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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
FÓRMULAS DERIVADAS
1. � = � + � � �′ = �′ + �′
2. � = � − � � �� = �� − �′
3. � = �. � � �� = ��. � + ��. �
4. � = � � ⁄ � �� = (��. � − ��. �) �²⁄
5. � = �� � �� = �. ����. �′
6. � = √�� � �� = �′ (�. √����� )⁄
7. � = √� � �� = �′ (2. √�⁄ )
8. � = �� � �� = ��. ln � . �′
9. � = �� � �� = ��. �′
10. � = log� |�| � �� = �′ (�. ln �)⁄
11. � = ln |�| � �� = �′ �⁄
12. � = �� � �� = �. ����. �� + ��. ln � . �′
13. � = �! � � �� = ��. "# �
14. � = "# � � �� = −��. �! �
15. � = $% � � �� = ��. �"& �
16. � = "#$% � � �� = −��. "# �"& �
17. � = �" � � �� = ��. �" � . $% �
18. � = "# �" � � �� = −��. "# �" � . "#$% �
19. � = �'" �! � � �� = �′ √1 − �&⁄
20. � = �'""# � � �� = −�′ √1 − �&⁄
21. � = �'"$% � � �� = �′ (1 + �&⁄ )
22. � = �'""#$% � � �� = −�′ (1 + �&)⁄
23. � = �'" �" � � �� = �′ (�. √1 − �& )⁄
24. � = �'" �" � � �� = −�′ (�. √1 − �&⁄ )
25. � = �!ℎ � � �� = cosh � . �′
26. � = "# ℎ � � �� = senh � . �′
27. � = $%ℎ � � �� = �"ℎ&� . ��
28. � = "#$%ℎ � � �� = −"# �"ℎ&� . ��
29. � = �"ℎ � � �� = − sech � . $%ℎ � . �′
30. � = "# �"ℎ � � �� = − cosech� . "#$%ℎ � . �′
31. "# �"ℎ&. − �!ℎ&. = 1
32. 1 − $%ℎ&. = �"ℎ&.
33. "#$%ℎ&. = 1 − "# �"&.
34. � = arg �!ℎ � � �� = ��. (1/ √�& + 1)
35. � = arg cosh� � �� = ��. (1/2�² − 1 ), u > 1
36. � = arg $%ℎ � � �� = ��. (1/(1 − �&), |u| < 1
37. � = arg "#$%ℎ � � �� = ��. (1/(1 − �&))
38. � = arg sech� � y� = ��. (−1/(�. √1 − �&))
39. � = arg "# �"ℎ � ��� = ��. 6−1/7�. √1 − �&89
FÓRMULAS INTEGRAIS
1. :� ;� = �� − : � ;�
2. :�< ;� = �<=� . �
<=� + > → ! ≠ − 1
3. : �� ;� = ln|�| + >
4. : �� ;� = �� + >
5. :�� ;� = �AB� . �� + >
6. : sin � ;� = − cos � + >
7. : cos � ;� = sin � + >
8. : �"&� ;� = tan � + >
9. : " "&� ;� = − cot � + >
10. : sec � tan � ;� = sec � + >
11. : csc � cot � ;� = − csc � + >
12. : tan� ;� = − ln|cos �| + >
13. : cot � ;� = ln|sin �| + >
14. : sec � ;� = ln|sec � + tan �| + >
15. : csc � ;� = ln|csc � − cot �| + >
16. : �√�E� �E ;� = sin�� �� + >
17. : ��²=�²;� = �� tan�� �� + >
18. : ��√�E� �E ;� = �� sec�� �� + >
19. : ��E� �E ;� = �&� ln F�=����F + >
20. : �√�E� �E ;� = lnG� + √�& − �&G + >
21. : cos& � ;� = �&� + �H sin 2� + >
22. : sin& � ;� = �&� − �H sin 2� + >
23. : sinh � ;� = cosh � + >
24. : cosh � ;� = senh� + >
25. : sech² � ;� = tanh � + >
26. : csch& � ;� = cotanh � + >
27. : sech � tanh� ;� = −sech � + >
28. : cosech � cotanh� ;� = −cosech � + >
29. Integrais Trigonométricas:
a. : sin< . ;. = : sin<��. sin . ;. � n ímpar
b. : cos< . ;. = : cos<��. cos . ;. � n ímpar
Lembre-se:
� sin& . + cos& . = 1
� sec& . = 1 + tan& .
c. sin& . = ��IJK&L& � n par
d. cos& . = �=IJK&L& � n par
e. : sin� . cos< . ;. = : sin���. cos< . sin . ;. � m ímpar
f. : sin� . cos< . ;. = : sin�. cos<�� . cos . ;. � n ímpar
g. : tan� . sec< . ;. = : tan���. sec<�� . sec . tan . ;. � m ímpar (n par ou ímpar)
h. : tan� . sec< . ;. = : tan�. sec<�& . sin& . ;. � n par (m par ou ímpar)
30. Substituições Trigonométricas:
a. √�& − .& � . = � sin M
b. √�& + .& � . = � tan M
c. √.& − �& � . = � sec M
31. Integrais Definidas: : N�.
;. = O�P
− O��
Q�
32. Áreas: : [N�.
− %�.
];.Q�
33. Sólidos de Revolução: : T[N�.
Q� ]² ;.
34. Transformação de Coordenadas Polares para Coordenadas Cilíndricas:
a. U& = .& + �&
b. . = U. cos M
c. � = U. sin M
d. tan M = VL
35. Gráficos:
a. Reta: M = >
b. Reta: U. sin M = ±> ou U. cos M = ±>
c. Circunferências: U = 2�. cos M ou U = 2P. sin M
d. Limaçon com um laço: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � 0 < �Q < 1
e. Cardióide: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � �Q = 1
f. Limaçon com um dente: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � 1 < �Q < 2
g. Limaçon convexa: U = � ± P. cos M ou U = � ± P. sin M � �Q ≥ 2
h. Rosácea: U = �. cos !M ou U = �. sin !M ; n ímpar � n pétalas; n par � 2n pétalas
i. Lemniscata: U² = �. cos !M ou U² = �. sin !M
36. Integrais em Coordenadas Polares:
a. Áreas: : �&U&;MZ[
b. Geometria Plana: \ " = �&U&M
c. Comprimento de um arco: ] = : ^�_`_a
& + U&Z[ ;M
37. Formas Indeterminadas e Integrais Impróprias:
a.
b
b ou
c
c � aplicar Regra de L’Hopital
b. 0.∞ � N�.
1 %�.
⁄e
c. 0b ; ∞b ou 1c� � = N�.
f�L
� ln � = %�.
ln N�.
d. ∞−∞ � Algebrismo \ L’Hopital
38. Integrais com Limites de Integração Infinitos
a. : N�.
;.c� = limh→c : N�.
;.h�
b. : N�.
;.��c = limh→�c : N�.
;.�h
c. : N�.
;.c�c = limh→�c : N�.
;.�h + limh→c : N�.
;.h�
39. Função Gama e Beta
a. i�!
= : .<����L ;.cb
b. i�! + 1
= !i�!
= !!
c. i 6�&9 = √T
d. k��, !
= m��
=m�<
m��=<
e. k��, !
= 2: sin&��� M cos&<�� M ;MnEb
f. k��, !
= : .����1 − .
<�� ;.�b
40. Funções Implícitas
a.
_V
_L = �_o_L _o_Vp
b.
_q
_L = �_o_L _o_qp e _q_V = �_o_V _o_qp , sendo z = f(x,y)
41. Derivadas direcionais e gradientes
a. r = cos M s + sin M t
b. u�N�., �
= N.�., �
cos M + N��., �
sin M
c. ∇N�., �
= N.�., �
s + N��., �
t
d. DuN�., �
= r. ∇f�x, y
e. DuN�., �, z
= _{_L cos | + _{_V cos k + _{_q cos }
f. ∇N�., �, z
= _{_L s + _{_V t + _{_q ~
g. DN�., �, z
= r. ∇N�., �, z
42. Extremos das funções de duas variáveis
a. D�., �
= N..�., �
. N���., �
− [N.��., �
]²
i. D(x, y
< 0 � Ponto de Sela
ii. D(x, y
> 0 :
1. N..�., �
#� N���., �
> 0 � Ponto de Mínimo
2. N..�., �
#� N���., �
< 0 � Ponto de Máximo
43. Integrais Duplas: : : N�., �
;�;. = : [: N�., �
;�] ;._IQ�_IQ�
44. Integrais Triplas:
a. : : : N�., �, z
;z;�;.{ = : {: [: N�., �, z
;z];�};.{_IQ�_IQ�
b. : : : N�., �, z
;�;z;._I = : {: [: N�., �, z
;�];z};._I{Q�{Q�
c. : : : N�., �, z
;z;.;�{ = : {: [: N�., �, z
;z];.};�{Q�_IQ�_I
d. : : : N�., �, z
;.;z;�Q� = : {: [: N�., �, z
;.];z};�Q�{_I{_I
e. : : : N�., �, z
;�;.;z_I = : {: [: N�., �, z
;�];.};z_IQ�{Q�{
f. : : : N�., �, z
;.;�;zQ� = : {: [: N�., �, z
;.];�};zQ�_I{_I{
45. Momento e Centro de Massa em 2 dimensões
a. � = : : �., �
;\`
b. �. = : :��., �
;\` e �� = : : .�., �
;\`
c. .̅ = �V� e �
= �L�
46. Momento de massa em três dimensões
a. � = ∬ :�., �, z
;
b.
i. �.� = ∬ :z�., �, z
;
ii. �.z = ∬ :��., �, z
;
iii. ��z = ∬ :.�., �, z
;
c.
i. .̅ = Vq�
ii. �
= Lq�
iii. z̅ = LV�
iv. Se �., �, z
= 1 � .̅, �
, z̅ = "�!$'ós;�
47. Coordenadas Cilíndricas
a. . = U cos M
b. � = U sin M
c. U² = .² + �²
d. tan M = VL
e. � = U sin M
f. ∬ :N�U, M, z
; = : : : N�U, M, z
;z;U;M&�`,a
��`,a
f&�a
f��a
Z[
48. Coordenadas Esféricas
a. . = sin∅ cos M
b. � = sin∅ sin M
c. z = cos∅
d. & = .² + �² + z²
e. ∬ :N�, ∅, M
; = : : : N�, ∅, M
∅ ;;∅;MQ�_I<�
49. Funções com valores vetoriais: U�$
= N�$
+ %�$
+ ℎ�$
50. Comprimento de curva: : ^�_L_h
& + �_V_h
& + �_q_h
&Q� ;$
51. Limites, Derivadas e Integrais de funções vetoriais
a. limh→� U�$
= [limh→� N�$
] + [limh→� %�$
] + [limh→� ℎ�$
]
b. U′�$
= lim∆h→b `�h=∆h
�`�h
∆h
c. : U�$
;$ = [: N�$
;$] +Q� [: %�$
;$] +Q� [: ℎ�$
;$]Q�Q�
52. Interpretação geométrica e física de derivada de funções vetoriais
a. ��$
= U��$
b. ��$
= ���$
= U"�$
53. Vetor tangente normal: �$
= �G|`�h
|GU��$
54. Vetor Unitário Normal: �$
= �G|�h
|G��$
55. Vetor Binormal: �$
= �$
�$
a. Curvatura: �$
= `�h
||`�h
||
b. ~ = F_h_F
= F
�h
`�h
F = ||`
�h
L`"�h
||
�||`�h
||
³
56. Componente tangencial da aceleração e componente normal da aceleração
a. Componente tangencial � � = `�h
. `"�h
||`�h
||
b. Componente normal da aceleração � �¡ = ||`�h
¢ `"�h
||||`�h
||
57. Campos Vetoriais
a. O�., �
= £�., �, z
+ �., �, z
+ ¤�., �, z
b. £��., �
= .�., �
→ __V = _¡_L
c. ∇N�., �, z
= N.�., �, z
+ N��., �, z
+ Nz�., �, z
d. £��., �, z
= .�., �, z
→ __V = _¡_L
e. £z�., �, z
= ¤.�., �, z
→ __q = _¥_L
f. z�., �, z
= ¤��., �, z
→ _¡_q = _¥_V
g. U#$ O�., �, z
= 6_¥_V − _¡_q9 + 6__q − _¥_L9 + 6_¡_L − __V9
h. U#$ O = ∇�x, y, z
O�., �, z
= |
_
_L
_
_V
_
_q
£ ¤
|
i. ∇. O = ;s� O = 2�&L + 3.²z + 2�²
j. ∇&N�., �, z
= _²{_L² + _²{_V²+ _²{_q²
58. Integrais de Linha ou Integrais Curvilíneas
a. ¨ = : £�., �, z
;. + �., �, z
;� + ¤�., �, z
;z = : [£�N�$
, %�$
, ℎ�$
. N��$
+Q�©
�N�$
, %�$
, ℎ�$
. %��$
+ ¤�N�$
, %�$
, ℎ�$
. ℎ��$
b. ¨ = O;U = :ªO7U�$
8. U��$
«;$
59. Teorema de Green: ∮ £�., �
;. + �., �
;� = ∬6_¡_L − __V9 ;\©
60. Integrais de superfícies:
a. ∬ ¨�., �, z
; = ∬ ¨7., �, N�., �
8^6_q_L9
& + 6_q_V9
& + 1 ;\`LVK
b. ∬ ¨�., �, z
; = ∬ ¨�., %�., z
, z
^6_V_L9
& + 6_V_V9
& + 1 ;\`LqK
c. ∬ ¨�., �, z
; = ∬ ¨�ℎ��, z
, �, z
^6_L_L9
& + 6_L_V9
& + 1 ;\`VqK
61. Integral do fluxo de F sobre S
a. ∬ O!; K
b. n = ∇�®,¯,°
||�®,¯,°
|| → ∇G�x, y, z
= vetor normal
62. Teorema da divergência de Gauss: ∬ O!; K = ∬ :∇O;�
63. Teorema de Stokes: ∮ O; = ∬ �~b$O
!; KI