apostila_de_calculo_limite_continuidade_e_derivadas2semestre

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Cálculo I - Engenharia Civil/Elétrica (quartas) 2o Semestre/2012 
LIMITES – CONTINUIDADE – DERIVADAS Prof. Inêz Zagula Jung 
Limites 
Introdução ao cálculo 
 
Historicamente, o desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646-
1716) resultou da investigação dos seguintes problemas: 
 
1. Encontrar a reta tangente a uma curva num 
dado ponto da curva (figura 1.1a). 
 
2. Encontrar a área da região plana limitada por 
uma curva arbitrária (figura 1.1b). 
 
 
Pode aparecer que o problema da reta tangente 
não esteja relacionado a nenhuma aplicação 
prática, mas como você verá mais tarde, o 
problema de se encontrar a taxa de variação de 
uma quantidade em relação à outra é 
matematicamente equivalente ao problema 
geométrico de se encontrar a declividade da reta 
tangente a uma curva num dado ponto da curva. 
Foi precisamente a descoberta da relação entre 
estes dois problemas que alavancou o desenvolvimento do cálculo no século XVII, transformando-o numa ferramenta 
indispensável para a solução de problemas práticos. Eis aqui alguns exemplos de tais problemas: 
 
* Encontrar a velocidade de um objeto. 
* Encontrar a taxa de variação de uma população de bactérias em relação ao tempo. 
* Encontrar a taxa de variação do lucro de uma companhia em relação ao tempo. 
* Encontrar a taxa de variação do faturamento de uma agência de viagens em relação ao gasto da agência em 
publicidade. 
 
 O estudo do problema da reta tangente levou à criação do cálculo diferencial, que se baseia no conceito de 
derivada de uma função. O estudo do problema da área levou à criação do cálculo integral, que se baseia no conceito 
de antiderivada ou integral de uma função. (A derivada e a integral de uma função estão intimamente relacionadas, 
como você verá mais a diante.) Tanto a derivada de uma função quanto a integral de uma função são definidas em 
termos de um conceito fundamental o de limite, nosso próximo tópico. 
 
Idéia intuitiva de limite 
Para definir derivada de uma função, é necessário que se tenha antes uma idéia ao menos intuitiva de limite de 
função e será suficiente a análise de alguns exemplos para que isso ocorra. 
 
 Exemplo 1: 
Dada a função y = x + 2, pode-se observar no gráfico da figura 2.1 quais são os valores que y assume quando 
x esta próximo de 2. 
Verifica-se que y assume valores próximos de 4. Diz-se, então, que y tende a 4 quando x tende a 2 ou que o 
limite da função y é 4 quando x tende a 2 e escreve-se simbolicamente 
com a notação: 
4lim
2

x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x  2- 
 (esquerda) 
f (x) = x + 2 x  2+ 
(direita) 
f (x)= x+ 2 
1,5 2,5 
1,8 2,2 
1,9 2,1 
1,99 2,01 
1,9999 2,001 
2 
 
Exemplo 2: 
Dada a função 
2
42



x
x
y
, já se pode observar um fato mais interessante quando se tenta determinar o limite de y 
para x tendendo a 2. 
 
No exemplo anterior, x pode assumir o valor 2, pois a função é definida nesse ponto o valor de y, para x = 2, é 4, nada 
havendo de extraordinário no limite, que coincide com esse valor. 
 
 
 
 
Agora, neste exemplo, a situação é diferente. A função não é definida para x = 2 e não se pode calcular o valor 
de y nesse ponto. Mas pode-se observar que o valor de y, quando x se aproxima de 2, aproxima-se de 4, como no caso 
anterior, pois as duas funções assumem os mesmos valores aos mesmos pontos, com exceção do ponto x = 2, onde a 
primeira função é definida e a segunda , não. 
 
De fato, a função y = 
2
42


x
x
 pode ser escrita na forma   
2
22



x
xx
y
 e, se x

2, pode ser simplificada, dando 
origem à função dada. Seu gráfico pode ser visto na figura 2.2. 
 
Neste caso, embora y não assuma o valor 4, também se tem: 
4lim
2


y
x
. 
 
Exemplo 3: 
A função y = 
2
1
x
 também tem um ponto, x = 0, para o qual não está definida. 
Mas observando-se no gráfico da figura 2.3 o que acontece com a função quando x se aproxima de zero, 
verifica-se que y assume valores cada vez maiores. Exprime-se essa idéia, dizendo que y tende a infinito quando x 
tende a zero ou que o limite de y é infinito quando x tende a zero, e escreve-se: 
 


y
x 0
lim
 (limite não existe) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x  2- 
 (esquerda) 
2
42



x
x
y
 
x  2+ 
(direita) 
2
42



x
x
y
 
1,5 3,5 2,5 4,5 
1,6 3,6 2,4 4,4 
1,7 3,7 2,3 4,3 
1,8 3,8 2,2 4,2 
1,9 3,9 2,1 4,1 
1,99 3,99 2,01 4,01 
1,9999 3,9999 2,001 4,001 
3 
 
Exemplo 4: 
 Observe-se, agora, a função Montante de capital de R$ 1.000,00 a 5% ao mês de juros simples, supondo que 
os juros não são calculados por fração de período. Então, o montante permanece igual por um mês para depois saltar 
bruscamente para um valor maior e novamente permanecer igual por um mês. 
 
A função é M = 1.000 + 50n, onde n é o tempo em meses, e seu gráfico pode ser visto na figura 2.4. 
 
 
O que acontece com os valores de M quando n tem valores próximos de 3? 
A pergunta não tem uma resposta única. Se n está próximo de 3, mas é menor que 3, M é 1.100. 
Se n está próximo de 3, mas é maior que 3, M é 1.150. Nesse caso, diz-se que não existe o limite de M quando n tende 
a 3 ou, simbolicamente: não existe 
M
n 3
lim

 
 
 
Exemplo 5: 
 Seja a função 
x
y
1

 que não é definida para x = 0 e observa-se , no gráfico da figura 2.5, qual é o limite de 
y quando x tende a zero. 
 
 
 
 
 Novamente, acontece o mesmo que se observou no caso anterior. Se x < 0, os valores de y são cada vez 
menores, quando x tende a zero e diz-se que y tende a 

. Se x > 0, os valores de y ficam cada vez maiores à 
medida que x se aproxima de zero, isto é, y tende a 

. 
 
 Como a resposta não é única, diz-se também nesse caso que não existe o limite de y quando x tende a zero, 
isto é, não existe 
.lim
0
y
x
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Exemplo 6: 
Suponha-se, agora que há interesse em determinar o limite de uma função quando x tende a 

, isto é, assume 
valores cada vez maiores ou menores ou quando x tende a -

, isto é, assume valores cada vez menores. 
Observe, por exemplo, o gráfico da função f(x) = 
3
2
1

x
 reproduzindo na figura 2.6 
 O gráfico aproxima-se cada vez mais da reta y = 3, quando x cresce, e assume valores cada vez maiores, ou 
seja, quando x tende a 

. Quando x tende a -

, o gráfico aproxima-se também de 3. 
 
.....................)(lim 

xf
x
 
.....................)(lim 

xf
x
 
 
 Observe o que acontece quando x tende a –2 pela direita e pela esquerda.

















.......................)(lim
.......................)(lim
.......................)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: 
Seja a função representada graficamente, determine os limites observando no gráfico. 
 
 
.....................................................)(lim)
.....................................................)(lim)
.....................................................)(lim)
:
4







xfc
xfb
xfa
Calcule
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 
x 
y 
5 
 
Exemplo 8 – Uma curiosidade sobre limites: 
 Calculando, com o auxilio na calculadora, o valor da função: x
x
y 






1
1
para x =1, x=10, x=100, 
x=1000, x = 10000, x=100000, encontram-se respectivamente os valores: y =2; y=2,7937; y = 2,7048; y=2,7181; 
y=2,7182. 
 A diferença mínima ocorrida no valor de 
y para os últimos valores atribuídos a x leva a crer 
que, por mais que x cresça, o valor de y será 
finito. De fato, já foi provado que esse limite é 
finito e que seu valor aproximado é de 2,71828. 
Esse número, é chamado e, é o numero irracional 
usado como base dos logaritmos naturais. 
 O gráfico dessa função, feito com o 
auxilio de uma tabela, em que se atribui valores 
negativos e positivos a x, está reproduzido na 
figura 2.8. 
e = x
x x








1
1lim
 
Exemplo 9 Para cada uma das funções na fig. 1 determine se 
)(lim
2
xg
x
 existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 
6 
 
1) 
3
1


x
y
 
 
Exercícios 01 
 
Observe os gráficos de cada uma das funções e determine os limites pedidos, se existirem: 
 
...............................................lim)
3


ya
x
 
...............................................lim)
3


ya
x
 
...............................................lim)
3


ya
x
 
 
b) 
....................................................lim
2


y
x
 
 
 
c) 

x
ylim
...................................................... 
 
 
 
 
 
 
................lim)
5

x
ya
 2) 
 
............lim)
2


yb
x
......... 
 
 


yc
x 3
lim)
......................... Por quê? 
 
 
 
3) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 Intuitivamente, encontre se existir: 
a) 
....................................)(lim
2


xf
x
 
 
b) 
....................................)(lim
2


xf
x
 
 
c) 
....................................)(lim
2


xf
x
 
 
d) 
...............)(lim 

xf
x
 
 
e) 
....................................)(lim 

xf
x
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
4) Seja a função y = x






3
2 definida pelo gráfico: Observe o gráfico e calcule, se existir: 
a) 
...............lim 

y
x
 
 
 
b) 
................lim 

y
x
 
 
 
 
 
 
 
5) Seja a função y = x2 definida pelo gráfico: Observe o gráfico e calcule, se existir: 
a) 
...............lim 

y
x
 
 
 
b) 
................lim 

y
x
 
 
 
 
c) 
................lim
2


y
x
 
 
 
 
LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
 
 Limite de uma função 
 Definição 1. Limite de uma função y = f (x) significa avaliar o comportamento desta quando x aproxima-se de 
algum valor, sem necessariamente assumi-lo. 
 
 Definição 2. Dada uma função y = f (x), a teoria dos limites estuda a que valor tende y, a medida em que x 
tender a um determinado valor xo. Se x  xo tanto pela direita como pela esquerda e y tender a um mesmo valor L 
então dizemos que: 
lim ( )f x L
x x

0
. 
 
Exemplos 
10.Considere a função 
 1x
3xx2
)x(f
2



 com x  1, analise o comportamento da mesma a medida que a 
variável x se aproxima de 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
como 
5)(lim então 5)(lim5)(lim
1
11



xfxfexf
x
xx
 . 
Observamos que, na medida em que x fica cada vez mais próximo de 1, f(x) torna-se cada vez mais próxima 
de 5. 
x  1- f (x) 
0,75 4,5 
0,9 
0,99 
0,999 
 
 
x  1+ f (x) 
1,25 5,5 
1,1 5,2 
1,01 5,02 
1,001 5,002 
 
8 
 
Propriedades dos limites: 
 
Suponha que 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x L e g x M
 
 
, então: 
1. 
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
    
 
 
2. 
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
    
 
 
3. 
lim . ( ) . lim ( ) .
x a x a
c f x c f x c L
 
 
 
 
4. 
lim
( )
( )
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x a
x a
x a
x a
f x
g x
f x
g x
L
M
g x




   0
 
 
5. 
 lim ( ) lim ( )
x a
c
x a
c
cg x g x M
 






 
 
 
6. 
cclim
ax


 
 
7. 
axlim
ax


 
 
8. 
bma)bmx(lim
ax


 
 
Determinação do limite de uma função: 
 Quando x  a, sendo a um nº real qualquer: 
 A função pode ser algébrica ou fracionária, basta substituir o x pelo valor ao qual ele tende e efetuar. 
 
Exemplo 11 
Use os teoremas de limites para calcular os seguintes limites: 
a) 
lim
x x 2
3
1
 b) 
lim
x
x x

 
3
2 7
 
 
 
 
c) 
lim
x
x
x

0
1
4
 d) 
lim
x
x


3
2 2
 
 
 
 
 
Indeterminações 
 No estudo dos limites devemos considerar operações onde algumas delas recaem em expressões que são 
chamadas de indeterminações. Expressões como, por exemplo: 
0
0
; 
0
; 


; 

; 0
0
; 
;1
 
.0
 
 Assim em diversos limites nos defrontamos com situações de indeterminações do tipo acima e “escapamos” 
delas através de manipulações algébricas (artifícios algébricos) tais como, por exemplo: 
 
1. Fatorar a função fracionária e simplificar; 
2. Dividir numerador pelo denominador ou vice-versa (considera-se o polinômio de maior grau). 
3. Usa-se a racionalização no caso de radicais. 
9 
 
Convém, antes de darmos novos exemplos, lembrarmos algumas fórmulas de fatoração: 
I)
))((22 bababa 
 
II)
222 )(2 bababa 
 
 
222 )(2 bababa 
 
III)
  21
2 xxxxacbxax 
 em que x1 e x2 são as raízes da equação 02  cbxax 
 
IV) 
    2233 babababa 
 
 
    2233 babababa 
 
V) Briot-Ruffin nos casos de polinômios com Grau 2, 3, 4,..... 
 
 Exemplos de Indeterminação quando x tende a um número real. 
 
Exemplos (caderno) 
1. 
x2
xx
lim
3
0x


 2. 
1x
3xx2
lim
2
1x 


 3. 
2xx
2x
lim
22x 


 
 
4) 
2
4
lim
2
2 

 x
x
x
 5) 
4
23
lim
2
3
2 

 x
xx
x
 6) 
353
142
lim
23
23
1 

 xxx
xxx
x
 
 
7) 
x
x
x
24
lim
0


 8) 
232
4
lim
2
2 

 xx
x
x
 
 
 
8) Exemplo resolvido 
Seja a função f definida por: f(x) = 










13
1
1
232
xse
xse
x
xx
 Calcule 
)(lim
1
xf
x
. 
Solução: 
 Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a “a”, interessa o 
comportamento da função quando x se aproxima de “a” e não ocorre com a função quando 
x = “a”, temos :
1)2(lim
1
)2)(1(
lim
1
23
lim)(lim
11
2
11








x
x
xx
x
xx
xf
xxxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
LIMITES LATERAIS 
 
 Ao considerarmos 
)(lim xf
ax
estamos interessados nos valores de x em um intervalo aberto 
contendo a, mas não no próprio a; isto é, em valores de x próximos de a e maiores ou menores que 
a 
 
Definição 01: Seja uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um número L 
é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escrevemos 
.)(lim Lxf
ax


 
 
Definição 02: Seja uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um número L 
é o limite à esquerda da função f quando x tende para a, e escrevemos 
.)(lim Lxf
ax


 
 
Exemplo: 
1) Dada a função 
)31()(  xxf
, determinar se possível, 
)(lim)(lim
33
xfexf
xx  
. 
Resolução: 
 
A função dada só é definida para 
3x
. Assim, não existe 
)(lim
3
xf
x 
. 
Para calcular 
)(lim
3
xf
x 
, podemos aplicar as propriedades. Temos, 
  1)01()3(lim1)3(lim1lim31lim)(lim
33333

 
xxxxf
xxxxx
 
 
O teorema a seguir nos da a relação existente entre limites laterais e limite de uma função. 
 
Teorema: Se f é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, 
então 
Lxf
ax


)(lim
, se e somente se 
Lxf
ax


)(lim
 e 
Lxf
ax


)(lim
. 
 
Exemplos: 
2) Seja 









29
22
2,1
)(
2
2
xparax
xpara
xparax
xf
. Determinar, se existirem, 
)(lim)(lim
22
xfexf
xx  
. 
Esboçar o gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Operações envolvendo  : 
 No estudo dos limites devemos considerar as operações envolvendo , que não são válidas para cálculos 
algébricos. (obs: c é um número real) 
Adição e subtração Multiplicação Divisão Potência 
c +  =  
c -  = - 
 + =  
- -  = -  
- =indeterminação 
 - c =  
c .  =  
c . (-) = - 
 .  =  
 . (-) = - 
 . 0=indeterminação 
/c =  
-/c = -  
c /  = 0 
c / 0 =  
0/0 = indeterminação 
/ =indeterminação 
0 =  
c

 
















c1c
0coc1
0c1c0
c1c
 
0
c
= 0 c  0 
0

= 0 
 =  
c
0
=1 c  0 
0
0
= indeterminação 
0= indeterminação 
1

 = indeterminação 
 
Limites no infinito: “x tende ao infinito” 
 
Analisamos até este momento limites de funções quando x tende a um determinado valor “a”, observamos que 
em alguns casos a função é ilimitada, ou seja, tende ao infinito. 
 Passamos a analisar limites de funções quando x tende ao infinito. 
 
Por exemplo: 
a) 
1 x
x
lim
x
 = 


 causa 
indeterminação, simplificando temos 
 








x
x
x
lim
x 1
1
= 


1
1
1
 = 1, ou seja, a 
medida em que x tende ao infinito, f(x) se 
aproxima de 1 e temos então uma assíntota 
horizontal. 
 
 
x f (x) 
10 0,9 
100 0,99 
1000 0,999 
10000 0,9999 
 
 
b) 
)2(
1
)(


x
xf
 
 
....................................
)2(
1
lim 
 xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Limites no infinito 
 Quando x  

 
 
Se a função for racional: substitui-se diretamente na função e observa-se a ocorrência de indeterminações. 
 
Nos casos de indeterminação, usamos o seguinte artifício: 
 
* Colocar o termo de maior grau em evidência do numerador e denominador, e simplificar. 
b) Calcular o 
52
34
lim


 x
x
x
 e esboçar o gráfico da mostrando as assíntotas. 
 
Qual é a tendência da curva quando x tende para +

. 
 
 
 
Qual é a tendência da curva quando x tende para - 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de Indeterminação quando x tende mais infinito ou menos infinito. 
 
Exemplos. (caderno) 
Exemplo 01) Calcule os seguintes limites: 
a) 
9542lim 23 

xxx
x
 b) 
1782
9754
lim
2
23


 xx
xxx
x
 c) 
14
52
lim
3
2


 x
xx
x
 
 
 
Exemplo: 2) 
1
1
lim
2  xx
 
13 
 
Teorema 
Se r é um inteiro positivo então 
 
(i) 
0
1
lim 
 rx x
 (ii) 
0
1
lim 
 rx x
 
 
 
 
Limites infinitos 
Analisemos agora a seguinte situação: 
x
1
lim
0x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim observamos que 

 x
1
lim
0x
 e 

 x
1
lim
0x
, ou seja, 

 x
1
lim
0x
. Portanto à medida que x se 
aproxima de zero, verificamos que a função 
x
1
 não se aproxima de nenhum valor bem definido (ou cresce cada vez 
mais, ou decresce cada vez mais). Nesse caso dizemos que não existe limite quando x tende à zero da função 
x
1
. 
 
Observação. Quando se afirma que um limite existe, deve ser entendido por isto, que o limite existe e é finito (um 
número bem definido). Possível confusão surge quando, por exemplo, se escreve a expressão 


A
ax
lim
. 
 Entretanto, isto não significa que A tende a um número designado por , mas apenas que A torna-se grande, à 
medida que x tende para a. Deve-se lembrar que  não é um número, e não deve ser considerado como tal, ele é 
apenas um símbolo que representa números grandes. 
Limites infinitos 
 Seja f uma função definida em todo número no intervalo aberto I contendo a, exceto, possivelmente, no 
próprio a. Quando x se aproxima de a, f(x) cresce ou decresce ilimitadamente, o que pode ser escrito como: 


)(lim xf
ax
 ou 


)(lim xf
ax
 
Exemplos 
 
a) Seja f a função definida por 
2)2(
3
)(


x
xf
, 
calculando os limites laterais obtemos: 

 22 )2(
3
lim
xx
 
 

 22 )2(
3
lim
xx
 
 
 
 
 
x  0+ f (x) 
1 
0,5 
0,1 
0,0001 
0,000001 
 
x  0- f (x) 
-1 --1-1 
-0,5 -2 
-0,1 
-0,0001 
-0,000001 
 
14 
 
b) Seja f a função definida por 
1
2
)(


x
x
xh
, calculando 
 os limites laterais obtemos: 

 1
2
lim
1 x
x
x
 

 1
2
lim
1 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como podemos saber se é + ou - infinito? 
Estudar o sinal próximo ao valor que x tende. 
 
Continuação dos Teoremas: 
 













parése
ímparérse
x
ii
x
i
x
r
x
r
x
rx
1
lim)
1
lim)
1
lim
0
0
0 
 
Em outros casos estudar o comportamento do sinal próximo ao valor que x tende. 
 
Exemplos: 
1) Calcule: 
2
2 )2(
1
lim


 x
x
x
 
 
 
 
)36(
6
lim
2
6 

 x
x
x
 
 
 
 
82
3
lim
2
4 

 xx
x
x
 
 
 
 
 
15 
 
Outros Exemplos (interpretação direta) 
1) 
1x
1
lim
1x 
=

 0
1
11
1
, portanto não existe limite dessa função. 
2) 
4x
3
lim
4x 
=

 0
3
44
3
, portanto não existe limite dessa função. 
3) 






 0
3
55
3
5x
3-
lim
5x
, portanto não existe limite dessa função. 
Exercícios01 
Calcule os limites a seguir. 
1) 
3x
9x
lim
2
3x 


 2) 
x3x
x6
lim
20x 
 3) 
25x
5x
lim
25x 


 
 
     
15
54
lim.78lim.612lim.573lim.4
3
3
2
2
25 


 x
x
xxxx
xxxx
 
492
1683
lim.10
32
94
lim.9
7
49
lim.8
2
2
4
2
2
3
2
7 





 xx
xx
x
x
x
x
xxx
 
Respostas: 
1) 6 2) -2 3) -1/10 4) 8 5) 7 6) 0 7) ½ 8) 14 9) 6 10) 16/7 
 
Calcule os limites 
1) 
)15(lim 23
1


xxx
x
 R: 8 2) 
)342(lim 23
1


xxx
x
 R: 4 
 
3) 
526:)1224(lim 23
2


Rxxx
x
 4) 
10:
5
45
lim
2
2
2




R
x
xx
x
 
 
5) 
3:
2
107
lim
2
2




R
x
xx
x
 6) 
4:
3
32
lim
2
3




R
x
xx
x
 
 
7) 
3/1:
12
34
lim
5
3
1




R
xx
xx
x
 8) 
12:
6
36
lim
2
6
R
x
x
x 


 
 
9) 
80:
2
32
lim
5
2
R
x
x
x 


 10) 
2:
27543610
27188
lim
234
234
3
R
xxxx
xxx
x 


 
 
11) 
0:
42
2
lim
2
R
x
x
x 


 12) 
4:
2
4
lim
4
R
x
x
x 


 
13) 
4:
42
lim
0
R
x
x
x 
 14) 
4/1:
1
32
lim
1




R
x
x
x
 
 
15) 
2:
11
lim
0
R
x
x
x 
 16) 
3/4:
2
321
lim
4
R
x
x
x 


 
 
17) 
14/5:
1153
2232
lim
2
2
2
R
xx
xx
x 


 
 
16 
 
Exercícios 02 
 
A) Calcule os seguintes limites: 
1) 
2
1
lim
xx 
 2) 
2
1
lim
xx 
 3) 
8
1
lim
 xx
 4) 
53
1
lim
 xx
 
5) 
2
12
lim


 x
x
x
 6) 
1
lim
2
2


 x
xx
x
 
Respostas: 1) 0 2) 0 3) 0 4) 0 5) 2 6) 1 
 
B) Calcule os limites 
a) 
52
34


 x
x
lim
x
 b) 
14
52
lim
3
2


 x
xx
x
 
 
c) 
52
43
2 

 x
x
lim
x
 d) 
9
4
2
2
 x
x
lim
x
 e) 
1
32 2


 x
xx
lim
x
 
Resp: 1) a) 2 b) 0 c)
2
23 d) 4 e) inf. 
 
C) Calcule quais dos seguintes limites existe. Calcule os limites que existem. 
a) 
6
124
lim
2
6 

 x
xx
x
 b) 
6
124
lim
6 

 x
x
x
 
 
a) existe, 8 b) 

não existe 
 
 
 
D) Calcule os limites 
1) 
4x
3
lim
x 
 2) 
3
2
lim
x
x 
 3) 
6xx
3x
lim
2x 
 4) 
1xx 5
3
lim

 
 
 
 
5)
13xxlim 2
x


 6) 
1x
x
lim
2
x 
 7) 
2
3
lim
2  xx
 
 
 
 
 
Respostas: 1) 0 2) 

 Não existe 3) 0 4) 0 5) 

 Não existe 6) 

 Não existe 7) 

 Não existe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
1) Através do gráfico, determine o limite (se existir) de f(x) quando x tende ao valor indicado abaixo. 
CASO NÃO EXISTA O LIMITE, EXPLIQUE POR QUÊ. 
 a) 
_______)(lim
2


xf
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
_______)(lim
3


xf
x
 
 
 
 
 
 
 
c) 
_______)(lim
2


xf
x
 
 
 
 
2) O gráfico de f(x) = 
1
1
1
2

x
 é dado no gráfico, use-o para calcular os limites indicados (se existir). 
 a) 
_______)(lim
1


xf
x
 
 
 
 
 
b) 
_______)(lim 

xf
x
 
 
 
 
 
 
3) Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas: 


)(lim
0
xf
x
 


)(lim
0
xf
x
 
2)(lim 

xf
x
 
2)(lim 

xf
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 1) a) Não existe porque limite a esquerda é 2 e a direita é 1. 
b) O limite é 2, pois a esquerda e a direita o limite é o mesmo valor , ou seja, 2. C) – infinito 2) a) 3/2 b) 1 
3) Fazer um gráfico com assíntota horizontal 2 e assíntota vertical 0. 
 
18 
 
Calcule os limites Laterais 
1) 
6
4
lim
6  xx
 2) 
6
4
lim
6  xx
 3) 
xx  1
3
lim
1
 4) 
xx  1
3
lim
1
 5) 
x
x
x
5
lim
0


 
 
6) 
x
x
x
5
lim
0


 7) 
1
lim
2
1  x
x
x
 8) 
1
lim
2
1  x
x
x
 9) 
2
0
1
lim
xx


 10) 
2
0
1
lim
xx


 
 
Respostas: 
1) + 

 2) - 

 3) - 

 4) 

 5) 

 6) - 

 7) + 

 8) - 

 9) - 

 10) - 

 
 
Calcule os limites laterais solicitados. 
 
1) 









114
12
123
)(
xx
xse
xsex
xf
 
)(lim
1
xf
x 
 
)(lim
1
xf
x 
 
)(lim
1
xf
x
 
 
2) 









21
20
21
)(
2
xx
xse
xsex
xf
 
)(lim
2
xf
x 
 
)(lim
2
xf
x 
 
)(lim
2
xf
x
 
 
3) 









276
21
2132
)(
2
2
xxx
xse
xsexx
xf
 
)(lim
2
xf
x 
 
)(lim
2
xf
x 
 
)(lim
2
xf
x
 
 
 
4) 






3,73
3,1
)(
xx
xx
xf
 calcule: 
a) 
)(lim
3
xf
x 
 b) 
)(lim
3
xf
x 
 c) 
)(lim
3
xf
x
 
 
 d) 
)(lim
5
xf
x 
 e) 
)(lim
5
xf
x 
 f) 
)(lim
5
xf
x
 
 
Esboçar o gráfico da função f(x) (questão 4) 
 
 
5) 






3,7
3,12
)(
2
x
xxx
xf
 calcule 
)(lim
3
xf
x
 
 
 
 
Respostas: 
1) 1 e 5 não existe limite 2) 1 e -3 não existe limite 
 
3) 1 e 1 existe limite. 
 
4) a) 2 b) 2 c) 2 d) 8 e) 8 5) 8 
 
5) O limite existe e é 4 
 
 
 
19 
 
 
Limites - Exercícios gerais. 
1) Se o número de artigos y manufaturados por dia, x dias após o início da produção é dado por: 
)1(200 1,0 xey 
. Qual o número de artigos manufaturados por dia, quando a indústria atingir o número 
máximo de dias de produção? 
2) O número de empresas de uma indústria particular é dado pela equação: t
tN 75,0)5,0(6)( 
 
Onde t é o número de anos desde que a indústria começou. Quantas empresas existirão quando a indústria 
atingir seu tempo máximo? 
 
3) Os custos de produção de uma companhia são descritos pela função: 
xexC 02,070100)( 
 onde x 
é o número de unidades de produção. Determine o custo máximo de produção que esta companhia poderá 
atingir? 
 
4) Calcule os limites a seguir: 
a) 
25lim 23
2
1


xxx
x
 b) 








 1
1
lim
4
2
1 x
x
x
 c) 








 2
44
lim
2
2 x
xx
x
 d) 








 1
1
lim
5
0 x
x
x
 
 
e) 








 1
1
lim
4
1 x
x
x
 f) 








 32
65
lim
2
3
0 xx
xx
x
 g) 








 1
1
lim
2
2
1 xx
x
x
 h) 
x
x
e
1
lim

 
 
i) 








 1
2
4lim
xx
 j) 







 
 x
x
x e
e
1
1
lim
 l) 








 2
453
lim
2
2
x
xx
x
 m) 







 
 x
x
x e
e
1
1
lim
 
 
n) 






 xx e
x
1
lim
0
 o) 








 6
54
23
5
lim
xx
xx
x
 p) 




 

x
x
1
31lim
 q) 
xx
x
x 2
59
lim
3
2



 
 
r) 
234 5lim xxx
x


 s) 






 xx
x
x 23
lim
5
4 
 
5) Calcule os limites laterais abaixo. 
a) 
x
x
x
2
lim
1


 b) 
x
x
x
4
lim
2
1


 c) 
9
lim
2
3  x
x
x
 
6) Uma empresa tem seu faturamento y (em mil reais) dado pela função a) 
6
362



x
x
y
, onde x é o 
número de 
unidades vendidas (em 1000 unidades) de um determinado produto. Pergunta-se: a medida que o número 
de 
unidades vendidas se aproxima de 6000 unidade, qual o faturamento esperado? 
 
7) Suponha que a função L = x
2
 - 5x -115000 represente o lucro de uma empresa (L é dado em u.m. e x 
em unidades). Determine o valor relativo ao lucro à medida que o número de unidades vendidas se 
aproxima de 600. 
Respostas 
1) 200 2) 6 3) 100 
 
4) a) 35/8; b) 15/8; c) 0; d) 1; e) 4; f) 2; g) 2; h) 1; i) 4; j) 0; l) 3; m) 

; n) 0; o) 0; p) 2; 
q) 0; r) 

; s) 0 
 
5) a) 3; b) 5 ; c) 

 6) R$ 12000 7) $242000 u.m. 
20 
 
 
 
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 
 
Uma função f(x) é contínua em x = a, desde que a seguinte igualdade seja verdadeira. 
 
)()(lim afxf
ax


 (1) 
 
Para que (1) se sustente, três condições precisam ser satisfeitas: 
 
(i) f(a) existe; 
 
(ii) 
ax
)x(flim

 existe; 
 
(iii) 
ax
)x(flim

 = f(a). 
 
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em “a”, a função f será descontínua em “a” 
 
 Dizemos que uma função é contínua em x = a, se (grosso modo) o gráfico da função não tem quebras (ou 
pulos) quando ele passa pelo ponto (a, f(a)). Isto é, f(x) é contínua em x = a, se pudermos desenhar o gráfico através do 
ponto (a, f(a)) sem tirar nosso lápis do papel. Observe as figuras e julgue-as. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: Se as funções f e g forem contínuas 
em a, então: 
(a) f + g é contínua em a. 
(b) f - g é contínua em a. 
(c) f.g é contínua em a. 
(d) f /g é contínua em a se g(a) 
0
 e tem 
uma descontinuidade em a, se g(a) = 0. 
21 
 
“Uma função é dita contínua se ela é contínua em todos os pontos de seu domínio” 
 
Exemplos: 
1) Se f(x) 
xxx
x
xf
2
1
)(
23
2



 determine as descontinuidades de f(x). 
 
 
2) Investigue a continuidade nos pontos indicados: 
 
a)
2
4
)(
2



x
x
xf
 em x = 2 b) f(x) = x
2
 + 2x + 1 em x = 1 c) f(x) = 
x
2
 em x = 1 
 
 
3) Nos problemas a seguir: (a) trace o esboço do gráfico das funções dadas; (b) use a definição de continuidade e diga 
se a função é contínua em a. 
a) 
1
12
12
)( 





 xem
xsex
xsex
xf
 b) 











 4
42
4
)4(
43
)(
2
xem
xse
xse
x
xx
xf 
c) 3
31
3
3
3
)( 










 xem
xse
xse
x
x
xf d) 
.3
312
34
)(
2






 xem
xsex
xsex
xf
 
 
e) f(x) = 








xse
xse
xse
23
221
24
 em x = 2 f) 
1
1
13
)(
2






 xem
xsex
xsex
xf
 
 
 
 
 
Exercícios 1) Nos problemas a seguir: (a) trace o esboço do gráfico das funções dadas; (b) use a definição de 
continuidade e diga se a função é contínua em a. 
1. f(x) = 
3
39
35






a
xsex
xsex
 2. f(x) = 
0a
0xse1
0xse0
0xse1








 
 
3. f(x) = 
1a
1xsex3
1xsex3






 4. f(x) = 
1a
1xsex
1xsex2
2







 
 
2
23
23
)()82
228
2
)()7
1
12
14
132
)()62
24
24
24
)()5
2
22
2
































a
xsex
xsex
xfa
xsex
xsex
xf
a
xsex
xse
xsex
xfa
xsex
xse
xsex
xf
 
 
 
22 
 
 
 
Gabarito: 
 1) D 2) D 3) D 4) C 5) D 6) D 7) C 8) D gráficos abaixo 
Gabarito Gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 02) 
Determine o ponto ou intervalo de descontinuidade da função, caso exista: 
1) y = 
4
162


x
x
 2) 
x
y
2
1

 3) 
x
y
2

 4) 
xxxy 223 
 
 
5) 
2
1
x
y 
 6) 
1
1



x
x
y
 7) 
9
1
2 

x
y
 
 
Respostas exercícios 02) 
1) x = -4 2) x = 0 3) x = 0 4) Continua para todo real 5) x = 0 6) x = -1 7) [-3, 3] 
 
 
Exercícios 03) 
Determine se cada função é contínua ou descontínua em cada intervalo dado: 
1) f(x) = 
24 x
 em [-2, 2] [2, 3] (-2, 2) e (-1, 5). 
 
2) f(x) = 
1
3
x
 em 
)1,(
 (-3, -1) 
)1,( 
 
),1( 
 
),1[ 
 e [-2, 2] 
 
3) f(x) = 
36
6
2 

x
x
 em 
]6,(
 
]4,( 
 
),6( 
 
]9,6[
 
),7[ 
 
 
4) 






212
123
)(
xsex
xsex
xf
em 
]2,1[)2,1();1,( e
 
 
Respostas 03: 
1) contínua em [-2, 2] (-2, 2) descontínua em [2, 3] e (-1, 5). 
 
2) Contínua em (-3, -1) 
)1,( 
 
),1( 
 descontínua em 
)1,(
 
),1[ 
 e [-2, 2] 
 
3) Descontínua em todos os intervalos citados. 
 
4) Contínua em 
]2,1[)2,1();1,( e
 
24 
 
Exercícios Complementares sobre Continuidade de uma função 
Nos problemas a seguir: (a) trace o esboço do gráfico das funções dadas; (b) use a definição de continuidade e diga se a 
função é contínua em x. 
1) f(x) = 
0
01
00
02
2









xem
xsex
xse
xsex
 2) 
3
312
34
)(
2






 xem
xsex
xsex
xf
 
 
3) 
2
24
23
276
)( 








 xem
xsex
xse
xsex
xf
 4) 
2
23
221
24
)( 








 xem
xse
xse
xse
xf
 
 
5) 
2
228
2
)(
2






 x
xsex
xsex
xf
 
 
Resposta EXERCÍCOS Continuidade de uma função 
2) 
 
2) 
i) f(3) = 5 
 
ii) 











 5)(lim
5)(lim
)(lim
3
3
3 xf
xf
xf
x
x
x
 
 
Existe limite 
)(lim
3
xf
x
, e 
)(lim
3
xf
x
= 
f(3) 
 
 logo f(x) é contínua em 3. 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
3) 
i) f(-2) = 3 
 
ii) 











 5)(lim
6)(lim
)(lim
2
2
2 xf
xf
xf
x
x
x
 
 
Não existe limite 
)(lim
2
xf
x 
, logo f(x) é 
descontínua em -2. 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
4) 
 
 
4) 
i) f(2) = -1 
 
ii) 











 1)(lim
3)(lim
)(lim
2
2
2 xf
xf
xf
x
x
x
 
 
Não existe limite 
)(lim
2
xf
x
, logo f(x) é 
descontínua em 2. 
5) 
5) 
i) f(2) = 4 
 
ii) 











 4)(lim
4)(lim
)(lim
2
2
2 xf
xf
xf
x
x
x
 
 
Existe limite 
)(lim
2
xf
x
, e 
)(lim
2
xf
x
= 
f(2) 
 
 logo f(x) é contínua em 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
DERIVADAS 
Introduzimos a derivada, considerando primeiro sua interpretação geométrica como 
inclinação de uma reta tangente a uma curva. Posteriormente discutiremos a equação da reta 
tangente, derivada calculada por definição (conceito) e as regras de derivação (fórmulas). 
Em seguida, interpretamos a derivada como taxa de variação. Essa interpretação mostra a 
sua importância em diversos campos. Por exemplo, em física, a velocidade no movimento retilíneo 
é definida em termos de derivada, pois é a medida da taxa de variação da distância com relação ao 
tempo. A taxa de crescimento de bactérias é uma aplicação da derivada em Biologia. A taxa da 
variação de uma reação química é um tópico de interesse para um químico. Os economistas estão 
preocupados com conceitos marginais tais como receita marginal, o custo marginal e o lucro 
marginal, que são taxas de variação. 
Derivada é uma ferramenta matemática básica usada para calcular a taxa de variação e a 
inclinação de retas tangentes. 
 
DERIVADA COMO MEDIDA DE INCLINAÇÃO 
 
 Seja y = f(x) a função cujo gráfico está representado pela curva da figura e da qual se quer 
determinar a inclinação no ponto P (x, y). 
 
 
Localizando o triângulo retângulo na 
figura podemos concluir que : 
x
y
tg



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
A medida que a reta secante 
torna-se tangente em P(x,y) = ponto 
genérico, 
x
tende a zero, ou seja, 
0x
, então teremos o mt (coeficiente 
angular)
 
 da reta tangente que será dado 
por: 
 
x
y
tg



 = 
x
xfxf

 )()( 1
 e, 
 
 
 xxx  1
 isolando 
xxx 1
 
trocando em 
)( 1xf
=
)( xxf 
 
chegamos : 
 
)(
)()(
lim
0
xf
x
xfxxf
x
y
m
x
t








= derivada da função 
 
 
Assim, se este limite existir, chama-se derivada da função  
 
 

f x
f x x f x
xx
( ) lim
( )


0
 . 
A derivada de uma função determina o 
coeficiente angular de uma reta tangente a 
uma curva em um ponto qualquer desta curva, 
e com isso sabemos se a função é crescente ou 
decrescente neste ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrete - Geometria Analítica: Como escrever uma equação da reta geral ou reduzida? 
Dado um ponto 
 yx,
 e o coeficiente angular m. Substituir na fórmula: 
   xxmyy 
 e 
depois, desenvolver a equação podemos deixar na forma de equação reduzida y = mx + n ou 
geral ax + by + c = 0. 
Lembre-se que o m (coeficiente angular) é calculado pela derivada. 
 
28 
 
Exemplos: 
 
1) Determine a inclinação da reta tangente à curva y = x
2
 + 2x no ponto x = 1, usando a definição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine a equação da reta tangente à curva y = x
2
 + 2x no ponto x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O processo usado no item anterior parece muito trabalhoso para ser repetido todas as vezes que se precisar derivar 
uma função. Usando, porém, esse mesmo processo, podem ser deduzidas fórmulas para cada tipo de função, o que facilita 
sobremaneira o cálculo de derivadas. 
 Essas regras de derivação serão apenas relacionadas aqui, mas não serão demonstradas, uma vez que essas 
demonstrações são simples e repetitivas e poderiam até ser feitas como exercícios se fossem conhecidas algumas 
propriedades dos limites. 
A partir desta definição  
 
 

f x
f x x f x
xx
( ) lim
( )


0
 determina-se as regras de derivação que determinam 
da mesma forma o coeficiente angular da reta tangente a um ponto de uma curva, ou seja, o crescimento ou decrescimento 
(taxa de variação) da curva em qualquer ponto desta curva. 
Notações: 
dx
dy
xfy  )(
 ou 
dt
dy
tf )('
 
 
 
 
29 
 
Regras de Derivação – Fórmulas de algumas funções 
Nesta tabela u(x) e v(x) são funções deriváveis e, c, n e a são constantes. 
 
0)1  yCy
 
9) 
2
.
v
vuvu
y
v
u
y


 
2) 
1 yxy
 ou/ 
naxy   1.  naxny
.1 
 
10) 
)cos(.).cos()sen( uuouuuyuy 
 
REGRA DA CADEIA 
3) 
  uunyuy nn   .. 1
 
1n
 
 
11) 
)sen(.).sen()cos( uuouuuyuy 
 
 
4) 
uaayay uu  ).ln(.
 
 1,0  aa
 
 
12) 
)(sec.).(sec)( 22 uuouuuyutgy 
 
 
5) 
)ln(.
log
au
u
yy ua


 
 
13) 
)(cos.).(cos)(cot 22 uecuouuuecyugy 
 
 
6) 
veyey vv  .
 
 
14) 
)sec().(.).sec().()sec( uutguouuuutgyuy 
 
 
7) 
u
u
yuy

 )ln(
 
 
15) 
uuugyuy  ).sec(cos).(cot)sec(cos
 
 
8) 
vuvuyvuy  ...
 
 
16) 
vuy   uuvy v   .. )1(
 + 
vuu v .ln.
 (u > 0) 
 
Exemplos: Técnicas de derivadas 
1) Derive as funções abaixo: 
a) y = 2x
2
 + 3x + 1 b) V(x) = 
454
3
1 3  xx
 c) y = 
x3
2
 c) 
xx
x
y  4
2
3
 
 
2) Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 
2
)(
2x
xf 
 no ponto P(2, 2). 
3) Encontre a declividade (coeficiente angular) da reta tangente à curva no ponto indicado P(x,y), em cada 
caso: a) y = 2x
3
 + 3x + 4 em (1, 9) 
 
 
4) Determine a equação da reta tangente no ponto P(1, 2) à curva f(x) = x
2
 + 1. Esboçar o gráfico da 
função f(x) e da reta tangente. 
 
 
 
30 
 
Exercícios (I) 
1. Encontre a declividade da reta tangente à curva no ponto indicado P(x,y), em cada caso: 
a) y = 9 - x
2
 em (1,8) 
b) y = 7 - 6x - x
2
 em (0, 7) 
c) y = x
3
 - 3x em (1, -2) 
 
2. Determine a equação das retas tangente à curva no ponto indicado. 
a) y = x
2
 – 4x – 5 em P(-2,7) 
b) y = 
x
6
 em P(3,2) 
c) f(x) = 3x
3
 – 1 em P(2, 23) 
 3) Encontre a equação que gera o coeficiente angular em qualquer ponto da curva 
54
6
2
)( 3  xxxf
. 
 4. Determine a derivada das funções usando as regras de derivação: 
a) y = x5-3x3+1 b) y = 5
6
x
6
 - 9x
4 
 c) y = 
6
52
510

xx
 
d) y = x x4 3
4 3
1 
 e) y = x
8
 – 2x7 + 3x f) y = 3x2 + 7x + 17 
 
5. Encontre a derivada de f(x) nos valores indicados de x. 
a) f(x) = x6 em x = -2 
b) f(x) = 
2
1
x
 em x = 3 
c) f(x) = 4 – x em x = 5 
d) f(x) = 32x em x = 1 
e) f(x) = 
x
 em x = 1 
 
6. Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y = x
3
 no ponto (4, 64) e escreva a equação desta reta. 
 
7. Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y = 
x
no ponto (25, 5) e escreva a equação desta reta. 
 
8. Derive as funções: 
a) C (q) = q3 + 2q2 + 4q + 20 
b) R (q) = 6q2 – q3 
c) L (q) = -q4 + 13q2 – 36 
d) P (x) = 3110x 
e) U(x) = 
xx
 
f) Q(x) = - p2 + 100 
 
9) Seja y = - x
2
 + 8x – 12 
a) Faça o gráfico da função e determine o ponto da curva em que a tangente é paralela ao eixo dos x. Qual o 
valor da derivada da função nesse ponto? 
b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
c) Resolva as inequações y’ > 0 e y’ < 0. 
31 
 
Respostas 
1) a) f’(1) = m = -2 b)f ‘(0) = m = - 6 c) f ‘(1) = m = 0 2) a) y = -8x - 9 b) y = -2/3x + 4 c) y = 36x – 49 
 
3) m(x) = f’(x) = x2 + 4 4) a) y ‘= 5x4 –9x2 b) y’= 5x5 –36x3 c) y’= 5x9- x4 d) y’= x3 – x2 
e) y’= 8x7 –14x6 + 3 f) y’= 6x + 7 5) a) f ’(-2) = -192 b) f’(3) = -2/27 c) f’(5) = -1 d) f ‘(1) = 2/3 
e) f’(1) = ½ 6) m(4) = f’(4) = 48 y = 48x – 128 7) m(25) = y’= 1/10 y = 1/10x + 5/2 
 
8) C
’
 = 3q
2
 + 4q + 4 R’= 12q - 3q2 L’= -4q3 + 26q P’= 10/3 x-2/3 U’= 3/2x1/2 Q’=-2p 
 
9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
Técnicas de Derivação: USA-SE A TABELA DE DERIVADAS 
 
Obtenha a derivada de cada função a seguir: 
1) f(x) = 2x
3
 + 4x
2
-
x
3
2
 + 34 2) f(x) = (2x
3
 –1)(x4 + x2) 
3) f(x) = 
2
12


x
x
 
35
32
)()4
2
4



xx
x
xf
 
 5) 
xxf 2sen)( 
 6) f(x) =
)3( xe
 
7) 
2
3
3
2
)( 3
2
 x
x
xf
 8) 
xxf ln)( 
 
9) f(x) = ln (2x+1) 10) f(x) = 2x + 3lnx – sen2x 
11) y = 
2
3
12
x
xx

 12) 
xxxf cos.2)( 3
 
13) f(x) = 
x
x
sen
2 3
 
 
Função Composta – Regra da Cadeia 
)(.)()( xuuvxf 
, isto é, 
 )(xf
(derivada de v em relação a u).(derivada de u em relação a x). 
  )(.)(.)()()( 1 xuxunxfxuxf nn  
 
1n
 
 
32 
 
Exemplos: Obtenha a derivada das seguintes funções: 
a) f(x) = (3x - 1)
2
 b) 
12)(  xxf
 c) f(x) = sen
2
x d) f(x) = 
1
2
x
 e) 
1)(  x
x
exf
 
f) 
)132ln()( 2  xxxf
 g) 
xxf 2)( 
 h) 
13).1()(  xxxf
 
Lista 01: 
Obtenha a derivada de cada função a seguir: 
a) f(x) =10 
b) f(x) = x5 
c) f(x) = 10x5 
d) f(x) = 
2
2
1
x
 
e) f(x) = x2 + x3 
f) f(x) = 10x3 + 5x2 
g) f(x) = 2x + 1 
h) f(t) = 3t2 – 6t –10 
i) f(u) = 5u3 – 2u2 + 6u + 7 
j) f(x) = 3lnx + 5 
k) f(x) = 10lnx – 3x + 6 
l) f(x) = 5senx + 2cosx – 4 
m) f(x) = x.senx 
n) f(x) = x2.lnx 
o) f(x) = (2x2 –3x + 5)(2x –1) 
p) f(x) = 
2
sen
x
x
 
q) f(x) = 
tgx
 
r) f(x) = 
2
1


x
x
 
s) f(x) = 
23
52
xx

 
t) f(x) = 32x 
u) f(x) = 4131 xx  
v) f(x) = 
1053 3  xx
 
w) f(x) =
xx sen.
 
x) f(x) = 
x
xln
 
 
 
 
33 
 
Respostas lista 01: 
a) 
 )(xf
0 b) 
 )(xf
5x
4
 c) 
 )(xf
50x
4
 
d) 
 )(xf
x e) 
 )(xf
2x + 3x
2
 f) 
 )(xf
30x
2
 + 10x 
g) 
 )(xf
2 
h) 
 )(tf
6t – 6 
i) 
 )(uf
15u
2
 – 4u + 6 
j) 
 )(xf
x
3
 
k) 
 )(xf
3
10

x
 
l) 
 )(xf
5cosx – 2senx 
m) 
 )(xf
sen x + x.cosx 
n) 
 )(xf
2x.lnx + x 
o) 
 )(xf
(4x – 3)(2x –1) + (2x2 – 3x + 5).2 
p) 
 )(xf
4
2 sen2cos
x
xxxx 
 
q) 
 )(xf
x
xfoux
2
2
cos
1
)(sec 
 
r) 
 )(xf
2)2(
1


x
 
s) 
 )(xf
34 106   xx
 
t) 
 )(xf
3
1
3
2
x
 
u) 
 )(xf
4
3
3
2
4
1
3
1
xx

 
v) 
 )(xf 3
2
2
1
3
5
2
3 
 xx
 ou 
 )(xf
3
2
2
1
3
5
2
3
xx

 ou 
 )(xf
3 23
5
2
3
xx

 
w) 
 )(xf xxxx cos.sen.
2
1
2
1
2
1


 ou 
 )(xf
xx
x
senx
cos.
2
1

 
x) 
 )(xf xxx ln.
2
1
2
3
2
3


 ou 
 )(xf
x
xx
ln.
2
11
33

 ou 
 )(xf
x
xxxx
ln.
2
11

34 
 
Lista 02 Obtenha a derivada das seguintes funções: 
a) 
 312)(  xxf
 
b) 
 412)(  xxf
 
c) 
 62 535)(  xxxf
 
d) 3
2
1
11
)( 






xx
xf
 
e) 
52 )23(
1
)(


xx
xf
 
f) 
)23ln()( 2 xxxf 
 
g) 
)63ln()( 2  xxxf
 
h) 
)3sen()( 2 xxxf 
 
i) 
)(xf
x2
 
j) 
)(xf
x5
 
k) 
)(xf
xxe 3
 
l) 
)(xf
122  xxe
 
m) 
)(xf
423 x
 
n) 
)(xf
1
1


x
x
e
 
o) 
)(xf
xx ee 
 
p) 
)(xf
xx
x
ee
ee
x


 
q) 
)(xf 12 x
 
r) 
)(xf
3 12 x
 
s) 
)(xf   2
3
2 126  xx
 
t) 
)(xf
3 2 131  xxx
 
u) 
)(xf 1 xx
 
v) 
)(xf
xe
xln 
w) 
)(xf
23
1


x
x 
Respostas: 
a) 
2)12(6)(  xxf
 
b) 
3)12(8)(  xxf
 
c) 
)310()535(6)( 52  xxxxf
 
d) 
)
12
()1
11
(3)(
23
2
2 xxxx
xf 
 
e) 
)32()23(5)( 62   xxxxf
 
f) 
xx
x
xf
23
26
)(
2 


 
g) 
63
32
)(
2 


xx
x
xf
 
h) 
)3cos()32()( 2 xxxxf 
 
i) 
2ln.2)( xxf 
 j) 
5ln.5)( xxf 
 
k) 
3ln.3)( xxexf 
 
 l) 
122)22()(  xxexxf
 
m) 
3ln.3.2)( )4(
2 xxxf
 
n) 
1
1
2)1(
2
)( 


 x
x
e
x
xf
 
o) 
xx eexf  )(
 
p) 
2)(
4
)(
xx ee
xf



 q) 
12
1
)(


x
xf
 
r) 
3
2
)12(
3
2
)(

 xxf
 ou
3 2)12(3
2
)(


x
xf
 
s) 
)212()126(
2
3
)( 2/12  xxxxf
 
t) 








3
1
).32()13()1(
2
1
)( 3
2
22
1
xxxxxf
 
u) 
2
1
2
1
).1(
2
1
2
1
)(

 xxxf
 
v) 
xx e
x
x
e
x
xf
ln
1
.
ln
2
1
)(
2
1 







 
w) 
2
2
1
)23(
1
.
23
1
.
2
5
)(











xx
x
xf
 35 
A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO 
 
Velocidade Instantânea 
 
Def. Definimos a velocidade média de uma partícula no movimento retilíneo como sendo o 
quociente da variação da distância pela variação do tempo. 
 Seja S medido em metros e t em segundos, a equação S = f(t) define S como uma função de 
t (o número de metros percorridos é uma função do tempo gasto para percorrê-los), então a 
velocidade média é dada por 
Vm
s
t
S S
t t
 




2 1
2 1
 onde S2 = f(t2) e S1 = f(t1) 
então: 
Vm
f t f t
t t



( ) ( )2 1
2 1
 ou seja 
Vm
f t t f t
t

 ( ) ( )1 1

 
 Agora, quanto menor for o intervalo de t2 a t1 (t0), mais próximo será a velocidade daquilo que 
nós consideramos como velocidade instantânea em t1, portanto: 
V t
f t t f t
tt
( ) lim
( ) ( )
1
0
1 1
 
 



, ou para um instante t qualquer 
 
V t
f t t f t
t
f t
t
( ) lim
( ) ( )
( ) 
 
 


0
 
Conclusão: 
A velocidade v(t) de um objeto é dada pela derivada da função posição de um objeto em 
movimento retilíneo, ou seja, 
)()( tstv 
. 
A derivada da função velocidade v(t) é chamada de função aceleração e é freqüentemente escrita 
como a(t): 
)()( tvta 
 ou 
)()( tsta 
 
Exemplo: 
1. Uma partícula move-se sobre uma linha reta com a equação do movimento: S(t) = 3t
2
 + t, calcular a 
velocidade da partícula no instante em que t = 2 segundos. 
R 13m/s 
 
TAXA DA VARIAÇÃO INSTANTÂNEA EM GERAL 
 
 As considerações a respeito da taxa de variação da distância em relação ao tempo poderão ser 
generalizadas e assim serão aplicáveis para quaisquer quantidades variáveis de qualquer espécie. Por 
exemplo, a taxa de crescimento de bactérias, a taxa de variação de uma reação química. Em economia, a 
receita marginal, o custo marginal e o lucro marginal, são taxas de variação. 
 Desta maneira, sejam x e y quantidades variáveis tal que y = f(x), par calcularmos a taxa de 
variação média de y por unidades de x teremos a seguinte razão: 
 
 

y
x
y y
x x



2 1
2 1
=
12
12 )()(
xx
xfxf


 (TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA) 
 
 A taxa de variação instantânea em x1 teremos quando x2 se aproxima de x1 (x2 - x1 = x; x0) e 
será escrita como: 
 




y
x
x
f x x f x
xx
( ) lim
( ) ( )
1
0
1 1
 
 

, 
 
logo se y = f(x), definiremos a taxa de variação instantânea de y em relação à x em um x qualquer como: 
 36 
 
 




y
x
x
f x x f x
x
f x
x
( ) lim
( ) ( )
( ) 
 
 
0
 
 
 
A derivada 
)(af 
mede a taxa de variação de f(x) em x = a 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente quando aquecido, calcule a taxa de 
variação instantânea de seu volume em relação a aresta no instante em que x = 2 cm. 
R. 12 cm
3
/cm de aresta 
A taxa de variação do volume será de 12cm
3
 por variação de 1 cm do comprimento de lado. 
 
 
2) Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de 
pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t(medido em dias a partir do primeiro dia da 
epidemia) é aproximadamente, dado por 
3
64)(
3t
ttf 
. 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
Resp: Logo, no tempo t = 4, a moléstia está se alastrando à razão de 48 pessoas por dia. 
 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
Resp: Logo, no tempo t = 8, a epidemia está totalmente controlada. 
 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5
o
 dia? Como o tempo foi contado em dias a partir 
do 1
o
 dia de epidemia, o 5
o
 dia corresponde à variação de t 4 para 5. 
 
Comentários: Em (a), vimos que no tempo t = 4 (inicio do 5
o
), a epidemia se alastra a uma taxa de 48 
pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5
o
 dia 43 pessoas serão atingidas. Essa diferença 
ocorreu porque a taxa de propagação da moléstia se modificou no decorrer do dia. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Algumas aplicações da derivada, ou seja, taxa de variação. 
População 
1) Estima-se que daqui a x meses a população de um certo município será P(x) = x
2
 + 20x + 8000. 
a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 15 meses? 
b) Qual será a variação da população durante o 16
o
 mês? 
Resp: a) 50 habitantes por mês. 
 b) 51 habitantes. 
 
2) O produto interno bruto (PIB) de um país é dado por N(t) = t
2
 + 5t + 106 bilhões de dólares, onde t é o 
número de anos após 1990. Qual foi a taxa de variação do PIB em 1998? R. 21 bilhões de dólares por 
ano. 
 
Aumento da População 
3) Calcula-se que daqui a x meses a população de certa cidade será 
50042)( 2
3
 xxxP
 
a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 9 meses. 
R. P’(x) = 2 + x
1/2 
 P’(9) = 20 habitantes por mês. 
 
 
 
 37 
Imposto Predial 
4) Os registros mostram que x anos depois de 1994, o imposto predial médio que incidia sobre um 
apartamento de três quartos em um certo município era T(x) = 20x
2
 + 40x + 600 reais. 
a) Qual era a taxa de aumento do imposto predial no início do ano 2000? R. T’(6) = R$ 280/ano 
Aumento da População 
5) Calcula-se que daqui a t anos, a população de certo município será 
)1(
6
20)(



t
tP
 mil pessoas. 
a) Escreva uma expressão para a taxa com que a população estará variando daqui a t anos. 
b) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 1 ano? 
c) Qual será o aumento da população durante o segundo ano? 
d) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 9 anos? 
e) O que acontecerá com a taxa de aumento da população ao longo prazo? 
Respostas 5: 
a) 
2)1/(6)(  ttP
 mil moradores por ano. 
b) 1500 moradores por ano. c) 1000 moradores 
d) 60 por ano A taxa de aumento tenderá a zero. 
 
6) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta de acordo com a equação do movimento 
S = 2t
3
 – 4t
2
 + 2t – 1. Determine a velocidade da partícula no instante t = 2 s. 
R. 10 m/s 
 
7. Um triângulo eqüilátero feito de uma folha de metal é expandido, pois foi aquecido. Sua área A é dada 
por 
4
32x
A
 onde x é o comprimento das arestas do triângulo em cm. Calcule a taxa de variação 
instantânea de A em relação a x no instante em que x = 10 cm. 
R. 5 
3
cm
2
/cm de aresta 
 
8. Uma bola é lançada verticalmente para cima, desde o solo. A equação do movimento é S = -5t
2
 + 20t (S 
em m e t em seg.), determine: 
a) a velocidade instantânea em t=1seg; R 10m/s 
b) a velocidade instantânea em t=3seg; R -10m/s 
c) o instante em que a bola começa retornar ao solo. R 2 seg. 
 
9. A pressão de um gás depende do seu volume V de acordo com a lei de Boyle P = C/V, onde C é uma 
constante. Suponha que C =2000, que P é medido em kg/cm
2
 e V é medido em cm
3
. Calcule a taxa de 
variação instantânea de P em relação a V no instante em que V=100 cm
3
. 
R. –0,2 kg/cm
2
/cm
3
 de volume 
 
10) O número de sócios de uma academia de ginástica aberta há algumas semanas é dado 
aproximadamente pela função 
3
2
)464(100)( ttN 
 
 520  t
 onde N(t) expressa o número de 
sócios no início da semana t. 
a) Determine N’(t). 
b) Com que rapidez o número de sócios da academia estava aumentando inicialmente (t=0)? 
Resp: 66,7 = 67 pessoas por semana. 
 
c) Com que rapidez o número de sócios da academia estava aumentando no inicio da 40
a
 semana? 
Resp: 43,9 = 44 pessoas por semana. 
 
d) Qual era o número de sócios quando a academia foi aberta? E no inicio da 40
a
 semana? 
Resp. Aprox. 1600 pessoas. E, aprox. 3688 pessoas no inicio da 40
a
 semana. 
 
11) Uma análise da produção diária de uma linha de montagem mostra que cerca de 
32
12
1
60)( ttttM 
unidades são produzidas após t horas de trabalho, 
80
 t
. Qual á a taxa de 
produção (em unidades por hora) quando t = 2? Resp. 63 unidades/hora. 
 
12) Líquido está sendo adicionado a um grande recipiente. Após t horas, o total de líquido no recipiente é 
tt 5
galões. Com qual taxa (galões por hora) o líquido flui para o recipiente quando t = 4? 
Resp: 4,75 galões por hora 
 38 
Esboço de Curvas 
 O “esboço” do gráfico de uma função f(x) deve apresentar a forma geral do gráfico – deve mostrar 
onde f(x) está definida e onde ele é crescente e decrescente, devendo indicar, quando for possível, a 
concavidade de f(x). Além, disso, um ou mais pontos devem ser indicados cuidadosamente no gráfico. 
Esses pontos geralmente incluem pontos extremos relativos, pontos de inflexão e as interceptações x e y. 
Outras características do gráfico também podem ser importantes, mas iremos discuti-las quando elas 
surgirem em exemplos e aplicações. 
 
Função crescente e decrescente 
1. Uma função f(x) é crescente quando 
0)(  xf
; 
2. Uma função f(x) é decrescente quando 
0)(  xf
; 
3. 
0)(  xf
 determina os pontos críticos da função (ponto de máximo, de mínimo ou de 
inflexão). 
 
Testes para máximos e mínimos locais 
a) Teste da primeira derivada 
 
1. Se (x)'f passa de + para -, f (x) passa por um máximo; 
2. Se (x)'f passa de - para +, f(x) passa por um mínimo; 
3. Se (x)'f
 
não muda de sinal, f(x) não passa por máximo nem por mínimo, pode ser um ponto de 
inflexão. 
 
b) Teste da segunda derivada 
 
1. Se )(x''f 0 < 0, f(x) passa por um máximo; 
2. Se )(x''f 0 > 0, f(x) passa por um mínimo; 
3. Se )(x''f 0 = 0, o teste falha. 
Obs. x0 é o ponto crítico determinado pela derivada primeira. 
 
Ponto de inflexão 
 É o ponto onde a curva muda de concavidade. Uma curva y = f(x) tem um ponto de inflexão 
quando: 
1. f(x0) está definido; 
 
2
. 
)(x''f 0 é igual a zero ou torna-se infinito; 
3. )(x''f 0 troca de sinal quando x passa por x0. 
 
Exemplos: 1) Esboce os gráficos das funções, mostrando todos os pontos extremos relativos (valores de 
máximo ou mínimo), pontos de inflexão e intervalos onde a função cresce e/ou decresce. 
a) f(x) = 
53 23  xx
 b) 
xxxxf 53
3
1
)( 23 
 c) y = x
3
 + x
2
 – x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
Exercícios: 
1) Esboce os gráficos das funções, mostrando todos os pontos extremos relativos (valores de 
máximo ou mínimo) e pontos de inflexão. 
a) f(x) = x3 + 6x2 + 9x 
b) f(x) = x3 – 12x 
 c) f(x) = 
29
3
1 3  xx
 
 d) f(x) = 
53
3
1 23  xxx
 
Gabarito dos gráficos, pontos críticos observar nos gráficos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Pontos críticos x = - 3 e x = -1; 
Cresce para x < -3 ou x > - 1 decresce: -3 < x < -1 
Ponto de inflexão ( -2, -2) Máximo Local f(- 3) = 0 ponto (-2, 0) Mínimo Local f( -1) = - 4 ponto (-1, - 4) 
 
b) Pontos críticos x = - 2 e x = 2; 
Cresce para x < -2 ou x > 2 decresce: -2 < x < 2 
Ponto de inflexão ( 0, 0) Máximo Local f(- 2) = 16 ponto (-2, 16) Mínimo Local f( 2) = -16 ponto (2,-16) 
 
c) Pontos críticos x = - 3 e x = 3; 
Cresce para -3< x < 3 decresce: x < -3 ou x >3 
Ponto de inflexão ( 0, -2) Mínimo Local f(- 3) = -20 ponto (-3, -20) Máximo Local f( 3) = 16 ponto (3, 16) 
 
d) Pontos críticos x = - 1 e x = 3; Cresce para x < -1 ou x > 3 decresce: -1 < x < 3 
Ponto de inflexão ( 1, 4/3) Máximo Local f(- 1) = 20/3 ponto (-1,20/3) 
Mínimo Local f( 3) = - 4 ponto (-3, - 4) 
 
 
 40 
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 Os métodos aprendidos para encontrar valores extremos têm aplicações práticas em muitas áreas 
do dia-a-dia. Um homem de negócios quer minimizar custos e maximizar lucros. Um viajante quer 
minimizar o tempo de transporte. Agora vamos resolver problemas tais como maximizar áreas, volumes e 
lucros, e minimizar distâncias, tempo e custos. Na solução de tais problemas práticos o maior desafio está 
freqüentemente em converter o problema em um problema de otimização matemática, estabelecendo a 
função que deve ser maximizada ou minimizada. 
 
Exemplos 
a) Quer-se construir um cercado retangular aproveitando-se uma parede já existente. Se existe material 
suficiente para se construir 80 metros de cerca, quais as dimensões do cercado para se ter a maior área 
cercada possível? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quer-se construir uma trave de um campo de futebol enterrando-se cada lado a uma profundidade de 1 
metro. Para isso dispõe-se de 10 metros de madeira numa peça só. Como deverá ser cortada a peça de 
madeira para que se tenha a maior área possível sob a trave? 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Quer-se construir uma piscina infantil de base quadrada e que encerre um volume de 32m
3
. O preço do 
m² da base equivale a 2 salários mínimos, enquanto que o preço do m² das faces laterais equivale a 16 
salários mínimos. Quais as dimensões da piscina para que se tenha preço mínimo? 
 
Solução: Sejam x >0 a medida do lado do quadrado da base e, y > 0 a altura. O volume deve ser 32 m³ 
então temos que x².y = 32 e daí, 
2
32
x
y 
. Note que a área total da piscina é a soma da área da base x
2
 e 
mais a área de 4 retângulos de área x.y, assim a função custo é dada por: C = 2x² + 4.x.y.16 salários 
mínimos. 
Temos 
x
xxC
2048
2)( 2 
 e 
2
2048
4)(
x
xxC 
 = 
2
3 20484
x
x 
 
C 
 é uma fração cujo o denominador é positivo, então, basta apenas estudar o sinal do numerador 
4x
3
 - 2048 = 0 implica em 
512
4
20483 x
 
85123 x
 . 
Assim x = 8 é o ponto mínimo absoluto, logo 
2
1
8
32
2
y
 
Resposta: Para que o custo da piscina seja mínimo, o lado da base deverá ser 8m e a profundidade 
2
1
 m. 
 
 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
 
 
3) Considere a quantidade de produção vegetal como função da quantidade de sementes x colocadas na 
cova, dada pela equação 
)/(12)( 23 hakgxxxf 
, analise os intervalos onde a função é crescente 
ou decrescente e calcule: 
a) a taxa de variação da produção em x = 6 e em x = 10 e justifique seus significados, 
b) a quantidade x de sementes por cova para uma produção máxima, 
c) a produção máxima, 
d) Represente graficamente para valores reais. 
 
4) De uma longa folha retangular de metal de 75cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as 
bordas perpendicularmente à folha. Quantos cm devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha 
tenha capacidade máxima? 
 
 
5) Um terreno retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo do rio. Se 
o custo do material for de R$ 12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$ 8,00 por metro linear 
nos dois extremos, ache o terreno de maior área possível que possa ser cercado com R$ 3.600,00 de 
material. 
 
Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
Derivação implícita 
 Se y é uma função de x definida pela equação y = 3x
2 
+ 5x + 1, então y é definida explicitamente em 
termos de x e podemos escrever y = f(x) onde f(x) = 3x
2 
+ 5x + 1. 
 Entretanto, nem todas as funções estão definidas explicitamente. Por exemplo, a equação: 
x
6
 – 2x = 3y
6
 + y
5 
– y
2
, não pode ser resolvida para y explicitamente como uma função de x. Neste caso 
dizemos que y é definida
implicitamente pela equação dada. Podemos encontrar a derivada de y em 
relação à x, pelo processo denominado diferenciação implícita. 
DX = 6x
5
 -2 e Dy = 18y
5
 + 5y
4
 – 2y, então 
yyy
x
dx
dy
2518
26
45
5



 
Exemplos: 
1) Derive as seguintes funções implicitamente: 
a) 2x
3
y + 3xy
3
 = 5 b) 
yx
yx
x
2
22



 c) 
33xxyy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
 
 
 
 44 
DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR 
 De um modo geral, se uma função é derivável, então a derivada f´ é novamente derivável, e a 
derivada de f´ é representada por f´´ e assim por diante. 
xD
dx
dy
)x(y)x(f 
 são representações da derivada primeira 
 
2x2
2
D
dx
yd
)x(y)x(f 
 são representações da derivada segunda 
3x3
3
D
dx
yd
)x(y)x(f 
 são representações da derivada terceira ... 
 
 
 Na física a derivada 1ª de uma equação de movimento é a velocidade instantânea e a derivada 
segunda de uma equação de movimento é a aceleração no instante em que t = t0 
 
Exercícios. 
1. Seja s = 
2t
2
t 
 com s em metros e t em segundos, ache os valores da velocidade e da aceleração 
quando t = 
2
1
s. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine todas as derivadas de ordem superior da função polinomial: 
f(x) = x
4
 – 8x
3
 + 3x
2
 – 2x + 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine a derivada 2ª das funções dadas: 
 a) y = x
2
(x
2
 + 7) b) 
)2(2 xsenxy 
 c)
32
)2( 2



x
xx
y
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) S’= V = 33m/s a = -192m
2
/s 2) f’(x) = 4x
3
 - 24x
2
 +6x – 2 f’’(x) = 12x
2
 - 48x + 6 
f’’’(x) = 24x - 48 
IVf
 
(x) = 24 
vf
(x) = 0 
 
2) a) y’’ = 12x
2
 + 14 b) y’ = 2sen(2x) + 8xcos(2x) - 4x
2
sen(2x) 
 
c) 
2
2
)32(
662



x
xx
y
 
4
22
)32(
2).32.(2).662()32)(64[(



x
xxxxx
y
 desenvolvendo a parte 
do numerador fica 
4)32(
12684



x
x
y