UNIDADE 1 - cal2 2013

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INTRODUÇÃO 
 
O maior avanço no cálculo integral veio com os trabalhos de Newton e Leibnitz no fim do 
século XVI, em que a noção de derivada tem papel fundamental. Os métodos desenvolvidos 
por Newton e Leibnitz tornaram a integral uma ferramenta com inúmeras aplicações, bem além 
da geometria, em todas as áreas da ciência e da engenharia. 
 
O cálculo integral é muito usado em Engenharia Civil, principalmente o cálculo numérico de 
integrais, para calcular áreas, volumes, cargas, resultante de carregamentos (em estruturas 
planas e espaciais), centros de gravidade, centroides, momentos de inércia, deformações, 
solução de estruturas hiperestáticas (equações elásticas), etc. Outras aplicações mais 
avançadas como cálculo das áreas de estruturas, hidráulica, hidrologia, geotecnia, etc. Isto 
sem falar nas áreas de transportes, logística, otimização que abrangem uma gama enorme de 
aplicações da Engenharia Civil. 
Exemplo típico de uma aplicação de cálculo integral em Engenharia Civil, é a avaliação do 
volume de material em uma jazida, através de integração dupla numérica utilizando as 
coordenadas x, y e z medidas pela topografia e pela sondagem de laboratório. Outra seria o 
cálculo de uma área de inundação de uma bacia hidrográfica, para calcular a cota de 
inundação para construção de uma barragem, etc. 
 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
 Profa. Flavia Mendes Integral Definida 
 
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UNIDADE 1 – INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 
1.1 Primitiva 
 
Se as derivadas das funções são f ’(x) = 2, g’(x) = x
3
 e s’(t) = 4t. Como determinar as funções f, 
g e s? 
Esta operação de determinar a função original a partir da derivada é a operação inversa da 
derivação chamada primitivação. 
Definição: Uma função F é uma primitiva de uma f(x) se para cada x no domínio de f(x) 
acontecer F ‘ (x) = f(x). Se F(x) é primitiva de f(x), então F(x) + C é chamada de integral 
indefinida da f(x) denotada por 
 ∫ ( ) ( ) . 
 diferencial 
 integrando 
 Símbolo da integral 
 
Ex.1: F(x) = x
3
 
 G(x) = x
3
 – 5 são primitivas de 3x
2
, pois a derivada de cada uma é 3x
2
. 
 H(x) = x
3
 + 0,3 
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3 
 
 
Ex.2: F(x) = 
 
 
 é primitiva de f(x) = x2, pois F ‘ (x) = 
 
 
 . 3x2 = x2 
Ex.3: Seja a função y = 4x
3
 + 6x + 5 , a sua integral é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Integrais de Funções Polinominais 
 
Ex.: Determine cada integral indefinida: 
a) ∫ 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
b) ∫( ) 
 ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ∫
 
√ 
 
 
 
 ∫(
 
√ 
 
 
√ 
) ∫( 
 
 
 
 ) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 2 
 
 
 
 
 
 
Há essencialmente dois métodos empregados no calculo de integrais indefinidas (primitivas) de 
funções elementares. Um é a integração por substituição e outro método é chamado de 
integração por partes. 
 
 
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1.2 METODO DA SUBSTITUIÇÃO 
 
O Método da Substituição ou Mudança de Variável por Integração é utilizado em casos de 
integrandos mais complexos quando é difícil reconhecer os passos necessários para ajustar o 
integrando a uma fórmula de integração básica. Quando isso ocorre, um procedimento 
alternativo é a substituição ou mudança da variável. A integral é reescrita em função de u e du. 
 
Regra: Se u = g(x) for função derivável então 
 
∫ ( ( )) ( ) ∫ ( ) i.é; u = g(x) e du = g’(x) dx 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: ∫ √ dx 
 
 Para encontrar essa integral usamos uma nova variável: mudança da variável x para a 
nova variável u. 
 
u = 1 + x
2
 derivando; du = 2x dx 
 
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então podemos escrever ∫ √ ∫√ 2x dx = ∫√ 
 
 
 
 
 + c = 
 
 
√( ) 
 
 
Resumo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação 
 
 
 
 
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1.3 METODO DA INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 4.: 
 
 
 
 
 
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Aplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabelas básicas de Integrais Indefinidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 2 – INTEGRAL DEFINIDA 
 
Integral Definida de Riemann 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO: Seja f continua no intervalo fechado [a,b]. A área (A) da região limitada pelo 
gráfico de f pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b é denotada por 
 
 
 
 
A = ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A expressão ∫ ( ) 
 
 
 é chamada de integral definida de a até b, em que a é o limite 
inferior da integração e b é o limite superior de integração. 
 
 
 
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TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO 
 
 
 
Diretrizes para o uso do Teorema Fundamental do Cálculo: 
 
i) O teorema descreve uma forma de calcular uma integral definida, não um 
procedimento para determinar primitivas. 
 
ii) Ao aplicar o teorema é útil usar a notação acima 
 
 
iii) A constante de integração C pode ser removida pois; 
 
∫ ( ) ( ) 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
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APLICAÇÃO DO TEOREMA: 
A integral de uma taxa de variação é a variação total: ∫ ( ) ( ) ( )
 
 
. 
Esse princípio pode ser aplicado para todas as taxas de variação nas ciências naturais e 
sociais. Abaixo estão alguns exemplos dessa ideia: 
i) Se V(t) for o volume de água em um reservatório no instante t, então sua derivada 
V´(t) é a taxa segundo a qual a água flui para dentro do reservatório no instante t. 
Portanto, ∫ ( ) ( ) ( )
 
 
 é a variação na quantidade de água no 
reservatório entre os instantes de tempo t1 e t2. 
 
ii) Se a massa de uma barra medida a partir da extremidade esquerda até um ponto x 
for m(x), então a densidade linear p(x) = m´(x). Logo ∫ ( ) ( ) ( )
 
 
 é a 
massa do segmento da barra que está entre x=a e x=b. 
iii) Se C(x) for o custo de produzir x unidades de uma mercadoria, então o custo 
marginal é a derivada C´(x). Logo, ∫ ( ) ( ) ( )
 
 
 é o crescimento do 
custo quando a produção está crescendo de x1 até x2 unidades. 
 
iv) Se quisermos calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos de 
considerar os intervalos quando a partícula move-se para a direita e também 
intervalos para a esquerda. Em ambos os casos a distância é calculada integrando-se 
velocidade escalar v(t). Portanto, ∫ | ( )| 
 
 
. 
 
 
2.1 APLICAÇÃO – VOLUME DE UM SOLIDO DE REVOLUÇÃO 
 
 
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido que é 
chamado SOLIDO DE REVOLUÇÃO. A reta ao redor da qual a região gira é chamada EIXO 
DE REVOLUÇÃO. 
 
Ex.: fazendo a região limitada pelas curvas, y = x, y = 0 e x = 4 girar em torno do eixo dos x, o 
sólido de revolução obtido é um cone. 
 
 
 
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Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y, 
obtemos um cilindro. 
 
 
 
 
 
Consideremos agora o problema de definir o volume do sólido T gerado pela rotação em torno 
do eixo x da região plana R. 
 
 
 
Suponha que f(x) é continua e não negativa em [a, b]. Seja o 
comprimento do intervalo [xi – 1, xi]. Considere a = x0 < x1 < ... < xi – 1 < xn = b. Em cada 
intervalo escolhemos um ponto qualquer ci. Para cada i, i = 1, ... , n, construímos um retângulo 
R de base xi e altura f(ci). Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x, o sólido de 
revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por; 
 
 
 
 
 
A soma dos volumes dos n cilindros, que representam Vn é dada por; 
 
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Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada xi i = 1, ..., n, torna-se muito 
pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente, entendemos 
como o volume do sólido T. 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO: Seja y = f(x) uma função continua não negativa em [a, b]. Seja R a região sob o 
gráfico de a até b. O volume do sólido T gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x é 
definido por 
 
 
 
 
A soma que aparece acima é uma soma de Riemann da função [f(x)]
2
 .Como f é continua, pela 
definição de integral definida temos: 
 
 
 
A fórmula pode ser generalizada para outras situações: 
i) 
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Supondo f(x)  g(x),  x  [a, b], o volume do sólido T gerado pela rotação de r em torno do 
eixo x é dado por: 
 
 
ii) Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo y 
 
 
 
 Neste caso, temos; 
 
 
 
iii) A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos 
coordenados. 
 
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos; 
 
 
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Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos: 
 
 
 
 
Ex.: A região R limitada pela curva y = 
 
 
 o eixo x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno do 
eixo x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. 
 
 
 
 
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Ex.: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x da região limitada 
pela parábola y = 
 
 
( ) e pela reta y = 
 
 
( ). 
 
 
 
 
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Ex.: A região R delimitada pela parábola x = 1/2 y2 + 1 e pelas retas x = -1, y = 2 gira em torno 
da reta x = -1. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. 
 
 
 
 
 
 
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2.2 APLICAÇÃO – AREA DE UMA SUPERFICIE DE REVOLUÇÃO 
 
DEFINIÇÃO: Seja C uma curva de equação y = f(x) onde f e f’ são funções contínuas em [a, b] 
e f(x)  0  x  [a, b]. A área da superfície de revolução S gerada pela rotação da curva C ao 
redor do eixo dos x é definida por; 
 
A soma acima não é exatamente uma soma de Riemann da função f(x) √ ( ) pois 
aparecem dois pontos distintos ci e di. No entanto, é possível mostrar que o limite 
acima é a integral desta função. Temos então; 
 
 
 
Se considerarmos a curva x = g(y), y  [c, d] girando em torno do eixo dos y, a área será dada 
por 
 
 
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2.3 INTEGRAL IMPRÓPRIA 
 
As integrais impróprias são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como, por 
exemplo, na solução de equações diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no 
estudo das probabilidades, em Estatística. 
 
As integrais definidas ∫ ( ) 
 
 
 exige que o intervalo [a,b] seja finito e f seja continua em [a, 
b], ou seja, consideramos a função integranda contínua num intervalo fechado e 
limitado. 
 
São chamadas de integrais impróprias nos seguintes casos: 
- Funções definidas em intervalos do tipo [a,+∞), (−∞, b] ou (−∞,+∞), ou seja, para todo x ≥ a ou 
x ≤ b ou para todo x ∈ R, respectivamente ou 
 
- Se f possui uma descontinuidade infinita no intervalo [a, b), i.é, tendem ao infinito em algum 
lugar do intervalo. 
 
 
Ex. ∫
 
 
 
 
 
 são impróprias, pois ambos os limites de integração são infinitos. 
 
Ex. ∫
 
√ 
 
 
 
 e ∫
 
( ) 
 
 
 são impróprias, pois seus integrandos possui uma 
descontinuidade infinita (tendem ao infinito em algum ponto). Por exemplo, qdo x = 1 e x = -1, 
respectivamente. 
 
 
 
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b 2 5 10 100 1000 10000 
1- 1/b 0,500 0,800 0,90 0,990 0,9990 0,9999 
 
A integral tende a um limite quando b aumenta ilimitadamente. 
 
 
Definição: Integrais com limites de integração infinitos 
 
 
i) Se f é contínua para todo x ≥ a definimos 
 
 
 
ii) Se f é contínua para todo x ≤ b definimos 
 
 
 
iii) Se f é contínua para todo x definimos 
 
 
 
 
 
Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas 
convergentes; caso contrário, são ditas divergentes. 
 
Ex. Calcule as seguintes integrais impróprias: 
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[4] Calcular área sob a curva y = 
 
 
 a direita de x = 
 
 
. 
∫
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 ou seja, a integral converge e área é 2 u.a. 
Outros exemplos: 
Ex. Calcular se convergir a integral I = ∫
 
( ) 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
Ex. A integral ∫
 
 
 
 
 converge ou diverge? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Definição: Integrais impróprias com integrandos infinitos 
 
i) Se f for contínua em [a, b) e tender a infinito em b então 
 
 
 
ii) Se f for contínua em (a, b] e tender a infinito em a então 
 
 
 
iii) Se f for contínua em [a, b] exceto para algum c em (a, b) no qual f tende a infinito 
então 
 
 
Se o limite correspondente existir dizemos que a integral imprópria é convergente, caso 
contrário será divergente se o limite não existir. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
[2]