Aula 03 - G. M. P. e D.

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APRESENTAÇÃO DE DADOS (GRÁFICOS)
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Vanêssa Brito Fernandes Neves
ESTATÍSTICA E
PROBABILIDADE APLICADA À
COMPUTAÇÃO
CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES
DOS DADOS
 Centro: Um valor representativo ou médio, que indica onde
se localiza o meio do conjunto de dados.
 Variação: Uma medida de quanto os valores dos dados
variam.
 Distribuição: A natureza ou forma da distribuição dos
dados (ex. uniforme, sino, assimétrica).
 Outliers ou valores discrepantes: valores amostrais que
se localizam muito longe da grande maioria dos outros
valores amostrais.
 Tempo: Características dos dados que mudam com o tempo.
APRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS
 Diagrama de Barras
 Usado para apresentar variáveis qualitativas e
quantitativas discretas.
 As barras do diagrama podem ser verticais ou
horizontais.
 Variáveis qualitativas - ilustrar comparações entre
categorias.
 Variáveis quantitativas discretas - barras do diagrama
devem ser verticais.
Taxas de mortalidade pelos cânceres mais comuns, sexo 
feminino. Estado de São Paulo, 1992.
0
2
4
6
8
10
12
14
mama estômago cólon/reto pulmão colo/útero
Tipo de Câncer
Ó
bi
to
s 
/ 1
00
.0
00
 h
ab
ita
nt
es
DIAGRAMA DE BARRAS - EXEMPLOS
Fonte: Fonte: FOSP / Fundação Seade
DIAGRAMA DE BARRAS - EXEMPLOS
Incidência de efeitos colaterais devido ao uso 
de um novo agente anti-hipertensivo
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5
número de efeitos colaterais
fre
qü
ên
ci
a
APRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS
 Gráfico de setores
 Usado para representar variáveis qualitativas.
 Cada categoria corresponderá a uma divisão ou a um setor
de um círculo.
 Geralmente utilizado quando se pretende comparar o total
de cada categoria com o conjunto total.
 Neste tipo de gráfico, um círculo de raio qualquer vai
representar 100% dos dados (360o).
 Quando usar a freqüência relativa no gráfico, colocar o N.
GRÁFICO DE SETORES - EXEMPLO
Gráfico em setores da distribuição da tuberculose (Dawson, 2003, 
p.43) 
Negros não-
hispânicos
37%
Brancos não-
hipânicos
35%
Asiáticos ou 
habitantes das ilhas 
do Pacífico
11%
Americanos nativos
1%
Hipânicos
16%
APRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS
 Histograma
 Adequado para ilustrar o comportamento de valores agrupados em
classes.
 É um gráfico de colunas composto por vários retângulos
adjacentes, representando a tabela de freqüência.
 As classes são colocadas no eixo horizontal e as freqüências no
eixo vertical.
 Na construção devem ser empregadas de 5 a 20 classes.
 Interpretação: Centro, variação, forma e outlier. Não é
apropriado para verificar se há mudanças ao longo do
tempo.
HISTOGRAMA – EXEMPLO
Percentual de linfócitos em pacientes com leucemia linfóide
Percentual de linfócitos Freqüência 
10 |- 12 5
12 |- 14 6
14 |- 16 5
16 |- 18 1
18 |- 20 2
20 |- 22 1
total 20
HISTOGRAMA - EXEMPLO
Percentual de linfócitos em pacientes com leucemia linfóide
0
1
2
3
4
5
6
7
11 13 15 17 19 21
percentual de linfócitos
fre
qü
ên
ci
a
APRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS
 Polígono de freqüência
 Utilizado na representação de variáveis quantitativas
contínuas.
 Usa segmentos de reta ligados a pontos localizados
diretamente acima dos valores dos pontos médios de
classe.
 Os segmentos são estendidos à direita e à esquerda de
forma que o gráfico comece e termine no eixo horizontal.
 Exemplo: tabela usada para construção do histograma
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA EXEMPLO
Percentual de linfócitos em pacientes com leucemia linfóide 
0
1
2
3
4
5
6
7
9 11 13 15 17 19 21 23
percentual de linfócitos
fre
qü
ên
cia
APRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS
 Ogiva de Galton
 É um gráfico de linha que representa as freqüências
acumuladas.
 O gráfico se inicia com a fronteira inferior da primeira
classe e termina com a fronteira superior da última
classe.
 Exemplo: tabela usada para construção do histograma.
OGIVA DE GALTON - EXEMPLO
Percentual de linfócitos em pacientes com leucemia linfóide
0
5
10
15
20
25
10 12 14 16 18 20 22
percentual de linfócitos
fre
qü
ên
cia
 ac
um
ul
ad
a
APRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS
 Ramo-e-folha
 Representa dados separando cada valor em duas partes: o
ramo (dígito mais a esquerda) e a folha (dígito mais a
direita).
 Pode ser expandido ou condensado.
 Ao virar o ramo-e-folhas de lado podemos ver a
distribuição dos dados.
 Vantagem: os dados originais podem ser recuperados.
 Usar de 5 a 20 classes.
RAMO-E-FOLHA – EXEMPLO
57 63 66 70 74 81 87 94
59 63 68 71 75 83 88 95
60 63 69 72 75 85 88 101
60 64 69 72 77 86 89 107
62 66 70 73 78 86 91 119
Diâmetros abdominais de 40 indivíduos
RAMO-E-FOLHA – EXEMPLO
Ramo (dezena) Folhas (unidades)
5 7 9
6 0 0 2 3 3 3 4 6 6 8 9 9
7 0 0 1 2 2 3 4 5 5 7 8
8 1 3 5 6 6 7 8 8 9
9 1 4 5
10 1 7
11 9
Diâmetros abdominais de 40 indivíduos
APRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS
 Diagrama de dispersão
 É a melhor maneira de visualizar o relacionamento entre
duas variáveis.
 A representação gráfica é feita no mesmo sistema de
coordenadas, em que uma das variáveis é colocada no eixo
x e outra no eixo y.
 O gráfico de dispersão é utilizado para interpretar o
relacionamento entre duas variáveis (direção, forma e
intensidade do relacionamento).
DIAGRAMA DE DISPERSÃO - EXEMPLO
Índice de massa corporal (IMC) e percentual de gordura de 
10 universitárias. Brasil, 1997
Indivíduo IMC Percentual de gordura
1 21,5 29
2 20,7 25
3 21,3 26
4 19,0 23
5 21,2 25
6 18,6 23
7 16,8 18
8 20,7 28
9 30,8 46
10 18,3 22
Fonte: dados fictícios
DIAGRAMA DE DISPERSÃO - EXEMPLO
Relação entre IMC e percentual de gordura de 10 universitárias. 
Brasil, 1997
0
10
20
30
40
50
0 5 10 15 20 25 30 35
IMC
Pe
rc
etu
al 
de
 g
or
du
ra
Boxplot – após MP
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 Resume a quantidade de informações de um conjunto de
dados (agrupados ou não) em um único e informativo
valor;
 De importância fundamental para a pesquisa e para a
extensão.
 Geralmente localizado no centro de uma distribuição
simétrica ou aproximada;
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 As medidas mais usadas são:
 Média;
 Mediana;
 Moda.
 A média é a medida de tendência central mais usada e,
por isso a mais conhecida. Mas em certas circunstância,
para descrever a tendência central dos dados é melhor
usar outras medidas como a mediana ou a moda.;
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média
 A média populacional (μ) deve ser diferenciada da média
amostral ( );
 As médias mais utilizadas são:
 Média Aritmética: Simples e Ponderada;
 Média Geométrica;
 Média Harmônica.
x
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média Aritmética Simples
 Conceito familiar e até mesmo intuitivo;
DEFINIÇÃO: É a soma dos valores de todos os dados do
conjunto dividida pela quantidade desses valores. Logo:
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
FinitaalPopulacionMédiapara,
...211
N
xxx
N
x
N
N
i
i




população da medidacadaix
população da dadosdequantidadeN
em que: 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
AmostralMédiapara,
...211
n
xxx
n
x
x n
n
i
i




em que: 
amostra da medidacadaix
amostra da dadosdequantidaden
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 Média
Média amostral Média populacional
n
x
X
n
i
i
 1
N
x
n
i
i
 1
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Exemplo: Sejam as notas de 5 provas de um aluno de
estatística obtidas em avaliações durante o ano de
2008.
 para obter a média aritmética simples das notas e
saber se o aluno ficará na final, faremos o seguinte
cálculo:
Prova 1 2 3 4 5
Notas 7,0 3,7 4,9 6,6 7,2
9,5
5
2,76,69,47,30,7
55
54321
5
1 





 xxxxx
x
x i
i
indica que a nota média obtida pelo aluno durante o
ano foi 5,9.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média Aritmética Ponderada
 Média de dados agrupados
 Média Aritmética Ponderada é a soma do produto dos
valores observados com o seus respectivo peso, dividido
pela soma dos pesos.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
PonderadaMédiapara,
...
...
21
2211
1
1
n
nn
n
i
i
n
i
ii
p
ppp
pxpxpx
p
px
x







em que: 
n 2,..., 1,i comobservado,valor cada ix
n2,..., 1, i com valores,referidos dos pesos ip
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Exemplo: Porém, o professor de Estatística adotou para 2008 os
seguintes pesos para as notas.
 para obter a média aritmética ponderada das notas e saber se o
aluno ficará ou não na final, faremos o seguinte cálculo:
Prova 1 2 3 4 5
Notas 7,0 3,7 4,9 6,6 7,2
Pesos 1 1 2 3 3
2,6
33211
)3(2,7)3(6,6)2(9,4)1(7,3)1(0,7
54321
5544332211
1
1 










ppppp
pxpxpxpxpx
p
px
x
n
i
i
n
i
ii
p
Com base nos pesos adotados pelo professor, a nota
média (ponderada) obtida pelo aluno durante o ano foi
6,2.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média Aritmética Ponderada
 Se os dados estão distribuídos em classes, isto é, estão
apresentados em uma tabela de distribuição de
freqüência, para calcular a média multiplique o valor
central de cada classe (ponto médio) pela respectiva
freqüência, some e divida o total pela soma das
freqüências.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
agrupados dados de PonderadaMédiapara,
...
...
21
2211
1
1
n
nn
n
i
i
n
i
ii
fff
fxfxfx
f
fx
x







em que: 
2
n 2,..., 1,i comi, classe cada de média
LSLI
x
x
i
i



n2,..., 1, i com classes, referidas das uma cada de frequência if
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Exemplo: Distribuição de Frequência dos pesos ao nascer, 
em Kg, de 50 bezerros da raça guzerá:
Pesos fi
[20,0 ; 22,0) 2 21,0
[22,0 ; 24,0) 5 23,0
[24,0 ; 26,0) 12 25,0
[26,0 ; 28,0) 16 27,0
[28,0 ; 30,0) 10 29,0
[30,0 ; 32,0) 4 31,0
[32,0 ; 34,0) 1 33,0
Total 50
ix
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
7,26
50
1336
1...52
)0,33(1...)0,23(5)0,21(2
1
1 







n
i
i
n
i
ii
f
fx
x
 A média de dados agrupados geralmente diferi da média
simples.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 Propriedades da Média
 Se for somada ou subtraída uma constante K a cada
elemento da amostra, a média também será acrescida
ou subtraída dessa constante;
Kxy ii  KXY 
Se for multiplicada ou dividir cada elemento da
amostra uma constante K, a média também será
multiplicada ou dividida por essa constante;
Kxy ii  KXY 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 Propriedades da Média
 A soma dos desvios ( ) em relação a média é
igual a zero para qualquer amostra;
Xxd i 
0
1


n
i
d
A soma dos quadrados dos desvios em relação à
média é chamado desvio mínimo, valor
utilizado em otimizações e regressões.



n
i
dD
1
2
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Mediana
É o valor que ocupa a posição central do conjunto
dos dados organizados em ordem crescente.
Da definição de mediana, segue-se que essa
medida é um valor tal que 50% dos dados são
iguais ou menores do que ela. Para calcular a
mediana os dados devem estar ordenados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
A mediana descreve bem os grandes conjuntos
de dados. No caso dos conjuntos com dados
discrepantes, isto é, dos conjuntos com um, ou
alguns valores, muito maiores ou muito menores
que os demais a mediana descreve melhor os
dados que a média.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 Mediana
 Para calcular a mediana devemos primeiro colocar os
valores em ordem crescente (ou decrescente) e, em
seguida, aplicar um dos dois processos abaixo:
 Se o número de valores é ímpar, a mediana é o número
localizado exatamente no meio da lista.
 Se o número de valores é par, a mediana é a média dos 2
valores do meio.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Para dados não agrupados
 Se a quantidade de dados é ímpar, a mediana é o valor 
que está no centro da série.
 Se a quantidade de dados é par, a mediana é a média dos 
dois valores que estão no centro da série.
2
2
2
2
 nn xx
2
1nx
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
agrupados dados paraMediana,2 md
md
a
md c
f
f
n
LImd 














em que: 
mediana classedainferior limitemdLI
mediana da frequênciamdf
mediana da amplitudemdc
anterior classe da acumulada frequênciaaf
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Exemplo: Considerando o exemplo dos bezerros da raça
guzerá:
Pesos fi fa
[20,0 ; 22,0) 2 2
[22,0 ; 24,0) 5 7
[24,0 ; 26,0) 12 19
[26,0 ; 28,0) 16 35
[28,0 ; 30,0) 10 45
[30,0 ; 32,0) 4 49
[32,0 ; 34,0) 1 50
Total 50
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
kgmd 75,262
16
19
2
50
0,26 














A mediana tem a mesma unidade dos dados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Moda
É o valor que ocorre com maior frequência.
A idéia da moda é importante, quando existe
uma grande quantidade de dados, em especial,
se os dados estão distribuídos.
Se o conjunto de dados é relativamente pequeno
(de 20 a 30 observações), a moda não tem
sentido prático.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 Moda (M)
 É o valor que ocorre mais freqüentemente.
 Uma distribuição pode ser unimodal, bimodal,
multimodal ou amodal.
 Moda
 5 5 5 3 1 5 1 4 3 5
 1 2 2 2 3 4 5 6 6 6 7 9
 1 2 3 6 7 8 9 10
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
agrupados dados paraModa,
21
1
momo cLImo 








em que: 
modal classedainferior limitemoLI
menterespectivaposterior nteimediatame eanterior 
 nteimediatame a e moda classe da frequência a entre diferença21  e
modal da amplitudemoc
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Exemplo: Considerando o exemplo dos bezerros da raça
guzerá:
Pesos fi fa
[20,0 ; 22,0) 2 2
[22,0 ; 24,0) 5 7
[24,0 ; 26,0) 12 19
[26,0 ; 28,0) 16 35
[28,0 ; 30,0) 10 45
[30,0 ; 32,0) 4 49
[32,0 ; 34,0) 1 50
Total 50
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
kgmo 8,262
64
4
0,26 







A moda tem a mesma unidade dos dados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Comparação entre Média, Mediana e Moda
Há um momento em que o pesquisador fará a
seguinte pergunta: Qual a medida de tendência central
que representa melhor o conjunto de dados em estudo?
 A média aritmética trabalha com todos os elementos do
conjunto de dados, enquanto a mediana utiliza apenas
um ou dois valores. No entanto a média sofre influência
de valores extremos (muito alto ou baixo) induzindo
assim ao erro. É uma medida que pode ser calculada
apenas para variáveis quantitativas.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 A mediana é uma medida que exige uma ordenação de
categorias, assim ela só pode ser obtida para variáveis
qualitativas ordinais ou para as quantitativas,
jamais para
variáveis qualitativas nominais. Além disso, a mediana não é
influenciada por valores extremos.
 A moda é uma medida que requer apenas o conhecimento da
freqüência absoluta e pode ser utilizada para qualquer tipo de
variável, tanto qualitativa, quanto quantitativa.
 Geralmente, a média e a mediana representam melhor a
tendência central dos dados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
A determinação das medidas de posição permite
discutir sobre a simetria da distribuição dos dados
 Distribuição simétrica:
momdx 
 Distribuição ligeiramente assimétrica:
Ocorre pequenas diferenças entre os valores da média,
mediana e moda. Aumentando o número de dados, a
distribuição tende para o modelo simétrico.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 Distribuição assimétrica à direita (Assimetria positiva)
momdx 
 Distribuição assimétrica à esquerda (Assimetria
negativa)
momdx 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
ASSIMETRIA
 A distribuição de dados é assimétrica quando se estende
mais para um lado que para o outro.
 Uma distribuição de dados é simétrica se a metade
esquerda do seu histograma é praticamente uma imagem
espelhada de sua imagem direita.