07 - Transformação de Tensão no Plano

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MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Transformação de tensão no plano
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MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Transformação de tensão no plano
2
MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
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θτθσστ
θτθσσσσσ
2cos2sen
2
2sen2cos
22
''
'
xy
yx
yx
xy
yxyx
x
+
−
−=
+
−
+
+
=
Equações gerais de transformação de tensão no plano
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MECÂNICA DE SISTEMAS DINÂMICOS
ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo
elemento mostrado na figura. Determine o estado de tensão no
ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em
Exemplo 1
relação à posição mostrada.
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Solução:
Pela convenção de sinal, tem-se:
°−=−==−= 30 MPa 25 MPa 50 MPa 80 θτσσ xyyx
 MPa 8,682cos2sen
2
 MPa 8,252sen2cos
22
''
'
−=+
−
−=
−=+
−
+
+
=
θτθ
σσ
τ
θτθ
σσσσ
σ
xy
yx
yx
xy
yxyx
x
5
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Tensões principais no plano
• A orientação dos planos irá determinar se 
a tensão normal é máxima ou mínima.
( ) 2/2tg yx
xy
σσ
τ
θ
−
=
Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima
• A solução tem duas raízes, portanto 
tem-se as tensões principais:
• A tensão de cisalhamento máxima é:
( ) 2/yx σσ −
21
2
2
2,1 onde 22
σστ
σσσσ
σ >+




 −
±
+
= xy
yxyx
6
2
2
plano no
máx 2 xy
yx τ
σσ
τ +




 −
=
2
yxméd
σσ
σ
+
=
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O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é
representado no elemento mostrado na figura abaixo. Represente
esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima no
Exemplo 2
plano e a tensão normal média associada.
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Solução:
Como , tem-se:60,90 ,20 ==−= xyyx τσσ
( ) º7,232/2tg ==>−= θσσ
τ
θ
yx
xy
 MPa 4,81
2
2
2
plano no
máx =+





 −
= xy
yx
τ
σσ
τ
A tensão de cisalhamento máxima e a tensão
normal média será:
8
MPa 46,4- MPa; 116,4 
22
2
2
2,1 =+





 −
±
+
= xy
yxyx
τ
σσσσ
σ
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Uma força axial de 900 N e um torque de 2,5 Nm são aplicados
ao eixo. O diâmentro do eixo for de 40 mm, determine as tensões
principais em um ponto P sobre sua superfície.
Exemplo 3
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J
rT .
=τ
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As tensões produzidas no ponto P são:
( )
( ) ( ) kPa 2,71602,0
900
 kPa, 9,198
02,0
02,05,2.
24
2
======
pi
στ
pi A
P
J
rT
Solução:
As tensões principais e o ângulo θ são:
 kPa 5,51 ; kPa 7,767 21 −== σσ
10
( ) º5,142/2tg −==>−= θσσ
τ
θ
yx
xy
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• Em referência a tensão do plano, a teoria da tensão de cisalhamento
máxima para tensão do plano podem ser expressadas pelas duas tensões
principais.
Critério de escoamento de Tresca
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Teoria da energia de distorção máxima ou
Critério de Von Mises
� O escoamento em um material dúctil ocorre quando a energia de
distorção por unidade de volume do material é igual ou ultrapassa
a energia de distorção por unidade de volume do mesmo material.
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Tresca vs. Von Mises 
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O eixo maciço mostrado na figura ao lado
é feito de aço com tensão de escoamento
de σ = 360 MPa. Sabendo-se que o
torque causa uma tensão de
Exemplo
cisalhamento positiva, determine se as
cargas provocam a falha do eixo de
acordo com a teoria da tensão de
cisalhamento máxima (Critério de
escoamento de Tresca) e a teoria da
energia de distorção máxima (Critério de
Von Mises) . 14
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Solução
= -191MPa
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Critério de escoamento de Tresca:
Solução (continuação)
Não ocorrerá falha.
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Critério de Von Mises:
Ocorrerá falha.
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Sabendo-se que a tensão de escoamento de um certo material que
constitui um eixo é de σ = 300 MPa. Determine se o carregamento
provoca a falha deste eixo, de acordo com a teoria da tensão de
cisalhamento máxima (Critério de escoamento de Tresca) e a teoria
Exercício
da energia de distorção máxima (Critério de Von Mises), sendo:
a) = 50 MPa b) = 290 MPa c) = -170 MPa
= -10 MPa = 50MPa = -250 MPa
= 40 MPa = 80 MPa = 300 MPa
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xσ
yσ
xyτ
xσxσ
yσ yσ
xyτxyτ