Neste caso, como não conhecemos σ
2
, precisamos calcular a estimativa S
2
a partir de uma amostra.
construção das hipóteses a serem analisadas, a região de rejeição será baseada numa
estatística de teste com base na distribuição t de Student:
12
~ ~
n
XT t
S
n
µ
−
−
Assim, para realizar o teste, devemos seguir os seguintes procedimentos:
95
Quando queremos realizar um teste de hipótese para a média populacional, se conhecemos o valor
padrão da população, teremos como base para a estatística do teste a distribuição normal.
padrão populacional, que é o que ocorre na prática,
a partir de uma amostra.
construção das hipóteses a serem analisadas, a região de rejeição será baseada numa
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96
a) Enunciar as hipóteses:
( )
( )
( )
0 0
0
1 0
0
:
( ) Teste Bilateral 2
: ( ) Teste Unilateral
( ) Teste Unilateral
H
a
H b
c
µ µ
αµ µ
µ µ α
µ µ α
=
≠
>
<
b) Fixar o nível de significância α . Admitindo 2σ desconhecida, a variável do teste será
( )1−nt .
c) Determinar RA e RC através da tabela t.
d) Calcular a variável do teste /cal
XT
S n
µ−
=
e) Conclusões
4. Se –tα/2 < TCalc < tα/2, não rejeita H0 � Teste Bilateral
5. Se TCalc > tα, rejeita-se H0 � Teste Unilateral
6. Se TCalc < tα, rejeita-se H0 � Teste Unilateral
Exemplo 3.9: A tolerância de dieta diária de zinco recomendada entre homens com mais de 50 anos
é 15mg/dia. O artigo “Nutrient Intakes and Dietary Patterns of Older Americans: A National
Study” (J. Gerontology, 1992, pg. 145-150) relata sobre ingestão uma média de 17,3 mg/dia e
desvio-padrão de 6,43 mg/dia para uma amostra de 88 homens com mais de 50 anos.
Esses dados, a um nível de 5% de significância, indicam que a ingestão de zinco diária média na
população dos homens com mais de 50 anos está na tolerância permitida? Defina as hipóteses e
interprete.
Solução:
As hipóteses serão as seguintes
H0: µ = 15 mg/dia
H1: µ ≠ 15 mg/dia (teste bilateral)
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97
OU
H0: Os homens com + de 50 anos estão com a tolerância de dieta diária de zinco recomendada.
H1: Os homens com + de 50 anos NÃO estão com a tolerância de dieta diária de zinco recomendada.
Usaremos α = 0, 05. A estatística a ser utilizada será:
2
15 17,3 2,3 3,35576,43 0,6854
88
Calc
XT
S
n
µ− − −
= = = = −
Os graus de liberdade (g.l.) para o teste “t” de Student serão obtidos da seguinte forma:
g.l. = n – 1 = 88 – 1 = 87
Após termos calculado a estatística do teste e o número de g.l., vamos agora encontrar a
probabilidade na tabela de distribuição t-Studentl (Tabela do ANEXO B). Como usar esta
tabela?
- Localizar o valor correspondente de α (lembrando que se for um teste bilateral, então
será α/2); Logo, para α=5%, devemos procurar nesse exemplo, o valor 2,5% na tabela;
- Localizar o valor correspondente de φ (g.l. = n - 1); Nesse caso temos que g.l.=88-1=87;
- No cruzamento da linha com (φ = 87) com a coluna (α = 2,5%), por ser um teste
bilateral, então α/2, está o número 1,9876.
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α
φ
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Conclusão: Como TCalc ≤ -tα/2 , ou seja,
5%, rejeitaremos a hipótese nula, assim,
tolerância de dieta diária de zinco recomendada.
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25% 10% 5% 2,5%
0,6775 1,2921 1,6639 1,9897
0,6775 1,2920 1,6636 1,9893
0,6775 1,2918 1,6634 1,9890
0,6774 1,2917 1,6632 1,9886
0,6774 1,2916 1,6630 1,9883
0,6774 1,2915 1,6628 1,9879
0,6773 1,2914 1,6626 1,9876
0,6773 1,2912 1,6624 1,9873
0,6773 1,2911 1,6622 1,9870
0,6772 1,2910 1,6620 1,9867
, ou seja, -3,3557 < -1,9876. Então, a um nível de
nula, assim, os homens com + de 50 anos
tolerância de dieta diária de zinco recomendada.
98
. Então, a um nível de significância de
os homens com + de 50 anos NÃO estão com a
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99
Exercício 3.4: Uma companhia de produtos para o consumidor está formulando um xampu novo e
está interessado na altura (em milímetros) da espuma. A altura da espuma tem distribuição
aproximadamente normal com S = 20 mm. A companhia analisou 10 frascos de xampu e obteve
uma altura média de 175 mm, diferente da esperada pelos engenheiros, de 179 mm. Usando esses
resultados, a companhia pode assumir que seu xampu alcança a altura média menor que a estimada
pelos engenheiros? Faça um teste de hipóteses para comprovar sua teoria.
4.3.3 - Teste para Proporções
1. Enunciar as hipóteses:
<
>
≠
=
)(
)(
)(
:
:
0
0
0
1
00
cpp
bpp
app
H
ppH
2. Fixar o nível de significância α . A variável escolhida é Z, normal padrão.
3. Determinar RA e RC através da tabela da distribuição normal padrão.
Calcular a variável do teste
0
0 0
ˆ
/cal
p pZ
p q n
−
=
4. Conclusões
a) Se –Zα/2 < ZCalc < Zα/2, não rejeita H0
b) Se ZCalc > Zα/2, rejeita-se H0
c) Se ZCalc < -Zα/2, rejeita-se H0
Exemplo 3.10: Um pesquisador afirma que a fração de circuitos integrados defeituosos produzidos
em um processo de fotolitografia (técnica utilizada na confecção de circuitos integrados) é igual a
5%. Uma amostra de 300 circuitos é testada, encontrando 13 defeituosos. Teste ao nível de
significância de 1%, se o pesquisador está correto. Defina as hipóteses e Interprete.
Solução:
0 0,05p = , 300n = , k = 13, 0,05α = e ˆ 13/ 300 0,04p = =
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1. Enunciar as hipóteses
0
1
: 0 , 05
: 0, 05
H p
H p
=
≠
2. 05.0=α
Variável: (5% 2,5%2 2
Z Z Zα = = =
4. Calcular a estatística do teste:
0
0 0
ˆ
/cal
p pZ
p q n
−
= = = = −
4. Determinar RA e RC:
5. Conclusão:
Como -ZTab < ZCal < +ZTab ���� 1,96 <
significância, concluí-se que a fração d
processo de fotolitografia é igual a 5%.
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)2,5% 1,96= = = .
Calcular a estatística do teste:
( )( )
0, 04 0, 05 0, 01
0, 0125/ 0, 05 0,95 / 300p q n
− −
= = = = −
1,96 < -0,8 < 1,96; NÃO rejeita H0, ou seja, com 5% de
se que a fração de circuitos integrados defeituosos produzidos em um
processo de fotolitografia é igual a 5%.
100
0, 04 0, 05 0, 01 0,8
0, 0125
= = = = −
, ou seja, com 5% de
e circuitos integrados defeituosos produzidos em um
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101
Exercício 3.5: Uma máquina foi regulada para fabricar placas de 5 mm de espessura. No entanto,
após uma inspeção de rotina, o técnico informou ao seu dono que ela está produzindo 4% das placas
com defeitos. Assim, foi retirada uma amostra de 40 placas, identificando apenas 2 com defeito.
Teste a um nível de 99% de confiança se a máquina está produzindo um percentual de peças com
defeito acima do que o técnico informou. Defina as hipóteses e interprete.
4.3.4 - Valor-P
A seção anterior sobre teste de hipóteses mostrou que se pode rejeitar ou não uma hipótese usando
um nível de significância α, um valor crítico e uma correspondente região de rejeição, que é a
abordagem clássica. A seguir, será apresentada uma outra maneira equivalente, bastante comum e
abordada na maioria dos softwares estatísticos e na literatura científica, de se obter o mesmo
resultado final.
Definição: O valor-p é a chance de encontrar o valor observado na amostra ou valores mais
extremos, assumindo que a hipótese nula, H0, é verdadeira.
Observação 1: No caso do uso do valor-p, não precisamos mais calcular uma estatística do teste e
compará-la com um valor tabela da distribuição de referência (normal, t-student, F, qui-quadrado,
etc). Basta compararmos o resultado do valor-p diretamente com o nível de significância α.
Observação 2: Quanto menor for o valor-p, mais forte será a evidência fornecida pela amostra
contra H0. Por outro lado, quanto maior for o valor-p, menor será a evidência contra H0.
Relação entre valor-p e α
a) Se valor-p ≤ α � rejeita-se H0 e os dados SÃO estatisticamente significantes.
b) Se valor-p > α � não se rejeita H0 e os dados NÃO SÃO estatisticamente significantes.
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102
Exemplo 3.11: Um pesquisador deseja determinar o efeito da taxa de escoamento de C2F6 sobre a
uniformidade do ataque químico em uma pastilha de silicone usada na fabricação de um circuito
integrado. Três taxas de escoamento são usadas no experimento e a uniformidade (em porcentagem)
resultante, para seis pastilhas de silicone para cada taxa de escoamento. O experimento foi
completamente aleatorizado.
HIPÓTESES TESTADAS:
H0: Não há diferença na resposta entre as taxas de escoamento de C2F6;
H1: Há diferença na resposta entre pelo menos duas das taxas de escoamento de C2F6.
� Para uma valor-P = 0,0533, rejeita-se H0 (α=5%)?
Solução:
Não rejeita H0, pois Valor-p > α.
Exemplo 3.12: Um pesquisador deseja testar a resistência do concreto à compressão. Ele deseja
investigar quatro técnicas diferentes de mistura. O experimento foi completamente aleatorizado.
HIPÓTESES TESTADAS:
H0: Não há diferença na resposta entre as diferentes técnicas de mistura;
H1: Há diferença na resposta entre pelo menos duas das diferentes técnicas de mistura.
a) Para uma valor-P = 0,000488, rejeita-se H0 (α=5%)?
Solução:
Rejeita H0, pois Valor-p < α.
b) E se fosse testar com α=1%? Rejeita H0 ?
Solução:
Rejeita H0, pois Valor-p < α � 0,0488% < 1%.
c) Nesse caso, os dados são ESTATISTICAMENTE SIGNIFICANTES? Justifique.
Solução:
São! Porque rejeitou H0.(Hipótese Nula)
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103
Exemplo 3.13: Um experimento foi feito para determinar se quatro temperaturas específicas de
queima afetam a densidade de um certo tipo de tijolo. Utilizando 4 tijolos para cada temperatura
específica, foi determinada a densidade para o tipo de tijolo de acordo com a variação das
temperaturas. O experimento foi completamente aleatorizado.
HIPÓTESES TESTADAS:
H0: Não há diferença na densidade do tipo de tijolo variando as temperaturas;
H1:Há diferença na densidade do tipo de tijolo em pelo menos duas das temperaturas.
a) Para um valor-P = 0,0000125, rejeita-se H0 (α=1%)?
Solução:
Rejeita H0, pois Valor-p < α.
b) E se fosse testar com α=5%? Rejeita H0 ?
Solução:
Rejeita H0, pois Valor-p < α � 0,0488% < 1%.
c) Nesse caso, os dados são ESTATISTICAMENTE SIGNIFICANTES? Justifique.
Solução:
São! Porque rejeitou H0.(Hipótese Nula)
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REFERÊNCIAS
1. AZEVEDO, P. R. M. Introdução à Estatística. Rio Grande do Norte: EDUFRN, 2005.
2. BUSSAB, W. O. e MORETIN, P. A. Estatística Básica. 5. ed. São Paulo: Atual, 2006.
3. VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. 3. Ed. Rio de Janeiro: Campus, 1980.
4. DANTAS, C. A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 2. ed. 1. reimpressão - São
Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2004.
5. MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2. ed. - Rio de Janeiro: Livros técnicos
e científicos editora S. A., 1983.
6. MONTGOMERY, D.C. e RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para
Engenheiros. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
7. MORETTIN, P. A. & BUSSAB, W. de O. Estatística Básica. 5. Ed. São Paulo: SARAIVA,
2002.
8. PINHO, A. L. S. & SPYRIDES, M. H. C. Métodos Estatísticos I. Natal: UFRN, 2011.
(Notas de Aula).
9. SILVA, Francisco de Assis Medeiros da. Estatística Aplicada à Administração. Natal: UFRN,
2004. (Notas de Aula).
10. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. LTC, 2008.
11. WERKEMA, M. C. C. Como estabelecer conclusões com confiança: entendendo inferência
estatística. Série Ferramentas de Qualidade.
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ANEXOS
TABELA A - DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
TABELA B – DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT
EST0323– Estatística Aplicada a Engenharia I
ANEXO A - Distribuição Normal Padrã
zc 0,00 0,01 0,02
0,0 0,0000 0,0040 0,0080
0,1 0,0398 0,0438 0,0478
0,2 0,0793 0,0832 0,0871
0,3 0,1179 0,1217 0,1255
0,4 0,1554 0,1591 0,1628
0,5 0,1915 0,1950 0,1985
0,6 0,2257 0,2291 0,2324
0,7 0,2580 0,2611 0,2642
0,8 0,2881 0,2910 0,2939
0,9 0,3159 0,3186 0,3212
1,0 0,3413 0,3438 0,3461
1,1 0,3643 0,3665 0,3686
1,2 0,3849 0,3869 0,3888
1,3 0,4032 0,4049 0,4066
1,4 0,4192 0,4207 0,4222
1,5 0,4332 0,4345 0,4357
1,6 0,4452 0,4463 0,4474
1,7 0,4554 0,4564 0,4573
1,8 0,4641 0,4649 0,4656
1,9 0,4713 0,4719 0,4726
2,0 0,4772 0,4778 0,4783
2,1 0,4821 0,4826 0,4830
2,2 0,4861 0,4864 0,4868
2,3 0,4893 0,4896 0,4898
2,4 0,4918 0,4920 0,4922
2,5 0,4938 0,4940 0,4941
2,6 0,4953 0,4955 0,4956
2,7 0,4965 0,4966 0,4967
2,8 0,4974 0,4975 0,4976
2,9 0,4981 0,4982 0,4982
3,0 0,4987 0,4987 0,4987
3,10 ou + 0,4999
NOTA: Para valores de Z acima de 3,09, use 0,4999 como
área.
* Use esses valores comuns resultantes
Escore z Área
1,645 0,4500
2,575 0,4950
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Distribuição Normal Padrão Z~N(0,1)
P(0 ≤ Z ≤ zc)
0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279
0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675
0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064
0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443
0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808
0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157
0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486
0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794
0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078
0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340
0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577
0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790
0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980
0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147
0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292
0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418
0,4474 0,4484 0,4495 *0,4505 0,4515 0,4525
0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616
0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693
0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756
0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808
0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850
0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884
0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911
0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932
0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949
0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962
0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972
0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979
0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985
0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989
NOTA: Para valores de Z acima de 3,09, use 0,4999 como
* Use esses valores comuns resultantes de interpolação:
106
0,08 0,09
0,0319 0,0359
0,0714 0,0753
0,1103 0,1141
0,1480 0,1517
0,1844 0,1879
0,2190 0,2224
0,2517 0,2549
0,2823 0,2852
0,3106 0,3133
0,3365 0,3389
0,3599 0,3621
0,3810 0,3830
0,3997 0,4015
0,4162 0,4177
0,4306 0,4319
0,4429 0,4441
0,4535 0,4545
0,4625 0,4633
0,4699 0,4706
0,4761 0,4767
0,4812 0,4817
0,4854 0,4857
0,4887 0,4890
0,4913 0,4916
0,4934 0,4936
*0,4951 0,4952
0,4963 0,4964
0,4973 0,4974
0,4980 0,4981
0,4986 0,4986
0,4990 0,4990
EST0323– Estatística Aplicada a Engenharia I
TABELA B - Distribuição t de Student (Unicaudal e Bicaudal)
αααα 25% 10% 5% 2,5%
ϕϕϕϕ
1 1,0000 3,0777 6,3138 12,7062
2 0,8165 1,8856 2,9200 4,3027
3 0,7649 1,6377 2,3534 3,1824
4 0,7407 1,5332 2,1318 2,7764
5 0,7267 1,4759 2,0150 2,5706
6 0,7176 1,4398 1,9432 2,4469
7 0,7111 1,4149 1,8946 2,3646
8 0,7064 1,3968 1,8595 2,3060
9 0,7027 1,3830 1,8331 2,2622
10 0,6998 1,3722 1,8125 2,2281
11 0,6974 1,3634 1,7959 2,2010
12 0,6955 1,3562 1,7823 2,1788
13 0,6938 1,3502 1,7709 2,1604
14 0,6924 1,3450 1,7613 2,1448
15 0,6912 1,3406 1,7531 2,1315
16 0,6901 1,3368 1,7459 2,1199
17 0,6892 1,3334 1,7396 2,1098
18 0,6884 1,3304 1,7341 2,1009
19 0,6876 1,3277 1,7291 2,0930
20 0,6870 1,3253 1,7247 2,0860
21 0,6864 1,3232 1,7207 2,0796
22 0,6858 1,3212 1,7171 2,0739
23 0,6853 1,3195 1,7139 2,0687
24 0,6848 1,3178 1,7109 2,0639
25 0,6844 1,3163 1,7081 2,0595
26 0,6840 1,3150 1,7056 2,0555
27 0,6837 1,3137 1,7033 2,0518
28 0,6834 1,3125 1,7011 2,0484
29 0,6830 1,3114 1,6991 2,0452
30 0,6828 1,3104 1,6973 2,0423
31 0,6825 1,3095 1,6955 2,0395
32 0,6822 1,3086 1,6939 2,0369
33 0,6820 1,3077 1,6924 2,0345
34 0,6818 1,3070 1,6909 2,0322
35 0,6816
1,3062 1,6896 2,0301
36 0,6814 1,3055 1,6883 2,0281
37 0,6812 1,3049 1,6871 2,0262
38 0,6810 1,3042 1,6860 2,0244
39 0,6808 1,3036 1,6849 2,0227
40 0,6807 1,3031 1,6839 2,0211
41 0,6805 1,3025 1,6829 2,0195
42 0,6804 1,3020 1,6820 2,0181
43 0,6802 1,3016 1,6811 2,0167
44 0,6801 1,3011 1,6802 2,0154
45 0,6800 1,3006 1,6794 2,0141
Estatística Aplicada a Engenharia I – Prof. Msc. André Luiz Sena da Rocha
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Distribuição t de Student (Unicaudal e Bicaudal)
ϕ = graus de liberdade
1% 0,5% αααα 25% 10% 5% 2,5%
ϕϕϕϕ
31,8207 63,6574 46 0,6799 1,3002 1,6787 2,0129
6,9646 9,9248 47 0,6797 1,2998 1,6779 2,0117
4,5407 5,8409 48 0,6796 1,2994 1,6772 2,0106
3,7469 4,6041 49 0,6795 1,2991 1,6766 2,0096
3,3649 4,0322 50 0,6794 1,2987 1,6759 2,0086
3,1427 3,7074 51 0,6793 1,2984 1,6753 2,0076
2,9980 3,4995 52 0,6792 1,2980 1,6747 2,0066
2,8965 3,3554 53 0,6791 1,2977 1,6741 2,00
2,8214 3,2498 54 0,6791 1,2974 1,6736 2,0049
2,7638 3,1693 55 0,6790 1,2971 1,6730 2,0040
2,7181 3,1058 56 0,6789 1,2969 1,6725 2,0032
2,6810 3,0545 57 0,6788 1,2966 1,6720 2,0025
2,6503 3,0123 58 0,6787 1,2963 1,6716 2,0017
2,6245 2,9768 59 0,6787 1,2961 1,6711 2,0010
2,6025 2,9467 60 0,6786 1,2958 1,6706 2,0003
2,5835 2,9208 61 0,6785 1,2956 1,6702 1,9996
2,5669 2,8982 62 0,6785 1,2954 1,6698 1,9990
2,5524 2,8784 63 0,6784 1,2951 1,6694 1,9983
2,5395 2,8609 64 0,6783 1,2949 1,6690 1,9977
2,5280 2,8453 65 0,6783 1,2947 1,6686 1,9971
2,5177 2,8314 66 0,6782 1,2945 1,6683 1,9966
2,5083 2,8188 67 0,6782 1,2943 1,6679 1,9960
2,4999 2,8073 68 0,6781 1,2941 1,6676 1,9955
2,4922 2,7969 69 0,6781 1,2939 1,6672 1,9949
2,4851 2,7874 70 0,6780 1,2938 1,6669 1,9944
2,4786 2,7787 71 0,6780 1,2936 1,6666 1,9939
2,4727 2,7707 72 0,6779 1,2934 1,6663 1,9935
2,4671 2,7633 73 0,6779 1,2933 1,6660 1,9930
2,4620 2,7564 74 0,6778 1,2931 1,6657 1,9925
2,4573 2,7500 75 0,6778 1,2929 1,6654 1,9921
2,4528 2,7440 76 0,6777 1,2928 1,6652 1,9917
2,4487 2,7385 77 0,6777 1,2926 1,6649 1,9913
2,4448 2,7333 78 0,6776 1,2925 1,6646 1,9908
2,4411 2,7284 79 0,6776 1,2924 1,6644 1,9905
2,4377 2,7238 80 0,6776 1,2922 1,6641 1,9901
2,4345 2,7195 81 0,6775 1,2921 1,6639 1,9897
2,4314 2,7154 82 0,6775 1,2920 1,6636 1,9893
2,4286 2,7116 83 0,6775 1,2918 1,6634 1,9890
2,4258 2,7079 84 0,6774 1,2917 1,6632 1,9886
2,4233 2,7045 85 0,6774 1,2916 1,6630 1,9883
2,4208 2,7012 86 0,6774 1,2915 1,6628 1,9879
2,4185 2,6981 87 0,6773 1,2914 1,6626 1,9876
2,4163 2,6951 88 0,6773 1,2912 1,6624 1,9873
2,4141 2,6923 89 0,6773 1,2911 1,6622 1,9870
2,4121 2,6896 90 0,6772 1,2910 1,6620 1,9867
100 0,677 1,290 1,660 1,984
120 0,677 1,289 1,658 1,980
∞∞∞∞ 0,674 1,282 1,645 1,960
107
2,5% 1% 0,5%
2,0129 2,4102 2,6870
2,0117 2,4083 2,6846
2,0106 2,4066 2,6822
2,0096 2,4049 2,6800
2,0086 2,4033 2,6778
2,0076 2,4017 2,6757
2,0066 2,4002 2,6737
2,0057 2,3988 2,6718
2,0049 2,3974 2,6700
2,0040 2,3961 2,6682
2,0032 2,3948 2,6665
2,0025 2,3936 2,6649
2,0017 2,3924 2,6633
2,0010 2,3912 2,6618
2,0003 2,3901 2,6603
1,9996 2,3890 2,6589
1,9990 2,3880 2,6575
1,9983 2,3870 2,6561
1,9977 2,3860 2,6549
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