Capitulo_3_-_Derivada

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CCaappííttuulloo 33 
DDEERRIIVVAADDAASS 
 
 
 A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo 
diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta. 
 Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes, 
de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função. 
 É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do 
coeficiente angular de uma reta usando limites. 
 
CONCEITO DE DERIVADA 
 Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico. 
 
EXEMPLO 
 Considere a seguinte função: 
 
2x)x(f = 
 Primeiramente, vamos escolher dois valores de x: 
 1x 0 = e 2x1 = 
 Os valores de y correspondentes a esses pontos são: 
 11)1(fy 20 === e 42)2(fy 21 === 
 Então, a curva da função passa pelos pontos: 
 )1,1()y,x(P 00 == 
 )4,2()y,x(Q 11 == 
 Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por: 
 3
1
3
12
14
xx
yy
x
y
m
01
01
==
−
−
=
−
−
=
∆
∆
= 
 O denominador do coeficiente angular é igual a: 
 1xxx 01 =−=∆ 
 Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação: 
 
 
 
 Agora vamos fazer: 
 1,1x1 = 
 Então: 
 21,11,1)1,1(fy 21 === 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 2 
 
 Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas: 
 )21,1 , 1,1()y,x(Q 11 == 
 O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por: 
 1,2
1,0
21,0
11,1
121,1
xx
yy
x
y
m
01
01
==
−
−
=
−
−
=
∆
∆
= 
 Sendo que: 
 1,011,1xxx 01 =−=−=∆ 
 Novamente, vamos fazer: 
 01,1x1 = 
 Então: 
 0201,101,1)01,1(fy 21 === 
 As coordenadas do ponto Q são iguais a: 
 )0201,1 , 1,1()y,x(Q 11 == 
 O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por: 
 01,2
01,0
0201,0
101,1
10201,1
xx
yy
x
y
m
01
01
==
−
−
=
−
−
=
∆
∆
= 
 Sendo que: 
 01,0101,1xxx 01 =−=−=∆ 
 Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela: 
 
∆∆∆∆x m 
1 3 
0,1 2,1 
0,01 2,01 
... ... 
0 2 
 
 À medida que ∆x se aproxima de zero, o ponto Q se aproximará cada vez mais de P e a reta 
que corta a função passará a tangenciá-la. O coeficiente angular da reta tangente a f(x) é igual a 2. 
 A situação, quando ∆x tende a zero, pode ser vista no gráfico abaixo: 
 
 
 
 Note que esse é um processo limite dado por: 
 
x
ylimm
0x ∆
∆
=
→∆
 
 Onde m é o coeficiente angular da reta tangente a f(x). 
 Vamos formalizar o conceito de derivada comparando com o exemplo numérico mostrado. 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 3 
 
 Definimos a derivada de uma função f(x) pelo seguinte limite: 
 
x
)x(f)xx(flim
0x ∆
−∆+
→∆
 
 Vamos mostrar, de uma forma genérica, o significado dessa expressão. 
 Começamos colocando no gráfico os pontos P e Q: 
 
 
 
 Note que podemos traçar uma reta que passa por P e Q. O coeficiente angular dessa reta é 
dado por: 
 
x
)x(f)xx(f
x)xx(
)x(f)xx(f
xx
yy
x
y
m
01
01
∆
−∆+
=
−∆+
−∆+
=
−
−
=
∆
∆
= 
 À medida que ∆x tende a zero, o ponto Q se aproxima cada vez mais de P: 
 
 
 
 No limite, quando ∆x tende a zero, a reta tangenciará a função no ponto P. O coeficiente 
angular dessa reta é então conhecido como derivada da função: 
 Derivada = 
x
)x(f)xx(flim
0x ∆
−∆+
→∆
 
 Alguns autores costumam calcular a derivada através da fórmula equivalente: 
 Derivada = 
h
)x(f)hx(flim
0h
−+
→
 
 A representação de derivada é feita colocando-se um apóstrofo após o símbolo f em f(x): 
 )x(f ′ 
 Então: 
 
x
)x(f)xx(flim)x(f
0x ∆
−∆+
=′
→∆
 
 
∆x→0 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 4 
 
 Pela definição, notamos que a derivada depende do valor de x. Isso significa que podemos 
calcular o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) para qualquer valor de x escolhido. 
 No capítulo 1, vimos que o coeficiente angular de uma reta fornece a taxa de variação da 
variável y em relação à variável x (por exemplo, graus Celsius por hora ou milhões por ano). 
 Portanto, a derivada mede a taxa de variação da função f(x) num determinado ponto x, ou 
seja, quanto maior o valor da derivada em x então mais inclinada será a função f(x) nesse ponto. 
 Vamos verificar essa afirmação através do seguinte gráfico: 
 
 
 
 Podemos perceber que a reta r tem inclinação menor que a reta s. Nesse caso, a derivada em 
x1 é menor que a derivada em x2. O resultado é que a função f(x) em x2 é mais inclinada que em x1. 
 
ENCONTRANDO A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 Vamos aplicar o limite que define a derivada para estabelecermos as regras de derivação de 
algumas funções. 
 
• 5)x(f = 
 5)xx(f =∆+ (para qualquer valor de x, a função será sempre igual a 5) 
 
x
)x(f)xx(flim)x(f
0x ∆
−∆+
=′
→∆
 
 0
x
55lim)x(f
0x
=
∆
−
=′
→∆
 
 Resumo: A derivada de uma função constante é igual a zero. 
 
• x5)x(f = 
 x5x5)xx(5)xx(f ∆+=∆+=∆+ 
 
x
)x(f)xx(flim)x(f
0x ∆
−∆+
=′
→∆
 
 
x
x5x5x5lim)x(f
0x ∆
−∆+
=′
→∆
 
 55lim
x
x5lim)x(f
0x0x
==
∆
∆
=′
→∆→∆
 
 Resumo: A derivada de uma função linear é igual ao seu coeficiente angular. 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 5 
 
• 
2x5)x(f = 
 
22222 x5xx10x5)xxx2x(5)xx(5)xx(f ∆+∆+=∆+∆+=∆+=∆+ 
 
x
)x(f)xx(flim)x(f
0x ∆
−∆+
=′
→∆
 
 
x
x5x5xx10x5lim)x(f
222
0x ∆
−∆+∆+
=′
→∆
 
 
x
)x5x10(xlim
x
x5xx10lim)x(f
0x
2
0x ∆
∆+∆
=
∆
∆+∆
=′
→∆→∆
 
 x10)x5x10(lim)x(f
0x
=∆+=′
→∆
 
 )x2(5)x(f ⋅⋅=′ 
 Resumo: A derivada de uma função quadrática é igual à sua constante (5) multiplicada 
pelo valor do expoente (2) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade. 
 
• 
3x5)x(f = 
 )xxx3xx3x(5)xx(5)xx(f 32233 ∆+∆+∆+=∆+=∆+ 
 
3223 x5xx15xx15x5)xx(f ∆+∆+∆+=∆+ 
 
x
)x(f)xx(flim)x(f
0x ∆
−∆+
=′
→∆
 
 
x
x5x5xx15xx15x5lim)x(f
33223
0x ∆
−∆+∆+∆+
=′
→∆
 
 
x
)x5xx15x15(xlim
x
x5xx15xx15lim)x(f
22
0x
322
0x ∆
∆+∆+∆
=
∆
∆+∆+∆
=′
→∆→∆
 
 
222
0x
x15)x5xx15x15(lim)x(f =∆+∆+=′
→∆
 
 )x3(5)x(f 2⋅⋅=′ 
 Resumo: A derivada de uma função cúbica é igual à sua constante (5) multiplicada 
pelo valor do expoente (3) e pela variável x com o expoente reduzido de 1 unidade. 
 
 A regra geral para o caso de funções com potências de x é dada por: 
 
nxk)x(f ⋅= 
 
1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 
 
EXEMPLO 
 Calcular a derivada da função: 
 
5x10)x(f = 
 
SOLUÇÃO 
 Pela regra geral: 
 
415 x50x510)x(f =⋅⋅=′ − 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 6 
 
 Outras funções podem ser enquadradas na forma geral mostrada anteriormente. Por 
exemplo: 
 
• 
2 x)x(f = 
 Primeiramente, vamos modificar essa função: 
 
2
1
2 1 xx)x(f == 
 Aplicando a regra da derivada vista anteriormente: 
 
1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 
 
2
2
1
2
11
2
1
x2
1
x
1
2
1
x
2
1
x
2
11)x(f
⋅
=⋅=⋅=⋅⋅=′
−−
 
 Resumo: A derivada da função raiz quadrada é formada colocando 1 no numerador, 2 
(índice da raiz) no denominador, seguido da raiz quadrada de x. 
 
• 
3 x)x(f = 
 Primeiramente, vamos modificar essa função: 
 
3
1
3 1 xx)x(f == 
 Aplicando a regra da derivada: 
 
1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 
 
3 2
3
2
3
21
3
1
x3
1
x
1
3
1
x
3
1
x
3
11)x(f
⋅
=⋅=⋅=⋅⋅=′
−−
 
 Resumo: A derivada da função raiz cúbica é formada colocando 1 no numerador,3 
(índice da raiz) no denominador, seguido da raiz cúbica de x elevado à potência 2. 
 
• 
4 3x)x(f = 
 Primeiramente, vamos modificar essa função: 
 
4
3
4 3 xx)x(f == 
 Aplicando a regra da derivada: 
 
1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 
 
4 1
4
1
4
11
4
3
x4
3
x
1
4
3
x
4
3
x
4
31)x(f
⋅
=⋅=⋅=⋅⋅=′
−−
 
 Resumo: A derivada da função é formada colocando 3 no numerador (potência de x 
dentro da raiz), 4 (índice da raiz) no denominador seguido da raiz quarta de x elevado à 
potência 1. 
 
 A regra geral para o caso de funções raiz é dada por: 
 
q pxk)x(f ⋅= , com q>p 
 
q pq
xq
pk)x(f
−
⋅
⋅
=′ 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 7 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a derivada da função: 
 
5 2x5)x(f ⋅= 
 
SOLUÇÃO 
 Aplicando a regra para funções raiz: 
 
5 35 25 x5
10
x5
25)x(f
⋅
=
⋅
⋅
=′
−
 
 
• 
x
1)x(f = 
 Primeiramente, vamos modificar essa função: 
 
1
1 x
x
1)x(f −== 
 Aplicando a regra da derivada: 
 
1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 
 2
211
x
1
x1x)1(1)x(f −=⋅−=⋅−⋅=′ −−− 
 Resumo: A derivada da função é formada colocando -1 no numerador, seguido de x 
elevado à potência 2 no denominador. 
 
• 2x
1)x(f = 
 Primeiramente, vamos modificar essa função: 
 
2
2 x
x
1)x(f −== 
 Aplicando a regra da derivada: 
 
1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 
 3
312
x
2
x2x)2(1)x(f −=⋅−=⋅−⋅=′ −−− 
 Resumo: A derivada da função é formada colocando -2 no numerador, seguido de x 
elevado à potência 3 no denominador. 
 
• 3x
1)x(f = 
 Primeiramente, vamos modificar essa função: 
 
3
3 x
x
1)x(f −== 
 Aplicando a regra da derivada: 
 
1nxnk)x(f −⋅⋅=′ 
 4
413
x
3
x3x)3(1)x(f −=⋅−=⋅−⋅=′ −−− 
 Resumo: A derivada da função é formada colocando -3 no numerador, seguido de x 
elevado à potência 4 no denominador. 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 8 
 
 A regra geral esse tipo de função é dada por: 
 
nx
1k)x(f ⋅= 
 1n
x
)n(k)x(f
+
−⋅
=′ 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a derivada da função: 
 4x
3)x(f = 
 
SOLUÇÃO 
 Aplicando a regra estabelecida: 
 514
x
12
x
)4(3)x(f −=−⋅=′
+
 
 
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE 
 Sabemos calcular o coeficiente angular da reta tangente a f(x). Nesse ponto, vamos 
encontrar a equação que define a reta tangente a f(x). 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a equação da reta tangente a 2x)x(f = no ponto 3x0 = . 
 
SOLUÇÃO 
 O coeficiente angular da reta tangente à função 2x)x(f = é dada por: 
 x2)x(f =′ 
 No ponto 3x0 = , o valor do coeficiente angular é igual a: 
 632)3(f)x(f 0 =⋅=′=′ 
 Se quisermos saber a equação dessa reta basta saber em que ponto ela passa. No caso, 
quando 3x0 = : 
 93)3(f)x(fy 200 ==== 
 Então, a reta tangente passa pelo ponto P: 
 )9,3()y,x(P 00 == 
 Logo, a equação procurada é dada por: 
 )xx(m)yy( 00 −⋅=− 
 )xx()x(f)yy( 000 −⋅′=− 
 )3x(6)9y( −⋅=− 
 9x6y −= 
 O resultado é mostrado no gráfico ao lado. 
 
 
 É importante notar que o sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou 
decrescente em determinados intervalos. No exemplo anterior, quando x>0, a derivada será sempre 
positiva o que quer dizer que a função será sempre crescente nesse intervalo. Por outro lado, quando 
x<0, a derivada será sempre negativa o que quer dizer que a função será sempre decrescente nesse 
intervalo. 
 
f(x)=x2 
y=6x-9 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 9 
 
 O gráfico abaixo expressa bem o que afirmamos anteriormente: 
 
 
 
DERIVADAS DE OUTRAS FUNÇÕES 
 Derivadas de outras funções podem ser demonstradas através de limites. A tabela a seguir 
mostra o resultado desse cálculo. 
 
Função Derivada 
 )x(sen)x(f = )xcos()x(f =′ 
 )xcos()x(f = )x(sen)x(f −=′ 
 )x(tg)x(f = 
 )x(sec)x(f 2=′ 
 
xe)x(f = xe)x(f =′ 
 
xa)x(f = alna)x(f x=′ 
 xln)x(f = 
 
x
1)x(f =′ 
 
EXEMPLO 
 Provar que, se xe)x(f = então xe)x(f =′ . 
 
SOLUÇÃO 
 Primeiramente, devemos calcular: 
 
xxxx eee)xx(f ∆∆+ ⋅==∆+ 
 A derivada da função é dada pelo seguinte limite: 
 
x
1elime
x
)1e(elim
x
)x(f)xx(flim)x(f
x
0x
x
xx
0x0x ∆
−
⋅=
∆
−
=
∆
−∆+
=′
∆
→∆
∆
→∆→∆
 
 Para resolver esse limite, vamos fazer: 
 1eu x −= ∆ ⇒ )u1ln(x +=∆ 
 Pela equação anterior, podemos concluir que: 
 0u → quando 0x →∆ 
 Substituindo no limite: 
 
u
1
0u
u
10u0u
x
0x
)u1ln(lim
1
)u1ln(
1lim)u1ln(
ulim
x
1elim
+
=
+
=
+
=
∆
−
→
→→
∆
→∆
 
 
1
eln
1
)u1(limln
1
x
1elim
u
1
0u
x
0x
==








+
=
∆
−
→
∆
→∆
 
 Então: 
 
xe)x(f =′ 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 10 
 
PROPRIEDADES DA DERIVADA 
 A derivada de uma função apresenta as seguintes propriedades: 
 
(a) [ ] )x(fk)x(fk ′⋅=′⋅ 
(b) [ ] )x(g)x(f)x(g)x(f ′+′=′+ 
(c) [ ] )x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f ′⋅+⋅′=′⋅ 
(d) [ ]2)x(g
)x(g)x(f)x(g)x(f
)x(g
)x(f ′⋅−⋅′
=
′






, desde que g(x)≠0 
 
EXEMPLO 
 Calcular as derivadas: 
 1) 2x3)x(f = , então x6)x2(3)x(3)x(f 2 =⋅=′⋅=′ 
 2) )xcos(3)x(f = , então )x(sen3])x(sen[3])x[cos(3)x(f −=′−⋅=′⋅=′ 
 3) 23 x2x)x(f += , então x4x3)x(2)x()x(f 223 +=′⋅+′=′ 
 4) )xcos(x)x(f 3 ⋅= , então ])x[cos(x)xcos()x()x(f 33 ′⋅+⋅′=′ 
 )x(senx)xcos(x3)]x(sen[x)xcos(x3)x(f 3232 ⋅−⋅=−⋅+⋅=′ 
 5) )xcos(
x)x(f
3
= , então 2
33
)]x[cos(
])x[cos(x)xcos()x()x(f ′⋅−⋅′=′ 
 
)x(cos
)x(senx)xcos(x3
)x(cos
)]x(sen[x)xcos(x3)x(f 2
32
2
32
⋅+⋅
=
−⋅−⋅
=′ 
 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR A UM 
 Até o momento, aprendemos apenas a calcular a primeira derivada (também chamada de 
derivada de primeira ordem). Vamos definir agora as derivadas de ordem superior a um. 
 A segunda derivada é expressa por: 
 ])x(f[)x(f ′′=′′ 
 Para obtermos a segunda derivada da função, basta derivarmos a primeira derivada. 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a segunda derivada da função: 
 
3x)x(f = 
 
SOLUÇÃO 
 A primeira derivada é dada por: 
 
2x3)x(f =′ 
 Então, a segunda derivada é igual a: 
 x6)x2(3)x(f =⋅=′′ 
 
 Definimos as derivadas de ordem três, quatro, cinco e a derivada de ordem n da seguinte 
forma: 
 ])x(f[)x(f ′′′=′′′ 
 ])x(f[)x(f )iv( ′′′′= 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 11 
 
 ])x(f[)x(f )iv()v( ′= 
 ])x(f[)x(f )1n()n( ′= − 
 Conforme a última fórmula, se quisermos obter a décima derivada de uma função, então, 
precisamos encontrar todas as derivadas de ordem inferior a dez. 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a quinta derivada da função: 
 
10x)x(f = 
 
SOLUÇÃO 
 A primeira derivada é dada por: 
 
9x10])x(f[)x(f =′=′ 
 A segunda derivada é igual a: 
 
88 x90)x9(10])x(f[)x(f =⋅=′′=′′ 
 A terceira derivada é igual a: 
 
77 x720)x8(90])x(f[)x(f =⋅=′′′=′′′ 
 A quarta derivada é igual a: 
 
66)iv( x5040)x7(720])x(f[)x(f =⋅=′′′′= 
 Finalmente, a quinta derivada é igual a: 
 
55)iv()v( x30240)x6(5040])x(f[)x(f =⋅=′= 
 
NOTAÇÃO PARA DERIVADAS 
 Chamamos de notação à maneira que representamos uma idéia matemática. Por exemplo, a 
notação de uma função é feita de uma das seguintes formas: 
 f(x) ou y 
 
EXEMPLO 
 A notação de primeira derivada é dada por uma das formas abaixo: 
 )x(f ′ , y′ , y& ou 
dx
dy
 
 A última forma é a mais importante e significa a primeira derivada de y em relação a x. 
 A segunda derivada pode ser representada por uma das formas abaixo: 
 )x(f ′′ , y ′′ , y&& ou 2
2
dx
yd
 
 A notação da terceira derivada é dada por uma das seguintes formas: 
 )x(f ′′′ , y ′′′ , y&&& ou 3
3
dx
yd
 
 Eassim sucessivamente, até a n-ésima derivada: 
 )x(f )n( , )n(y ou 
n
n
dx
yd
 
 
REGRA DA CADEIA 
 A derivada de uma função composta é conhecida como regra da cadeia, ou seja, desejamos 
conhecer a derivada de funções do tipo: 
 ))x(g(fy = 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 12 
 
 Nesse caso, vamos fazer: 
 )x(gu = 
 Então a função inicial se torna: 
 )u(fy = 
 A derivada de y em relação a x é dada por: 
 
dx
du
du
dy
du
du
dx
dy
dx
dy
⋅=⋅= 
 Essa expressão é conhecida como regra da cadeia. 
 Podemos escrever a regra da cadeia de uma forma mais simples: 
 )x(u)u(y
dx
dy
′⋅′= 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a derivada de y em relação a x da função: 
 )xsen(y 2= 
 
SOLUÇÃO 
 Podemos notar que a função 2x)x(g = está dentro da função seno. Devemos fazer então: 
 
2xu = 
 A função y se torna: 
 )usen(y = 
 A derivada de y em relação a u é igual a: 
 )ucos()u(y =′ 
 A derivada de u em relação a x é igual a: 
 x2)x(u =′ 
 Então a derivada de y em relação a x é dada por: 
 )x(u)u(y
dx
dy
′⋅′= 
 x2)ucos(
dx
dy
⋅= 
 Substituindo u por x2 na equação anterior: 
 x2)xcos(
dx
dy 2
⋅= 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo: 
 
223 )x2xx(y ++= 
 
SOLUÇÃO 
 Note que a função x2xx)x(g 23 ++= está dentro da função quadrática. Devemos fazer: 
 x2xxu 23 ++= 
 A função y se torna então: 
 
2uy = 
 A derivada de y em relação a u é igual a: 
 u2)u(y =′ 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 13 
 
 A derivada de u em relação a x é igual a: 
 2x2x3)x(u 2 ++=′ 
 Então a derivada de y em relação a x é dada por: 
 )x(u)u(y
dx
dy
′⋅′= 
 )2x2x3(u2
dx
dy 2 ++⋅= 
 Substituindo a expressão de u na equação anterior: 
 )2x2x3()x2xx(2
dx
dy 223 ++⋅++= 
 
 Podemos generalizar a regra da cadeia através da seguinte fórmula: 
 
dx
df
df
df
...
df
df
df
df
df
dy
dx
dy n
n
1n
3
2
2
1
1
⋅⋅⋅⋅⋅=
−
 
 Ou na forma mais simples: 
 )x(f)f(f...)f(f)f(f)f(y
dx
dy
nn1n32211 ′⋅′⋅⋅′⋅′⋅′= − 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a derivada de y em relação a x da função abaixo: 
 ))x(ln(seny 3= 
 
SOLUÇÃO 
 Para resolver o problema, devemos fazer: 
 
3
2 xf = 
 A função y se tornará então: 
 ))f(ln(seny 2= 
 Agora fazemos: 
 )fln(f 21 = 
 Isso torna a função y igual a: 
 )f(seny 1= 
 Começaremos calculando a derivada de f2 em relação a x: 
 
2
2 x3)x(f =′ 
 Em seguida, vamos calcular a derivada de f1 em relação a f2: 
 3
2
21
x
1
f
1)f(f ==′ 
 O cálculo da derivada de y em função de f1 fornece: 
 ))xcos(ln())fcos(ln()fcos()f(y 3211 ===′ 
 A derivada de y em relação a x é dada pela regra da cadeia: 
 )x(f)f(f)f(y
dx
dy
2211 ′⋅′⋅′= 
 
2
3
3
x3
x
1))xcos(ln(
dx
dy
⋅⋅= 
 Finalmente, a derivada de y em relação a x é dada por: 
 
x
))xcos(ln(3
dx
dy 3⋅
= 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 14 
 
APLICAÇÕES DA REGRA DA CADEIA 
 No capítulo 1, mostramos que a curva de Gauss é dada pela seguinte função: 
 
2
x
2
1
e
2
1)x(f 




σ
µ−
⋅−
⋅
piσ
= 
 Observando f(x) atentamente, podemos identificar uma composição de três funções. 
Portanto, para calcularmos a primeira derivada devemos fazer uso da regra da cadeia: 
 )x(g)g(u)u(f
dx
dg
dg
du
du
df
dx
df
′⋅′⋅′=⋅⋅= 
 Primeiramente, devemos fazer: 
 
σ
µ−
=
xg 
 A função f se tornará então: 
 
2g
2
1
e
2
1f
−
⋅
piσ
= 
 Agora fazemos: 
 
2g
2
1
u −= 
 Isso torna a função f igual a: 
 
ue
2
1f ⋅
piσ
= 
 Começaremos calculando a derivada de g em relação a x: 
 
σ
=′
1)x(g 
 Lembre-se que o parâmetro µ que aparece em g é constante e a sua derivada é nula. Em 
seguida, vamos calcular a derivada de u em relação a g: 
 g)g(u −=′ 
 O cálculo da derivada de f em função de u fornece: 
 
uuu e
2
1)e(
du
d
2
1
e
2
1
du
d)u(f ⋅
piσ
=⋅
piσ
=





⋅
piσ
=′ 
 Note que o parâmetro 
piσ 2
1
 é constante, portanto, devemos derivar apenas a função 
exponencial. 
 A derivada de f em relação a x é dada pela regra da cadeia: 
 )x(g)g(u)u(f
dx
df
′⋅′⋅′= 
 
σ
⋅−⋅⋅
piσ
=
1)g(e
2
1
dx
df u
 
 Substituindo os valores de u e g: 
 
σ
⋅





σ
µ−
⋅⋅
piσ
−=






σ
µ−
− 1x
e
2
1
dx
df
2
x
2
1
 
 A derivada de f(x) será usada posteriormente para mostrar onde se localiza o ponto de 
máximo dessa função. Esse resultado é importante, pois nos informa qual é a ocorrência que tem a 
maior probabilidade de acontecer. Por exemplo, em uma distribuição de alturas dos alunos de uma 
escola, qual será a altura mais provável de ser encontrada ? 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 15 
 
DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA 
 Vamos dividir por dy o numerador e o denominador da derivada 
dx
dy
: 
 
dydx
dydy
dx
dy
÷
÷
= 
 Para encontrar a derivada de uma função inversa, basta aplicar a seguinte regra: 
 
dy
dx
1
dx
dy
= 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a derivada da função abaixo: 
 )x(arcseny = 
 
SOLUÇÃO 
 A função inversa de y é dada por: 
 x)y(sen = 
 Derivando a expressão anterior: 
 )ycos(
dy
dx
= 
 Então, a derivada de y em relação a x é igual a: 
 
ycos
1
dx
dy
= 
 O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y 
através da relação trigonométrica fundamental: 
 1ycosysen 22 =+ 
 ysen1ycos 22 −= 
 
22
x1ysen1ycos −=−= 
 Substituindo na expressão da derivada: 
 
2x1
1
dx
dy
−
= 
 Resumo: a derivada da função arco-seno é igual a 
2x1
1
−
. 
 
EXEMPLO 
 Encontrar a derivada da função abaixo: 
 xlny = 
 
SOLUÇÃO 
 A função inversa de y é dada por: 
 xey = 
 Derivando a expressão anterior: 
 
ye
dy
dx
= 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 16 
 
 Então, a derivada de y em relação a x é igual a: 
 ye
1
dx
dy
= 
 O segundo membro não pode ficar em função de y. Podemos eliminar a dependência de y 
sabendo que: 
 xey = 
 Então: 
 
x
1
dx
dy
= 
 Resumo: a derivada da função logaritmo neperiano de x é igual a 
x
1
. 
 
 Através desse método, podemos encontrar as seguintes derivadas: 
 
Função Derivada 
 )xcos(ar)x(f = 
2x1
1)x(f
−
−=′
 
 )x(arctg)x(f = 
 2x1
1)x(f
+
=′ 
 x)x(f = 
x2
1)x(f =′ 
 
DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA 
 Quando existirem somente ocorrências da variável x no segundo membro da equação de 
uma função, então dizemos que a função é explícita. Esse tipo de função possui a seguinte 
representação: 
 )x(fy = 
 
EXEMPLO 
 São funções explícitas: 
 2x5y 2 −= 
 )xcos(y = 
 Note que a variável x aparece apenas no segundo membro em todas as funções dadas. 
 
 Por outro lado, dizemos que uma função é implícita quando estiver na forma: 
 0)y,x(f = 
 A derivada desse tipo de função é feita usando as regras e as propriedades das derivadas de 
funções explícitas. 
 
EXEMPLO 
 Encontre a derivada da seguinte função implícita: 
 02xy 22 =++ 
 
SOLUÇÃO 
 Tomando a derivada em relação a x nos dois membros: 
 )0(
dx
d)2xy(
dx
d 22
=++ 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 17 
 
 Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar: 
 )0(
dx
d)2(
dx
d)x(
dx
d)y(
dx
d 22
=++ 
 Fazendo 2yu = , podemos calcular a derivada do primeiro termo através da regra da cadeia: 
 
dx
dy
dy
du
dx
du
⋅=dx
dyy2)y(
dx
d 2
⋅= 
 Chamando 2xu = , podemos calcular a derivada do segundo termo: 
 x2
dx
du
= 
 x2)x(
dx
d 2
= 
 As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero 
já que a derivada de uma constante é igual a zero. 
 Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem: 
 0x2
dx
dyy2 =+ 
 Isolando 
dx
dy
 no primeiro membro teremos: 
 
y
x
y2
x2
dx
dy
−=−= 
 
EXEMPLO 
 Encontre a derivada da seguinte função implícita: 
 01xxy 2 =−+ 
 
SOLUÇÃO 
 Podemos aplicar a propriedade da derivada da soma para encontrar: 
 )0(
dx
d)1(
dx
d)x(
dx
d)xy(
dx
d 2
=−+ 
 O primeiro termo é a derivada do produto de duas funções: 
 y
dx
dy
x
dx
dxy
dx
dy
x)xy(
dx
d
+=+= 
 Chamando 2xu = , podemos calcular a derivada do segundo termo: 
 x2
dx
du
= 
 As derivadas do terceiro termo do primeiro membro e do segundo membro são iguais a zero 
já que a derivada de uma constante é igual a zero. 
 Vamos substituir as derivadas em cada um dos termos da equação de origem: 
 0x2y
dx
dy
x =++ 
 




 +
−=
x
x2y
dx
dy
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 18 
 
DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE 
 Em alguns casos, uma função pode ser contínua mas não ser derivável num ponto. Isso 
significa que a continuidade não garante que a função é derivável. Por outro lado, se uma função é 
derivável num ponto podemos ter certeza que a função é contínua. 
 Funções que apresentam pontas ou cantos nos seus gráficos são contínuas mas não são 
deriváveis. 
 
EXEMPLO 
 As funções abaixo são contínuas mas não são deriváveis nas pontas ou cantos: 
 
 
 
Gráfico com ponta Gráfico com canto 
 
 Quando uma função é contínua mas não é derivável, torna-se impossível traçar uma única 
reta tangente nos pontos em que ocorrem os cantos e as pontas. Veja o gráfico: 
 
 
 
 Note que podemos traçar as retas r e s tangentes à função f(x) no ponto p. Na verdade, 
existem infinitas retas que tangenciam a função no ponto p. 
 Provamos que uma função pode ser contínua mas não derivável através dos limites que 
definem a continuidade e a derivada. 
 
INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 
 Analisando o sinal da primeira derivada, podemos ter uma idéia do comportamento de uma 
determinada função. Observe o gráfico abaixo: 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 19 
 
 Para cada um dos pontos analisados, podemos observar que o coeficiente angular da reta 
tangente à função tem um sinal diferente. 
 Na primeira reta à esquerda o coeficiente angular é negativo, logo, a reta tangente é 
decrescente e a função também está decrescendo. Já na segunda reta à esquerda o coeficiente 
angular é positivo, portanto, a reta tangente é crescente e a função está crescendo. 
 Lembramos que o coeficiente angular da reta tangente à função f(x) é dado pela primeira 
derivada de f(x), portanto, o seu sinal mostra onde a função cresce ou decresce. 
 
EXEMPLO 
 Caracterizar a função abaixo em crescente ou decrescente em x=2. 
 x27xy 3 −= 
 
SOLUÇÃO 
 A primeira derivada é dada por: 
 27x3y 2 −=′ 
 No ponto x=2, a primeira derivada é igual a: 
 152723)2(y 2 −=−⋅=′ 
 Como a primeira derivada é negativa, então a função x27xy 3 −= é decrescente em x=2. 
 
EXEMPLO 
 Partindo do exemplo anterior, caracterizar a função em crescente ou decrescente em x=4. 
 
SOLUÇÃO 
 No ponto x=4, a primeira derivada é igual a: 
 212743)4(y 2 =−⋅=′ 
 Como a primeira derivada é positiva, então a função x27xy 3 −= é crescente em x=4. 
 
CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO 
 Assim como a primeira derivada, a segunda derivada também tem um significado especial. 
É possível demonstrar que a segunda derivada indica a concavidade da função no ponto. 
• Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade está para cima; 
• Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade está para baixo. 
 
EXEMPLO 
 Considere a função: 
 cbxaxy 2 ++= 
 
SOLUÇÃO 
 A segunda derivada é dada por: 
 bax2y +=′ 
 a2y =′′ 
 O que podemos perceber é que, dependendo do sinal de a, a segunda derivada mostra se a 
concavidade da função está para cima ou para baixo. 
 Como a segunda derivada é constante, então a função possui apenas uma concavidade. 
 
EXEMPLO 
 Qual é a concavidade da função no ponto x=2 ? 
 1xx3y 3 ++= 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 20 
 
SOLUÇÃO 
 A segunda derivada é dada por: 
 1x9y 2 +=′ 
 x18y =′′ 
 O ponto x=2 "enxerga" a função y com concavidade para cima porque: 
 36218)2(y =⋅=′′ é positivo. 
 
EXEMPLO 
 No exemplo anterior, qual é a concavidade da função no ponto x=-1 ? 
 
SOLUÇÃO 
 O ponto x=-1 "enxerga" a função y com concavidade para baixo já que: 
 18)1(18)1(y −=−⋅=−′′ é negativo. 
 
 Em algumas funções, existe um valor de x em que a segunda derivada se anula. Esse ponto é 
chamado ponto de inflexão. Nesse caso, o valor de x encontrado separa a função em duas 
concavidades diferentes. 
 
EXEMPLO 
 Encontrar, se houver, o ponto de inflexão da função: 
 1x12x2y 23 +−= 
 
SOLUÇÃO 
 A segunda derivada é dada por: 
 x24x6y 2 −=′ 
 24x12y −=′′ 
 Igualando a segunda derivada a zero: 
 0y =′′ 
 024x12 =− 
 24x12 = 
 2x = 
 O ponto x=2 separa a função em dois tipos de concavidade. Por exemplo, para qualquer x<2 
o valor da segunda derivada é negativo, então a função tem concavidade para baixo. Já para x>2, o 
valor da segunda derivada é positivo e a função tem concavidade para cima. Observe o gráfico: 
 
 
 
 Então 2x = é ponto de inflexão. 
 
Concavidade para cima 
Concavidade para baixo 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 21 
 
PONTO DE MÁXIMO E MÍNIMO 
 Numa função do segundo grau, xv é chamado ponto de máximo ou de mínimo, dependendo 
da sua concavidade. Vamos agora formalizar um método para encontrar esse ponto para qualquer 
tipo de função. 
 Sabemos que a primeira derivada fornece o coeficiente angular da reta tangente a qualquer 
função. Pois bem, em algumas funções, existe um valor de x em que a primeira derivada se anula. 
Nesse ponto x estamos sobre o ponto de máximo ou de mínimo. 
 
EXEMPLO 
 Imagine uma estrada com altos e baixos. Um automóvel está no ponto mais alto (máximo) 
ou mais baixo (mínimo) quando o automóvel se encontra alinhado na horizontal. 
 
 
 
 Quando o automóvel está alinhado na horizontal, o coeficiente angular da reta tangente à 
estrada é igual a zero (reta com inclinação nula). 
 
 Conhecendo a concavidade da função, saberemos se x é um ponto de máximo ou de mínimo. 
Essa informação é dada pelo sinal da segunda derivada. 
 Graficamente, isso significa: 
 
 
 
EXEMPLO 
 Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função: 
 6x5xy 2 +−= 
 
SOLUÇÃO 
 Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima: 
 5x2y −=′ 
 2y =′′ 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 22 
 
 Igualando a primeira derivada a zero: 
 0y =′ 
 05x2 =− 
 
2
5
x = 
 Esse ponto é chamado de mínimo já que a função, analisando o sinal da segunda derivada, 
tem concavidade para cima. Compare com os cálculos que você já tinha aprendido no capítulo de 
funções! 
 
EXEMPLO 
 Encontrar, se existir, o ponto de máximo ou mínimo da função: 
 2x27xy 3 +−= 
 
SOLUÇÃO 
 Primeiro, vamos encontrar as duas derivadas da função acima: 
 27x3y 2 −=′ 
 x6y =′′ 
 Igualando a primeira derivada a zero: 
 0y =′ 
 027x3 2 =− 
 27x3 2 = 
 3x ±= 
 Substituindo x=+3 na segunda derivada: 
 18)3(6)3(y =+⋅=+′′ 
 A função tem concavidade para cima e +3 é o ponto de mínimo. 
 Agora, substituindo x=-3 na segunda derivada: 
 18)3(6)3(y −=−⋅=−′′ 
 A função tem concavidade parabaixo e -3 é o ponto de máximo. 
 Através do gráfico da função, podemos localizar esses dois pontos: 
 
 
 
 
 Pontos de máximo e mínimo podem ser locais ou globais. Um ponto x=p é 
chamado de máximo local se não existir um valor da função maior que f(p) na 
vizinhança de p. 
 Por outro lado, um ponto x=p é chamado de mínimo local se não existir um 
valor da função menor que f(p) na vizinhança de p. 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 23 
 
 Um ponto p é chamado máximo global se não existir um valor da função maior que f(p) para 
qualquer valor de x dentro do domínio da função. Um ponto p é chamado mínimo global se não 
existir um valor da função menor que f(p) para qualquer valor de x dentro do domínio da função. 
 
APLICAÇÕES DE MÁXIMO E MÍNIMO 
 Mostramos anteriormente que a curva de Gauss: 
 
2
x
2
1
e
2
1)x(f 




σ
µ−
⋅−
⋅
piσ
= 
 Tem derivada igual a: 
 
σ
⋅





σ
µ−
⋅⋅
piσ
−=






σ
µ−
− 1x
e
2
1
dx
df
2
x
2
1
 
 Vamos encontrar onde se localiza o seu ponto de máximo. Primeiramente, devemos igualar 
a derivada a zero: 
 0
dx
df
= 
 01xe
2
1
2
x
2
1
=
σ
⋅





σ
µ−
⋅⋅
piσ
−






σ
µ−
−
 
 Alguns termos presentes na equação acima nunca serão iguais a zero, como por exemplo: 
 
piσ
−
2
1
 e 
σ
1
, já que σ é sempre maior que zero; 
 
2
x
2
1
e






σ
µ−
−
, pois a função exponencial nunca se anula. 
 A única possibilidade da derivada se tornar nula acontecerá quando: 
 0x =





σ
µ−
 
 Então: 
 µ=x 
 Esse resultado nos conduz à seguinte interpretação: a ocorrência que possui a maior 
possibilidade de acontecimento é a média das ocorrências. Isso significa que, se pesquisarmos as 
alturas dos alunos de uma escola, será mais provável encontrarmos alunos com a altura média. 
 Para o ponto de máximo, a função f(x) é igual a: 
 
piσ
=⋅
piσ
=µ 




σ
µ−µ
⋅−
2
1
e
2
1)(f
2
2
1
 
 Note que a dispersão das ocorrências, dada por σ, faz com que a curva de Gauss fique mais 
concentrada em torno da média (mais comprimida) ou mais dispersa (mais achatada). 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 24 
 
REGRAS DE L’HÔPITAL 
 As regras de L’Hôpital são usadas nos cálculos de limites dos tipos: 
 
0
0
)x(g
)x(flim
px
=
→
 ou 
∞±
∞±
=
→ )x(g
)x(flim
px
 
 Esses limites podem ser resolvidos fazendo: 
 )x(g
)x(flim)x(g
)x(flim
pxpx ′
′
=
→→
 
 
EXEMPLO 
 Encontrar o limite: 
 
2x
6x5xlim
2
2x
−
+−
→
 
 
SOLUÇÃO 
 O limite dado é do tipo: 
 
0
0
)x(g
)x(flim
px
=
→
 
 Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador: 
 6x5x)x(f 2 +−= ⇒ 5x2)x(f −=′ 
 2x)x(g −= ⇒ 1)x(g =′ 
 Então o limite é dado por: 
 1
1
5x2lim
2x
6x5xlim
2x
2
2x
−=
−
=
−
+−
→→
 
 Note que: 
 13xlim
2x
)2x()3x(lim
2x
6x5xlim
2x2x
2
2x
−=−=
−
−⋅−
=
−
+−
→→→
 
 
EXEMPLO 
 Encontrar o limite: 
 
2x
6x5xlim 2
2
x
−
+−
+∞→
 
 
SOLUÇÃO 
 O limite dado é do tipo: 
 
∞+
∞+
=
→ )x(g
)x(flim
px
 
 Devemos então derivar as funções presentes no numerador e no denominador: 
 6x5x)x(f 2 +−= ⇒ 5x2)x(f −=′ 
 2x)x(g 2 −= ⇒ x2)x(g =′ 
 Então o limite é dado por: 
 
x2
51lim
x2
5x2lim
2x
6x5xlim
xx2
2
x
−=
−
=
−
+−
+∞→+∞→+∞→
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 25 
 
 Aplicando a propriedade do limite da soma (ou subtração) de funções: 
 1
x
1lim
2
51
2x
6x5xlim
x2
2
x
=⋅−=
−
+−
+∞→+∞→
 
 Tente aplicar a técnica de dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x 
para encontrar o resultado do limite e verifique que o resultado é o mesmo. 
 
APLICAÇÕES DA DERIVADA 
 Vamos escolher algumas aplicações bem simples. A primeira aplicação consiste em analisar 
o Movimento Uniformemente Variado (MUV) do ponto de vista da derivada. 
 Considere a função horária do espaço no MUV: 
 
2
at
tvs)t(s
2
00 ++= 
 A primeira derivada dessa função em relação a t é dada por: 
 atv)t(v
dt
ds
0 +== 
 A equação acima nos mostra que a taxa de variação do espaço com o tempo é igual à 
velocidade instantânea. 
 
Definição: "Velocidade é a taxa de variação do espaço com o tempo". A velocidade 
pode ser encontrada derivando a função horária do espaço em relação ao tempo. 
 
 Ao calcularmos a derivada da velocidade encontraremos: 
 a
dt
dv
= 
 A equação acima nos mostra que a taxa de variação da velocidade com o tempo é igual à 
aceleração instantânea que, nesse caso, é constante. 
 Note que a aceleração pode ser obtida derivando uma vez a velocidade ou derivando duas 
vezes o espaço: 
 2
2
dt
sd
a
dt
dv
== 
 
Definição: "Aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo". A aceleração 
pode ser encontrada derivando a função horária da velocidade em relação ao tempo. 
 
EXEMPLO 
 Partindo da seguinte equação horária do espaço: 
 
2t3t32)t(s ++= , sendo s=[m], t=[s], v=[m/s] e a=[m/s2] 
 Encontrar a expressão da velocidade em função do tempo. 
 
SOLUÇÃO 
 A velocidade instantânea é dada pela primeira derivada do espaço em relação ao tempo: 
 t63
dt
ds)t(v +== 
 Se quisermos calcular a velocidade do móvel no tempo t=2s, devemos fazer: 
 15263)2(v =⋅+= m/s 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 26 
 
 Em Economia, precisamos encontrar o número de quantidades produzidas de um produto 
que maximiza o lucro. 
 
EXEMPLO 
 Considere a seguinte função de produção: 
 12q10q)q(Lucro 2 ++−= , sendo Lucro=[em $10.000] e q=[em 1.000 unidades] 
 Encontre o número de unidades que devem ser produzidas para obtermos lucro máximo. 
 
SOLUÇÃO 
 A primeira derivada é dada por: 
 10q2)q(oLucr +−=′ 
 A segunda derivada é dada por: 
 2)q(oLucr −=′′ 
 Para o lucro ser máximo, então a primeira derivada deve ser nula e a segunda ser negativa: 
 0)q(oLucr =′ 
 010q2 =+− 
 10q2 −=− 
 5q = 
 Como q deve ser expressa em 1.000 unidades, então 5.000 unidades devem ser produzidas 
para que o lucro seja máximo. 
 O valor do lucro máximo é obtido substituindo q=5 na equação: 
 12q10q)q(Lucro 2 ++−= 
 37125105)5(Lucro 2 =+⋅+−= 
 Como o lucro deve ser dado em $10.000, então o lucro máximo é igual a $370.000. 
 
 A última aplicação está relacionada à área de otimização (utilização ótima de recursos). 
 
EXEMPLO 
 Um papelão quadrado com 120 cm de lado deve ser transformado em uma caixa sem tampa 
que permita o maior volume possível. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será 
retirado nos quatro cantos do papelão. 
 
 
 
Formato para corte e dobradura do papelão 
 
 Como o lado do papelão quadrado mede 120cm, o fundo da caixa será um quadrado de lado 
(120-2x) cm e a altura da caixa medirá x cm. O volume será dado por: 
 x14400x480x4)x2120(x)x(V 232 +−=−⋅= 
 A sua primeira derivada é igual a: 
 14400x960x12)x(V 2 +−=′ 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 27 
 
 Igualando a zero: 
 014400x960x12 2 =+− 
 01200x80x 2 =+− 
 Essa equação possui as seguintes raízes: 
 60x =′ e 20x =′′ 
 Se 60x = cm, o papelão será cortado ao meio e não conseguiremos montar uma caixa. Se 
usarmos 20x = cm, a caixa terá um fundo quadrado com o lado medindo 80 cm. O volume 
máximo será: 
 
2)x2120(x)x(V −⋅= 
 000.128)202120(20)20(V 2 =⋅−⋅= cm3 
 
SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X 
 As séries de potências são polinômios com infinitostermos que servem para descrever uma 
função f(x) de forma aproximada. Essa abordagem se revela muito interessante no tratamento 
computacional aproximado de funções. 
 Uma função qualquer, que tenha derivadas contínuas até a ordem n, pode ser colocada sob a 
forma de série de potências de x: 
 
n
n
1n
1n
4
4
3
3
2
210 xaxa...xaxaxaxaa)x(f ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+= −− 
 É imediato saber que 0a)0(f = . 
 Ao calcularmos a primeira derivada de f(x), encontramos: 
 
1n
n
3
4
2
3
1
21 xan...xa4xa3xa2a)x(f −⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=′ 
 Com 1a)0(f =′ . 
 Ao calcularmos a segunda derivada de f(x), encontramos: 
 
2n
n
2
4
1
32 xa)1n(n...xa34xa23a12)x(f −⋅⋅−⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=′′ 
 Com 22 a!2a12)0(f =⋅⋅=′′ . 
 Ao calcularmos a terceira derivada de f(x), encontramos: 
 
3n
n
1
43 xa)2n()1n(n...xa234a123)x(f −⋅⋅−⋅−⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=′′′ 
 Com 33 a!3a123)0(f =⋅⋅⋅=′′′ . 
 Ao fazermos esse processo sucessivamente, encontraremos: 
 
• Para a derivada n-1: 
 
1
n1n
)1n( xa23...)1n(na123...)2n()1n()x(f ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−=
−
−
 
 Com 1n1n
)1n( a)!1n(a123...)2n()1n()0(f
−−
−
−=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−= 
 
• Para a derivada n: 
 n
)n( a123...)2n()1n(n)x(f ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅= 
 Com nn
)n( a!na123...)2n()1n(n)0(f =⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅= 
 
 Substituindo cada uma das constantes a0, a1, a2, a3,..., an-1, an na série de potências: 
 
n
)n(
1n
)1n(
32 x
!n
)0(f
x)!1n(
)0(f
...x
!3
)0(f
x
!2
)0(f
x)0(f)0(f)x(f +
−
++
′′′
+
′′
+′+= −
−
 
 Esta série de potências é conhecida como série de MacLaurin e é válida para valores de x 
próximos de zero (ponto de referência da série). 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 28 
 
EXEMPLO 
 Colocar xe)x(f = em série de potências de x. 
 
SOLUÇÃO 
 Sabemos que todas as derivadas de f(x) são iguais: 
 
x)n()1n( e)x(f)x(f...)x(f)x(f)x(f)x(f ====′′′=′′=′= − 
 Então: 
 1)0(f)0(f...)0(f)0(f)0(f)0(f )n()1n( ====′′′=′′=′= − 
 A série de potências de f(x) é dada por: 
 
n
)n(
1n
)1n(
32 x
!n
)0(f
x)!1n(
)0(f
...x
!3
)0(f
x
!2
)0(f
x)0(f)0(f)x(f +
−
++
′′′
+
′′
+′+= −
−
 
 
!n
x
)!1n(
x
...
!3
x
!2
x
x1e
n1n32
x +
−
+++++=
−
 
 
EXEMPLO 
 Calcular 5,0e através da série de potências de x com dois, três e quatro termos. Comparar o 
resultado com o valor fornecido pela calculadora. 
 
SOLUÇÃO 
 O valor fornecido pela calculadora é igual a: 
 648721271,1e 5,0 = 
 
• Com dois termos: 
 x1)x(f += 
 5,15,01)5,0(f =+= 
 
• Com três termos: 
 
!2
x
x1)x(f
2
++= 
 625,1
!2
)5,0(5,01)5,0(f
2
=++= 
 
• Com quatro termos: 
 
!3
x
!2
x
x1)x(f
32
+++= 
 ...64583,1
!3
)5,0(
!2
)5,0(5,01)5,0(f
32
=+++= 
 Note que o resultado se aproxima cada vez mais do valor de 5,0e fornecido pela calculadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 29 
 
APLICAÇÕES DE SÉRIES DE POTÊNCIAS DE X 
 Uma das aplicações de séries de potência é a simplificação do modelo matemático do 
funcionamento do diodo. No capítulo 1, mostramos que o funcionamento do diodo pode ser 
modelado pela seguinte equação: 
 
T
d
nV
v
DD eIi = 
 Onde: 
 iD é a corrente total (contínua mais alternada) sobre o diodo; 
 ID é a corrente contínua sobre diodo; 
 vd é a tensão alternada sobre o diodo; 
 VT é a tensão térmica (≈25mV); 
 n é uma constante que vale 1 para diodos em circuitos integrados e vale 2 para 
diodos em circuitos discretos. 
 A aproximação da função exponencial é feita através da série de potências: 
 
!k
x
...
!3
x
!2
x
x1e
k32
x +++++= 
 Fazendo a transformação de variáveis: 
 
T
d
nV
v
x = 
 
n
T
d
3
T
d
2
T
d
T
dnV
v
nV
v
!k
1
...
nV
v
!3
1
nV
v
!2
1
nV
v1e T
d






⋅++





⋅+





⋅++= 
 Para Td nVv << , podemos desprezar os termos com potência maior que 2: 
 
T
dnV
v
nV
v1e T
d
+≈ 
 Então, o modelo do diodo é dado por: 
 





+⋅=
T
d
DD
nV
v1Ii 
 d
T
D
DD v
nV
IIi += 
 Fazendo: 
 
D
T
d I
nV
r = 
 O modelo do diodo se torna: 
 
d
d
DD
r
v
Ii += 
 O elemento rd é chamado resistência dinâmica do diodo. 
 Note que o modelo do diodo foi consideravelmente simplificado de uma função exponencial 
para uma função do 1o grau. 
 O modelo de pequenos sinais só é válido se a tensão de sinal vd for muito menor que a 
tensão térmica VT ( Td nVv << ). Na prática, o modelo de pequenos sinais pode ser justificado para 
tensões alternadas de até 10mV. 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 – DERIVADAS 
PÁGINA 30 
 
 DERIVADAS NO MATHEMATICA 
 Derivadas podem ser facilmente calculadas no Mathematica através dos comandos: 
 
• Aspas simples ( ' ): esse comando calcula a primeira derivada da função. 
 
EXEMPLO 
 Sin'[x] 
 Cos'[x] 
 Log'[x] 
 ArcTan'[x] 
 
• D[função, {variável a ser derivada,ordem da derivada}] 
 
EXEMPLO 
 D[x^3,{x,2}] - Calcula a terceira derivada da função em relação a x. 
 D[Cos[x],{x,5}] - Calcula a quinta derivada da função em relação a x. 
 D[Log[x],x] - Calcula a primeira derivada da função em relação a x.