raizes - 1

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Cálculo de Raízes de Funções 3-1
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Cálculo de Raízes de Funções
Introdução
O cálculo de raízes de funções encontra uso na obtenção da solução de uma ampla gama
de problemas de engenharia. Usualmente, a forma analítica de problemas matemáticos y = f(x)
requer o conhecimento dos valores da variável independente x para os quais f(x) = 0.
Por exemplo, considere a função f(x) = ax2 + bx + c, que é um polinômio de 2o grau com
coeficientes a, b, e c e que possui duas raízes. Essas raízes podem ser determinadas pela
conhecida fórmula de Baskhara:
a
acbb
x
2
42
1
−+−
=
e
a
acbb
x
2
42
2
−−−
=
Para uma equação particular f(x) = x2 - 5x + 6, temos que a = 1, b = -5 e c = 6, resultando
na solução:
2
2
15
)1).(2(
)6).(1).(4()5()5(
3
2
15
)1).(2(
)6).(1).(4()5()5(
2
2
2
1
=
−
=
−−−−−
=
=
+
=
−−+−−
=
x
x
Substituindo-se o valor das raízes na expressão de f(x) = x2 - 5x + 6, veremos que tanto
x1, quanto x2 fazem com que esta função se anule, ou seja, que f(x1) = 0 e f(x2) = 0.
As equações polinomiais também conduzem a soluções cujo domínio seja o dos números
complexos. Por exemplo, a equação de 2o grau f(x) = x2 - 2x + 2 apresenta as seguintes raízes:
i2
2
124
2
44
)1).(2(
)2).(1).(4()2()2(
x
i2
2
124
2
44
)1).(2(
)2).(1).(4()2()2(
x
2
2
2
1
−=
−−
=
−−
=
−−−−−
=
+=
−+
=
−+
=
−−+−−
=
sendo que 1i −= .
Na prática, nem sempre um problema pode ser equacionado na forma de uma função que
possui uma solução analítica como a função de 2o grau. As funções transcendentes, por
exemplo, não possuem fórmula analítica para o cálculo das raízes. Nesses casos, pode-se
calcular as raízes através de dois métodos:
Cálculo de Raízes de Funções 3-2
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• Método gráfico
• Métodos numéricos
Nesta nota de aula, trataremos apenas dos métodos para o cálculo de raízes reais, embora
os métodos numéricos possam calcular raízes complexas também.
Método Gráfico
As funções transcendentes podem ter raízes reais e complexas. Entretanto, diferentemente
das funções polinomiais, não se pode determinar nem se a função possui raiz real e nem a sua
quantidade. O método gráfico é o procedimento inicial adotado para estimar as raízes e como a
determinação da raiz com precisão não pode ser feita com este método, deve-se utilizar um
método numérico para "refinar" a solução, isto é, melhorar a precisão do valor calculado da
raiz.
Vamos mostrar a avaliação da raiz de uma função pelo método gráfico através do exemplo
de uma função transcendente do tipo: f(x) = ex - 3x, cujo gráfico está mostrado na Fig. 3.1.
-1 0 1 2 3
-1
0
1
2
3
4
5
 
xR2xR1
f(x
) =
 
e
x 
-
 
3x
x
Fig. 3.1 - Gráfico da função f(x) = ex - 3x.
No gráfico observa-se duas raízes indicadas como xR1 e xR2 e localizadas, respectivamente,
nos intervalos [0,5;1] e [1,5;2]. Uma estimativa grosseira das raízes seria xR1 ≅ 0,6 e xR2 ≅ 1,5.
O valor com maior precisão será calculado pelos métodos numéricos.
Cálculo de Raízes de Funções 3-3
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Método da Bisseção
O método da bisseção é um método conceitualmente simples e baseia-se na idéia de
"cercar" a raiz xR por dois valores: um à esquerda da raiz (xE) e outro à direita (xD), formando
um intervalo que vai ser continuamente reduzido até que a largura final do intervalo seja tão
pequena quanto o erro absoluto da raiz. A redução contínua da largura do intervalo é feita
dividindo-se o intervalo em dois e definindo um valor médio xM.pela fórmula:
2
)( DE
M
xx
x
+
= (3.1)
O valor médio xM estabelece dois sub-intervalos: um, entre xE e xM, outro entre xM e xD. A
raiz xR estará em um dos dois sub-intervalos. Para determinar em qual dos dois sub-intervalos
está localizada a raiz, calculamos f(xE), f(xD) e f(xM) e realizamos a seguinte comparação:
Se sinal[f(xM)] = sinal[f(xE)], então
xR está no intervalo [xE; xM]
senão
xR está no intervalo [xM; xD]
Este procedimento está ilustrado para os dois casos nos gráficos da Fig. 3.2 e 3.3. Na Fig.
3.2 estão mostrados os valores [xE, f(xE)] e [xD, f(xD)], respectivamente à esquerda e à direita
da raiz xR. Utilizando a equação (3.1) obtém-se o valor xM, que para este caso está localizado à
esquerda da raiz. A verificação algébrica deste fato é feita comparando-se o sinal de f(xM), que
é positivo assim como é positivo o sinal de f(xE).
O gráfico da Fig. 3.3 ilustra o caso em que o valor calculado de xM está localizado à direita
da raiz xR, porque, algebricamente, o sinal de f(xM) é igual ao sinal de f(xD).
f(xM)
f(xD)
f(xE)
x
0
y = f(x)
xM xDxRxE
Fig. 3.2 - Método da bisseção para o caso do valor xM estar localizado à esquerda da raiz xR
Cálculo de Raízes de Funções 3-4
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f(xM)
f(x
D
)
f(x
E
)
x
0
y = f(x)
x
M xD
xRxE
Fig. 3.3 - Método da bisseção para o caso do valor xM estar localizado à direita da raiz xR
Uma vez determinado em qual dos dois sub-intervalos está localizada a raiz, atribui-se o
valor de xM ao valor de xE ou xD, conforme o resultado do teste algébrico descrito
anteriormente e re-escrito na forma:
Se sinal[f(xM)] = sinal[f(xE)], então
xE ← xM
senão
xD ← xM
Em linguagem C, o código para este teste é descrito por:
if (signbit(f(xm) == signbit(f(xe))) {
xe = xm;
}
else {
xd = xm
}
Uma vez estabelecido o novo intervalo [xE; xD], repete-se o cálculo do valor de xM e
aplica-se novamente o teste para verificação do sub-intervalo em que está localizado a raiz.
Atribui-se o valor de xM a xE ou xD , conforme o resultado do teste e redefine-se o novo
intervalo, conforme ilustra a Fig. 3.4. Os cálculos e testes se repetem até uma determinada
variável alcançar um critério de convergência.
A este procedimento de cálculo automático denomina-se ITERAÇÃO (não confundir
com interação, que tem outro significado) ou cálculo iterativo, que se baseia na repetição de
cálculos à partir de valores iniciais arbitrariamente estabelecidos. Do dicionário Michaelis:
i.te.ra.ção sf (lat iteratione) Ato de iterar ou repetir.
in.te.ra.ção sf ( inter+ação) 1 > Ação recíproca de dois ou mais corpos uns nos outros. 2 Atualização
da influência recíproca de organismos inter-relacionados. 3 Ação recíproca entre o usuário e um
equipamento (computador, televisor etc.).
Cálculo de Raízes de Funções 3-5
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xE
(3)
x
D
(2)
x
0
y = f(x)
xD
(1)xRxE
(1)
Fig. 3.4 - Determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR pelo método da
bisseção. Os expoentes numéricos indicam a seqüência de iteração.
O cálculo iterativo continua até que o seguinte critério de convergência seja satisfeito:
ε<− DE xx (3.2)
no qual ε é o erro absoluto especificado. Quando o critério for satisfeito, a raiz xR será dada
por:
ε±= MR xx (3.3)
Observar que o erro ε estabelece o número de casas decimais de precisão. Assim, se
quisermos calcular a raiz de uma função com precisão de sete casas decimais, estabelece-se
que ε = 10-7.
Exemplo
Vamos ilustrar a aplicação do método da bisseção no cálculo da raiz da função f(x) = ex - 3x
localizada no intervalo [0; 1], com erro de 10-5.
Solução
A função f(x) = ex - 3x, como visto anteriormente, possui duas raízes, sendo que será
calculada a raiz localizada no intervalo [0; 1]. Assim, esses valores serão os valores iniciais de
xE e xD. Como o erro é 10-5, vamos apresentar os resultados do cálculo com cinco casas
decimais na tabela 3.1. A 1a coluna contém o contador do número de iterações, denotado pela
letra i. O conteúdo das outras colunas estão
identificadas pelo nome das variáveis na 1a linha.
Cálculo de Raízes de Funções 3-6
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Tabela 3.1 - Resultado do cálculo da raiz da função f(x) = ex - 3x no intervalo [0;1] pelo
método da bisseção
i xE xD xM f(xE) f(xD) f(xM) erro
0 0,00000 1,00000 0,50000 1,00000 -0,28172 0,14872 1,00000
1 0,50000 1,00000 0,75000 0,14872 -0,28172 -0,13300 0,50000
2 0,50000 0,75000 0,62500 0,14872 -0,13300 -0,00675 0,25000
3 0,50000 0,62500 0,56250 0,14872 -0,00675 0,06755 0,12500
4 0,56250 0,62500 0,59375 0,06755 -0,00675 0,02952 0,06250
5 0,59375 0,62500 0,60938 0,02952 -0,00675 0,01116 0,03125
6 0,60938 0,62500 0,61719 0,01116 -0,00675 0,00214 0,01563
7 0,61719 0,62500 0,62109 0,00214 -0,00675 -0,00232 0,00781
8 0,61719 0,62109 0,61914 0,00214 -0,00232 -0,00009 0,00391
9 0,61719 0,61914 0,61816 0,00214 -0,00009 0,00103 0,00195
10 0,61816 0,61914 0,61865 0,00103 -0,00009 0,00047 0,00098
11 0,61865 0,61914 0,61890 0,00047 -0,00009 0,00019 0,00049
12 0,61890 0,61914 0,61902 0,00019 -0,00009 0,00005 0,00024
13 0,61902 0,61914 0,61908 0,00005 -0,00009 -0,00002 0,00012
14 0,61902 0,61908 0,61905 0,00005 -0,00002 0,00001 0,00006
15 0,61905 0,61908 0,61906 0,00001 -0,00002 0,00000 0,00003
16 0,61905 0,61906 0,61906 0,00001 0,00000 0,00001 0,00002
17 0,61906 0,61906 0,61906 0,00001 0,00000 0,00000 0,00001
18 0,61906 0,61906 0,61906 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
A raiz calculada após 18 iterações com ε < 10-5 é igual a 0,61906. Este resultado é exato
com cinco casas decimais. Observar que quando o critério de convergência é atingido, os
valores de xE, xD e xM são iguais com cinco casas decimais.
Método Iterativo de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson é um método numérico iterativo para o cálculo de raiz de
uma função f(x). A fórmula para o cálculo iterativo pode ser obtida através da aproximação de
uma função f(x1) em torno de um ponto x0 por uma série de Taylor de 1o grau:
))(()()( 01001 xxxfxfxf −′+≈ (3.4)
Se considerarmos que o valor de x = x1, está próximo à raiz, então podemos considerar
que f(x1) ≅ 0, de modo que podemos escrever a equação na forma:
)(
)(
0
0
01
xf
xf
xx
′
−≈ (3.5)
À partir de x1 podemos calcular um novo valor x2 mais próximo ainda da raiz através da
mesma aproximação anterior:
))(()()( 12112 xxxfxfxf −′+≈ (3.6)
Cálculo de Raízes de Funções 3-7
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Neste caso, vamos considerar que f(x2) ≅ 0 e que f(x1) é pequeno porém diferente de zero.
Assim, podemos re-escrever a equação como:
)(
)(
1
1
12
xf
xf
xx
′
−≈ (3.7)
Se prosseguirmos, podemos escrever uma equação geral para o cálculo de x na iteração
i+1 à partir do valor de x, f(x) e f’(x) em x = x0:
)(
)(
1
i
i
ii
xf
xf
xx
′
−=+ (3.8)
Este cálculo, denominado de cálculo iterativo, é realizado até que o critério de
convergência seja satisfeito:
ε≤−+ ii xx 1 (3.9)
Exemplo
Vamos calcular novamente a raiz da função f(x) = ex - 3x localizada próxima ao valor
x = 0 pelo método iterativo de Newton-Raphson. A Tabela 3.2 apresenta os valores
calculados.
Tabela 3.2 - Resultado do cálculo da raiz localizada próxima a x = 0 da função f(x) = ex - 3x
pelo método iterativo de Newton-Raphson
i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erro
0 0,00000 1,00000 -2,00000 0,50000 0,50000
1 0,50000 0,14872 -1,35128 0,61006 0,11006
2 0,61006 0,01036 -1,15946 0,61900 0,00894
3 0,61900 0,00007 -1,14294 0,61906 0,00006
4 0,61906 0,00000 -1,14282 0,61906 0,00000
A raiz calculada após 4 iterações é igual a 0,61906 com erro menor do que 10-5.
Comparando-se este resultado com o obtido pelo método da bisseção, observa-se que a
convergência do método da bisseção foi muito mais lenta do que a do método de Newton-
Raphson. Isto deve-se ao fato que o método da bisseção apresenta erro proporcional ao
intervalo |xE – xD|, isto é, de primeira ordem na variável x, ao passo que o método de Newton-
Raphson apresenta erro de segunda ordem sobre a variável x.
Dificuldades no Cálculo de Raízes pelo Método de Newton-Raphson
O método de Newton-Raphson apresenta dificuldades no cálculo de raízes de funções
polinomiais que apresentam pontos de mínimos e/ou máximos na vizinhança da raiz, como
mostrado na Fig. 3.5.
Cálculo de Raízes de Funções 3-8
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-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
-10
-5
0
5
10
f(x) = 3x3 - x2 - 4x + 5
 
 
y
x
Fig. 3.5 - Gráfico da função f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 5 exibindo pontos de máximo e mínimo
locais na proximidade da raiz.
No exemplo, a função f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 5 é uma função polinomial de 3o grau que
possui apenas uma raiz real ( x = -1) e duas raízes complexas. O gráfico cartesiano x-y mostra
somente a raiz real e mostra também que a função possui um ponto de máximo local em
x ≅ -0,57 e um ponto de mínimo local em x ≅ 0,79. Para exemplificar o problema da
convergência do método de Newton-Raphson, vamos calcular a raiz real empregando o
método de Newton-Raphson com x0 = 5.
Tabela 3.3 - Resultado do cálculo da raiz da função polinomial cúbica pelo método de
Newton-Raphson.
i xi f(xi) f'(xi) xi+1 erro
0 5,00000 335,00000 211,00000 3,41232 1,58768
1 3,41232 98,90543 93,97085 2,35981 1,05251
2 2,35981 29,41532 41,39873 1,64927 0,71054
3 1,64927 9,14139 17,18238 1,11725 0,53202
4 1,11725 3,46658 4,99978 0,42391 0,69335
5 0,42391 3,35320 -3,23055 1,46187 1,03797
6 1,46187 6,38783 12,30993 0,94296 0,51892
7 0,94296 2,85435 2,11659 -0,40560 1,34856
8 -0,40560 6,25771 -1,70821 3,25771 3,66331
9 3,25771 85,07572 84,99877 2,25681 1,00091
10 2,25681 25,36255 37,32498 1,57730 0,67951
11 1,57730 7,97532 15,23630 1,05386 0,52344
12 1,05386 3,18525 3,88786 0,23458 0,81928
Cálculo de Raízes de Funções 3-9
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
13 0,23458 4,04539 -3,97392 1,25256 1,01799
14 1,25256 4,31632 7,61508 0,68575 0,56681
15 0,68575 2,75417 -1,13922 3,10335 2,41760
16 3,10335 72,61888 76,47034 2,15372 0,94963
17 2,15372 21,71661 33,43898 1,50428 0,64944
18 1,50428 6,93188 13,35705 0,98531 0,51897
19 0,98531 2,95764 2,76687 -0,08364 1,06895
20 -0,08364 5,32582 -3,76975 1,32913 1,41278
21 1,32913 4,96100 9,24111 0,79229 0,53684
22 0,79229 2,69513 0,06498 -40,68675 41,47904
23 -40,68675 -203547,62007 14976,07806 -27,09523 13,59152
24 -27,09523 -60296,80000 6657,55526 -18,03833 9,05690
25 -18,03833 -17856,25044 2960,51034 -12,00686 6,03148
26 -12,00686 -5284,02970 1317,49538 -7,99619 4,01066
27 -7,99619 -1560,76358 587,44457 -5,33933 2,65687
28 -5,33933 -458,79785 263,25419 -3,59653 1,74279
29 -3,59653 -133,11269 119,60839 -2,48363 1,11290
30 -2,48363 -37,19392 56,48287 -1,82513 0,65850
31 -1,82513 -9,26958 29,63008 -1,51228 0,31284
32 -1,51228 -1,61366 19,60760 -1,42999 0,08230
33 -1,42999 -0,09728 17,26372 -1,42435 0,00564
34 -1,42435 -0,00044 17,10769 -1,42433 0,00003
35 -1,42433 0,00000 17,10698 -1,42433 0,00000
Por causa da presença de pontos de mínimo e máximo na vizinhança da raiz observa-se
que o método de Newton-Raphson apresenta uma convergência lenta, principalmente quando
o valor calculado de xi+1 cai na região compreendida pelos pontos de mínimo e máximo
(iteração 22) para a qual f’(x) ≈ 0.
Método da Secante
Apesar da convergência do método de Newton-Raphson ser rápida, ele apresenta uma
dificuldade prática na implementação de um algoritmo para o cálculo de raízes de uma função
genérica pelo fato de requerer o cálculo algébrico da derivada da função f(x). Este problema
pode ser contornado através da aproximação da derivada exata (que requer um procedimento
algébrico) pela diferença finita da função f(x), que é um procedimento numérico. Este método
recebe o nome de método da secante, mas também é conhecido, com algumas variações, com
o nome de método da falsa posição ou método regula falsi.
O procedimento para dedução do método da secante pode ser explicado através do
gráfico da Fig. 3.6. Nele vamos definir dois valores de x localizados à esquerda (xE) e à direita
(xD) da raiz xR, tal como no método da bisseção. No entanto, diferentemente deste, o valor que
irá dividir o intervalo |xE – xD| em dois é estabelecido através de um cálculo que utiliza a uma
reta secante (ou corda) que une os valores de f(xE) e f(xD).
Cálculo de Raízes de Funções 3-10
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
x x xE N D
xEf( )
f( )xD
x
y
y = f(x)
xR
Reta secante
Fig. 3.6 – Gráfico esquemático para dedução do método da secante.
Por identidade entre os dois triângulos da figura, podemos escrever:
ED
EN
D
E
xx
xx
)x(f
)x(f
−
−
=
− (3.10)
Rearranjando a expressão e isolando o termo para xN, obtém-se a equação:
)x(f)x(f
)x(fx)x(fx
x
ED
EDDE
N
−
⋅−⋅
= (3.11)
Escrevendo-a na forma mais conveniente como:
)x(f)x(f
)x(f)xx(
xx )i(
E
)i(
D
)i(
E
)i(
E
)i(
D)i(
E
)i(
N
−
⋅−
−= (3.12)
obtém-se uma expressão equivalente à expressão (3.8) do método de Newton-Raphson, na
qual a derivada da função f(x) do denominador é substituída pela diferença finita
[f(xD)-f(xE)]/(xD-xE)
na fórmula do método da secante. O critério de convergência é semelhante ao do método de
Newton-Raphson (equação 3.9), porém aplicado sobre os valores de xN.
Cálculo de Raízes de Funções 3-11
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
Exemplo
O cálculo da raiz da função f(x) = ex – 3x é apresentado na tabela seguinte empregando o
método da secante.
Tabela 3.4 - Resultado do cálculo da raiz da função f(x) = ex – 3x pelo método da secante.
i xE xD f(xE) f(xD) xN erro
0 0,00000 1,00000 1,00000 -0,28172 0,78020 
1 0,00000 0,78020 1,00000 -0,15869 0,67335 0,10686
2 0,00000 0,67335 1,00000 -0,05925 0,63568 0,03767
3 0,00000 0,63568 1,00000 -0,01874 0,62399 0,01169
4 0,00000 0,62399 1,00000 -0,00561 0,62051 0,00348
5 0,00000 0,62051 1,00000 -0,00165 0,61949 0,00102
6 0,00000 0,61949 1,00000 -0,00048 0,61919 0,00030
7 0,00000 0,61919 1,00000 -0,00014 0,61910 0,00009
8 0,00000 0,61910 1,00000 -0,00004 0,61907 0,00003
9 0,00000 0,61907 1,00000 -0,00001 0,61906 0,00001
10 0,00000 0,61906 1,00000 0,00000 0,61906 0,00000
Observa-se que após 10 iterações o método convergiu para a raiz 0,61906 com ε < 10-5. A
convergência deste método é semelhante à do método de Newton-Raphson, porém, com a
simplicidade conceitual do método da bisseção.
Exercícios propostos
1. Para cada uma das equações abaixo, encontre pelo menos uma das raízes para que f(x) = 0,
empregando o método da bisseção e o método de Newton-Raphson:
(a) ex/2 - x2 = y (b) x2 - 5x + 6 = 0 (c) ln x - x + 2
(d) x2 - senh x (e) x4 – 14x2 + 24x - 10
2. Um outro método para encontrar as raízes de f(x) = 0 é o chamado método iterativo linear,
no qual a raiz é calculada re-escrevendo a função f(x) = g(x) - x, de maneira que o problema
agora é encontrar o valor de x tal que g(x) = x por iteração. Encontre a função g(x) e
resolva o problema do cálculo da raiz de x localizada no intervalo [0; 0,5] da função
f(x) = ex – 3x empregando o método iterativo linear.
3. Escreva uma equação de iteração pelo método de Newton-Raphson para o cálculo da raiz
quadrada e raiz cúbica de um número real x. Faça x = 2 e aplique a equação de iteração
obtida para calcular a sua raiz quadrada e a sua raiz cúbica.
 
4. Duas escadas, uma de 20 m e outra de 30 m, apoiam-se em edifícios frontais a uma avenida,
conforme ilustrado na Fig. P1. Se o ponto no qual as escadas se cruzam está a 8 m de altura
do solo, determinar a largura da avenida.
Gruenberger e Jeffrey, em Problems for Computer Solution (New York: Wiley, 1964),
mostram que este problema pode ser formulado para pedir a solução da seguinte equação:
y y y y4 3 216 500 8000 32 000 0− + − + =.
Cálculo de Raízes de Funções 3-12
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
para o qual x y= −400 2 .
30
20
8
y
x
 Fig. P1
5. Analisando-se o comportamento de compressores de ar a pistão, frequentemente é
necessário obter-se gráficos de pressão versus rotação angular da árvore de manivelas do
compressor durante o tempo de compressão. Esses dados podem ser aproximados
analiticamente primeiro definindo-se um modelo para o compressor e, em seguida,
aplicando-se fundamentos de mecanismos e termodinâmica ao modelo. Os componentes
básicos do compressor a pistão são mostrados na Fig. P2, juntamente com os parâmetros
geométricos usados na determinação do volume limitado entre o pistão e o cilindro. Pela
aplicação dos fundamentos de mecanismos, este volume pode ser expresso como:
V V
D
r
r
c= + − + − −
















pi θ θ
2 2
4
1 1 1( cos ) sen�
�
(P5.1)
no qual: Vc - volume morto no ponto morto alto
r - raio da árvore de manivelas
D - diâmetro do cilindro
�
 - comprimento da biela
θ - ângulo de rotação da árvore de manivelas a partir do ponto morto alto
Consideremos que o tempo de compressão ao se mover o pistão a partir do ponto morto
baixo (θ = 180o) até o ponto morto alto (θ = 360o). Um modelo freqüentemente usado para
este processo supõe que as válvulas de admissão e escape conservam-se fechadas e que não
há transferência de calor de ou para o ar durante o tempo de compressão. A aplicação da
termodinâmica a este modelo fornece as seguintes relações entre pressão, volume e
temperatura:
Cálculo de Raízes de Funções 3-13
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
A n
T
T
B T T C T T D n
V
Vi
i i
i
� �



 + − + − +



 =( ) ( )
1
2
02 2 (P5.2)
p p
V
V
T
Ti
i i
=



 ⋅



 (P5.3)
nas quais: p - pressão
V - volume
T - temperatura absoluta
A = 0,15787
B = 0,51001.10-4
C = 0,74171.10-8
D = 0,6855
e o índice i denota a condição inicial no início do tempo de compressão, que se supõe
conhecido. As equações (P5.1), (P5.2) e (P5.3) podem ser usadas para determinar
p versus θ. O procedimento para obter esses valores é selecionar um valor de θ entre 180o e
360o em (P5.1). O valor resultante para V pode ser usado em (P5.2), que pode ser resolvido
pelo método de Newton-Raphson para se obter T. Os valores de T e V são, então, usados
em (P5.3) para determinar o valor de p correspondente. Calcular uma tabela de θ versus p,
V e T, para θ entre 180o e 360o com incremento de 10o. Com estes resultados, traçar o
gráfico de p em função de θ. Considere para o problema que, para pi = 14,7 psi, Ti = 530oR,
θ = 240o, Vc = 6,3 ft3, r = 2,0 in, D = 3,5 in e 
�
 = 7,0 in, os resultados aproximados
poderiam ser p = 18,7 psi, V = 37,3 ft3 e T = 568oR.
�
r
θ
Válvulas de admissão
e escape
Cilindro
Pistão
Biela
Virabrequim
Ponto morto alto
(extremidade do pistão
quando = 0 )
Ponto morto baixo
(extremidade do pistão
quando = 180 )
θ
θ o
o
d
Fig. P2
Cálculo de Raízes de Funções 3-14
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6. Deseja-se determinar o efeito da pressão sobre a temperatura do ponto de condensação do
produto da combustão completa de hidrocarbonetos parafínicos com ar teórico. A
temperatura de condensação, também chamada de ponto de orvalho, é definida como a
temperatura na qual o vapor d’água começa a condensar-se à medida que o produto da
combustão seja resfriado à pressão constante. Quando é alcançado o ponto de orvalho, a
pressão parcial do vapor d’água no produto da combustão vai igualar a pressão do vapor de
água pura na temperatura de condensação e esta relação pode ser usada para determinar o
ponto de orvalho.
 Um hidrocarboneto parafínico tem fórmula química CnH2n+2 e a equação para combustão
completa com ar teórico pode ser expressa como:
 
 C H n O n N n CO n H O n Nn n2 2 2 2 2 2 22 1 2 1
79
21
1 2 1
79
21+
+ + + + → + + + +( ) ( ) ( ) ( ) (P6.1)
 
 da qual a fração molar do vapor d’água nos produtos é calculada por:
 
 x
n
n n n
n
nH O2
1
1 2 1 79 21
1
9 52 4=
+
+ + + +
=
+
+( ) ( ) ( / ) , ,76 (P6.2)
 
 A pressão parcial do vapor d’água no produto da combustão é igual ao produto da fração
molar do vapor d’água pela pressão do produto da combustão. Assim,
 
 p x p
n p
nH O H O2 2
1
9 52 4= ⋅ =
+
+
( )
, ,76
(P6.3)
 
 A relação entre a pressão do vapor de água pura e a temperatura é dada por:
 
 � n p
x
T
a bx cx
dxv = −
+ +
+



8 2 1
3
,07284 ,3026 (P6.4)
 
 no qual: pv - pressão de vapor (psi)
 T - temperatura absoluta (oR)
 x = 1165,09 - T
 a = 3,2437814
 b = 3,2601444.10-3
 c = 2,0065808.10-9
 d = 1,2154701.10-3
 
 Como a pressão parcial e a pressão do vapor d’água devem ser iguais no ponto de
condensação, (P6.2), (P6.3) e (P6.4) podem ser combinados para se obter:
 
 � n
n p
m
x
T
a bx cx
dx
( )
, ,76
,07284 ,3026
+
+



 = −
+ +
+




1
9 52 4 8 2 1
3
(P6.5)
Cálculo de Raízes de Funções 3-15
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue
 
 que pode ser solucionado em T para valores dados de p e n. Como (P6.5) é uma equação
não-linear, um método numérico como o Newton-Raphson deve ser usado. Com este
objetivo, é conveniente reescrever (P6.5) como:
 
 f T
x
T
a bx cx
dx
n
n p
m
( ) , ( )
, ,
,=
+ +
+



 −
+
+



 − =2 3026 1
1
9 52 4 76 8 07284 0
3 �
(P6.6)
 
 Para usar o método de Newton-Raphson é necessário diferenciar-se (P6.6) com relação a T,
para se obter:
 
 
df
dT
a bx cx
dx
xd
T dx T
x b cx
T dx
=
+ +
+




⋅
+
−



 −
+
+






2 3026
1 1
1165 09 3
1
3
2
2
, ( )
, ( )
( ) (P6.7)
 
 Para o etano (n = 2) sob 1 atm (p = 14,7 psi), o resultado é T = 582,97oR = 323,87 K.
Verificar este resultado e calcular o ponto de orvalho para o produto da combustão do
metano (n = 1), do propano (n = 3), do butano (n = 4) e do pentano (n = 5).
7. O pH de soluções diluídas de ácidos fracos pode ser calculado pela fórmula:
[ ] [ ] ( )[ ]H K H K C K H K Ka a a w w a+ + ++ − + − =3 2 0 (P7.1)
na qual:
pH = - log [H+]
Ka - constante de dissociação do ácido
Ca - concentração molar do ácido
Kw - produto iônico da água
Calcular o pH de uma solução de ácido bórico a 24oC sabendo-se que:
Ka = 6,5.10-10 (moles/l)2,
Ca = 1,0.10-5 moles/l
Kw = 1,0.10-14 (moles/l)2