UNIDADE I - aula 3

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Movimento
Velocidade, Módulo da Velocidade, Aceleração e Versor 
Movimento
DEf.:
Se r é o vetor posição de uma partícula 
que se move ao longo de uma curva lisa 
no plano, então em qualquer instante t
 é o vetor velocidade da partícula 
e é tangente à curva.
 , a norma de v, é o módulo da 
velocidade da partícula
v(t) =
dr
dt
| v(t) |
 , a derivada da velocidade 
e a derivada segunda da posição , é o 
vetor aceleração da partícula.
 , um vetor unitário, é o versor do 
movimento
a(t) =
dv
dt
=
d2r
dt2
v
| v |
Exemplo: movimento sobre um círculo.
O vetor dá a posição 
de uma partícula no instante t que se move no 
sentido anti-horário sobre um círculo de raio 3 
centrado no origem. Encontre:
os vetores velocidade e aceleração 
a velocidade , a aceleração , o módulo da velocidade 
e o versor do movimento em 
 Interprete esse resultado geométricamente.
r(t) = (3 cos t)i+ (3 sin t)j
t =
�
4
v · a
Exemplo : Movimento
O vetor dá a 
posição de uma partícula que se move no instante t.
Escreva uma equação para a reta tangente à 
tragetória da partícula no ponto onde t=-1
Encontre as coordenadas de cada ponto na 
trajetória onde a componente horizontal da 
velocidade é 0. 
r(t) = (2t3 � 3t2)i+ (t3 � 12t)j
Integrais
Integral Indefinida
A integral indefinida de r em relação a t 
é oconjunto de todas as primitivas de r, 
denotada por . Se R for qualquer 
primitiva de r, então 
�
r(t)dt
�
r(t)dt = R(t) + C
Exemplo: Encontrando primitivas⇤
((cos t)i� 2tj)dt =
�⇤
(cos t)dt
⇥
i�
�⇤
2tdt
⇥
j
= (sin t+ C1)i� (t2 + C2)j
= (sin t)i� t2j + C
Se as componentes de 
são integráveis em [a,b] , então r 
também é e a integral definida de r de a 
a b é 
Integral Definida
r(t) = f(t)i+ g(t)j
⇤ b
a
r(t)dt =
�⇤ b
a
f(t)dt
⇥
i+
�⇤ b
a
g(t)dt
⇥
j
Exemplo: ⇤ �
0
((cos t)i� 2tj)dt =
�⇤ �
0
cos tdt
⇥
i+
�⇤ �
0
2tdt
⇥
j
= (sin t]�0 ) i�
�
t2]�0
⇥
j
= 0i� �2j = ��2j
Exemplo: Trajetória
O vetor velocidade de uma partícula que se move 
no plano(com a trajetória medida em metros) é
Encontre a posição da partícula como uma 
função vetorial de t se quando t=1.
Encontre a distância que a partícula percorre de 
t=0 a t=2
dr
dt
=
1
t+ 1
i+ 2tj, t � 0
r = (ln 2)i
Solução:
logo, e
r(t) =
�⇤
1
t+ 1
dt
⇥
i+
�⇤
2tdt
⇥
j
= (ln(t+ 1))i+ t2j + C
(ln 2)i = r(1) = (ln 2)i+ j + C
C = �j
r = (ln(t+ 1))i+ (t2 � 1)j
A parametrização 
é lisa e , como x e y são funções 
crescentes de t, a trajetória é percorrida 
exatamente uma vez quando t aumenta 
de 0 para 2. O comprimento é
x = ln(t+ 1), y = t2 � 1, 0 ⇥ t ⇥ 2
L =
⇤ 2
0
⌅�
dx
dt
⇥2
+
�
dy
dt
⇥2
dt =
⇤ 2
0
⌅�
1
t+ 1
⇥2
+ (2t)2dt � 4, 34m