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UFPB / CCEN / Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral II 5a Lista de Exercícios - Período 2011.2 Assunto:Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Aplicações. Professor:Fred [01] Para cada função dada abaixo, calcule as derivadas @z @x , @z @y e @2z @x@y : a) z = 3x2 � 5xy3 � sen (xy) b) z = �x�py� (x2 + y2) c) z = 3 p xy � x2y2 + y4 d) z = arctg �y x � e) z = x y exp (x2 + y2) f) z = 1 x log (1� x2 � y2) [02] Em cada caso abaixo, calcule as derivadas parciais indicadas : a) f (x; y) = x exp (x� y); fx (1; 1) b) f (x; y) = exp (xy); fy (2; 0) c) f (x; y) = xseny; fxy (1; �) e fyx (1; �) d) f (x; y) = 3x2y; fx (1; 1) e fy (1; 1) [03] Considere a função � (x; y) = 8<: exp � �1 x2 + y2 � ; se (x; y) 6= (0; 0) 0; se (x; y) = (0; 0) :Calcule, caso existam, as derivadas �x (0; 0), �y (0; 0), �xy (0; 0) e �yx (0; 0). [04] Considere a função: f (x; y) = 8<: xy (x2 � y2) x2 + y2 ; se (x; y) 6= (0; 0) 0; se (x; y) = (0; 0) : a) Mostre que fxy (0; 0) 6= fyx (0; 0); b) Estude a continuidade das derivadas fx e fy na origem. [05] Mostre que as derivadas parciais de primeira ordem da função z = pjxyj embora existam em todo o plano R2 calcule as derivadas @z @x , @z @y e @2z @x@y , não são contínuas na origem. [06] Considere três funções de uma variávelreal ' , � e , deriváveis até segunda ordem e satisfazendo às condições '00 (x) + �2' (x) = 0 e 00 (t) + c2�2 (t) = 0, onde c e � são constantes.Mostre que as funções u (x; t) = ' (x) (t) e v (x; t) = � (x� ct) satisfazem a equação linear de ondas: @2w @t2 � c2@ 2w @x2 = 0. [07] Mostre que a função u (x; t) = 1p t exp � � x 2 4kt � , onde t > 0 e k é uma constante, satisfaz a equação de transmissão do calor: @w @t � k@ 2w @x2 = 0. [08] Denote por4 = @ 2 @x2 + @2 @t2 o Operador Laplaciano. Mostre que as funções u (x; y) = arctg �y x � e u (x; y) = ex cos y satisfazem a equação de Laplace 4u = 0. [09] Determine condições sobre as constantes A;B;C;D;E e F para que a função u (x; y) = Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F seja solução da equação de Laplace. [10] Sejam u (x; y)e v (x; y) funções com derivadas parciais contínuas até segunda ordem e satisfazendo às equações @u @x = @v @y e @u @y = �@v @x . Mostre que u e v satisfazem a equação de Laplace. [11] Mostre que w = x2y+ y2z+ z2x satisfaz a equação @w @x + @w @y + @w @z = (x+ y + z)2. [12] Considere a função f (x; y) = 8<: 3x2y x2 + y2 ; se (x; y) 6= (0; 0) 0; se (x; y) = (0; 0) . a) Prove que f é contínua na origem. b) Prove que as derivadas parciais fx e fy existem na origem, mas não são con- tínuas nesse ponto. c) Veri que que f não é diferenciável na origem. Por que isto não contradiz o Lema Fundamental ? [13] Prove ou apresente um contra-exemplo : a) Toda função diferenciável possui derivadas parciais de primeira ordem con- tínuas. b) Toda função diferenciável é contínua. c) Se uma função de duas variáveis possui derivadas parciais de primeira ordem, então ela é contínua. [14] Usando o Lema Fundamental, veri que se as funções dadas a seguir são diferen- ciáveis nos domínios indicados: a) z = x2y4; D = R2 b) z = exy x� y ; D = f(x; y) 2 R 2 j x 6= yg c) z = log (x2 + y2) ; D = R2 � f(0; 0)g d) z = xy x2 + y2 ; D = R2 � f(0; 0)g [15] Mostre que a função f (x; y) = 8><>: (x 2 + y2) sen 1p x2 + y2 ! ; se (x; y) 6= (0; 0) 0; se (x; y) = (0; 0) é diferenciável na origem, mas as derivadas parciais fx e fy são descontínuas.