AP1_2013_1

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2013/1 – Matema´tica Discreta – AP1
Resoluc¸o˜es
1. Ka´tia levou seu carro para ser consertado em uma oficina e, apo´s alguns dias, lhe telefonaram
com o seguinte diagno´stico sobre o defeito:
Caso a rebimboca da parafuseta esteja rachada, a mola da
grampeta e a arruela da biela estara˜o gastas.
(a) (1,0) Determine uma legenda para o enunciado acima e simbolize-o de acordo com a
legenda.
(b) (1,0) Considerando que o enunciado acima e´ verdadeiro e que a mola da grampeta na˜o
esta´ gasta, podemos concluir ou na˜o que a rebimboca da parafuseta esta´ rachada? Justifique
a sua resposta.
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Resoluc¸a˜o da Questa˜o 1:
(a) De acordo com a legenda:
r : a rebimboca da parafuseta esta´ rachada
m : a mola da grampeta esta´ gasta
a : a arruela da biela esta´ gasta
o enunciado pode ser simbolizado como:
ϕ : r → (m ∧ a)
(b) Como ϕ e´ V , temos que r e´ F ou m ∧ a e´ V .
Mas e´ dado no enunciado que m e´ F .
Assim, temos que m ∧ a e´ F .
Da´ı, r na˜o pode ser V (se r fosse V , ter´ıamos que V → F e´ V ).
Assim, r e´ F .
Logo, a rebimboca da parafuseta na˜o esta´ rachada.
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2. (2,0) Ka´tia perguntou ao atendente da oficina quanto tempo vai levar para o carro ficar
pronto, ao que ele respondeu:
ψ : Se o servic¸o vai comec¸ar na segunda, enta˜o vai terminar na quinta ou na sexta.
Ao ouvir a resposta do atendente, um mecaˆnico que estava passando retrucou: nada disso,
a verdade e´ que:
θ : Se o servic¸o vai terminar na sexta, ele vai comec¸ar na segunda e na˜o terminar na quinta.
Mas no´s estamos dizendo a mesma coisa, disse o atendente. Ao que o mecaˆncio respondeu:
na˜o, na˜o estamos!
Ao perceber o impasse, Ka´tia disse para os dois: como eu sei MD, eu posso resolver a questa˜o.
O que foi que ela descobriu? Justifique a sua resposta.
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Resoluc¸a˜o da Questa˜o 2:
De acordo com a legenda:
s : o servic¸o vai comec¸ar na segunda
q : o servic¸o vai terminar na quinta
x : o servic¸o vai terminar na sexta
os enunciados podem ser simbolizados por
ϕ : s→ (q ∨ x)
ψ : x→ (s ∧ (¬q))
Construindo a tabela verdade de ϕ↔ ψ, temos:
s q x q ∨ x ϕ ¬q s ∧ (¬q) ψ ϕ↔ ψ
V V V V V F F F F
V V F V V F F V V
V F V V V V V V V
V F F F F V V V F
F V V V V F F F F
F V F V V F F V V
F F V V V V F F F
F F F F V V F V V
Como ϕ ↔ ψ e´ F em ao menos uma interpretac¸a˜o, Ka´tia descobriu que os enunciados na˜o
sa˜o equivalentes.
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3. (3,0) O atendente e o mecaˆnico, que nunca estudaram MD, ficaram maravilhados em como
Ka´tia resolveu a questa˜o, e perguntaram para ela: o que e´ essa tal de MD? Ka´tia ficou
muito feliz de poder explicar o que e´ MD para eles e, apo´s uma “aulinha” cheia de exemplos
interessantes, ela argumentou do seguinte modo, sobre a importaˆncia de MD:
MD e´ uma mate´ria importante, pois em MD estudamos Lo´gica e Linguagem.
MD na˜o e´ uma mate´ria importante ou deveria ser obrigato´ria para todos.
Em MD estudamos Lo´gica e Lo´gica e´ essencial.
Em MD estudamos Linguagem e Linguagem e´ essencial.
Logo, MD deveria ser obrigato´ria para todos.
Mostre que o argumento de Ka´tia e´ va´lido exibindo uma demonstrac¸a˜o.
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Resoluc¸a˜o da Questa˜o 3:
De acordo com a legenda:
p : MD e´ uma mate´ria importante
q : em MD estudamos Lo´gica
r : em MD estudamos Linguagem
s : MD deveria ser obrigato´ria para todos
t : Lo´gica e´ essencial
u : Linguagem e´ essencial
o argumento pode ser simbolizado como:
(q ∧ r)→ p
(¬p) ∨ s
q ∧ t
r ∧ u
s
Uma demonstrac¸a˜o para a validade do argumento e´ a seguinte:
Suponha que (1) (q ∧ r)→ p.
Suponha que (2) (¬p) ∨ s.
Suponha que (3) q ∧ t.
Suponha que (4) r ∧ u.
De (3), temos (5) q.
De (4), temos (6) r.
De (5) e (6), temos (7) q ∧ r.
De (7) e (1), temos (8) p.
De (8) e (2), temos (9) s, qed.
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4. (3,0) Agradecido pela “aula’ de MD que recebeu de Ka´tia, o mecaˆnico foi correndo consertar
o carro dela e o conserto ficou pronto no mesmo dia, muito antes da data prevista. Na hora
de entregar as chaves para Ka´tia, o mecaˆnico, que ja´ era um fa˜ incondicional de MD, disse
para Ka´tia:
Todas as pessoas que estudam MD acham MD importante e gostam de aprender MD.
Infelizmente, eu na˜o acho que esta seja a verdade, disse Ka´tia. E, aproveitando a ocasia˜o,
pediu ao mecaˆnico que determinasse o enunciado que expressa a opinia˜o dela sobre o estudo
de MD.
Ajude o mecaˆnico a resolver esta questa˜o, determinando a negac¸a˜o do enunciado, apresen-
tando um esquema de simbolizac¸a˜o para a negac¸a˜o.
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Resoluc¸a˜o da Questa˜o 4:
O enunciado envolve as propriedades:
ser pessoa , estudar MD, achar MD importante gostar de aprender MD
Assim, podemos considerar a legenda:
p(x) : x e´ pessoa
q(x) : x estuda MD
r(x) : x acha MD importante
s(x) : x gosta de aprender MD
O enunciado afirma que, todo objeto x, tal que x e´ pessoa e x estuda MD, enta˜o x acha MD
importante e x gosta de aprender MD. Assim, o enunciado pode ser simbolizado como:
∀x { [p(x) ∧ q(x)]→ [r(x) ∧ s(x)] }
Agora, podemos obter a negac¸a˜o do enunciado:
¬∀x { [p(x) ∧ q(x)]→ [r(x) ∧ s(x)] }
e´ equivalente a
∃x¬{ [p(x) ∧ q(x)]→ [r(x) ∧ s(x)] }
e´ equivalente a
∃x{ [p(x) ∧ q(x)] ∧ ¬[r(x) ∧ s(x)] }
e´ equivalente a
∃x[ p(x) ∧ q(x) ∧ (¬r(x)) ∨ (¬s(x)) ]
que e´ uma existencializac¸a˜o que afirma que existe ao menos um objeto x, tal que: x e´ pessoa
e x estuda MD, e x na˜o acha MD importante ou x na˜o gosta de MD. Assim, podemos
reescreveˆ-la como
Existem pessoas que estudam MD, mas na˜o acham MD importante ou na˜o gostam de MD.
c© 2013 Ma´rcia Cerioli e Petrucio Viana
Coordenac¸a˜o da Disciplina MD/CEDERJ-UAB
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