Aula 03 - Estatistica - Aula 01

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Pacote de Teoria e Exercícios para Analista do BACEN – Área 2 
Estatística – Prof. Alexandre Lima 
Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br 1
Estatística 
Aula 01 
Estatística Descritiva. 
1 Introdução ................................................................................................................................ 5
2 Tipos de Variáveis ................................................................................................................. 6
3 Rol ............................................................................................................................................... 7
4 Séries Estatísticas ................................................................................................................. 8
5 Técnicas de Descrição Gráfica ........................................................................................ 10
5.1 Descrição Gráfica de Variáveis Qualitativas ....................................................... 10
5.2 Descrição Gráfica de Variáveis Quantitativas Discretas ................................ 11
5.3 Descrição Gráfica de Variáveis Quantitativas Contínuas .............................. 13
6 Caracterização de uma Distribuição de Frequências ............................................. 16
6.1 Medidas de Posição ...................................................................................................... 16
7 Medidas de Dispersão ........................................................................................................ 24
7.1 Variância .......................................................................................................................... 25
7.2 Desvio Padrão ................................................................................................................ 29
7.3 Coeficiente de Variação .............................................................................................. 29
7.4 Desvio Interquartílico .................................................................................................. 30
7.5 Diagrama de Caixa ....................................................................................................... 30
8 Momentos ............................................................................................................................... 33
9 Medidas de Assimetria ....................................................................................................... 35
10 Medidas de Achatamento ou Curtose ....................................................................... 38
11 Ramo e Folhas ................................................................................................................... 39
12 Resumo................................................................................................................................. 41
13 Exercícios de Fixação ...................................................................................................... 44
14 Gabarito ............................................................................................................................... 67
15 Resolução dos Exercícios de Fixação ........................................................................ 68
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Olá, tudo bem com você? Bem vindo às aulas de Estatística! 
Sou o professor Alexandre Lima. É uma imensa satisfação tê-lo como meu 
aluno. Como este é o nosso primeiro encontro, peço a sua licença para uma 
breve apresentação sobre a minha formação e a minha experiência como 
professor para concursos. Em seguida, tecerei alguns comentários preliminares 
que julgo serem pertinentes. 
Obtive o grau de Bacharel em Ciências Navais com ênfase em Eletrônica pela 
Escola Naval e os de Engenheiro Elétrico (com ênfase em Telecomunicações), 
Mestre e Doutor em Engenharia Elétrica (com ênfase em sistemas eletrônicos) 
pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Sou Auditor-Fiscal 
Tributário Municipal de São Paulo (“Fiscal do ISS/SP”) há mais de uma década. 
Em paralelo, exerço o magistério universitário e ministro aulas de 
Contabilidade, Raciocínio Lógico-Quantitativo e Estatística para concursos. Aqui 
no “Ponto”, já tive a oportunidade de ministrar vários cursos nas áreas de 
Estatística, Contabilidade e Raciocínio Lógico-Quantitativo. 
Este curso de Estatística para Analista do Banco Central (BACEN) – Área 2 – 
visa a abordagem de todo o conteúdo programático de Estatística conforme o 
edital do último concurso (publicado em 2009), que, como você sabe, foi 
organizado pela Fundação Cesgranrio. 
Pretendo resolver junto com você muitas questões da Cesgranrio que já caíram 
em concursos anteriores. Não obstante, é bom esclarecer que também 
costumo resolver, por razões didáticas, questões propostas por outras bancas. 
Observe que todas as questões incluídas nas aulas são cuidadosamente 
selecionadas para que o seu aproveitamento seja máximo. As soluções 
apresentadas são resultantes de um longo processo evolutivo, fruto de uma 
intensa interação com os alunos via forum web etc. 
Muitos alunos reclamam da minha linha de ação, afirmando que gostariam de 
um curso que contivesse somente questões da banca organizadora. Eu 
discordo totalmente desse ponto de vista porque a nossa matéria é uma 
ciência exata. A Estatística não muda com a banca. Mas é claro que darei 
preferência, sempre que possível, para a resolução de questões da Cesgranrio. 
Serei sincero com você: a Estatística não é uma matéria fácil. Um bom 
aproveitamento desta disciplina requererá muita dedicação e esforço, o que 
significará, na prática, que você deverá treinar exaustivamente por meio da 
resolução dos exercícios. Garanto que se você treinar, treinar e treinar, o bom 
desempenho na prova será mera consequência do treinamento. Por outro lado, 
a minha tarefa como seu professor consistirá em apresentar os elementos 
sensíveis do assunto, numa ordem sugestiva e com uma distribuição adequada 
do conteúdo. Eu o incentivo a perguntar via forum web sempre que tiver 
dúvidas. 
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Acredito que o segredo para ser aprovado em qualquer concurso reside na 
capacidade de abstrair, que consiste, a rigor, em apreender o essencial e 
ignorar o incidental, ver o que é significativo e pôr de lado o irrelevante, 
reconhecer o importante como importante e o negligenciável como 
negligenciável. Portanto, espero que você chegue ao final deste curso com 
uma compreensão razoável das ideias fundamentais da Estatística que será 
cobrada na prova. Não tente aprender tudo o que será ensinado de uma só 
vez. Há que digerir os conceitos. A minha experiência mostra que quem tenta 
aprender tudo de uma só tacada não aprende nada. 
Mudando um pouco de assunto. Fiz uma revisão conjunta dos cronogramas de 
Estatística e Econometria, para que as aulas desta última disciplina sejam 
dadas após as aulas da primeira. Como você sabe, um bom aproveitamento do 
curso de Econometria depende da nossa bagagem em Estatística. 
Seguem-se os cronogramas das aulas restantes de Estatística e de 
Econometria: 
ESTATÍSTICA: 
Aula 2 (25/06/2012): Probabilidades: conjuntos, eventos, axiomas, 
probabilidades conjunta e condicional, independência, regras de adição, regra 
da multiplicação, teoremas da probabilidade total e de Bayes. 
Aula 3 (29/06/2012): Variável Aleatória: definição, função discreta de 
probabilidade, função de distribuição de probabilidade, função densidade de 
probabilidade. Valor Esperado: média, variância e valor esperado de função de
variável aleatória. Desigualdade de Chebyshev. Principais distribuições de 
probabilidade (binomial, Poisson, normal etc.). 
Aula 4 (02/07/2012): Variável Aleatória Bivariada: função de 
probabilidade conjunta, função de probabilidade marginal, função de 
probabilidade condicional. Variáveis aleatórias independentes. Esperanças 
envolvendo duas ou mais variáveis: correlação e covariância. Introdução à 
Regressão Linear. 
Aula 5 (06/07/2012): Amostragem: amostragem aleatória, teorema do 
limite central, distribuições amostrais. 
Aula 6 (23/07/2012): Estimação: estimador e estimativa, justeza, vício de 
estimação, eficiência, erro quadrático médio, método da máxima 
verossimilhança. Estimação por ponto e por intervalo. Intervalos de confiança. 
Aula 7 (27/07/2012): Teste de Hipóteses: para médias, proporções e 
variâncias populacionais. Valor-p (probabilidade de significância). Teste de 
hipóteses não paramétrico. 
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Aula 8 (30/07/2012): Inferência Estatística e Análise de Variância do 
Modelo de Regressão Linear Simples. 
ECONOMETRIA: 
Aula 1 (06/08/2012): Introdução à Econometria. 
Aula 2 (13/08/2012): Regressão Linear Múltipla: especificação e 
estimação do modelo de regressão linear múltipla, inferência estatística. 
Aula 3 (20/08/2012): Noções de processos estocásticos: especificação, 
propriedades da função de autocovariância, estacionariedade, ergodicidade, 
processos lineares estacionários (processos ruído branco, autorregressivo (AR), 
de médias móveis (MA), autorregressivos e de médias móveis (ARMA)), 
processos lineares não estacionários (modelo ARIMA). 
Aula 4 (27/08/2012): Séries temporais: modelagem, estacionariedade e 
invertibilidade. Números Índices. 
Aula 5 (03/09/2012): Testes de raízes unitárias para 
estacionariedade. Cointegração e correlação de erros. 
Aula 6 (10/09/2012): Modelos com variáveis defasadas. Vetor 
autorregressivo (VAR). Revisão e/ou complementos da matéria. 
Voltemos ao nosso curso. Na aula de hoje, veremos alguns tópicos de 
estatística descritiva tais como gráficos, tabelas, séries, tipos de variáveis, 
distribuições de freqüência, medidas de posição (média, mediana e moda) e 
medidas de dispersão (desvio padrão, variância e coeficiente de variação). É 
bom começar do início! 
É bastante provável que a sua prova não enfoque a estatística descritiva (mas 
lembre-se que o edital ainda não saiu). Contudo, a experiência indica que não 
é recomendável começar este curso pela inferência estatística. Isto seria uma 
temeridade do ponto de vista didático, pois haveria uma lacuna conceitual. 
Além disso, este curso tem como objetivo ser autocontido, de modo que você 
não sinta necessidade de estudar por outro material que não seja este. 
As notas explicativas estão indicadas pelos símbolos (*) ou (**). Optei por não 
usar notas de rodapé para que haja uma melhor fluência da sua leitura. A 
última seção da exposição teórica traz um resumo de alguns conceitos e 
fórmulas importantes para a prova. 
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1 Introdução 
A Estatística é a ciência que se preocupa em coletar, analisar e fazer 
inferências a partir de dados. A sua matéria-prima é um conjunto de dados. 
Ela é uma ciência meio, e não fim, sendo útil em vários campos do 
conhecimento, tais como física, engenharia, medicina, atuária, biologia, 
economia, administração, etc. 
Métodos estatísticos nos ajudam a entender o problema da variabilidade. Mas 
o que seria essa variabilidade? A idéia é simples. Diversas observações de 
um sistema ou fenômeno não produzem exatamente o mesmo resultado. E isto 
ocorre porque sistemas/fenômenos físicos estão sujeitos à variabilidade. 
Considere, por exemplo, o consumo mensal de energia elétrica da sua casa. 
Você observa o mesmo consumo mensal todos os meses? É claro que não! Às 
vezes, o consumo varia consideravelmente, como nos meses de verão (devido 
ao uso de ar-condicionado, ventilador, etc.) e de inverno (por causa da 
utilização de sistemas de aquecimento, secadora de roupas, etc.). Outro 
exemplo prático seria a arrecadação mensal de tributos do governo. O governo 
precisa saber quais são as fontes potenciais de variabilidade no sistema de 
arrecadação. É aí que entra a Estatística, pois ela é capaz de descrever a 
variabilidade e de indicar quais fontes de variabilidade são mais importantes 
ou quais têm impacto significativo sobre o desempenho da arrecadação. 
A Estatística pode ser dividida em duas partes: a Estatística Descritiva, que 
aborda a coleta, organização e a descrição dos dados experimentais (*), e a 
Inferência Estatística(ou Estatística Indutiva), cujo objetivo é inferir
propriedades de um agregado maior (a população) a partir de um conjunto 
menor (a amostra). A inferência estatística não é exata; as suas induções 
sempre possuem um determinado grau de incerteza (**) 
(*) As etapas de coleta, organização é descrição podem ser resumidas pela 
terminologia síntese dos dados. 
(**) A indução é um processo de raciocínio em que, partindo-se do 
conhecimento de uma parte, procura-se tirar conclusões sobre o todo. 
Uma população ou universo é um conjunto de elementos com pelo 
menos uma característica comum. A população pode ser finita ou infinita. 
Por exemplo, o número de pneus defeituosos produzidos em um dia por uma 
determinada fábrica, é uma população de tamanho finito. Já as observações 
obtidas pela medição diária de gases de efeito estufa representam uma 
população de tamanho infinito. A característica comum deve delimitar de forma 
exata quais os elementos que pertencem à população e quais os que não 
pertencem. Considere, por exemplo, a população dos indivíduos do sexo 
masculino inscritos no próximo concurso para o BACEN. Essa população não 
inclui as pessoas do sexo feminino que farão o mesmo concurso. 
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Depois que caracterizamos a população, procedemos ao levantamento de 
dados acerca da característica (ou características) de interesse no estudo em 
questão. Na maioria dos problemas de inferência estatística, é impossível ou 
impraticável observar toda a população. Devemos então restringir nossas 
observações a uma parte da população, isto é, a uma amostra proveniente 
dessa população. Uma amostra é, portanto, um subconjunto finito de uma 
população, e todos os seus elementos serão examinados para a realização do 
estudo estatístico desejado. 
Quanto maior a amostra, mais precisas e confiáveis serão as induções 
realizadas sobre a população. No limite, resultados 100% confiáveis podem ser 
obtidos através do exame completo da população. Na prática, isso não é 
necessário, pois induções suficientemente precisas e confiáveis podem ser 
realizadas desde que o tamanho da amostra seja corretamente dimensionado. 
Retornaremos ao estudo da Inferência Estatística, de forma bastante 
detalhada, em aulas posteriores. A partir deste ponto, voltaremos a nossa 
atenção para o foco desta aula, que é o estudo da Estatística Descritiva. 
2 Tipos de Variáveis 
A função da Estatística Descritiva é organizar as informações contidas 
nos resultados observados. 
De forma geral, podemos ter cada um dos elementos de uma população ou 
amostra associado a mais de uma característica de interesse. Por exemplo, o 
conjunto dos elementos sob investigação pode ser uma amostra da população 
dos candidatos do sexo masculino inscritos no último concurso para BACEN.
Este é o conjunto dos elementos fisicamente definidos e considerados. Para 
este conjunto, as variáveis (características) de interesse poderiam ser: 
idade, peso e altura. Neste curso, veremos apenas o caso de variáveis 
unidimensionais, em que apenas uma característica de interesse está 
associada a cada elemento do conjunto examinado. Há casos, porém, em 
que duas ou mais características precisam ser simultaneamente estudadas. 
A característica de interesse poderá ser qualitativa ou quantitativa. Tem-se, 
portanto, variáveis qualitativas ou quantitativas. 
A variável será qualitativa quando resultar de uma classificação por 
tipos ou atributos, como, por exemplo: 
a) População: moradores de uma cidade. 
Variável: sexo (masculino ou feminino). 
b) População: peças produzidas por uma máquina. 
Variável: qualidade (perfeita ou defeituosa). 
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Os atributos ou variáveis qualitativas são denominados ordinais sempre 
que pode-se estabelecer uma ordem ou hierarquia entre as respostas obtidas 
no levantamento estatístico. Por exemplo, o IBGE efetua periodicamente o 
levantamento do grau de instrução dos brasileiros por meio de um censo 
completo da população. As respostas possíveis para essa pesquisa seriam algo 
como “sem instrução escolar”, “nível fundamental incompleto”, “nível 
fundamental completo”, “nível médio incompleto”, “nível médio completo”, 
“nível superior incompleto” e “nível superior completo. Essas respostas não são 
números, são variáveis qualitativas. Como é possível estabelecer uma 
hierarquia entre as possíveis respostas, tem-se uma variável qualitativa 
ordinal. 
Por outro lado, a variável será quantitativa quando seus valores forem 
expressos em números. As variáveis quantitativas podem ser discretas ou 
contínuas. Uma variável contínua é aquela cujos possíveis valores pertencem 
a um intervalo de números reais e que resulta de uma mensuração, como, por 
exemplo, a estatura de um indivíduo. Uma variável discreta é aquela cujos 
possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números, e que 
resultam, freqüentemente, de uma contagem. 
Exemplos de variáveis discretas: 
a) População: casais residentes em um distrito de uma cidade. 
Variável: número de filhos. 
b) População: carros produzidos em uma linha de montagem. 
Variável: número de defeitos por unidade. 
Exemplos de variáveis contínuas: 
a) População: detergentes de uma certa marca e tipo. 
Variável: peso líquido. 
b) População: peças produzidas por uma máquina. 
Variável: diâmetro externo. 
A Estatística Descritiva pode descrever os dados através de gráficos, 
distribuições de frequência ou medidas associadas a essas 
distribuições, conforme veremos a seguir. 
3 Rol 
Vimos que a organização dos dados coletados é uma das etapas do processo 
estatístico a cargo da Estatística Descritiva. 
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Um rol é um arranjo dos dados em ordem crescente ou decrescente. 
Assim, {10, 8, 20, 12, 15, 3, 2, 4} são dados brutos e {2, 3, 4, 8, 10, 12, 15, 
20} constituem o rol. 
4 Séries Estatísticas 
As tabelas são recursos utilizados pela Estatística, com o objetivo de organizar 
e facilitar a visualização e comparação dos dados. As tabelas permitem uma 
visão geral dos valores assumidos pelas variáveis dentro de certos parâmetros. 
É chamada série estatística toda tabela que apresenta um conjunto de dados 
estatísticos distribuídos em função da época, do local ou da espécie. As séries 
estatísticas podem ser classificadas em 
• históricas; 
• geográficas; 
• específicas; e 
• distribuição de frequências. 
Exemplos: 
1) Série histórica: Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) 
IPCA (%) 
Jun/2011 0,15 
Mai/2011 0,47 
Abr/2011 0,77 
Mar/2011 0,79 
Fev/2011 0,80 
Jan/2011 0,83 
Dez/2010 0,63 
Nov/2010 0,83 
Out/2010 0,75 
Set/2010 0,45 
Ago/2010 0,04 
Jul/2010 0,01 
Jun/2010 0,00 
Fonte: IBGE 
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2) Série geográfica: os 10 maiores PIB do mundo 
PIB 2010 
País US$ (bilhões) 
EUA 14.582 
China 5.878 
Japão 5.497 
Alemanha 3.309 
França 2.560 
Reino Unido 2.246 
Brasil 2.087 
Itália 2.051 
Canadá 1.574 
Fonte: Banco Mundial 
3) Série específica: número de formandos por curso de graduação de uma 
universidade 
NÚMERO DE ALUNOS 
EGRESSOS - 2010 
Cursos No de egressos 
Engenharia 100 
Direito 250 
Administração 150 
Economia 50 
Contabilidade 50 
(*) Valores hipotéticos 
4) Distribuição de frequências: 
Altura dos alunos de uma 
academia ginástica 
Alturas (m) No de alunos 
1,50 |-- 1,60 25 
1,60 |-- 1,70 45 
1,70 |-- 1,80 80 
1,80 |-- 1,90 15 
1,90 |-- 2,00 5 
2,00 |-- 2,10 1 
(*) Valores hipotéticos 
O conceito de distribuição de frequências é importante e será visto com um 
maior grau de detalhamento na próxima seção. 
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5 Técnicas de Descrição Gráfica 
A frequência de um dado valor de uma variável (qualitativa ou quantitativa) é 
definida como o número de vezes que esse valor foi observado. Seja fi a 
frequência do i-ésimo valor observado. Se o número total de elementos 
observados é n, então vale a relação 
(1) nf
k
1i
i =∑
=
em que k denota o número de diferentes valores existentes da variável. 
A associação das respectivas frequências a todos os diferentes valores 
observados define a distribuição de frequências do conjunto de valores 
observados. Também podemos trabalhar com a noção de frequência relativa
de um valor observado, definida como 
(2) 
n
fp ii = . 
Observe que 
(3) ∑
=
=
k
1i
ip 1. 
5.1 Descrição Gráfica de Variáveis Qualitativas 
O gráfico obtido por meio do cálculo das frequências ou frequências relativas 
poderá ser um diagrama de barras, um diagrama circular ou qualquer 
outro tipo de diagrama equivalente. 
Exemplo. Considere um grupo de 147 candidatos a um curso de MBA, 
classificados segundo a sua graduação, conforme a Tabela 1. 
Tabela 1: formação de graduação. 
Formação Frequências Freq. Relativa (%) 
Engenheiros 45 30,61 
Administradores 38 25,85 
Economistas 35 23,81 
Contadores 16 10,88 
Outros 13 8,84 
Total 147 100,00 
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Os dados estão representados por meio de um diagrama de barras e por um 
diagrama circular (veja as duas figuras a seguir). 
5.2 Descrição Gráfica de Variáveis Quantitativas Discretas 
A descrição gráfica de variáveis quantitativas discretas é normalmente feita 
por meio de um diagrama de barras. Como a variável é quantitativa, seus 
valores numéricos podem ser representados num eixo horizontal. Neste caso, 
as barras do diagrama serão verticais. 
Exemplo. Considere a variável “número de defeitos por unidade” obtidos a 
partir de produtos retirados de uma linha de produção. Seja o conjunto de 20 
valores obtidos conforme a Tabela 2. 
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 Tabela 2: distribuição de frequências.
xi fi pi 
0 8 0,20 
1 14 0,35 
2 10 0,25 
3 4 0,10 
4 2 0,05 
5 2 0,05 
Total 40 1,00 
A figura abaixo mostra o diagrama de barras associado aos dados da Tabela 2. 
Também é possível representar graficamente os dados da Tabela 2 utilizando 
as frequências acumuladas, que serão denotadas por Fi. A frequência 
acumulada, em qualquer ponto do eixo horizontal (ou eixo das 
abscissas), é a soma das frequências de todos os valores menores ou 
iguais ao valor correspondente a esse ponto. De forma análoga, também 
temos as frequências relativas acumuladas Pi. A Tabela 3 ilustra as frequências 
e frequências relativas acumuladas para os dados da Tabela 2. A figura a 
seguir mostra o gráfico das frequências acumuladas. 
 Tabela 3: frequências acumuladas. 
xi Fi Pi 
0 8 0,20 
1 22 0,55 
2 32 0,80 
3 36 0,90 
4 38 0,95 
5 40 1,00 
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5.3 Descrição Gráfica de Variáveis Quantitativas Contínuas 
O diagrama de barras não é usado na descrição gráfica de variáveis 
quantitativas contínuas (*). O Exemplo a seguir ilustra a técnica usualmente 
empregada na prática. 
(*) Devido à natureza contínua da variável. 
Exemplo. Considere a variável comprimento de peças produzidas em uma 
fábrica, dada em centímetros: 
10,4 10,5 10,8 10,2 10,6 
10,6 10,2 10,7 10,4 10,5 
10,3 10,5 10,4 10,7 10,4 
10,9 10,5 10,3 10,6 10,5 
10,4 10,5 10,6 10,9 10,7 
Na Tabela 4, temos os dados acima organizados em termos de frequências e 
de frequências relativas, simples e acumuladas. 
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Tabela 4: distribuição das frequências e das frequências acumuladas. 
xi fi Fi pi Pi 
10,2 2 2 0,08 0,08 
10,3 2 4 0,08 0,16 
10,4 5 9 0,20 0,36 
10,5 6 15 0,24 0,60 
10,6 4 19 0,16 0,76 
10,7 3 22 0,12 0,88 
10,8 1 23 0,04 0,92 
10,9 2 25 0,08 1,00 
 25 1,00 
A próxima figura é uma representação gráfica das duas primeiras colunas da 
Tabela 4. É importante que você aprenda a interpretar corretamente o gráfico 
da figura a seguir. Por exemplo, a frequência 2 associada ao valor 10,3 quer 
dizer, na verdade, que temos dois valores compreendidos entre os limites 
10,25 e 10,35, que foram aproximados, no processo de medição, para 10,3. 
Portanto, uma representação gráfica correta deverá associar a frequência 2 ao 
intervalo 10,25 - 10,35. Isto é feito por meio de uma figura formada com 
retângulos cujas áreas representam as frequências dos diversos 
intervalos existentes. Tal figura é denominada histograma. 
10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
0
1
2
3
4
5
6
7
x
f
No caso das variáveis contínuas, as frequências sempre serão associadas a 
intervalos de variação da variável e não a valores individuais. Tais intervalos 
são chamados de classes de frequências. Estas classes são usualmente 
representadas pelos seus pontos médios. 
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Variáveis contínuas também podem ser representadas pelo polígono de 
frequências, que é obtido unindo-se os pontos médios dos patamares do 
histograma. Para completar a figura, consideram-se duas classes laterais com 
frequência nula (*). A figura a seguir ilustra o polígono de frequências 
correspondente ao histograma da figura anterior. 
(*) Exceto no caso de variáveis essencialmente positivas cujo histograma se 
inicia no valor zero, pois não haveria sentido em se considerar um intervalo 
com valores negativos. 
10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
0
1
2
3
4
5
6
7
x
f
A figura a seguir mostra os gráficos das frequências relativas acumuladas e do 
polígono de frequências relativas acumuladas (ou ogivas percentuais (*)) 
relativos ao último exemplo. 
(*) O polígono de frequências acumuladas também pode ser chamado de 
ogiva. 
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10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
P
Na prática, às vezes é necessário agrupar os dados em classes de frequência 
que englobam diversos valores da variável. A frequência de cada classe será, 
nesse caso, igual à soma das frequências de todos os valores existentes dentro 
da classe. Este procedimento corresponde a uma diminuição proposital da 
precisão com que os dados foram computados. O problema a resolver, em tais 
casos, é o de determinar qual o número k de classes a constituir, qual o 
tamanho ou amplitude h dessas classes e quais os seus limites. Seja R a 
amplitude do conjunto de dados, ou seja, a diferença entre o maior e o menor 
dos valores observados. Fixado o número k de classes, resulta 
(4) 
k
Rh ≈ . 
6 Caracterização de uma Distribuição de Frequências 
A distribuição de frequências de uma variável quantitativa também pode ser 
caracterizada por grandezas numéricas denominadas medidas da distribuição 
de frequências. As medidas buscam sumarizar as informações disponíveis 
sobre o comportamento de uma variável. 
Há medidas de posição, de dispersão, de assimetria e de achatamento ou 
curtose. As medidas de posição e de dispersão são as mais importantes
na prática e servem para localizar as distribuições e caracterizar a sua 
variabilidade. As medidas de dispersão serão vistas na próxima aula. 
6.1 Medidas de Posição 
As medidas de posição servem para localizar a distribuição de frequências 
sobre o eixo de variação da variável em questão. Estudaremos, nesta aula, a 
média, a mediana e a moda. 
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A média e a mediana indicam, por critérios diferentes, o centro da 
distribuição de frequências, ou seja, são medidas de tendência central. 
A moda, por sua vez, indica a região de maior concentração de 
frequências na distribuição. 
Média Aritmética 
Suponha que você more em São Paulo (capital) e que esteja planejando uma 
viagem de carro para o Rio de Janeiro (capital) pela rodovia BR-116 (rodovia 
Pres. Dutra) no próximo feriadão. Qual seria o tempo gasto na viagem? Bem, a 
resposta “mais exata”, do ponto de vista estatístico, uma vez que o tempo de 
viagem é uma grandeza aleatória (o tempo de viagem varia em função de 
fatores sobre os quais não temos controle tais como congestionamentos 
devidos a acidentes com veículos, fiscalizações da Polícia Rodoviária, etc.), 
seria fornecer a distribuição de frequências dos tempos de viagem de carro 
para o Rio de Janeiro (vamos admitir que você viaje de carro com alguma 
frequência para o Rio de Janeiro e que tenha coletado esse conjunto de 
dados). Porém, ninguém espera que você dê como resposta uma distribuição 
de frequências dos tempos de viagem. O que se espera é que você forneça o 
tempo esperado ou médio que será gasto na viagem. Como calculamos a 
média de uma distribuição de frequências? Responderemos essa pergunta na 
sequência. 
A média aritmética, ou média, de um conjunto de n números n21 x,...,x,x é 
definida por (leia-se “x barra”) 
(5) ∑= ∑ =+++=
=
x
n
1x
n
1
n
x...xxx
n
1j
j
n21
Exemplo. A média dos números 3, 4, 8, 11 e 13 é 
8,7
5
1311843x =++++=
Se k valores distintos observados ocorrerem com as frequências 
k21 f,...,f,f , respectivamente,
a média será 
(6) ∑∑∑
∑
==
=
= ===+++
+++=
k
1j
jj
k
1j
jjk
1j
j
k
1j
jj
k21
kk2211 xpxf
n
1
f
xf
f...ff
xf...xfxfx
em que pj denota a j-ésima frequência relativa. 
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Exemplo. Se 4, 7, 5, 2 ocorrerem com as frequências 3, 2, 4 e 1, 
respectivamente, a média aritmética será de 
8,4
1423
)12()45()27()34(x =+++
×+×+×+×=
Mencionamos acima que a média caracteriza o centro da distribuição de 
frequências; fazendo uma analogia com a mecânica, poderíamos interpretar a 
média como sendo o “centro de gravidade” de uma distribuição de frequências. 
Podemos destacar as seguintes propriedades da média: 
a) multiplicando todos os valores de uma variável por uma constante, a 
média do conjunto fica multiplicada por essa constante. Seja x a 
variável de interesse, c um valor constante e y = cx. Então xcy = . 
b) somando ou subtraindo uma constante a todos os valores de uma 
variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa 
constante. Seja x a variável de interesse, c um valor constante e 
cxy ±= . Então cxy ±= . 
Média Aritmética de Dados Agrupados 
Quando os dados são apresentados em uma distribuição de frequências, todos 
os valores incluídos num certo intervalo de classe são considerados 
coincidentes com o ponto médio do intervalo. As fórmulas (5) e (6) serão 
válidas para esses dados agrupados quando se interpretar jx como o ponto 
médio e jf como a frequência de classe correspondente. 
Exemplo. Seja a distribuição em classes de frequência dada na Tabela 5. 
Temos que 
0,55
100
500.5
n
fx
x ii === ∑ . 
Tabela 5: cálculo da média. 
Classe 
(limites reais)
fi xi xifi 
40,0 � 45,0 6 42,5 255 
45,0 � 50,0 16 47,5 760 
50,0 � 55,0 32 52,5 1.680 
55,0 � 60,0 24 57,5 1.380 
60,0 � 65,0 14 62,5 875 
65,0 � 70,0 6 67,5 405 
70,0 � 75,0 2 72,5 145 
 100 5.500 
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Média das médias 
Sejam os conjuntos A com An valores, B com Bn valores, ..., e K com Kn 
valores. Se A tem média Ax , B tem média Bx , ..., e K tem média Kx , então a 
média do conjunto maior que é formado pela reunião de todos os elementos 
dos conjuntos A, B, ..., K em um único conjunto é dada por: 
(7) 
KBA
KKBBAA
n...nn
xn...xnxnx +++
+++= , 
Exemplo. Em uma empresa, há 400 homens e 100 mulheres. Os salários 
médios pagos aos empregados dos sexos masculino e feminino são de R$ 
2.520,00 e R$ 2.420,00, respectivamente. Calcule a média global dos salários. 
Dados: 400nH = , 520.2xH = ; 100nM = , 420.2xM =
500.2
500
420.2100520.2400
nn
xnxnx
MH
MMHH =×+×=+
+=
Média global dos salários = R$ 2.500,00 
Outros Tipos de Média 
Podemos definir outros tipos de média de um conjunto de dados, tais como a 
média geométrica gx , a média harmônica hx e a média ponderada px 
dadas por 
(8) n n21g x...x.xx = 
(9) 
n21
h
x
1...
x
1
x
1
nx
+++
=
(10) 
n21
nn2211
p w...ww
xw...xwxwx +++
+++=
em que n21 w,...,w,w denotam fatores de ponderação ou pesos. 
Exemplo. A média geométrica dos números 2, 4 e 8 é: 
464842x 33g ==××=
Exemplo. A média harmônica dos números 2, 4 e 8 é: 
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43,3
8
1
4
1
2
1
3xh ≈++
=
Exemplo. O desempenho em um curso de graduação é avaliado por meio das 
notas obtidas nas provas bimestrais P1 e P2 e pela nota de Atividades (A). 
Sabendo-se que a P2 tem peso 5, que a P1 tem peso 2 e que A tem peso 3, 
determine a média final do aluno que obteve as seguintes notas (em uma 
escala de 0 a 10): P1 = 5,0, P2 = 4,5 e A=8,5. 
4,535,5
10
5,53
352
)5,83()5,45()0,52(xp ≈==++
×+×+×=
Relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica 
A média geométrica de um conjunto de números positivos n21 x,...,x,x é menor 
do que ou igual à sua média aritmética, mas é maior do que ou igual à sua 
média harmônica: 
média harmônica≤ média geométrica ≤ média aritmética 
Mediana 
A mediana caracteriza o centro de uma distribuição de frequências com base 
na ordem dos valores que formam o conjunto de dados. A mediana é o 
valor que ocupa a posição central dos dados ordenados. A mediana é o 
valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% menores 
valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. 
A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n ímpar, é 
definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Se n for par, 
consideraremos a mediana como o valor médio entre os valores de ordem n/2 
e (n/2) + 1 do conjunto de dados. 
Exemplo. A mediana dos nove valores já ordenados, 
12 14 15 19 20 22 26 27 30 
é igual a 20. A mediana dos oito valores já ordenados, 
12 14 15 19 20 26 27 30 
é igual a (19+20)/2 = 19,5. 
A mediana (md) de uma distribuição em classes de frequências é dada pela 
expressão 
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(11) md
md
a
i hf
F)2/n(Lmd ×−+=
em que iL é o limite inferior da classe que contém a mediana, n é o número 
de elementos do conjunto de dados, aF é a soma das frequências das classes 
anteriores à que contém a mediana, mdf é a frequência da classe que contém a 
mediana e mdh é a amplitude da classe que contém a mediana. A expressão 
(11) supõe que os valores observados da variável tenham se distribuído 
homogeneamente dentro das diversas classes. 
Exemplo. Considere os dados da Tabela 5, repetidos abaixo na Tabela 6. 
Tabela 6 
Classe 
(limites reais)
fi 
40,0 � 45,0 6 
45,0 � 50,0 16 
50,0 � 55,0 32 
55,0 � 60,0 24 
60,0 � 65,0 14 
65,0 � 70,0 6 
70,0 � 75,0 2 
 100 
A mediana é 
375,545
32
22500,50md =×−+= . 
Em certos casos práticos, como aqueles que envolvem distribuições de 
frequência com valores extremos, é mais conveniente usar a mediana como 
medida de tendência central, pois a média sofre influência de valores 
extremos. Neste caso, a mediana fornecerá uma melhor idéia do centro da 
distribuição de frequências da variável sob análise. 
A mediana de uma distribuição em classes de frequências pode ser 
geometricamente interpretada como o ponto tal que uma vertical por ela 
traçada divide a área sob o histograma em duas partes iguais. 
A mediana e a média são coincidentes quando a distribuição é simétrica. Em 
distribuições assimétricas, a média tende a deslocar-se para o lado da cauda 
mais longa (vide figura abaixo). 
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A mediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntos 
com igual número de elementos. Há outras maneiras de se dividir os dados 
ordenados. Os quartis (Q1, Q2, Q3) dividem o conjunto ordenado de valores 
em quatro subconjuntos com igual número de elementos. O primeiro quartil 
(Q1) ou quartil inferior (Qi) delimita os 25% menores valores; o segundo 
quartil é a própria mediana e o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior (Qs) é o 
valor que separa os 25% maiores valores (veja a próxima figura). Além dos 
quartis, podemos definir os decis (D1, D2,..., D9), que são os valores que 
dividem os dados ordenados em dez partes iguais (note que a mediana 
corresponde
ao quinto decil D5) e os percentis,que são os valores que dividem 
os dados ordenados em 100 partes iguais, sendo representados por P1, P2,..., 
P99 (a mediana é o percentil P50). 
De maneira geral, os quartis, decis e percentis e outros valores obtidos 
mediante subdivisões dos dados em partes iguais são denominados quantis. 
Os quartis, os decis e os percentis são medidas de posição separatrizes, 
pois são valores que ocupam determinados lugares do eixo horizontal da 
distribuição de frequências, abrangendo intervalos iguais de um conjunto de 
valores coletados e organizados. 
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Observe que a mediana, além de ser uma medida de posição de tendência 
central, é também uma medida separatriz. 
Moda 
A moda é dada pelo valor mais freqüente (ou de máxima frequência). 
Sendo assim, a moda para o conjunto de dados da Tabela 2 é 1 e, no caso da 
Tabela 6, a classe modal é 50,0 � 55,0. 
Se todas as realizações do conjunto de valores observados ocorrem com a 
mesma frequência, diz-se que a série estatística é amodal, ou seja, não tem 
valor modal. 
Exemplo. Seja a série estatística {2, 1, 9, 4, 5, 20, 8, 7, 11, 19}. Essa série é 
amodal, pois não há repetição de valores (todos ocorrem o mesmo número de 
vezes). 
Pode haver mais de uma moda em um conjunto de valores. Se houver apenas 
uma moda, a distribuição é dita unimodal. Se houver duas, é bimodal, se 
possuir três é trimodal e assim sucessivamente. 
No caso de distribuições de frequência em classes de mesma amplitude, é 
comum definir-se a moda (mo) como um ponto pertencente à classe modal, 
dado por 
(12) h
dd
dLmo
21
1
i ++= , 
em que iL é o limite inferior da classe modal, 1d é a diferença entre a 
frequência da classe modal e a da classe imediatamente anterior, 2d é a 
diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente 
seguinte e h é a amplitude das classes. A fórmula (12) corresponde ao cálculo 
da moda pelo Método de Czuber. 
Exemplo.Considere os dados da Tabela 6. Então 0,50Li = , 161632d1 =−= , 
82432d2 =−= , 5h = e a moda é 
3,535
816
160,50mo ≈×++= . 
A moda também pode ser calculada pelo Método de King: 
h
ff
f
Lmo
antpost
post
i ++= , 
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em que iL denota o limite inferior da classe modal, postf é a frequência da 
classeposteriorà classe modal, antf é a frequência da classe anterior à classe 
modal e h é a amplitude da classe modal. 
Caso a questão da prova não especifique, deverá ser utilizado o 
método de Czuber. 
Relação Empírica entre a Média, a Mediana e a Moda 
Para as curvas de frequência unimodal moderadamente inclinadas 
(assimétricas), a seguinte relação empírica é válida 
(13) )mdx(3mox −×=−
ou seja, 
Média � Moda = 3(Média - Mediana). 
A figura abaixo mostra as posições relativas da moda, mediana e média para 
uma distribuição de frequência (levemente) inclinada para a direita. 
7 Medidas de Dispersão 
Pense na seguinte situação: uma pessoa faz quatro refeições por dia, enquanto 
que outra não faz nenhuma refeição por dia. Na média, ambas fazem duas 
refeições por dia. Isto quer dizer que os dois indivíduos estão bem 
alimentados? A resposta óbvia é não. É para isso que servem as medidas de 
dispersão, isto é, medidas de como os dados estão agrupados: mais ou menos 
próximos entre si (mais ou menos dispersos). 
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As medidas de dispersão indicam o quanto os dados se apresentam dispersos 
em torno da região central. Desta forma, caracterizam o grau de variabilidade 
existente nos dados. As seguintes medidas de dispersão nos interessam: a 
variância, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o desvio 
interquartílico. 
7.1 Variância 
A variância de um conjunto de observações }x,...,x,x{ n21 pode ser calculada pela 
fórmula 
(14) ∑
=
−=
n
1i
2
i
2
x )xx(n
1s
em que 2xs denota a variância e x representa a média aritmética. Se os valores 
distintos k21 x,...,x,x ocorrerem com as frequências k21 f,...,f,f (∑
=
=
k
1i
if n ), 
respectivamente, a variância será dada por (*) 
(15) ∑
=
−=
k
1i
2
ii
2
x )xx(fn
1s . 
(*) Em (14) e (15), consideramos que os dados se referem a uma população 
finita. Caso os dados estejam associados a uma amostra, o fator n (= Σfi) 
que aparece no denominador do lado direito de (14) e (15) deve ser 
substituído por (n–1). A justificativa para o uso do fator (n–1) será 
apresentada em outra aula, mas já posso adiantar que ela está relacionada à 
inferência estatística. Não obstante, a diferença entre as duas definições 
torna-se desprezível para grandes valores de n (n>30). 
A variância tem, entre outras, as seguintes propriedades: 
a) multiplicando todos os valores de uma variável por uma 
constante, a variância do conjunto fica multiplicada pelo 
quadrado dessa constante. Seja x a variável de interesse, c um 
valor constante e y = cx. Então 2x
22
y scs = . 
b) somando ou subtraindo uma constante a todos os valores de 
uma variável, a variância não se altera. Seja x a variável de 
interesse, c um valor constante e y = x + c. Então 2xy
2s s= . 
Note-se que (14) pode ser reescrita na forma 
2
i
2
i
2
i
i
i
2
i
2
x xxn
1x
n
1x
n
1s −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑∑ , 
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ou seja, como a diferença entre a média aritmética dos quadrados dos 
valores e o quadrado da média aritmética dos valores: 
⇒ VARIÂNCIA = Média dos Quadrados – Quadrado da Média. 
Exemplo. Considere o conjunto de dados {2, 5, 8, 11, 14}. Então a variância 
desse conjunto é 
A) 8 
B) 20,25 
C) 18 
D) 24 
E) 22 
Resolução 
A média do conjunto é 
8
5
1411852x =++++=
e a variância 
.18
5
)814()811()88()85()82(
n
)xx(
s
222222
i2
x =−+−+−+−+−=−= ∑
Também podemos usar a fórmula "maceteada" da variância: 
Variância = Média dos Quadrados – Quadrado da Média = 2
i
i x
2x
n
1 −⎞⎟⎠⎜⎝
⎛ ∑ 
Sequência de cálculos: 
1) Média dos quadrados: 
82
5
410
5
1411852x
n
1 22222
i
2
i ==++++=∑ . 
2) Quadrado da média: 
648xx
n
1 22
2
i
i ===⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∑ . 
Então, 
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3) 186482s2x =−= (mesmo resultado!). 
GABARITO: C 
Variância Combinada 
Considere o conjunto de dados A com NA elementos, média A e variância 2As e 
o conjunto B com NB elementos, média B e variância 2Bs . Pode-se demonstrar 
que a variância da população conjunta A+B, também denominada 
variância combinada ou global, é dada por 
2
BABA
2
BA
2
2
BA NN
BA
NN
B
NN
A
s ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+−+++=
∑ ∑∑∑
+ . 
Fazendo N = NA + NB, obtemos 
222
2
BA N
BA
N
B
N
A
s ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+= ∑∑∑∑+ . 
Exemplo (Administrador(a) Júnior/REFAP/2007/Cesgranrio). O setor 
de recursos humanos de uma empresa tem o hábito de divulgar 
separadamente a média e a variância das notas das avaliações dos 
funcionários do sexo feminino e do masculino. Na última avaliação, os 
resultados obtidos foram:
Feminino Masculino 
Número de funcionários 20 30 
Média 6 7 
Variância 3,4 4 
A média e a variância das notas dos funcionários dessa empresa, 
respectivamente, valem: 
A) 6,5 e 3,7 
B) 6,6 e 3,4 
C) 6,6 e 4,0 
D) 7,5 e 3,7 
E) 13,0 e 7,5 
Resolução 
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Dados: NA = 20, 6A = e 4,3s2A = (conjunto feminino); NB = 30, 7B = e 0,4s2B = 
(conjunto masculino). 
A média global ou média das médias é dada pela média ponderada das 
médias dos conjuntos: 
.6,6
3020
730620
NN
BNANX
BA
BA
BA =+
×+×=+
+=+
O resultado acima já nos permite eliminar as opções A, D e E. Restaram as 
alternativas B e C. 
A variância combinada é dada por 
222
2
BA N
BA
N
B
N
A
s ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+= ∑∑∑∑+ . 
Calcularemos a variância combinada se soubermos os valores das somatórias 
∑ A (soma de A), ∑B (soma de B), ∑ 2A (soma dos quadrados de A) e ∑ 2B 
(soma dos quadrados de B). 
A média do conjunto A é 6 ⇒ 120A6
20
A =⇒= ∑∑ (soma de A = 120). 
A média do conjunto B é 7 ⇒ 210B7
30
B =⇒= ∑∑ (soma de B = 210). 
A variância de A é 3,4. Então, 
4,39
20
A
4,36
20
A
4,3A
20
A
4,3
N
A
N
A
s
2
2
2
2
22
AA
2
2
A =⇒=−⇒=−⇒⎟ =⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∑∑∑∑∑
7884,3920A 2 =×=⇒ ∑ (soma dos quadrados de A = 788). 
A variância de B é 4,0. Logo, 
0,53
30
B
0,47
30
B
0,4B
30
B
0,4
N
B
N
B
s
2
2
2
2
22
BB
2
2
B =⇒=−⇒=−⇒⎟ =⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∑∑∑∑∑
590.15330B2 =×=⇒ ∑ (soma dos quadrados de B = 1.590). 
Finalmente, temos que 
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2
22222
2
BA 6,656,4750
330
50
378.2
50
210120
50
590.1
50
788
N
BA
N
B
N
A
s −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+⎟ =⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+= ∑∑∑∑+
0,456,4356,47s2 BA =−=+ ⇒ variância combinada = 4,0. 
GABARITO: C 
Nota: se as médias dos conjuntos A e B forem iguais, ou seja, se BA = , a 
variância combinada pode ser calculada por meio da fórmula simplificada 
N
sNsN
NN
sNsNs
2
BB
2
AA
BA
2
BB
2
AA2
BA
+=+
+=+ , 
em que N = NA + NB. Repare que trata-se de uma média ponderada das 
variâncias individuais. 
Atenção: a fórmula acima é um caso particular da fórmula anterior da 
variância combinada. Você só poderá aplicá-la quando as médias dos 
conjuntos A e B forem iguais! 
7.2 Desvio Padrão 
O desvio padrão de um conjunto de dados é a raiz quadrada positiva 
da variância, ou seja, 
(16) 2xxs s+= . 
O desvio padrão está na mesma unidade da variável, sendo, por isso, de maior 
interesse na prática. 
Exemplo. Determine o desvio padrão do conjunto 2, 5, 8, 11, 14. 
Vimos que esse conjunto possui variância igual a 18. Logo, 24,418sx ≈= . 
7.3 Coeficiente de Variação 
O coeficiente de variação é definido como o quociente entre o desvio 
padrão e a média, sendo frequentemente expresso em porcentagem: 
(17) 
x
s)x(cv x= . 
Esta medida caracteriza a dispersão dos dados em termos relativos a seu valor 
médio. 
Exemplo. Determine o coeficiente de variação do conjunto 2, 5, 8, 11, 14. 
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O conjunto tem média 8 e desvio padrão 4,24. Portanto, 
%5353,0
8
24,4)x(cv =≈= . 
7.4 Desvio Interquartílico 
O desvio interquartílico, definido por 
(18) isQ QQd −= , 
em que Qd denota o desvio interquartílico, sQ é o quartil superior e iQ o 
quartil inferior, pode ser usado como uma medida de dispersão. Em 
distribuições mais dispersas, os valores dos quartis ficam mais distantes. Em 
distribuições simétricas, a distância entre o quartil inferior e a mediana é igual 
à distância entre a mediana e o quartil superior, enquanto que em distribuições 
assimétricas essas distâncias são diferentes. 
Exemplo. O primeiro e o terceiro quartis da distribuição das alturas dos 
estudantes da Universidade de São Paulo são 165,56 cm e 178,59 cm, 
respectivamente. Calcule o desvio interquartílico dessa distribuição. 
03,1356,16559,178QQd isQ =−=−= cm. 
7.5 Diagrama de Caixa 
Um diagrama de caixa ou box plot ou “caixa-de-bigodes” é um retângulo 
que representa o desvio interquartílico (IQR) (é a estatística Qd definida 
por (18)). Para construir esse diagrama (veja a próxima figura), consideramos 
um retângulo onde estão representados a mediana, o primeiro quartil (Q1) e o 
terceiro quartil (Q3). A partir do retângulo, para cima, segue uma linha até o 
ponto mais remoto que não pode exceder LS = Q3 + 1,5.IQR, chamado limite 
superior. De modo análogo, a partir do retângulo, para baixo, segue uma 
linha até o ponto mais remoto que não seja menor que LS = Q1 –1,5.IQR, 
chamado limite inferior. Os valores compreendidos entre esses dois limites 
são chamandos valores adjacentes. As observações que estiverem acima do 
limite superior ou abaixo do limite inferior serão denominadas pontos 
exteriores. Essas observações são destoantes das demais e podem ou não ser 
o que chamamos de outliers ou valores atípicos (*)1. Um outlier pode ser 
produto de um erro de observação ou de arredondamento. Contudo, as 
denominações pontos exteriores e outliers são frequentemente usadas com o 
mesmo significado por alguns autores2: observações fora de lugar, 
discrepantes ou atípicas. 
 
1 BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística Básica. São Paulo: Ed. Saraiva, 2010. 
2 MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de 
Janeiro: LTC, 2008. 
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(*) A média aritmética é sensível a outliers. Um único valor “ruim” do conjunto 
de dados pode distorcer a média, ou seja, pode mover a média para longe do 
centro da distribuição de frequências. As médias geométrica e harmônica, 
assim como a aritmética, também não são robustas a outliers. 
O box plot nos dá uma noção da posição, dispersão, assimetria, caudas e 
dados discrepantes da distribuição. A posição central é dada pela mediana e a 
dispersão por IQR. As posições relativas de Q1, Q2 e Q3 nos dão uma idéia da 
assimetria da distribuição. Os comprimentos das caudas são dados pelas linhas 
que vão do retângulo aos valores remotos e pelos valores atípicos. Os 
comprimentos das caudas são dados pelas linhas que vão do retângulo aos 
valores remotos e pelos valores atípicos. 
Exemplo. Considere um conjunto de dados com os seguintes percentis: 
0% 25% 50% 75% 100% 
1,7524 4,6901 5,7004 6,1768 7,3658 
A próxima figura é um box plot do conjunto de dados que gerou a tabela de 
percentis acima. A cauda inferior é longa e isto indica que a distribuição é 
assimétrica. Note também a presença de outliers na parte inferior do box plot
(são os pontos vermelhos). 
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1
2
3
4
5
6
7
V
al
or
es
A figura abaixo mostra o histograma associado ao box plot do exemplo. 
1 2 3 4 5 6 7 8
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
_______________________________________________________ 
A próxima figura reforça a relação do box plot com o histograma. A distribuição 
da esquerda é simétrica,
enquanto que a da direita é assimétrica. 
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Os box plots da figura abaixo mostram a comparação dos tamanhos das 
pétalas em duas amostras das espécies de flor-de-lis versicolor e virginica3. 
versicolor virginica
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
V
al
or
es
A existência de um outlier nos dados da espécie versicolor é indicada pelo 
ponto vermelho na parte inferior esquerda da figura. 
8 Momentos 
O momento de ordem t associado às observações n21 x,...,x,x é definido como 
(19) ∑
=
=
n
1i
t
it xn
1M . 
Define-se o momento de ordem t centrado em relação a uma constante 
“a” como 
 
3 Conjunto de dados de Fisher. 
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(20) ∑
=
−=
n
1i
t
i
a
t )ax(n
1M . 
O caso do momento centrado em relação a média x é de especial 
interesse em Estatística e será designado por momento centrado de ordem 
t, dado por 
(21) ∑
=
−=
n
1i
t
it )xx(n
1m . 
As expressões (19), (20) e (21) podem ser reescritas levando-se em 
consideração as frequências dos diferentes valores existentes (lembre que 
∑
=
=
k
1i
fi n ). Tem-se, então, respectivamente, 
(22) ∑
=
=
k
1i
t
iit fxn
1M 
(23) i
k
1i
t
i
a
t f)ax(n
1M ∑
=
−=
(24) ∑
=
−=
k
1i
i
t
it f)xx(n
1m
Observe que o momento de ordem 1 é igual à média, ou seja, 
(25) xM1 = , 
pois ∑
=
=
n
1i
i1 xn
1M (basta aplicar (19) com t=1). 
O momento centrado de primeira ordem é nulo 
(26) 0m1 = , 
porque 0xxxnx
n
1xx
n
1)xx(
n
1m
n
1i
i
n
1i
n
1i
i
n
1i
i1 =−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−= ∑∑∑∑
====
. 
O momento centrado de segunda ordem é a variância 
(27) 2x2m s= 
haja vista que, 2x
n
1i
2
i2 s)xx(n
1m ∑
=
=−= . 
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9 Medidas de Assimetria 
Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma 
distribuição. As distribuições alongadas à direita são ditas positivamente 
assimétricas, e as alongadas à esquerda, negativamente assimétricas. 
O momento centrado de terceira ordem pode ser usado como medida da 
assimetria de uma distribuição. Entretanto, uma medida mais conveniente de 
assimetria, por ser adimensional, é dada pelo coeficiente de assimetria (A), 
definido como a razão entre o momento centrado de terceira ordem e o 
cubo do desvio padrão: 
(28) .
s
mA 3
x
3= 
O coeficiente de assimetria (28) indica o sentido da assimetria e pode ser 
usado para comparar vários casos porque é adimensional. O sinal do 
coeficiente de assimetria será positivo ou negativo se a distribuição for 
assimétrica à direita ou à esquerda, respectivamente. 
A assimetria também pode ser medida pelo primeiro coeficiente de 
assimetria de Pearson 
(29) 
x
1p s
moxA −= 
em que x é a média, mo denota a moda e xs é o desvio padrão. 
Para evitar o emprego da moda em (29), pode-se adotar a fórmula empírica 
(média – moda) = 3(média - mediana), 
de forma que (29) pode ser reescrita como 
2p
x
A
s
)mdx(3 =−
conhecida como segundo coeficiente de assimetria de Pearson. 
Uma outra medida de assimetria, denominada coeficiente quartílico de 
assimetria ( qA ), é definida pela fórmula 
(30) 
13
13
q QQ
Qmd2QA −
+−= . 
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Exemplo (Assessor Especializado/IPEA/2004/FCC). Numa distribuição 
de frequências com assimetria negativa mais de 50% dos dados situam-se 
A) sobre a média 
B) acima da média 
C) entre a média e a moda 
D) entre a média e a mediana 
E) acima da mediana 
Resolução 
A próxima figura ilustra uma Distribuição de Frequências com Assimetria 
Negativa ou à Esquerda: 
2
3
4
5
6
7
8
Observe que 
Média < Mediana < Moda 
Bizu: na assimetria negativa, você deve “puxar a seta” com a mão 
esquerda, de forma que: 
1) a seta puxa a média; 
2) a moda está no topo; e 
3) a mediana está no meio. 
Uma distribuição de frequências com assimetria negativa é alongada à 
esquerda. 
A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% 
menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. Logo, 
numa distribuição de frequências com assimetria negativa, mais de 
Moda
Mediana
Média 
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50% dos dados estão acima da média (pois a média é menor do que a 
mediana). 
Assimetria Positiva ou à Direita: Média > Mediana > Moda ou 
 Moda < Mediana < Média 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 a 10 10 a 20 20 a 30 30 a 40 40 a 50
Bizu: na assimetria positiva ou à direita, você deve “puxar a seta” com a 
mão direita, de modo que: 
1) a seta puxa a média; 
2) a moda está no topo; e 
3) a mediana está no meio. 
GABARITO: B 
Exemplo (Analista IRB/2004/ESAF) O desenho esquemático (diagrama de 
caixa) apresentado abaixo representa o resumo de cinco números 
{51,00;54,75;69,50;78,00;95,00} para um conjunto de observações 
amostrais do atributo Y. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de 
assimetria de Pearson para a amostra em apreço. 
A) -0,269 
B) -0,500 
Moda 
Mediana 
Média 
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C) 0,000 
D) 0,294 
E) -0,294 
Resolução 
Temos cinco números: {51,00;54,75;69,50;78,00;95,00}. É razoável admitir 
que eles representem as seguintes medidas: 
- Valor Mínimo = 51,00 
- Q1 = 54,75 
- Mediana (md) = 69,50 
- Q3 = 78,00 
- Valor Máximo = 95,00 
Note que o diagrama de caixa apresentado não representa de forma fidedigna 
as cinco medidas do atributo Y. Paciência! Não vale a pena brigar com a banca. 
O objetivo é ser aprovado no concurso! 
Vimos que o primeiro coeficiente de assimetria de Pearson é dado pela fórmula 
.
s
moxA
x
1p
−= 
Entretanto, não é possível calcular o coeficiente de assimetria de Pearson com 
os dados da questão (quais são os valores da média e da moda?). O que está 
acontecendo nesta questão? Calma ... pode ser que a banca tenha alguma 
outra medida de assimetria em mente. Que tal calcular o coeficiente quartílico 
de assimetria? Não custa nada. Então vamos lá! 
269,0
75,5478
)50,692(75,5478
QQ
md2QQA
13
13
q −=−
×−+=−
−+= . 
Coeficiente quartílico de assimetria = -0,269 
GABARITO: A 
10 Medidas de Achatamento ou Curtose 
As medidas de curtose visam caracterizar a forma da distribuição 
quanto ao seu achatamento. A referência para comparação é dada pela 
distribuição normal, modelo probabilístico teórico de grande aplicação 
prática (*). Diz-se que a distribuição normal é mesocúrtica (veja a figura 
abaixo). As distribuições mais achatadas que a normal são platicúrticas e as 
menos achatadas são leptocúrticas. 
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(*) Não fique preocupado se você não lembra o que é a curva normal. Neste 
momento, basta que você saiba que o formato da curva normal lembra um 
sino. 
A caracterização do achatamento de uma distribuição só tem sentido 
se a distribuição for aproximadamente simétrica. Entre as possíveis 
medidas de achatamento, temos o coeficiente do momento de curtose 
(a4), definido como a razão entre o momento centrado de quarta ordem e 
a quarta potência do desvio padrão: 
(31) .
s
ma 4
x
4
4 = 
Esse coeficiente é adimensional, sendo menor que três para as 
distribuições platicúrticas, igual a três para a normal e maior que três 
para as distribuições leptocúrticas. 
Outra medida de curtose também empregada, denominada coeficiente 
percentílico de curtose, baseia-se nos quartis e percentis e é definida por: 
(32) 
1090 PP
QK −= 
em que Q é a metade da distância interquartílica, ou seja, Q = (Q3 - Q1)/2. 
11 Ramo e Folhas 
Vimos que o histograma e os gráficos em barras dão uma idéia da forma da 
distribuição da variável sob consideração. Um procedimento alternativo para 
resumir um conjunto de valores, com o objetivo de se obter uma idéia da 
forma de sua distribuição, é o diagrama de ramo-e-folhas. 
Exemplo (baseado em questão do AFPS/2002/ESAF) Construa o ramo-e-
folhas associado às seguintes observações: 82, 90, 90, 93, 99, 100, 100, 101, 
101, 102, 102, 102, 103, 104, 104, 105, 107, 107, 107, 107, 107, 110, 111, 
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113, 115, 115, 116, 117, 119, 120, 120, 121, 121, 124, 125, 125, 125, 127, 
130, 130, 134, 135, 135, 135, 136, 140, 143, 145, 158. 
Não existe uma regra fixa para construir o diagrama de ramo-e-folhas, mas a 
idéia básica é dividir cada observação em duas partes: a primeira (o ramo) é 
colocada à esquerda de uma linha vertical, a segunda (a folha) é colocada à 
direita. Assim, para os valores 90 e 93, o 9 é o ramo e 0 e 3 são as folhas. 
O diagrama de ramo-e-folhas correspondente às observações amostrais deste 
exemplo é o seguinte: 
8 | 2 
8 | 
9 | 003 
9 | 9 
10| 0011222344 
10| 577777 
11| 013 
11| 55679 
12| 00114 
12| 5557 
13| 004 
13| 5556 
14| 03 
14| 5 
15| 
15| 8 
Na tabela a seguir, fi denota a frequência simples e Fi é a freqüência 
acumulada das observações: 
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Ramos Folhas fi Fi 
8 2 1 1 
8 0 1 
9 003 3 4 
9 9 1 5 
10 0011222344 10 15 
10 577777 6 21 
11 013 3 24 
11 55679 5 29 
12 00114 5 34 
12 5557 4 38 
13 004 3 41 
13 5556 4 45 
14 03 2 47 
14 5 1 48 
15 0 48 
15 8 1 49 
A tabela acima mostra que foram acumuladas 24 observações até a última 
folha do sétimo ramo. Note que há 49 observações no total e que a mediana 
corresponde à 1ª folha do oitavo ramo, cujo valor é 115. 
12 Resumo 
- A frequência de um dado valor de uma variável (qualitativa ou quantitativa) 
é definida como o número de vezes que esse valor foi observado. 
- A associação das respectivas frequências a todos os diferentes valores 
observados define a distribuição de frequências do conjunto de valores 
observados. 
- A frequência acumulada de um dado valor é igual a soma das 
frequências de todos os valores menores ou iguais ao valor em 
consideração. 
- Um histograma é um gráfico da distribuição de frequências de uma 
variável quantitativa. 
- As medidas de posição servem para localizar a distribuição de 
frequências sobre o eixo de variação da variável (eixo horizontal). 
- A média, a mediana e a moda são medidas de posição. 
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- Média aritmética: ∑
=
=+++=
n
1i
i
n21 x
n
1
n
x...xxx
- Média das médias: 
KBA
KKBBAA
n...nn
xn...xnxnx +++
+++=
- Média geométrica: n/1
n
1i
i
n
n21g xx...x.xx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∏
=
- Média harmônica: 
∑
=
=
+++
= n
1i in21
h
x
1
n
x
1...
x
1
x
1
nx
- Média ponderada: 
∑
∑
=
==+++
+++= n
1i
i
n
1i
ii
n21
nn2211
p
w
xw
w...ww
xw...xwxwx
- A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% 
menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. 
- A moda é dada pelo valor mais freqüente (ou de máxima frequência). 
- Variância = Média dos Quadrados – Quadrado da Média = 2
i
i x
2x
n
1 −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∑ 
- Variância amostral: 2
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2
x x1n
nx
1n
1)xx(
1n
1s ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−−=−−= ∑∑ ==
- Variância combinada dos conjuntos A e B: 
222
2
BA N
BA
N
B
N
A
s ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+= ∑∑∑∑+
- Desvio Padrão = Raiz Quadrada positiva da Variância. 
- Coeficiente de variação: 
x
s)x(cv x= . 
- Desvio interquartílico: isQ QQd −= 
- Um diagrama de caixa ou box-plot é um retângulo que representa o desvio 
interquartílico. Esse retângulo indica, portanto, a faixa dos 50% dos valores 
mais típicos da distribuição. O retângulo é dividido no valor correspondente à 
mediana; assim, ele indica o quartil inferior, a mediana e o quartil superior. 
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- Coeficiente percentílico de curtose: 
1090 PP
QK −= , em que Q é a metade da 
distância interquartílica, ou seja, Q = (Q3 - Q1)/2. 
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13 Exercícios de Fixação 
Julgue os itens a seguir. 
1. A estatística descritiva usa os dados de uma amostra para fazer estimativas 
e testar hipóteses a respeito das características de uma população. 
2. A inferência estatística aborda a organização e a descrição dos dados 
experimentais. 
3. Uma variável estatística será qualitativa quando resultar de uma 
classificação por tipos ou atributos. 
4. Uma variável estatística será quantitativa quando seus valores forem 
expressos em números. 
5. O rol é um arranjo dos dados brutos. 
6. Série estatística é toda tabela que apresenta um conjunto de dados 
estatísticos distribuídos em função da época, do local ou da espécie. 
7. (Analista da SUSEP/2006/ESAF) Para um conjunto determinado de 
números positivos temos: X como a média aritmética, G como a média 
geométrica e H como a média harmônica, podemos afirmar que 
A) X menor ou igual a G menor ou igual a H. 
B) G maior do que X maior do que H. 
C) X menor ou igual a H menor ou igual a G. 
D) H menor ou igual a G menor ou igual a X . 
E) H maior do que G maior do que X . 
8. (ATM-Recife/2003/ESAF) Em uma amostra para obter-se informações 
sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário 
médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para homens foi de R$ 
1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta: 
A) O número de homens na amostra é igual ao número de mulheres. 
B) O número de homens na amostra é o dobro do número de mulheres. 
C) O número de homens na amostra é o triplo do número de mulheres. 
D) O número de mulheres na amostra é o dobro do número de homens. 
E) O número de homens na amostra é o quádruplo do número de mulheres. 
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Classificação mínimo 1º quartil mediana média 3º quartil máximo variância 
A 20 25 27,5 30 32,5 50 49 
B 18 23 32 33 42 52 100 
A ou B x y z 31 w u v 
(Papiloscopista PF/2004/Cespe-UnB) De acordo com um levantamento 
estatístico, a média das idades de um grupo de presidiários é igual a 31 anos 
de idade. Nesse levantamento, os presidiários foram classificados como A ou B, 
dependendo da sua condição psicossocial. Constatou-se que a média das 
idades dos presidiários classificados como A é menor que a média das idades 
dos presidiários classificados como B. A tabela acima apresenta algumas 
medidas estatísticas obtidas por meio desse levantamento. 
A partir das informações acima, julgue os itens que se seguem. 
9. A moda das idades dos presidiários classificados como A, segundo a fórmula 
de Czuber, está entre 25,5 e 26 anos de idade. 
10. O número de presidiários classificados como A é igual ao dobro do número 
de presidiários classificados como B. 
(Papiloscopista PF/2004/Cespe-UnB) O ser humano tem impressos nos 
dedos das mãos pelo menos quatro desenhos diferentes. Embora pessoas 
diferentes tenham sempre digitais diferentes, esses desenhos formam padrões 
conhecidos como tipos fundamentais de impressões digitais. Há raras exceções 
a essa regra de classificação. Por isso, essa regra é utilizada para a 
identificação de uma pessoa. Um perito, observando os dedos indicadores 
direitos de 200 indivíduos, obteve a seguinte distribuição dos tipos 
fundamentais, segundo o gênero (homem/mulher). 
Tipo fundamental 
gênero arco presilha interna presilha externa verticilo total 
homem 15 15 35 35 100 
mulher 15 10 40 35 100 
No estudo desse perito, foram associados valores x, y e z para cada indivíduo, 
da seguinte maneira: x = 1, caso o tipo fundamental da impressão digital do 
indivíduo for verticilo e x = 0, caso contrário; y = 1 se o tipo fundamental da 
impressão digital do indivíduo for arco e y = 0, caso contrário; z = 1 se o 
indivíduo for mulher e z = 0 se for homem. Como resultado desse 
procedimento, formam-se três séries estatísticas, respectivamente, X, Y e Z, 
cada uma com duzentas observações. 
A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. 
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11. A mediana de X é superior a 0,8. 
12. A mediana do produto X × Z é menor que 0,025. 
(Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para resolver as 
próximas duas questões, considere a tabela de frequências relativas abaixo, 
que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre 
determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. 
Sabe-se que: 
I – As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, 
sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais 
a x e y, respectivamente. 
II – A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é 
igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
desse intervalo). 
Valores Arrecadados (R$) Frequências Relativas 
1.000,00 |---------- 2.000,00 0,10 
2.000,00 |---------- 3.000,00 x 
3.000,00 |---------- 4.000,00 y 
4.000,00 |---------- 5.000,00 0,20 
5.000,00 |---------- 6.000,00 0,10 
Total 1,00 
13. A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou 
iguais a R$ 3.000,00 é 
A) 70% 
B) 65% 
C) 55% 
D) 45% 
E) 40% 
14. Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da 
respectiva mediana é 
A) R$ 3,120,00 
B) R$ 3,200,00 
C) R$ 3,400,00 
D) R$ 3,600,00 
E) R$ 3,800,00 
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15. (APOFP-SP/2009/ESAF) Determine a mediana das seguintes 
observações: 
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 
9 
A) 13,5 
B) 17 
C) 14,5 
D) 15,5 
E) 14 
16. (ICMS-SP/2006/FCC) O histograma de frequências absolutas, abaixo, 
demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado 
tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada: 
Observação: Considere que todos os intervalos de classe de histograma são 
fechados à esquerda e abertos à direita. 
Utilizando-se as informações contidas neste histograma, calculou-se a média 
aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da 
interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a 
mediana é igual a 
A) R$ 100,00 
B) R$ 400,00 
C) R$ 800,00 
D) R$ 900,00 
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E) R$ 1.000,00 
(AFRF/2002/ESAF/Adaptada) Em um ensaio para o estudo da 
distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens 
de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. As próximas três questões referem-se a esses 
ensaios. 
Classes P (%)
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
17. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
A) 140,10 
B) 115,50 
C) 120,00 
D) 140,00 
E) 138,00 
18. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da 
distribuição de X. 
A) 138,00 
B) 140,00 
C) 136,67 
D) 139,01 
E) 140,66 
19. Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de 
observações de X menores ou iguais a 145. 
A) 62,5% 
B) 70,0% 
C) 50,0% 
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D) 45,0% 
E) 53,4% 
20. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do 
número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média 
geométrica simples dessa amostra é 
A) 2,25. 
B) 1,75. 
C) 2. 
D) 2,4 
E) 2,5 
21. (Técnico Administrativo/BNDES/2010/CESGRANRIO) Dez mulheres 
adultas foram submetidas a uma pesquisa. A cada uma delas perguntou-se: 
“Quantos filhos você tem?”. O entrevistador foi anotando cada uma das 
respostas na ordem em que foram obtidas. No entanto, devido à pressa, 
esqueceu-se de registrar uma das respostas. A listagem abaixo reproduz as 
respostas dadas, na ordem em que foram registradas. 
2 0 3 1 1 0 1 4 1 
A partir das informações acima, analise as afirmativas a seguir. 
I - A moda das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da 
resposta não registrada. 
II - A mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres depende da 
resposta não registrada. 
III - A média das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da 
resposta não registrada. 
Está correto APENAS o que se afirma em 
A) I. 
B) II. 
C) III. 
D) I e II. 
E) II e III. 
22. (AFTE-RO/2010/FCC) Em uma cidade é realizado um levantamento 
referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no período
de 
um mês. Analisando os documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis de 
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valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as 
colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes. 
Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da 
A) média aritmética é igual ao valor da mediana.. 
B) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. 
C) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. 
D) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00. 
E) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. 
23. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2010/Cesgranrio) Uma loja de 
conveniência localizada em um posto de combustível realizou um levantamento 
sobre o valor das compras realizadas pelos seus clientes. Para tal tomou uma 
amostra aleatória de 21 compras, que apresentou, em reais, o seguinte 
resultado: 
Índice Valor Índice Valor Índice Valor 
1 19,40 8 22,00 15 18,00 
2 14,00 9 34,00 16 29,00 
3 18,30 10 15,50 17 34,00 
4 27,20 11 28,50 18 15,50 
5 8,70 12 34,00 19 13,40 
6 10,30 13 10,80 20 17,00 
7 7,20 14 15,50 21 19,00 
A mediana dessa série de observações é 
(A)15,50 
(B) 18,00 
(C) 18,30 
(D) 28,50 
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(E)34,00 
24. (Administrador Jr – REFAP/2007/Cesgranrio) O gráfico de setores 
abaixo representa a distribuição de freqüências relativas dos salários de uma 
empresa, em salários mínimos. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes 
O primeiro e o terceiro quartis da distribuição, respectivamente, valem: 
A) 2,25 e 4,00 
B) 2,25 e 5,75 
C) 4,00 e 2,25 
D) 4,00 e 5,75 
E) 5,75 e 12,00 
Considere as asserções a seguir. 
25. (Analista C&T Jr - Estatística/CAPES/2008/Cesgranrio) 
A moda de um conjunto de observações é sempre um dos valores observados. 
PORQUE 
A moda é uma medida de posição de um conjunto de observações. 
Analisando-se as asserções, conclui-se que 
A) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta 
da primeira. 
B) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa 
correta da primeira 
C) a primeira asserção é verdadeira, e a segunda é falsa. 
D) a primeira asserção é falsa, e a segunda é verdadeira. 
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E) a primeira e a segunda asserções são falsas. 
(Analista C&T Jr - Estatística/CAPES/2008/Cesgranrio/Adaptada) 
Responda à próxima questão com base nos resultados das Avaliações Trienais 
de 2004 e 2007 realizadas pela Capes nos cursos de pós-graduação do país 
apresentados na tabela a seguir. 
26. O conceito médio na Avaliação Trienal de 2004 é 
A) 3,0 
B) 5,5 
C) 4,5 
D) 5,0 
E) 4,0 
Com relação a estatística, julgue o item a seguir. 
27. (Papiloscopista da PF/2012/CESPE-UnB) Ao contrário da mediana 
amostral, a média aritmética é menos sensível à presença de valores extremos 
(ou valores atípicos ou outliers). 
28. (Estatístico/MI-CENAD/2012/ESAF) A distribuição de frequências em 
classes do salário mensal x, medido em número de salários mínimos, de uma 
amostra aleatória de 50 funcionários de uma empresa, é apresentada a seguir. 
x f 
mais de 0 a 10 22 
mais de 10 a 20 13 
mais de 20 a 30 10 
mais de 30 a 40 3 
mais de 40 a 50 2 
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Usando o ponto médio como representativo da classe, determine o valor mais 
próximo da média amostral do salário mensal. 
A) 14,5 
B) 15,0 
C) 15,8 
D) 16,1 
E) 16,5 
29. (Estatístico/MI-CENAD/2012/ESAF) Determine o valor mais próximo 
da mediana do salário mensal da distribuição de frequências apresentada na 
Questão 28, interpolando linearmente dentro das classes, se necessário. 
A) 15 
B) 14,3 
C) 13,7 
D) 12,3 
E) 7,3 
30. (Analista/IRB/2005-2006/ESAF) No campo estatístico, ogivas são: 
A) polígonos de freqüência acumulada. 
B) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual. 
C) histograma de distribuição de freqüência. 
D) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual. 
E) o equivalente à amplitude do intervalo. 
31. (Analista/IRB/2005-2006/ESAF) Histograma e Polígono de freqüência 
são 
A) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de 
freqüência. 
B) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de 
freqüência. 
C) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. 
D) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. 
E) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com 
sentidos opostos. 
32. (Técnico de Defesa Aérea e Controle de Tráfego Aéreo – Área: 
Estatística/2009/Cesgranrio) As informações contidas nos dois 
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histogramas se referem à distribuição dos salários dos funcionários de uma 
empresa, segundo a classificação dos funcionários em sênior e master. 
As estimativas da média salarial do grupo sênior e da mediana salarial do 
grupo dos master são, em salários mínimos, respectivamente, 
(A) 14,5 e 17,00 
(B) 14,9 e 17,00 
(C) 14,9 e 17,25 
(D) 14,9 e 17,40 
(E) 17,2 e 17,25 
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Variável X Frequência relativa 
0 0,10 
1 0,20 
2 0,30 
3 0,40 
(SEAD-CPC/2007/Cespe-UnB/Adaptada) Considerando a tabela acima, 
que apresenta as freqüências relativas de uma variável X, relativa a uma 
contagem, julgue os itens a seguir. 
33. A média de X é inferior a 1,5. 
34. A moda e a mediana de X são iguais a 3. 
(AFTE-RS/2009/Fundatec) A tabela a seguir representa a distribuição de 
frequências da idade de uma amostra de moradores de um asilo. Utilize para 
resolver as questões 35 e 36. 
Xi fi 
70 |-- 74 7 
74 |-- 78 19 
78 |-- 82 13 
82 |-- 86 11 
86 |-- 90 6 
90 |-- 94 4 
Total 60 
35. A idade aproximada da mediana é 
A) 78,22. 
B) 80,00. 
C) 79,38. 
D) 78,55. 
E) 79,23. 
36. O valor da moda pelo método de King é 
A) 72,8. 
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B) 76,6. 
C) 80,0. 
D) 76,0. 
E) 19,0. 
37. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) No 
histograma acima, os pontos médios das classes inicial e final são 40 e 80, 
respectivamente. Sabendo-se que todas as classes têm a mesma amplitude, a 
estimativa adequada para a média e para a mediana dessa distribuição são, 
respectivamente, 
(A) 59,5 e 59,5 
(B) 59,5 e 60 
(C) 60 e59 
(D) 60 e 59,5 
(E) 60 e60 
38. (Técnico Adm. Saúde/SEARH-SESAP-RN/2008/Consulplan) A 
medida de posição mais usada é a média aritmética e a principal desvantagem 
da média com relação a mediana é: 
(A) Seu estimador X , ser viciado. 
(B) Apresentar valor sempre maior que a mediana.
(C) Não ser influenciado por todos os valores da amostra. 
(D) Seu estimador X , ter variância mínima. 
(E) Ser influenciado por valores extremos. 
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39. (Técnico Adm. Saúde/SEARH-SESAP-RN/2008/Consulplan) Um 
estudo buscou localizar o ganho de peso de mulheres grávidas entre o 3o e 8o
mês de gestação com acompanhamento pré-natal na rede estadual de saúde, 
apresentado através do histograma abaixo: 
Com base no gráfico, calcule a média do ganho de peso das gestantes: 
(A) 6,0 Kg 
(B) 6,2 Kg 
(C) 6,4 Kg 
(D) 6,6 Kg 
(E) 6,8 Kg 
40. (Técnico Adm. Saúde/SEARH-SESAP-RN/2008/Consulplan) Uma 
certa montadora de automóveis afirma que seu novo modelo tem um consumo 
médio urbano superior a 14Km/L; foram realizados 100 testes, apresentados 
na tabela abaixo: 
Consumo Frequência absoluta 
[10 – 12) 30 
[12 – 14) 20 
[14 – 16) 25 
[16 – 18) 25 
Total 
Com base nas informações anteriores, assinale a medida de posição que 
apresenta melhor resultado para a montadora: 
(A) A média, cujo valor é dado por 14 Km/L. 
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(B) A mediana, cujo valor é dado por 14 Km/L. 
(C) A moda, cujo valor é dado por 14 Km/L. 
(D) A média, cujo valor é dado por 13,9 Km/L. 
(E) A mediana, cujo valor é dado por 13,9 Km/L. 
(Auxiliar de Estatística – Pref. Caratinga/2005/Consulplan/Adaptada)
A Prefeitura Municipal de Caratinga necessitando conhecer o rendimento e 
efetuar estatísticas, realizou um teste aplicado aos servidores do 
Departamento de Recursos Humanos. No teste havia 20 (vinte) questões 
objetivas de múltipla escolha, tendo os 20 (vinte) servidores participantes do 
teste obtido as seguintes pontuações: 
04 servidores → 04 acertos 
02 servidores → 06 acertos 
03 servidores → 08 acertos 
04 servidores → 12 acertos 
02 servidores → 14 acertos 
05 servidores → 17 acertos 
Com base na situação apresentada, responda as questões 41, 42 e 43. 
41. O valor individual mais freqüente da série apresentada é o seguinte 
número de acertos: 
(A) 17 
(B) 14 
(C) 12 
(D) 8 
(E) 6 
42. A média aritmética da série é igual a: 
(A) 20 
(B) 3,05 
(C) 10,65 
(D) 12 
(E) 11 
43. A amostra utilizada para conhecer o rendimento e efetuar as estatísticas 
no Departamento de Recursos Humanos da Prefeitura Municipal de Caratinga é 
igual a quantos elementos? 
(A) 4 
(B) 6 
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(C) 14 
(D) 17 
(E) 20 
44. (Agente Fiscal de Rendas SP/2006/FCC). Considerando as respectivas 
definições e propriedades relacionadas às medidas de posição e de 
variabilidade, é correto afirmar: 
A) Concedendo-se um reajuste de 10% em todos os salários de uma empresa, 
tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10. 
B) Definindo-se coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da 
divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) 
de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido 
dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média aritmética. 
C) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, 
tem-se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do 
desvio padrão dos valores anteriores. 
D) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente 
positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2. 
E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana 
e a moda é sempre diferente de zero. 
45. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para comparar as rendas de dois grupos de 
pessoas, A e B, foram preparados diagramas de caixas (box-plots) com os 
valores observados dos salários, representados na figura a seguir: 
A respeito desses diagramas, considere as seguintes afirmativas: 
I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo. 
II. A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita. 
III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo B. 
Assinale: 
A) se somente a afirmativa I for verdadeira. 
B) se somente a afirmativa II for verdadeira. 
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C) se somente a afirmativa III for verdadeira. 
D) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras. 
E) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras. 
46. (ICMS-RJ/2008/FGV) Uma companhia utiliza um sistema de avaliação 
de desempenho de seus funcionários por meio de dois indicadores de 
performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefas 
são realizadas. 
Os funcionários receberam, na última avaliação, as medidas indicadas na 
tabela a seguir: 
Medidas 
Indicador 
Qualidade Tempestividade 
Média 50 25 
Desvio-Padrão 10,0 6,0 
Coeficiente de 
Variação (%) 20 24 
Com base na tabela, é correto afirmar que: 
A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance
dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações. 
B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da 
Tempestividade. 
C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da 
Tempestividade. 
D)os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das 
tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor. 
E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra. 
47. (ICMS-RJ/2007/FGV) Considere as informações contidas no Box Plot
abaixo, referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo. 
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É correto afirmar que: 
A) o salário médio dos homens é igual ao das mulheres. 
B) a distribuição dos salários das mulheres é assimétrica negativa. 
C) o desvio interquartílico dos salários das mulheres é maior do que o dos 
homens. 
D) a distribuição dos salários dos homens é atípica. 
E) o salário mediano das mulheres é superior ao dos homens. 
48. (AFRF/2001/ESAF) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de 
contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a 
média amostral M = 100 e o desvio-padrão s = 13 da variável transformada (X 
� 200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X: 
A) 3,0% 
B) 9,3% 
C) 17,0% 
D) 17,3% 
E) 10,0% 
(AFRF/2002/ESAF/Adaptada) Em um ensaio para o estudo da 
distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens 
de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os 
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extremos das classes. As próximas três questões referem-se a esses 
ensaios. 
Classes P (%)
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
49. Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde
à 
medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
A) 3/S 
B) 4/S 
C) 5/S 
D) 6/S 
E) 0 
50. Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se 
∑
=
=
7
1i
2
ii 680.1fZ , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de 
classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo 
X. 
A) 720,00 
B) 840,20 
C) 900,10 
D) 1200,15 
E) 560,30 
51. Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento, em 
geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada 
pelo quociente 
1090 PP
Qk −= 
onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os 
percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da 
curtose k para a distribuição de X. 
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A) 0,263 
B) 0,250 
C) 0,300 
D) 0,242 
E) 0,000 
52. (Analista do BACEN/2006/FCC) A média aritmética dos valores das 
vendas diárias realizadas pelas 50 empresas do Setor A é de R$ 1.000,00, com 
desvio padrão de R$ 100,00. Sabe-se ainda que a média aritmética dos valores 
das vendas diárias realizadas pelas 200 empresas do Setor B é de R$ 
2.000,00, com desvio padrão de R$ 200,00. A variância em (R$)2 dos valores 
das vendas diárias realizadas pelos dois setores reunidos é 
A) 34.000,00 
B) 50.000,00 
C) 194.000,00 
D) 207.500,00 
E) 288.000,00 
53. (ICMS-RJ/2010/FGV) A média, a mediana e a variância das idades de 
um grupo de vinte pessoas são, hoje, iguais, respectivamente, a 34, 35 e 24. 
Daqui a dez anos, os valores da média, da mediana e da variância das idades 
dessas pessoas serão, respectivamente: 
A) 44, 35 e 34 
B) 44, 45 e 12 
C) 44, 45 e 24 
D) 34, 35 e 12 
E) 44, 45 e 124 
54. (AFPS/2002/ESAF) O diagrama de ramos e folhas abaixo corresponde 
às observações (82, ..., 158) do atributo X. Assinale a opção que dá o valor 
mediano de X 
8 | 2 
8 | 
9 | 003 
9 | 9 
10| 0011222344 
10| 577777 
11| 013 
11| 55679 
12| 00114 
12| 5557 
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13| 004 
13| 5556 
14| 03 
14| 5 
15| 
15| 8 
A) 105 
B) 110 
C) 104 
D) 107 
E) 115 
(Analista de Estatística/Perito/MPU/2010/CESPE) Considere que um 
perito tenha efetuado um estudo acerca do tempo gasto — X —, em meses, 
por empresas notificadas para quitar suas pendências com a Previdência 
Social. Uma amostra de 35 empresas notificadas com pendências foi 
selecionada de um banco de dados da Previdência. A partir dessa amostra, o 
perito fez uma análise exploratória da variável X, cujos resultados são 
apresentados a seguir. 
Estatísticas Descritivas: 
tempo mínimo = 2 meses 
tempo máximo = 128 meses 
∑
=
=
35
1i
i ;1027x ∑
=
=
35
1i
2
i ;66317x 11,30135x35
1
235
1i
i =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑
=
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Nesse estudo, o perito efetuou avaliações acerca do número de irregularidades 
– Y – que geraram pendências em função do porte das empresas: com menos 
de 20 empregados e com 20 ou mais empregados. Os resultados foram os 
seguintes. 
tamanho da empresa y s n 
< 20 empregados 6,8 1,7 15 
≥ 20 empregados 2,6 1,3 20 
Com base nessas informações julgue os itens de 55 a 60. 
55. O diagrama de caixas, conhecido como boxplot, indica que a distribuição 
de X é assimétrica. Portanto, o número de observações acima do segundo 
quartil (Q2) foi proporcionalmente superior ao número de observações abaixo 
de Q2. 
56. O tempo mediano da variável X foi aproximadamente igual a 29,34 meses. 
57. No diagrama de caixas, quatro observações foram identificadas como 
valores atípicos por estarem fora do intervalo [0; 77,25]. 
58. O diagrama apresentado a seguir é o resumo dos 5 números para a 
distribuição de X. 
17 
6 34,5 
2 128 
59. Nessa situação, a variabilidade do número de irregularidades nas 
empresas com menos de 20 empregados corresponde à metade da 
variabilidade do número de irregularidades nas empresas com 20 ou mais 
empregados. 
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60. O desvio padrão amostral de X foi inferior a 31 meses. 
(Analista Judiciário/TST/2007/Cespe-UnB/Adaptada) Considere que, 
em um ambiente de trabalho industrial, as seguintes medições acerca da 
poluição do ar tenham sido observadas: 1, 6, 4, 3, 2, 3, 1, 5, 1, 4. Nessas 
situação, julgue os itens que se seguem. 
61. A mediana da amostra é igual a 2,5. 
62. As médias harmônica e geométrica são ambas inferiores a 3. 
63. O terceiro quartil é igual a 3. 
64. A variância amostral é superior a 2,8. 
Variável X Frequência relativa 
0 0,10 
1 0,20 
2 0,30 
3 0,40 
(SEAD-CPC/2007/Cespe-UnB/Adaptada) Considerando a tabela acima, 
que apresenta as freqüências relativas de uma variável X, relativa a uma 
contagem, julgue os itens a seguir. 
65. A média de X é inferior a 1,5. 
66. O desvio-padrão de X é inferior a 1,5. 
67. A moda e a mediana de X são iguais a 3. 
68. O coeficiente de variação de X é superior a 1. 
69. (Analista/IRB/2005-2006/ESAF) O grau ao qual os dados numéricos 
tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se 
A) média. 
B) variação ou dispersão dos dados. 
C) mediana. 
D) correlação ou dispersão. 
E) moda. 
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14 Gabarito 
1 – E 2 – E 3 – C 4 – C 5 – E 6 – C 7 – D 8 – A 
9 – E 10 – C 11 – E 12 – C 13 – C 14 – B 15 – B 16 – A 
17 – E 18 – C 19 – A 20 – C 21 – A 22 – D 23 – B 24 – B 
25 – D 26 – E 27 – E 28 – B 29 – D 30 – A 31 – D 32 – C 
33 - E 34 – E 35 – E 36 – B 37 – D 38 – E 39 – C 40 – B 
41 – A 42 – C 43 – E 44 – C 45 – B 46 – C 47 – C 48 – B 
49 – A 50 – B 51 – D 52 – C 53 – C 54 – E 55 – E 56 – E 
57 – C 58 – C 59 – C 60 – E 61 – E 62 – C 63 – E 64 – C 
65 – E 66 – C 67 – E 68 – E 69 – B – – – 
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15 Resolução dos Exercícios de Fixação 
Julgue os itens a seguir. 
1. A estatística descritiva usa os dados de uma amostra para fazer estimativas 
e testar hipóteses a respeito das características de uma população. 
Resolução 
O item está errado porque dá a definição de Inferência Estatística. 
Aproveitaremos a oportunidade para enunciar os conceitos de população e 
amostra. 
POPULAÇÃO 
Uma população é o conjunto de todos os elementos de interesse em 
determinado estudo. 
AMOSTRA 
Uma amostra é um subconjunto de uma população. 
GABARITO: E 
2. A inferência estatística aborda a organização e a descrição dos dados 
experimentais. 
Resolução 
O item está errado porque enuncia a definição de Estatística Descritiva. 
A maioria das informações estatísticas publicadas no jornais, revistas, 
relatórios de empresas, etc., consiste em dados sumariados e apresentados de 
forma fácil de entender para o leitor. Esses sumários de dados, que podem ser 
tabulares, gráficos ou numéricos, são conhecidos como Estatística Descritiva.
GABARITO: E 
3. Uma variável estatística será qualitativa quando resultar de uma 
classificação por tipos ou atributos. 
Resolução 
A variável será qualitativa quando resultar de uma classificação por tipos ou 
atributos, como, por exemplo: 
c) População: moradores de uma cidade. 
Variável: sexo (masculino ou feminino). 
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d) População: peças produzidas por uma máquina. 
Variável: qualidade (perfeita ou defeituosa). 
Item certo. 
GABARITO: C 
4. Uma variável estatística será quantitativa quando seus valores forem 
expressos em números. 
Resolução 
Item certo. As variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas. Uma 
variável contínua é aquela cujos possíveis valores pertencem a um intervalo de 
números reais e que resulta de uma mensuração, como, por exemplo, a 
estatura de um indivíduo. Uma variável discreta é aquela cujos possíveis 
valores formam um conjunto finito ou enumerável de números, e que 
resultam, freqüentemente, de uma contagem. 
Exemplos de variáveis discretas: 
c) População: casais residentes em um distrito de uma cidade. 
Variável: número de filhos. 
d) População: carros produzidos em uma linha de montagem. 
Variável: número de defeitos por unidade. 
Exemplos de variáveis contínuas: 
c) População: detergentes de uma certa marca e tipo. 
Variável: peso líquido. 
d) População: peças produzidas por uma máquina. 
Variável: diâmetro externo. 
GABARITO: C 
5. O rol é um arranjo dos dados brutos. 
Resolução 
Um rol é um arranjo dos dados em ordem crescente ou decrescente. 
Assim, {10, 8, 20, 12, 15, 3, 2, 4} são dados brutos, ou seja, estão fora de 
ordem, e {2, 3, 4, 8, 10, 12, 15, 20} constituem o rol. 
Um arranjo dos dados brutos pode estar fora de ordem (crescente ou 
decrescente). Logo, o item está errado. 
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GABARITO: E 
6. Série estatística é toda tabela que apresenta um conjunto de dados 
estatísticos distribuídos em função da época, do local ou da espécie. 
Resolução 
A definição é correta. As séries estatísticas podem ser classificadas em 
• históricas; 
• geográficas; 
• específicas; e 
• distribuição de frequências. 
GABARITO: C 
7. (Analista da SUSEP/2006/ESAF) Para um conjunto determinado de 
números positivos temos: X como a média aritmética, G como a média 
geométrica e H como a média harmônica, podemos afirmar que 
A) X menor ou igual a G menor ou igual a H. 
B) G maior do que X maior do que H. 
C) X menor ou igual a H menor ou igual a G. 
D) H menor ou igual a G menor ou igual a X . 
E) H maior do que G maior do que X . 
Resolução 
A média geométrica (G) de um conjunto de números positivos n21 X,...,X,X é 
menor ou igual a média aritmética ( X ), mas é maior ou igual a média 
harmônica: 
.XGH ≤≤ 
A igualdade entre as médias ocorre quando todos os números n21 X,...,X,X são 
iguais. 
GABARITO: D 
8. (ATM-Recife/2003/ESAF) Em uma amostra para obter-se informações 
sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário 
médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para homens foi de R$ 
1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta: 
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A) O número de homens na amostra é igual ao número de mulheres. 
B) O número de homens na amostra é o dobro do número de mulheres. 
C) O número de homens na amostra é o triplo do número de mulheres. 
D) O número de mulheres na amostra é o dobro do número de homens. 
E) O número de homens na amostra é o quádruplo do número de mulheres. 
Resolução 
Dados fornecidos: 
- média salarial dos homens: HX = 1.300; 
- média salarial das Mulheres: MX = 1.100; 
- salário médio (média combinada) = MHX + = 1.200. 
Variáveis incógnitas: 
- NH: número de homens; 
- NM: número de mulheres. 
O que esta questão está cobrando? O que está por detrás das alternativas? 
Diríamos que a pergunta a ser respondida é a seguinte: 
⇒ Qual é a relação existente entre as variáveis NH e NM? 
Os dados fornecidos pela banca sugerem que a questão poderá ser resolvida 
através da aplicação da fórmula da média das médias (média global ou 
média combinada), a qual corresponde à média ponderada das médias 
salariais HX e MX . Não custa nada tentar, certo? Então vamos lá. 
200.1
NN
N100.1N300.1
NN
XNXNX
MH
MH
MH
MMHH
MH =+
+=+
+=+
1.300 NH + 1.100 NM = 1.200 NH + 1.200 NM 
100 NH = 100NM ⇒ NH = NM 
A nossa tentativa deu certo. Concluímos que o número de homens na amostra 
é igual ao número de mulheres (alternativa “A”). 
GABARITO: A 
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Classificação mínimo 1º quartil mediana média 3º quartil máximo variância 
A 20 25 27,5 30 32,5 50 49 
B 18 23 32 33 42 52 100 
A ou B x y z 31 w u v 
(Papiloscopista PF/2004/Cespe-UnB) De acordo com um levantamento 
estatístico, a média das idades de um grupo de presidiários é igual a 31 anos 
de idade. Nesse levantamento, os presidiários foram classificados como A ou B, 
dependendo da sua condição psicossocial. Constatou-se que a média das 
idades dos presidiários classificados como A é menor que a média das idades 
dos presidiários classificados como B. A tabela acima apresenta algumas 
medidas estatísticas obtidas por meio desse levantamento. 
A partir das informações acima, julgue os itens que se seguem. 
9. A moda das idades dos presidiários classificados como A, segundo a fórmula 
de Czuber, está entre 25,5 e 26 anos de idade. 
Resolução 
No caso de distribuições de frequência em classes de mesma amplitude, é 
comum definir-se a moda (mo) como um ponto pertencente à classe modal, 
dado por 
h
dd
dLmo
21
1
i ++= , 
em que iL é o limite inferior da classe modal, 1d é a diferença entre a 
frequência da classe modal e a da classe imediatamente anterior, 2d é a 
diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente 
seguinte e h é a amplitude das classes. 
Observe que os dados do levantamento estatístico não estão agrupados 
em intervalos de classe, ou seja, não temos acesso ao histograma 
correspondente. Portanto, a fórmula da moda segundo Czuber não pode ser 
aplicada ao item (o mesmo se aplica para a fórmula da moda segundo King). A 
conclusão de que “A moda das idades dos presidiários classificados como A, 
segundo a fórmula de Czuber, está entre 25,5 e 26 anos de idade” é um mero 
“chute”. 
GABARITO: E 
10. O número de presidiários classificados como A é igual ao dobro do número 
de presidiários classificados como B. 
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Resolução 
Dados: 30A = , 33B = . 
Média das médias ( X ): 
BA
BA
nn
BnAnX +
+= ⇒ 
BA
BA
nn
33n30n31 +
+= ⇒ BA n2n =
em que An e Bn denotam o número de presidiários classificados como A e o 
número de presidiários classificados como B, respectivamente. 
Logo, é correto afirmar que o número de presidiários classificados como A é 
igual ao dobro do número de presidiários classificados como B. 
GABARITO: C 
(Papiloscopista PF/2004/Cespe-UnB) O ser humano tem impressos
nos 
dedos das mãos pelo menos quatro desenhos diferentes. Embora pessoas 
diferentes tenham sempre digitais diferentes, esses desenhos formam padrões 
conhecidos como tipos fundamentais de impressões digitais. Há raras exceções 
a essa regra de classificação. Por isso, essa regra é utilizada para a 
identificação de uma pessoa. Um perito, observando os dedos indicadores 
direitos de 200 indivíduos, obteve a seguinte distribuição dos tipos 
fundamentais, segundo o gênero (homem/mulher). 
Tipo fundamental 
gênero arco presilha interna presilha externa verticilo total 
homem 15 15 35 35 100 
mulher 15 10 40 35 100 
No estudo desse perito, foram associados valores x, y e z para cada indivíduo, 
da seguinte maneira: x = 1, caso o tipo fundamental da impressão digital do 
indivíduo for verticilo e x = 0, caso contrário; y = 1 se o tipo fundamental da 
impressão digital do indivíduo for arco e y = 0, caso contrário; z = 1 se o 
indivíduo for mulher e z = 0 se for homem. Como resultado desse 
procedimento, formam-se três séries estatísticas, respectivamente, X, Y e Z, 
cada uma com duzentas observações. 
A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. 
11. A mediana de X é superior a 0,8. 
Resolução 
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O total de homens e mulheres com impressão digital verticilo é 70. Logo, 
sobram 200 – 70 = 130 homens e mulheres que não têm impressão digital 
verticilo. 
O rol da série x possui 130 zeros e 70 uns. Portanto, a mediana é zero (0), 
menor que 0,8. 
GABARITO: E 
12. A mediana do produto X × Z é menor que 0,025. 
Resolução 
Dados: 
- x = 1 se o tipo fundamental da impressão digital do indivíduo for verticilo; 
- x = 0 se o tipo fundamental da impressão digital do indivíduo NÃO for 
verticilo; 
- z = 1 se o indivíduo for mulher; e 
- z = 0 se o indivíduo for homem. 
A série W = X × Z registra as pessoas do gênero feminimo E com impressão 
digital verticilo. Neste caso, a série W tem 35 “uns” (xz = 1.1 = 1 se uma 
mulher tem impressão digital verticilo) e 200 – 35 = 165 “zeros” (xz = 0.z = 0 
se um homem ou mulher não tem impressão digital verticilo). 
Logo, a mediana de W é zero, menor que 0,025. 
GABARITO: C 
(Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para resolver as 
próximas duas questões, considere a tabela de frequências relativas abaixo, 
que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre 
determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. 
Sabe-se que: 
I – As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, 
sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais 
a x e y, respectivamente. 
II – A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é 
igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
desse intervalo). 
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Valores Arrecadados (R$) Frequências Relativas 
1.000,00 |---------- 2.000,00 0,10 
2.000,00 |---------- 3.000,00 x 
3.000,00 |---------- 4.000,00 y 
4.000,00 |---------- 5.000,00 0,20 
5.000,00 |---------- 6.000,00 0,10 
Total 1,00 
13. A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou 
iguais a R$ 3.000,00 é 
A) 70% 
B) 65% 
C) 55% 
D) 45% 
E) 40% 
Resolução 
Seja a tabela a seguir, em que xi denota o ponto médio da classe i, pi
representa a frequência relativa da classe i e Pi é a frequência acumulada da 
classe i. 
Classes (em R$ mil) xi pi Pi 
1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 
2,0 |--- 3,0 2,5 x 0,10 + x 
3,0 |--- 4,0 3,5 y 0,10 + x + y 
4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,30 + x + y 
5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 0,40 + x + y 
Total 1,00 
Temos duas frequências relativas incógnitas: x e y. Logo, precisaremos montar 
um sistema de duas equações a duas incógnitas para resolver x e y. 
O enunciado diz que 35,3x = (em R$ mil). Portanto, 
)10,05,5()20,05,4(y5,3x5,2)10,05,1(px35,3x
i
ii ×+×+++×=== ∑
35,355,090,0y5,3x5,215,0 =++++
75,1y5,3x5,2 =+ (1) 
Por outro lado, sabemos que 
1p
i
i =∑ ⇒ 00,140,0yx =++ ⇒ 60,0yx =+ (2) 
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Chegamos então ao sistema 
⎩⎨
⎧
=+
=+
60,0yx
75,1y5,3x5,2
Podemos resolver o sistema da seguinte forma: multiplique a equação (2) por 
-2,5 e some-a com a equação (1): 
-2,5x – 2,5y +2,5x + 3,5y = 1,75 – 1,50 
0x + 1,0y = 0,25 ⇒ y = 0,25 
Substituindo o valor de y em (2), tem-se que 
x + 0,25 = 0,60 ⇒ x = 0,60 – 0,25 = 0,35. 
Então a solução é: 35,0x = e 25,0y = . 
A versão final da tabela é: 
Classes (em R$ mil) xi pi Pi 
1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 
2,0 |--- 3,0 2,5 0,35 0,45 
3,0 |--- 4,0 3,5 0,25 0,70 
4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,90 
5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 1,00 
Total 1,00 
E a porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou 
iguais a R$ 3.000,00 é: 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 = 55%. 
GABARITO: C 
14. Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da 
respectiva mediana é 
A) R$ 3,120,00 
B) R$ 3,200,00 
C) R$ 3,400,00 
D) R$ 3,600,00 
E) R$ 3,800,00 
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Resolução 
Classes (em R$ mil) xi pi Pi 
1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 
2,0 |--- 3,0 2,5 0,35 0,45 
3,0 |--- 4,0 (classe da mediana) 3,5 0,25 0,70 
4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,90 
5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 1,00 
Total 1,00 
A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% 
menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. 
Fazendo a interpolação linear (regra de três), temos que: (4,0 – 3,0) = 1,0 
(amplitude da classe da mediana) está para X (amplitude na classe da 
mediana correspondente à mediana) assim como (70% – 45%) está (50% – 
45%): 
45,050,0
45,070,0
X
0,1
−
−= ⇒ 
05,0
25,0
X
0,1 = ⇒ 20,0
25,0
05,0X == 
Logo: md = 3,0 + 0,2 = R$ 3,2 mil. 
GABARITO: B 
15. (APOFP-SP/2009/ESAF) Determine a mediana das seguintes 
observações: 
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 
9 
A) 13,5 
B) 17 
C) 14,5 
D) 15,5 
E) 14 
Resolução 
A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n ímpar, é 
definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Se n for par, a 
mediana poderia ser definida como qualquer valor situado entre o de ordem 
n/2 e o de ordem (n/2)+1. Por simplificação, para n par, consideraremos a 
mediana como o valor médio entre os valores de ordem n/2 e (n/2)+1
do conjunto de dados 
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Total de elementos do conjunto = n = 23 (ímpar) 
Mediana (número ímpar de elementos) => Posição = (n+1)/2 = 24/4 = 12 
Vamos colocar os elementos do conjunto em ordem crescente: 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 
42 
Elemento na Posição 12 = 17 
GABARITO: B 
16. (ICMS-SP/2006/FCC) O histograma de frequências absolutas, abaixo, 
demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado 
tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada: 
Observação: Considere que todos
os intervalos de classe de histograma são 
fechados à esquerda e abertos à direita. 
Utilizando-se as informações contidas neste histograma, calculou-se a média 
aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da 
interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a 
mediana é igual a 
A) R$ 100,00 
B) R$ 400,00 
C) R$ 800,00 
D) R$ 900,00 
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E) R$ 1.000,00 
Resolução 
Quando os dados são apresentados em uma distribuição de freqüências, todos 
os valores incluídos num certo intervalo de classe são considerados 
coincidentes com o ponto médio do intervalo. Considere a tabela a seguir para 
o cálculo da média aritmética: 
Classe 
(em R$ mil) 
fi xi xifi 
1,0 - 2,0 200 1,5 300 
2,0 – 3,0 400 2,5 1.000 
3,0 – 4,0 500 3,5 1.750 
4,0 – 5,0 600 4,5 2.700 
5,0 – 6,0 300 5,5 1.650 
Total 2.000 7.400 
Então, 
70,3
000.2
400.7
n
fx
x ii === ∑ (em R$ mil). 
Aprendemos que a mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, 
deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores 
valores do outro lado. 
Considere a tabela abaixo (cálculo da mediana): 
Classe 
(em R$ mil) 
fi xi pi Pi 
1,0 - 2,0 200 1,5 200/2000=0,10 0,10 
2,0 – 3,0 400 2,5 400/2000=0,20 0,30 
3,0 – 4,0 500 3,5 500/2000=0,25 0,55 
4,0 – 5,0 600 4,5 600/2000=0,30 0,85 
5,0 – 6,0 300 5,5 300/2000=0,15 1,00 
Total 2.000 1,00 
Fazendo a interpolação linear (regra de três), temos que: (4,0 – 3,0) = 1,0 
(amplitude da classe da mediana) está para X (amplitude na classe da 
mediana correspondente à mediana) assim como (55% – 30%) está (50% – 
30%): 
30,050,0
30,055,0
X
0,1
−
−= ⇒ 
20,0
25,0
X
0,1 = ⇒ 80,0
5
4
25
20
25,0
20,0X ====
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Então, md = 3,0 + 0,8 = 3,8 (em R$ mil). 
Assim, 100|800.3700.3||mdx| =−=− . 
GABARITO: A 
(AFRF/2002/ESAF/Adaptada) Em um ensaio para o estudo da 
distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens 
de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. As próximas três questões referem-se a esses 
ensaios. 
Classes P (%)
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
17. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
A) 140,10 
B) 115,50 
C) 120,00 
D) 140,00 
E) 138,00 
Resolução 
Se k valores distintos observados k21 x,...,x,x ocorrerem com as freqüências 
relativas k21 p,...,p,p , respectivamente, a média será dada por 
∑
=
=
k
1j
jjpxx 
em que pj denota a j-ésima frequência relativa. 
Quando os dados são apresentados em uma distribuição de freqüências, todos 
os valores incluídos num certo intervalo de classe são considerados 
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coincidentes com o ponto médio do intervalo. A fórmula anterior será válida 
para esses dados agrupados quando se interpretar jx como o ponto médio e jp 
como a frequência relativa. 
Classe 
(limites 
reais) 
Pj pi xi xjpj 
70 � 90 0,05 0,05 (90+70)/2=80 4 
90 � 110 0,15 0,15�0,05=0,10 (110+90)/2=100 10 
110 � 130 0,40 0,40�0,15=0,25 (130+110)/2=120 30 
130 � 150 0,70 0,70�0,40=0,30 (150+130)/2=140 42 
150 � 170 0,85 0,85�0,70=0,15 (170+150)/2=160 24 
170 � 190 0,95 0,95�0,85=0,10 (190+170)/2=180 18 
190 � 210 1,00 1,00�0,95=0,05 (210+190)/2=200 10 
Soma 1,00 138 
Logo, 138pxx
k
1j
jj == ∑
=
, conforme a tabela acima. 
GABARITO: E 
18. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da 
distribuição de X. 
A) 138,00 
B) 140,00 
C) 136,67 
D) 139,01 
E) 140,66 
Resolução 
A mediana é o quinto decil. A mediana (md) de uma distribuição em classes 
de freqüências é dada pela expressão 
md
md
a
i hf
F)2/n(Lmd ×−+= , 
em que iL é o limite inferior da classe que contém a mediana, n é o número de 
elementos do conjunto de dados, aF é a soma das frequências das classes 
anteriores à que contém a mediana, mdf é a frequência da classe que contém a 
mediana e mdh é a amplitude da classe que contém a mediana. 
Seja a Tabela das freqüências (fj) e freqüências acumuladas (Fj) abaixo: 
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Classe 
(limites 
reais) 
pj fj Fj 
70 � 90 0,05 200 x 0,05 =10 10 
90 � 110 0,10 200 x 0,10 =20 10 + 20 = 30 
110 � 130 0,25 200 x 0,25 =50 30 + 50 = 80 
130 � 150 0,30 200 x 0,30 =60 80 + 60 = 140 
150 � 170 0,15 200 x 0,15 =30 140 + 30 = 170 
170 � 190 0,10 200 x 0,10 =20 170 + 20 = 190 
190 � 210 0,05 200 x 0,05 =10 190 + 20 = 200 
Soma 1,00 200 = n 
Temos que: 200n = , 130Li = , 80Fa = , 60fmd = e 20hmd =
Então, 67,13620
60
80)2/200(130md ≈×−+= . 
GABARITO: C 
19. Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de 
observações de X menores ou iguais a 145. 
A) 62,5% 
B) 70,0% 
C) 50,0% 
D) 45,0% 
E) 53,4% 
Resolução 
A questão cobra o cálculo da estimativa da freqüência relativa de observações 
de X menores ou iguais a 145, ou seja, o cálculo da frequência relativa 
acumulada até X = 145. 
Considere a tabela a seguir: 
Classes f 
70-90 10 
90-110 20 
110-130 50 
130-150 60 
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A amplitude da classe em que está situado o valor X = 145 é (150 – 130) = 
20. 
Seja a sub-classe (130, 145) com frequência a determinar Δ (X é o extremo 
superior desta sub-classe). 
Podemos determinar a frequência Δ da sub-classe (130, 145), cuja amplitude é 
(145 – 130) = 15, através da seguinte interpolação (regra de três): 
20 está para 60
assim como 
15 está para Δ 
ou 
Δ↔
↔
15
6020
 
Multiplicando em “xis” a regra de três acima, obtemos 
20 x Δ = 15 x 60 
Δ = 45 
A tabela a seguir mostra que a frequência acumulada até X = 145 é 125. 
Classes f 
70-90 10 
90-110 20 
110-130 50 
130-145 45 
Soma F=125 
Finalmente, a frequência relativa acumulada (P) até X = 145 é dada por 
P = F/n = 125/200 = 0,625 = 62,5% 
GABARITO: A 
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20. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do 
número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média 
geométrica simples dessa amostra é 
A) 2,25. 
B) 1,75. 
C) 2. 
D) 2,4 
E) 2,5 
Resolução 
MÉDIA GEOMÉTRICA 
( ) 222222242x 4/1444g ==×××=××=
GABARITO: C 
21. (Técnico Administrativo/BNDES/2010/CESGRANRIO) Dez mulheres 
adultas foram submetidas a uma pesquisa. A cada uma delas perguntou-se: 
“Quantos filhos você tem?”. O entrevistador foi anotando cada uma
das 
respostas na ordem em que foram obtidas. No entanto, devido à pressa, 
esqueceu-se de registrar uma das respostas. A listagem abaixo reproduz as 
respostas dadas, na ordem em que foram registradas. 
2 0 3 1 1 0 1 4 1 
A partir das informações acima, analise as afirmativas a seguir. 
I - A moda das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da 
resposta não registrada. 
II - A mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres depende da 
resposta não registrada. 
III - A média das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da 
resposta não registrada. 
Está correto APENAS o que se afirma em 
A) I. 
B) II. 
C) III. 
D) I e II. 
E) II e III. 
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Resolução 
ANÁLISE DAS AFIRMATIVAS 
I – A observação de maior frequência (moda) possível é forçosamente o valor 
“1”, haja vista que poderá ocorrer até 5 vezes (estamos assumindo que a 
resposta não registrada tenha sido um filho). Caso a reposta não registrada 
tenha sido zero filho, então o valor “0” poderá ocorrer 3 vezes, e assim 
sucessivamente para os demais valores. Desta maneira, a moda das 
quantidades de filhos das dez mulheres é o valor 1, independentemente da 
resposta não registrada. Afirmativa correta. 
II – Temos uma distribuição de frequências sem intervalos de classe. Neste 
caso, basta identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à 
metade da soma das freqüências, que é igual a 5 nesta questão, pois há 10 
mulheres. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal 
freqüência acumulada. Para responder se a mediana das quantidades de filhos 
das dez mulheres depende ou não da resposta não registrada, faremos uma 
análise exaustiva de várias hipóteses: 
• Hipótese 1: três mulheres responderam que têm zero filho; 
• Hipótese 2: cinco mulheres responderam que têm 1 filho; 
• Hipótese 3: duas mulheres responderam que têm 2 filhos; e 
• Assim sucessivamente. 
Hipótese 1: 3 mulheres responderam que têm 0 filho. 
No de 
filhos 
Freq. Freq. 
Acumulada
0 3 3 
1 4 7 
2 1 8 
3 1 9 
4 1 10 
Soma 10 
mediana 
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Hipótese 2: 5 mulheres responderam que têm 1 filho. 
No de 
filhos 
Freq. Freq. 
Acumulada
0 2 2 
1 5 7 
2 1 8 
3 1 9 
4 1 10 
Soma 10 
Hipótese 3: 2 mulheres responderam que têm 2 filhos. 
No de 
filhos 
Freq. Freq. 
Acumulada
0 2 2 
1 4 6 
2 2 8 
3 1 9 
4 1 10 
Soma 10 
Hipótese 4: 2 mulheres responderam que têm 3 filhos. 
No de 
filhos 
Freq. Freq. 
Acumulada
0 2 2 
1 4 6 
2 1 7 
3 2 9 
4 1 10 
Soma 10 
Hipótese 5: 2 mulheres responderam que têm 4 filhos. 
No de 
filhos 
Freq. Freq. 
Acumulada
0 2 2 
1 4 6 
2 1 7 
3 1 8 
4 2 10 
Soma 10 
mediana 
mediana 
mediana 
mediana 
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Hipótese 6: 1 mulher respondeu que têm 5 ou mais filhos. 
No de 
filhos 
Freq. Freq. 
Acumulada
0 2 2 
1 4 6 
2 1 7 
3 1 8 
4 1 9 
5 ou mais 1 10 
Soma 10 
Observe que a mediana é igual a 1 para todos os casos. Portanto, a mediana 
das quantidades de filhos dessas dez mulheres INDEPENDE da resposta não 
registrada. Afirmativa incorreta. 
III - Calcule a média considerando a hipótese 1 (3 mulheres responderam que 
têm 0 filho): 
3,1
10
13
10
4324
10
)14()13()12()41()30(x ==+++=×+×+×+×+×= . 
Agora, calcule a média considerando a hipótese 2 (5 mulheres responderam 
que têm 1 filho): 
4,1
10
14
10
4325
10
)14()13()12()51()20(x ==+++=×+×+×+×+×= . 
Constatamos que a média das quantidades de filhos das dez mulheres 
DEPENDE da resposta não registrada. Afirmativa incorreta. 
GABARITO: A 
22. (AFTE-RO/2010/FCC) Em uma cidade é realizado um levantamento 
referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no período de 
um mês. Analisando os documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis de 
valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as 
colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes. 
mediana 
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Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da 
A) média aritmética é igual ao valor da mediana.. 
B) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. 
C) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. 
D) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00. 
E) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. 
Resolução 
Valor Freq.
Freq. 
Acumulada
Valor x Freq 
500 30 30 15.000 
1.000 50 80 50.000 
1.500 60 140 90.000 
2.000 30 170 60.000 
2.500 20 190 50.000 
3.000 10 200 30.000 
Soma 200 295.000 
Temos que: 
• Moda = 1.500 (valor mais frequente) 
• Média = 295.000/200 = 1.475 
• Mediana (*) = 1.500 = Média + 25 ⇒ alternativa D. 
(*) Lembre do procedimento de cálculo da mediana para uma distribuição de 
frequências sem intervalos de classe. Você deverá identificar a freqüência 
acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências, cujo 
valor é 100, uma vez que a soma das frequências dá 200. Na tabela acima, a 
frequência acumulada para o valor 1.500 é 140, valor imediatamente superior 
a 100. 
mediana 
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GABARITO: D 
23. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2010/Cesgranrio) Uma loja de 
conveniência localizada em um posto de combustível realizou um levantamento 
sobre o valor das compras realizadas pelos seus clientes. Para tal tomou uma 
amostra aleatória de 21 compras, que apresentou, em reais, o seguinte 
resultado: 
Índice Valor Índice Valor Índice Valor 
1 19,40 8 22,00 15 18,00 
2 14,00 9 34,00 16 29,00 
3 18,30 10 15,50 17 34,00 
4 27,20 11 28,50 18 15,50 
5 8,70 12 34,00 19 13,40 
6 10,30 13 10,80 20 17,00 
7 7,20 14 15,50 21 19,00 
A mediana dessa série de observações é 
(A)15,50 
(B) 18,00 
(C) 18,30 
(D) 28,50 
(E)34,00 
Resolução 
A mediana é o valor que ocupa a posição central da série de 
observações, quando estão ordenadas em ordem crescente. Assim, se 
as observações forem 3, 4, 7, 8 e 8, a mediana é o valor 7, correspondendo à 
terceira observação. Quando o número de observações for par, usa-se como 
mediana a média aritmética das duas observações centrais. Acrescentando-se 
o valor 9 à série acima, a mediana será (7 + 8)/2 = 7,5. 
Para a presente questão, temos a seguinte série ordenada em ordem crescente 
de valores: 
 ⇒ {7,20 8,70 10,30 10,80 13,40 14,00 15,50 15,50 15,50 17,00 18,00 18,30 
19,00 19,40 22,00 27,20 28,50 29,00 34,00 34,00 34,00} 
Observe que o valor 18,00 corresponde à 11a observação do conjunto de 
dados (posição central). Logo, a mediana da série dada é 18,00. 
GABARITO: B 
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24. (Administrador Jr – REFAP/2007/Cesgranrio) O gráfico de setores 
abaixo representa a distribuição de freqüências relativas dos salários de uma 
empresa, em salários mínimos. Não existem observações
coincidentes com os 
extremos das classes 
O primeiro e o terceiro quartis da distribuição, respectivamente, valem: 
A) 2,25 e 4,00 
B) 2,25 e 5,75 
C) 4,00 e 2,25 
D) 4,00 e 5,75 
E) 5,75 e 12,00 
Resolução 
Os quartis (Q1, Q2, Q3) dividem a distribuição de frequências em quatro 
subconjuntos com igual número de elementos. O primeiro quartil (Q1) ou 
quartil inferior (Qi) delimita os 25% menores valores; o segundo quartil é a 
própria mediana e o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior (Qs) é o valor que 
separa os 25% maiores valores. 
Podemos resolver a questão de uma forma "maceteada", sem fazer uma conta, 
se mapearmos o gráfico de setores fornecido pelo enunciado em um 
histograma, como ilustrado pela figura a seguir. O histograma abaixo 
representa a distribuição de frequências dos salários da empresa. 
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Primeiramente, observe que, se 40% dos colaboradores da empresa ganham 
salários na faixa de 1 a 3 salários mínimos, então os 25% menores salários 
devem estar na faixa de 1 a 3 salários mínimos. Logo, o primeiro quartil (Q1) é 
um número entre 1 e 3. Concorda? Esta constatação elimina as opções C, D e 
E. Sobraram apenas as alternativas A e B. Isto quer dizer que Q1= 2,25. 
Analisemos a opção A. Ela afirma que Q3 = 4,00. Será que isto é verdade? 
Vamos conferir. Se 30% dos colaboradores estão na faixa de 3 a 5 salários 
mínimos, então 15% das pessoas estão na faixa de 3 a 4 salários mínimos (fiz 
uma regra de três "de cabeça"). Então, 40% + 15% = 55% dos colaboradores 
ganham menos de 4 salários mínimos, ou, dito de outra forma, 100% − 55% = 
45% ganham pelo menos 4 salários mínimos. Como o terceiro quartil (Q3) ou 
quartil superior (Qs) é o valor que separa os 25% maiores valores, temos que 
a opção A é falsa. Sobrou apenas a alternativa B! Portanto, Q3 = 5,75. A figura 
abaixo ilustra a posição de Q1 e Q3 na distribuição da questão. 
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GABARITO: B 
Considere as asserções a seguir. 
25. (Analista C&T Jr - Estatística/CAPES/2008/Cesgranrio) 
A moda de um conjunto de observações é sempre um dos valores observados. 
PORQUE 
A moda é uma medida de posição de um conjunto de observações. 
Analisando-se as asserções, conclui-se que 
A) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta 
da primeira. 
B) as duas asserções são verdadeiras, e a segunda não é uma justificativa 
correta da primeira 
C) a primeira asserção é verdadeira, e a segunda é falsa. 
D) a primeira asserção é falsa, e a segunda é verdadeira. 
E) a primeira e a segunda asserções são falsas. 
Resolução 
Análise das asserções 
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Analisemos primeiramente a segunda asserção: "A moda é uma medida de 
posição de um conjunto de observações". Ela é verdadeira, conforme visto 
nesta aula. 
Passemos à avaliação primeira asserção: "A moda de um conjunto de 
observações é sempre um dos valores observados". Considere a seguinte série 
estatística: 4, 7, 5, 7, 10, 2, 12, 8, 7, 5, 2, 10, 8, 11, 7, 3, 9, 6, 8, 5, 8, 2, 5. 
Organizando os dados em ordem crescente: 
2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12 
Observe que na série o valor 2 ocorre 3 vezes, o 5 ocorre 4 vezes, o 7 ocorre 
4 vezes, o 8 ocorre 4 vezes e o 10 ocorre 2 vezes. 
Logo a série é trimodal, pois há 3 valores modais: 5, 7, e 8. 
Considere outra série estatística: 2, 3, 5, 6, 7, 9, 14, 15. Qual seria o valor 
modal dessa série? A resposta correta é a seguinte: a série é amodal, ou seja, 
não tem valor modal, uma vez que todas as observações ocorrem o mesmo 
número de vezes. 
Os exemplos dados indicam que a moda não é sempre um dos valores 
observados. Podem ser 0, 2, 3 etc. Concluímos que a primeira asserção é 
falsa. A opção correta é a D. 
GABARITO: D 
(Analista C&T Jr - Estatística/CAPES/2008/Cesgranrio/Adaptada) 
Responda à próxima questão com base nos resultados das Avaliações Trienais 
de 2004 e 2007 realizadas pela Capes nos cursos de pós-graduação do país 
apresentados na tabela a seguir. 
26. O conceito médio na Avaliação Trienal de 2004 é 
A) 3,0 
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B) 5,5 
C) 4,5 
D) 5,0 
E) 4,0 
Resolução 
O conceito médio de 2004 deve ser calculado de acordo com a seguinte 
fórmula: 
0,4
256.2
)762()6145()5476()4677()3896(x ≈×+×+×+×+×= ⇒ opção E. 
GABARITO: E 
Com relação a estatística, julgue o item a seguir. 
27. (Papiloscopista da PF/2012/CESPE-UnB) Ao contrário da mediana 
amostral, a média aritmética é menos sensível à presença de valores extremos 
(ou valores atípicos ou outliers). 
Resolução 
Primeiramente, façamos uma breve revisão conceitual. 
As medidas de posição de tendência central são: média aritmética, 
moda e mediana. 
A mediana, os quartis, os decis e os percentis são as medidas 
separatrizes. 
Conclui-se que a mediana é, ao mesmo tempo, uma medida de posição e 
uma medida separatriz. 
As medidas de tendência central também são chamadas de promédios. 
Essa denominação é dada porque os dados observados tendem a agrupar-se 
em torno dos valores centrais da distribuição de frequências. Outros promédios 
menos utilizados são a média geométrica e a média harmônica. 
A mediana é conveniente para séries estatísticas onde existem valores 
extremos (ou valores atípicos ou outliers), em que valores grandes e pequenos 
coexistem dentro da mesma série. Para esses casos, a mediana caracteriza o 
promédio mais confiável. Por outro lado, a média aritmética é mais 
sensível à presença de valores extremos do que a mediana. 
Item errado. 
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GABARITO: E 
28. (Estatístico/MI-CENAD/2012/ESAF) A distribuição de frequências em 
classes do salário mensal x, medido em número de salários mínimos, de uma 
amostra aleatória de 50 funcionários de uma empresa, é apresentado a seguir. 
x f 
mais de 0 a 10 22 
mais de 10 a 20 13 
mais de 20 a 30 10 
mais de 30 a 40 3 
mais de 40 a 50 2 
Usando o ponto médio como representativo da classe, determine o valor mais 
próximo da média amostral do salário mensal. 
A) 14,5 
B) 15,0 
C) 15,8 
D) 16,1 
E) 16,5 
Resolução 
ponto médio da 
classe 
f 
5 22 
15 13 
25 10 
35 3 
45 2 
Soma das 
frequências 
50 
Média aritmética: 
0,15
50
750
50
)245()335()1025()1315()225(x ==×+×+×+×+×=
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GABARITO: B 
29. (Estatístico/MI-CENAD/2012/ESAF) Determine o valor mais próximo 
da mediana do salário mensal da distribuição de frequências apresentada na 
Questão 28, interpolando linearmente dentro das classes, se necessário. 
A) 15 
B) 14,3 
C) 13,7 
D) 12,3 
E) 7,3 
Resolução 
A frequência acumulada até a mediana é igual a metade da soma das 
frequências. Para esta questão, a frequência acumulada até a mediana é 25. 
A tabela a seguir mostra que a frequência acumulada até x
= 10 é 22 e que a 
a frequência acumulada até x = 20 é 35. Logo, a mediana está situada no 
intervalo (10,20). 
x f fac 
mais de 0 a 10 22 22 
mais de 10 a 20 13 35 
mais de 20 a 30 10 45 
mais de 30 a 40 3 48 
mais de 40 a 50 2 50 
Soma das 
frequências 
50 – 
A mediana será obtida por meio de uma interpolação linear dentro da classe da 
mediana (regra de três): 
(Md – 10) está para (25 – 22) 
assim como 
(20 – 10) está para (35 – 22) 
2235
1020
2225
10Md
−
−=−
−
classe da 
mediana 
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13
10
3
10Md =−
30)10Md(13 =−
3,1213/160Md160Md1330130Md13 ≈=⇒=⇒=−
GABARITO: D 
30. (Analista/IRB/2005-2006/ESAF) No campo estatístico, ogivas são: 
A) polígonos de freqüência acumulada. 
B) polígonos de freqüência acumulada relativa ou percentual. 
C) histograma de distribuição de freqüência. 
D) histograma de distribuição de freqüência relativa ou percentual. 
E) o equivalente à amplitude do intervalo. 
Resolução 
Variáveis contínuas podem ser representadas por um polígono de 
frequências, que é obtido unindo-se os pontos médios dos patamares do 
histograma. A figura a seguir ilustra o polígono de frequências (linha azul) 
associado a um dado histograma (linha preta). 
10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
0
1
2
3
4
5
6
7
x
f
A figura a seguir mostra os gráficos das frequências relativas acumuladas 
(linha preta) e do polígono de frequências relativas acumuladas ou 
ogivas percentuais (linha azul) relativos ao histograma anterior. 
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10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
P
No campo estatístico, ogivas são polígonos de freqüência acumulada
(opção A). 
Não confunda as ogivas percentuais, que são polígonos de freqüências 
relativas acumuladas, com as ogivas, que são polígonos de freqüências 
acumuladas. 
GABARITO: A 
31. (Analista/IRB/2005-2006/ESAF) Histograma e Polígono de freqüência 
são 
A) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de 
freqüência. 
B) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de 
freqüência. 
C) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de freqüência. 
D) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência. 
E) duas representações gráficas de uma distribuição de freqüência, porém com 
sentidos opostos. 
Resolução 
Histograma é um gráfico que representa as distribuições de frequência, isto 
é, os dados agrupados em classe, onde cada classe é representada por um 
retângulo vertical, disposto de forma contígua aos demais. As bases dos 
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triângulos correspondem aos limites das classes (limites inferior e superior) e 
as alturas são as freqüências, absolutas ou relativas, de cada classe. 
O Polígono de Freqüências corresponde ao gráfico construído pela união dos 
pontos médios das bases superiores dos retângulos de um histograma. 
Portanto, histograma e polígono de freqüência são duas 
representações gráficas de uma distribuição de freqüência. 
GABARITO: D 
32. (Técnico de Defesa Aérea e Controle de Tráfego Aéreo – Área: 
Estatística/2009/Cesgranrio) As informações contidas nos dois 
histogramas se referem à distribuição dos salários dos funcionários de uma 
empresa, segundo a classificação dos funcionários em sênior e master. 
As estimativas da média salarial do grupo sênior e da mediana salarial do 
grupo dos master são, em salários mínimos, respectivamente, 
(A) 14,5 e 17,00 
(B) 14,9 e 17,00 
(C) 14,9 e 17,25 
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(D) 14,9 e 17,40 
(E) 17,2 e 17,25 
Resolução 
Média salarial do grupo sênior: 
Média = Σ fclasse i.xi 
em que xi denota o ponto médio da classe i e fclasse i é a frequência relativa da 
classe i. 
Média = (0,30 x 13) + (0,50 x 15) + (0,15 x 17) + (0,05 x 19) 
Média = 3,90 + 7,50 + 2,55 + 0,95 = 14,90 
Mediana salarial do grupo master: 
Note que a frequência acumulada até 16 salários é 25% e que a frequência 
acumulada até 18 salários é (25% + 40%) = 65%. Logo, a mediana está na 
classe 16 – 18. A mediana pode ser calculada pela seguinte regra de três: 
(18 – 16) está para 40% 
assim como 
x está para 25% 
25,04,0
2 x= ⇒ 
25,0
x
4,0
2 = ⇒ 25,1
4
5
20
25
20,0
25,0
40,0
25,02x ====×=
Mediana = 16 + 1,25 = 17,25 
GABARITO: C 
Variável X Frequência relativa 
0 0,10 
1 0,20 
2 0,30 
3 0,40 
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(SEAD-CPC/2007/Cespe-UnB/Adaptada) Considerando a tabela acima, 
que apresenta as freqüências relativas de uma variável X, relativa a uma 
contagem, julgue os itens a seguir. 
33. A média de X é inferior a 1,5. 
Resolução 
∑= iipXX , em que pi denota a frequência relativa de Xi. 
0,22,16,02,00)40,03()30,02()20,01()10,00(X =+++=×+×+×+×= ⇒ superior a 1,5. 
Item errado. 
GABARITO: E 
34. A moda e a mediana de X são iguais a 3. 
Resolução 
Variável X Frequência relativa Frequência relativa acumulada 
0 0,10 0,10 
1 0,20 0,30 
2 0,30 0,60 
3 0,40 1,00 
O valor de maior frequência é 3,0 ⇒ moda = 3. 
A mediana é 2, haja vista que a frequência acumulada até X=1 é 30% e até 
X=2 é 60%. 
Item errado. 
GABARITO: E 
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(AFTE-RS/2009/Fundatec) A tabela a seguir representa a distribuição de 
frequências da idade de uma amostra de moradores de um asilo. Utilize para 
resolver as questões 35 e 36. 
Xi fi 
70 |-- 74 7 
74 |-- 78 19 
78 |-- 82 13 
82 |-- 86 11 
86 |-- 90 6 
90 |-- 94 4 
Total 60 
35. A idade aproximada da mediana é 
A) 78,22. 
B) 80,00. 
C) 79,38. 
D) 78,55. 
E) 79,23. 
Resolução 
A tabela abaixo mostra que a soma das frequências é 60 e que a frequência 
acumulada até a idade X = 82 é 39. Sabemos que a frequência acumulada 
até a mediana é igual a metade da soma das frequências, ou seja, a 
frequência acumulada até a mediana é igual a 60/2 = 30. Como a frequência 
acumulada até a idade X = 78 é 26 (menor que 30), temos que a mediana 
está situada na classe 78 |-- 82. 
Xi fi fac 
70 |-- 74 7 7 
74 |-- 78 19 26 
78 |-- 82 13 39 
82 |-- 86 11 50 
86 |-- 90 6 56 
90 |-- 94 4 60 
Total 60 
classe da 
mediana 
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A mediana será obtida por meio de uma interpolação linear dentro da classe da 
mediana (regra de três): 
(Md – 78) está para (30 – 26) 
assim como 
(82 – 78) está para (39 – 26) 
2639
7882
2630
78Md
−
−=−
−
13
4
4
78Md =−
16)78Md(13 =−
23,79Md030.1Md1316014.1Md13 =⇒=⇒=−
GABARITO: E 
36. O valor da moda pelo método de King é 
A) 72,8. 
B) 76,6. 
C) 80,0.
D) 76,0. 
E) 19,0. 
Resolução 
A moda de uma distribuição é o valor que ocorre com a maior 
frequência. A tabela a seguir mostra que a frequência é máxima na classe 
modal é 74 |-- 78. 
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Xi fi fac 
70 |-- 74 7 7 
74 |-- 78 19 26 
78 |-- 82 13 39 
82 |-- 86 11 50 
86 |-- 90 6 56 
90 |-- 94 4 60 
Total 60 
Fórmula da moda pelo método de King: 
6,766,274
713
13474
fantfpost
fposthLMo i =+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++⎟ =⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++=
em que Li = 74 denota o limite inferior da classe modal, fpost = 13 é a 
frequência da classe posterior à classe modal, fant = 7 é a frequência da classe 
anterior à classe modal e h = 78 – 74 = 4 é a amplitude da classe modal. 
Vamos relembrar como a moda é calculada pela fórmula de Czuber? 
7,7667,274
612
12474
dd
dhLMo
21
1
i ≈+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++⎟ =⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++=
em que d1 = 19 – 7 = 12 é a diferença entre a frequência da classe modal e a 
da classe imediatamente anterior e d2 = 19 – 13 = 6 é a diferença entre a 
frequência da classe modal e a da classe imediatamente posterior. 
Note que os resultados pelos dois métodos são aproximadamente iguais (como 
era de se esperar!). 
Ressaltamos que o cálculo da moda deve ser efetuado pela fórmula de Czuber 
caso a questão da prova não especifique o método a ser utilizado. 
GABARITO: B 
classe da 
moda 
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37. (Administrador(a) Júnior Petrobrás/2011/Cesgranrio) No 
histograma acima, os pontos médios das classes inicial e final são 40 e 80, 
respectivamente. Sabendo-se que todas as classes têm a mesma amplitude, a 
estimativa adequada para a média e para a mediana dessa distribuição são, 
respectivamente, 
(A) 59,5 e 59,5 
(B) 59,5 e 60 
(C) 60 e59 
(D) 60 e 59,5 
(E) 60 e60 
Resolução 
Observe que a amplitude das classes é igual a 10. A tabela a seguir ilustra a 
distribuição dos dados em classes de frequência. 
Classe 
ponto médio 
(Xi,médio)
fi fac 
35 |-- 45 40 1 1 
45 |-- 55 50 6 7 
55 |-- 65 60 10 17 
65 |-- 75 70 4 21 
75 |-- 85 80 2 23 
Total 23 
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Cálculo da média 
Média = X = Σi (Xi,médio.fi)/Σi fi 
60
23
380.1
241061
)280()470()1060()650()140(X ==++++
×+×+×+×+×=
Cálculo da mediana 
A soma das frequências é 23. Portanto, a frequência acumulada até a mediana 
é dada por 23/2 = 11,5. Conclui-se que a mediana está na classe 55 |-- 65, 
haja vista que a frequência acumulada até a classe anterior é 7, menor que 
11,5. 
A mediana (md) é calculada pela seguinte regra de três: 
(md – 55) está para (11,5 – 7) 
assim como 
(65 – 55) está para (17 – 7) 
717
5565
75,11
55md
−
−=−
− ⇒ 5,410)55md(10 ×=− ⇒ 5,455md =− ⇒ 5,59md = 
GABARITO: D 
38. (Técnico Adm. Saúde/SEARH-SESAP-RN/2008/Consulplan) A 
medida de posição mais usada é a média aritmética e a principal desvantagem 
da média com relação a mediana é: 
(A) Seu estimador X , ser viciado. 
(B) Apresentar valor sempre maior que a mediana. 
(C) Não ser influenciado por todos os valores da amostra. 
(D) Seu estimador X , ter variância mínima. 
(E) Ser influenciado por valores extremos. 
Resolução 
A média aritmética é influenciada pelos valores extremos da 
distribuição. Esta é a principal desvantagem da média aritmética com relação 
à mediana (opção E). 
Não é correto afirmar que a principal desvantagem da média com relação a 
mediana é 
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“Apresentar valor sempre maior que a mediana.” (opção B) 
pois a média pode ser menor que a mediana. Também não é correto afirmar 
que a principal desvantagem da média com relação a mediana é 
“Não ser influenciado por todos os valores da amostra.” (opção C) 
porque tanto a média como a mediana são influenciadas por todos os valores 
da amostra. 
Por ora, não fique preocupado em entender as afirmativas das opções A e D, 
pois trata-se de matéria a ser dada nas aulas sobre inferência estatística. 
GABARITO: E 
39. (Técnico Adm. Saúde/SEARH-SESAP-RN/2008/Consulplan) Um 
estudo buscou localizar o ganho de peso de mulheres grávidas entre o 3o e 8o
mês de gestação com acompanhamento pré-natal na rede estadual de saúde, 
apresentado através do histograma abaixo: 
Com base no gráfico, calcule a média do ganho de peso das gestantes: 
(A) 6,0 Kg 
(B) 6,2 Kg 
(C) 6,4 Kg 
(D) 6,6 Kg 
(E) 6,8 Kg 
Resolução 
A tabela a seguir ilustra a distribuição dos dados em classes de frequência. 
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Classe 
ponto médio 
(Xi,médio) 
fi fac 
3 |-- 5 4 25 25 
5 |-- 7 6 40 65 
7 |-- 9 8 25 90 
9 |-- 11 10 10 100 
Total 100 
Cálculo da média 
Média = X = Σi (Xi,médio.fi)/Σi fi 
4,6
100
640
10254025
)1010()258()406()254(X ==+++
×+×+×+×=
GABARITO: C 
40. (Técnico Adm. Saúde/SEARH-SESAP-RN/2008/Consulplan) Uma 
certa montadora de automóveis afirma que seu novo modelo tem um consumo 
médio urbano superior a 14Km/L; foram realizados 100 testes, apresentados 
na tabela abaixo: 
Consumo Frequência absoluta 
[10 – 12) 30 
[12 – 14) 20 
[14 – 16) 25 
[16 – 18) 25 
Total 
Com base nas informações anteriores, assinale a medida de posição que 
apresenta melhor resultado para a montadora: 
(A) A média, cujo valor é dado por 14 Km/L. 
(B) A mediana, cujo valor é dado por 14 Km/L. 
(C) A moda, cujo valor é dado por 14 Km/L. 
(D) A média, cujo valor é dado por 13,9 Km/L. 
(E) A mediana, cujo valor é dado por 13,9 Km/L. 
Resolução 
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A montadora afirma que seu novo modelo tem um consumo médio urbano 
superior a 14Km/L. Não sabemos, a princípio, qual medida de posição de 
tendência central foi utilizada na estatística do consumo médio. Será 
necessário calcular a média, a moda e a mediana para dar a resposta. A tabela 
a seguir mostra a distribuição dos dados em classes de frequência. 
Consumo 
ponto 
médio 
(Xi,médio) 
Frequência 
absoluta 
Frequência 
acumulada 
[10 – 12) 11 30 30 
[12 – 14) 13 20 50 
[14 – 16) 15 25 75 
[16 – 18) 17 25 100 
Total 100 
Cálculo da média: 
Média = X = Σi (Xi,médio.fi)/Σi fi 
90,13
100
390.1
25252030
)2517()2515()2013()3011(X ==+++
×+×+×+×= Km/L 
Cálculo da mediana: 
Observe que a frequência acumulada até x = 14 Km/L é 50, sendo este valor 
igual a metade da soma das frequências das classes. Logo, a mediana é 14 
Km/L. Observe que a mediana é superior à média. Por enquanto, a medida 
de posição que apresenta melhor resultado para a montadora é a mediana. 
Cálculo da moda: 
A classe [10 – 12) possui a maior frequência absoluta (=30). Logo, a moda 
está localizada nesta classe. Não é necessário calcular a moda, pois o extremo 
superior da classe modal (12 Km/L) é menor do que a média aritmética. 
Conclui-se que a medida de posição que apresenta melhor resultado para a 
montadora é a mediana.
GABARITO: B 
(Auxiliar de Estatística – Pref. Caratinga/2005/Consulplan/Adaptada)
A Prefeitura Municipal de Caratinga necessitando conhecer o rendimento e 
efetuar estatísticas, realizou um teste aplicado aos servidores do 
Departamento de Recursos Humanos. No teste havia 20 (vinte) questões 
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objetivas de múltipla escolha, tendo os 20 (vinte) servidores participantes do 
teste obtido as seguintes pontuações: 
04 servidores → 04 acertos 
02 servidores → 06 acertos 
03 servidores → 08 acertos 
04 servidores → 12 acertos 
02 servidores → 14 acertos 
05 servidores → 17 acertos 
Com base na situação apresentada, responda as questões 41, 42 e 43. 
41. O valor individual mais freqüente da série apresentada é o seguinte 
número de acertos: 
(A) 17 
(B) 14 
(C) 12 
(D) 8 
(E) 6 
Resolução 
A tabela a seguir mostra que a moda da série é 17, que corresponde ao 
valor individual mais freqüente da série apresentada. 
Xi (no de acertos) fi (no de servidores) 
4 4 
6 2 
8 3 
12 4 
14 2 
17 5 
Total 20 
GABARITO: A 
42. A média aritmética da série é igual a: 
(A) 20 
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(B) 3,05 
(C) 10,65 
(D) 12 
(E) 11 
Resolução 
Cálculo da média: 
Média = X = Σi Xi.fi / Σi fi 
65,10
20
213
524324
)517()214()412()38()26()44(X ==+++++
×+×+×+×+×+×= Km/L 
GABARITO: C 
43. A amostra utilizada para conhecer o rendimento e efetuar as estatísticas 
no Departamento de Recursos Humanos da Prefeitura Municipal de Caratinga é 
igual a quantos elementos? 
(A) 4 
(B) 6 
(C) 14 
(D) 17 
(E) 20 
Resolução 
O enunciado afirma que 20 (vinte) servidores participaram do teste. Logo, a 
amostra tem 20 elementos. 
GABARITO: E 
44. (Agente Fiscal de Rendas SP/2006/FCC). Considerando as respectivas 
definições e propriedades relacionadas às medidas de posição e de 
variabilidade, é correto afirmar: 
A) Concedendo-se um reajuste de 10% em todos os salários de uma empresa, 
tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10. 
B) Definindo-se coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da 
divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) 
de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido 
dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média aritmética. 
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C) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, 
tem-se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do 
desvio padrão dos valores anteriores. 
D) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente 
positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2. 
E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana 
e a moda é sempre diferente de zero. 
Resolução 
Análise das alternativas: 
A) Primeiramente, aproveitaremos a oportunidade para demonstrar que a 
variância é dada pela diferença entre a Média dos Quadrados e o Quadrado da 
Média. 
n
nxxx2
n
1x
n
1)xxx2x(
n
1)xx(
n
1s
2n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2
i
n
1i
2
i
2
x +−=+−=−= ∑∑∑∑
====
2n
1i
i
n
1i
2
i
2
n
1i
2
i
22
n
1i
2
i
2
x xn
1x
n
1xx
n
1xx2x
n
1s ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−=+−= ∑∑∑∑
====
ou seja, 
Variância = Média dos Quadrados – Quadrado da Média 
Seja ix o salário do i-ésimo empregado. Se é concedido um reajuste de 10% 
em todos os salários, o salário reajustado do i-ésimo empregado passará a 
valer ix1,1 e a nova variância 
2
x's será 
2n
1i
i
n
1i
2
i
2n
1i
i
n
1i
2
i
2
x xn
1,1x21,1
n
1x1,1
n
1)x1,1(
n
1's ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑∑∑
====
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑∑∑∑∑
======
2n
1i
i
n
1i
2
i
2n
1i
i
n
1i
2
i
2n
1i
i
n
1i
2
i
2
x xn
1x
n
121,1x
n
121,1x
n
121,1x
n
1,1x
n
21,1's
2
x
2
x s21,1's = 
Note que a nova variância ficará multiplicada pelo quadrado da constante 
(1,102 = 1,21) ⇒ FALSA. 
B) O Coeficiente de Variação (CV) é definido como o quociente entre o desvio 
padrão e a média, sendo frequentemente expresso em porcentagem: 
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2
2
x
2
xx
x
s
x
s
x
s)x(cv =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≠= ⇒ FALSA. 
C) A variância tem, entre outras, as seguintes propriedades: 
- multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma 
constante, a variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado 
dessa constante. Seja x a variável de interesse, c um valor constante e y = 
cx. Então 2x
22
y scs = . 
- somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de 
uma variável, a variância não se altera. Seja x a variável de interesse, c
um valor constante e y = x + c. Então 2xy
2s s= . 
Portanto, esta alternativa é VERDADEIRA. 
D) Dividindo todos os valores de uma série por 4, tem-se que o desvio padrão 
também ficará dividido por 4 ⇒ FALSA. 
E) Esta afirmação é verdadeira somente para distribuições assimétricas ⇒ 
FALSA. 
GABARITO: C 
45. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para comparar as rendas de dois grupos de 
pessoas, A e B, foram preparados diagramas de caixas (box-plots) com os 
valores observados dos salários, representados na figura a seguir: 
A respeito desses diagramas, considere as seguintes afirmativas: 
I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo. 
II. A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita. 
III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo B. 
Assinale: 
A) se somente a afirmativa I for verdadeira. 
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B) se somente a afirmativa II for verdadeira. 
C) se somente a afirmativa III for verdadeira. 
D) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras. 
E) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras. 
Resolução 
ANÁLISE DAS AFIRMATIVAS 
I- Os diagramas de caixas indicam que as medianas dois grupos A e B são 
iguais e não as suas respectivas médias ⇒ FALSA. 
II- A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita porque a 
distância entre o terceiro quartil (Q3) e a mediana (md), ou seja, Q3 � md, é 
maior do que a distância entre a mediana e o primeiro quartil, dada por md � 
Q1. ⇒ VERDADEIRA. 
III- O número de pessoas nos dois grupos é igual, haja vista que as distâncias 
entre os extremos superior e inferior nas distribuições dois dois grupos é 
aproximadamente 2.500 (3.100 � 600 = 2.500 para o grupo A e 2.900 � 
400). ⇒ FALSA. 
GABARITO: B 
46. (ICMS-RJ/2008/FGV) Uma companhia utiliza um sistema de avaliação 
de desempenho de seus funcionários por meio de dois indicadores de 
performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefas 
são realizadas. 
Os funcionários receberam, na última avaliação, as medidas indicadas na 
tabela a seguir: 
Medidas 
Indicador 
Qualidade Tempestividade
Média 50 25 
Desvio-Padrão 10,0 6,0 
Coeficiente de 
Variação (%) 20 24 
Com base na tabela, é correto afirmar que: 
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A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance
dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações. 
B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da 
Tempestividade. 
C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da 
Tempestividade. 
D)os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das 
tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor. 
E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra. 
Resolução 
Análise das afirmativas: 
A) A média aritmética é uma medida de posição de uma distribuição de 
frequências. Logo, é uma medida válida (“boa”) para caracterizar o 
desempenho dos funcionários. Além disso, não se pode afirmar que a média 
não seja uma medida “boa” devido ao elevado nível de dispersão da 
distribuição. Posição e dispersão são características distintas de uma 
distribuição de frequências ⇒ ERRADA. 
B) As medidas de coeficiente de variação ( x/s)x(cv x= ) dizem que é o 
contrário, ou seja, as avaliações da Tempestividade foram mais dispersas do 
que as avaliações da Qualidade, pois )qualidade(cv2024)dadetempestivi(cv =>= ⇒ 
ERRADA. 
C) As avaliações da Qualidade foram mais homogêneas, ou seja, menos 
dispersas, do que as da Tempestividade, haja vista que 
)dadetempestivi(cv2420)qualidade(cv =<= ⇒ CERTA. 
D) Qualidade e Tempestividade são variáveis distintas; logo, essa comparação 
não faz sentido (não podemos comparar “banana” com “laranja”). A qualidade 
das tarefas é melhor em relação a quê? Os funcionários demoram mais para 
realizar as tarefas em relação a qual métrica de comparação? ⇒ ERRADA. 
E) Está implícito que a companhia avaliou todos os seus funcionários. Logo, as 
medidas referem-se à população dos funcionários. As medidas tabeladas não 
são estimativas de parâmetros da população, mas sim os verdadeiros 
valores de média, desvio-padrão e coeficiente de variação das variáveis 
Qualidade e Tempestividade ⇒ ERRADA. 
GABARITO: C 
47. (ICMS-RJ/2007/FGV) Considere as informações contidas no Box Plot
abaixo, referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo. 
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É correto afirmar que: 
A) o salário médio dos homens é igual ao das mulheres. 
B) a distribuição dos salários das mulheres é assimétrica negativa. 
C) o desvio interquartílico dos salários das mulheres é maior do que o dos 
homens. 
D) a distribuição dos salários dos homens é atípica. 
E) o salário mediano das mulheres é superior ao dos homens. 
Resolução 
Análise das afirmativas: 
A) Os diagramas de caixa indicam que as medianas dos salários, e não os 
salários médios, são iguais, com um valor aproximado de R$ 3.700 ⇒
ERRADA. 
B) A distribuição dos salários das mulheres é assimétrica positiva, pois é 
alongada à direita (a distância entre o quartil superior e a mediana é maior do 
que distância entre o quartil inferior e a mediana) ⇒ ERRADA. 
C) O desvio interquartílico dos salários das mulheres é aproximadamente igual 
a 4.400 � 3.400 = 1.000. O desvio interquartílico dos salários dos homens é 
aproximadamente igual a 3.900 � 3.300 = 600. Logo a afirmativa está CERTA. 
D) O enunciado não fornece dados para se fazer este tipo de conclusão. Qual 
seria a distribuição dos salários dos homens típica? ⇒ ERRADA. 
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E) O salário mediano das mulheres é igual ao dos homens ⇒ ERRADA. 
GABARITO: C 
48. (AFRF/2001/ESAF) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de 
contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a 
média amostral M = 100 e o desvio-padrão s = 13 da variável transformada (X 
� 200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X: 
A) 3,0% 
B) 9,3% 
C) 17,0% 
D) 17,3% 
E) 10,0% 
Resolução 
Chamemos a variável transformada de Y, dada pela relação 
Y = (X – 200)/5 
Logo, 
X = 5Y + 200 
A média de Y é 100, ou seja, M = Y = 100. Calculemos a média de X. 
Por conveniência, denotemos a média de X por E(X) (= X ) e a média de Y por 
E(Y) (= Y ), em que E representa o operador média aritmética. As seguintes 
propriedades são válidas para a média: 
• E(X+Y) = E(X) + E(Y) ⇒ a média da soma é igual a soma das médias 
(propriedade de linearidade da média); 
• E(5Y) = 5.E(Y) ⇒ a média de uma variável multiplicada por uma 
constante é igual a média da variável multiplicada pela constante; e 
• E(200) = 200 ⇒ a média de uma constante dada é igual a própria 
constante. 
Apliquemos as propriedades dadas acima para calcular a média de X: 
E(X) = E(5Y + 200) = E(5Y) + E(200) = 5E(Y) + 200 = (5 x 100) + 200 = 700 
Seja a variável W = 5Y. As seguintes propriedades são válidas para a 
variância: 
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• Var(5Y) = 52.Var(Y) = 25.Var(Y) ⇒ a variância de uma variável 
multiplicada por uma constante é igual a variância da variável 
multiplicada pelo quadrado da constante; e 
• Var(W + 200) = Var(W) ⇒ a variância de uma variável somada a uma 
constante é igual a variância da variável. 
Calculemos a variância de X: 
Var(X) = Var(5Y + 200) = Var(5Y) = 25.Var(Y) 
Sabemos que o desvio padrão (S) corresponde à raiz quadrada positiva da 
variância. Então 
Sx = [25.Var(Y)]1/2 = 5.Sy = 5 x 13 = 65 
Agora podemos calcular o coeficiente de variação: 
CVx = Sx/ X = 65/700 = 0,093 = 9,3% 
GABARITO: B 
(AFRF/2002/ESAF/Adaptada) Em um ensaio para o estudo da 
distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens 
de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. As próximas três questões referem-se a esses 
ensaios. 
Classes P (%)
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
49. Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à 
medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
A) 3/S 
B) 4/S 
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C) 5/S 
D) 6/S 
E) 0 
Resolução 
A questão aborda o cálculo do índice de assimetria de Pearson, dado por 
.
S
mXA
x
0
⎟⎜
−= 
Inicialmente, temos que calcular a moda mo. Como a questão não especificou o 
método de cálculo, se de Czuber ou de King, devemos usar a fórmula de 
Czuber: 
⎞
⎟⎠⎜⎝
⎛
+×+= 21
1
i0 dd
dhLm
em que: 
- iL é o limite inferior da classe modal, 
- 1d é a diferença entre a freqüência da classe modal e a da classe 
imediatamente anterior, 
- 2d é a diferença entre a freqüência da classe modal e a da classe 
imediatamente seguinte e 
- h é a amplitude das classes. 
Considere a tabela a seguir, em que a classe modal está destacada em azul. 
Classes 
P (%) 
frequência
Relativa 
acumulada 
p(%) 
frequência 
relativa 
f 
frequência 
70 � 90 5 5 = 5% x 200 = 10 
90 � 110 15 = 15 – 5 = 10 = 10% x 200 =20 
110 � 130 40 = 40 – 15 = 25 = 25% x 200 =50 
130 � 150 70 = 70 – 40 = 30 = 30% x 200 =60 
150 � 170 85 = 85 – 70 = 15 = 15% x 200 =30 
170 � 190 95 = 95 – 85 = 10 = 10% x 200 =20 
190 � 210 100 = 100 – 95 = 5 = 5% x 200 =10 
Soma 200 
Temos que, 130Li = , 105060d1 =−= , 303060d2 =−= e 20130150h =−= . Logo, 
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.135513025,020130
3010
1020130m0 =+=×+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+×+=
Se k valores distintos k21 X,...,X,X ocorrem com as freqüências relativas 
k21 p,...,p,p , respectivamente, a média será 
∑
=
=
k
1j
jjpXX 
em que pj denota a j-ésima frequência relativa. 
Quando os dados são apresentados em uma distribuição de freqüências, todos 
os valores incluídos num certo intervalo de classe são considerados 
coincidentes com o ponto médio do intervalo. As fórmula acima será válida 
para esses dados agrupados quando se interpretar jX como o ponto médio e 
jp como a frequência relativa. 
Classes 
ponto médio 
da classe Xj
pj Xj.pj 
70 � 90 80 0,05 4 
90 � 110 100 0,10 10 
110 � 130 120 0,25 30 
130 � 150 140 0,30 42 
150 � 170 160 0,15 24 
170 � 190 180 0,10 18 
190 � 210 200 0,05 10 
Soma 1,00 138 
Logo, 
77665544332211
k
1j
jj pXpXpXpXpXpXpXpXX ++++++== ∑
=
)05,0200()10,0180()15,0160()30,0140()25,0120()10,0100()05,080(X ×+×+×+×+×+×+×=
1381018244230104X =++++++=
Finalmente, 
.
S
3
S
135138
S
mXA
x
0 =−=−=
GABARITO: A 
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50. Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se 
∑
=
=
7
1i
2
ii 680.1fZ , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de 
classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo 
X. 
A) 720,00 
B) 840,20 
C) 900,10 
D) 1200,15 
E) 560,30 
Resolução 
A questão cobra o cálculo da variância amostral de X, denotada por 2XS)X(Var = . 
A relação existente X e Z é dada pela fórmula 10/)140X(Z −= ou 140Z10X += . 
Portanto, a variância de X é dada por (lembre das propriedades da variância): 
)Z(Var100)Z10(Var)140Z10(Var)X(Var ==+=
O valor de Var(X) é 100 vezes o valor de Var(Z). Será necessário calcular 
a variância amostral de Z, definida como 
∑
=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
k
1i
2
ii
2
Z )ZZ(f1n
1S
em que Z representa a média de Z. Você reparou que a definição da 
variância amostral trabalha com o fator 1/(n–1), em lugar de 1/n? Por 
ora, pedimos que você simplesmente aceite a definição acima, sem se 
preocupar em entender porque é necessário considerar o fator 1/(n– 1). Mas 
garantimos que isto ficará claro nas aulas de inferência estatística. Espere até 
lá! 
Vamos desenvolver a expressão que define a variância amostral de Z? 
( )∑∑
==
+−−=−−=⇒
k
1i
2
i
2
ii
k
1i
2
ii
2
Z ZZZ2Zf1n
1)ZZ(f
1n
1S
em que foi usada a igualdade 2i
2
i
2
i ZZZ2Z)ZZ( +−=− , 
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +−−=+−−=⇒ ∑ ∑∑∑ = ===
k
1i
k
1i
2
i
k
1i
ii
2
ii
k
1i
2
iii
2
ii
2
Z ZfZZ2fZf1n
1ZfZZ2fZf
1n
1S
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( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +−−=⇒ ∑ ∑∑= ==
k
1i
k
1i
i
2
k
1i
ii
2
ii
2
Z fZZfZ2Zf1n
1S
em que foram usadas as seguintes simplificações: 
- ∑∑
==
=
k
1i
ii
k
1i
ii ZfZ2ZZ2f , pois Z2 é um número; logo pode ser colocado em 
evidência; e 
- ( ) ∑∑
==
=
k
1i
i
2
k
1i
2
i fZZf , pois 
2Z é um número; logo pode ser colocado em evidência. 
⎤⎥⎦⎢⎣
⎡ −−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−=⇒ ∑∑∑ ===
k
1i
22
ii
k
1i
222
ii
k
1i
22
ii
2
Z nZZf1n
1nZnZ2Zf
1n
1nZZnZ2Zf
1n
1S
em que usamos a igualdade ( )∑
=
=
k
1i
ii ZnZf 
2
k
1i
2
ii
2
Z Z1n
nZf
1n
1S ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=⇒ ∑=
ou 
Variância Amostral de Z = Soma dos Quadrados/(n–1) – Média de Z ao 
Quadrado corrigida pelo fator n/(n–1) 
Nota: a fórmula da variância amostral é importante para a sua prova. Observe 
que o enunciado já forneceu o valor da soma de quadrados de Z 
( 680.1fZ2 =∑ ). 
Só falta calcular a média de Z ( Z= ), representada a seguir por )Z(E , por ser 
mais conveniente ao desenvolvimento: 
( )[ ] ( )[ ]
10
140X140XE
10
1)140(EXE
10
1)140X(E
10
1
10
140XE)Z(E −=−=−=−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⇒
onde )X(EX = , 
.20,0
10
140138Z)Z(E −=−==⇒
Logo, 
( ) 402,8040,0005,1442,820,0
199
200
199
680.1Z
1n
nZf
1n
1S 22
k
1i
2
ii
2
Z =×−=−×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=⇒ ∑=
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Finalmente, 
20,840402,8100S100S 2Z
2
X =×=×=⇒
GABARITO: B 
51. Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento, em 
geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada 
pelo quociente 
1090 PP
Qk −= 
onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os 
percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da 
curtose k para a distribuição de X. 
A) 0,263 
B) 0,250 
C) 0,300 
D) 0,242 
E) 0,000 
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Resolução 
Considere a tabela a seguir: 
Classes P (%) f F 
70-90 5 10 10 
90-110 15 20 30 
⇒ n/10 = 20 < F = 30 
⇒ Classe do Primeiro Decil (D1)ou 
Percentil de 10% (P10) 
110-130 40 50 80 
⇒ n/4 = 50 < F = 80 
⇒ Classe do Primeiro Quartil (Q1) 
ou Percentil de 25% (P25) 
130-150 70 60 140 
150-170 85 30 170 
⇒ (3n)/4 = 150 < F = 170 
⇒ Classe do Terceiro Quartil (Q3) 
ou Percentil de 75% (P75) 
170-190 95 20 190 
⇒ (9n)/10 = 180 < F = 190 
⇒ Classe do Nono Decil (D9) ou 
Percentil de 90% (P90) 
190-210 100 10 200 
O Terceiro Quartil (Q3) é obtido pela seguinte interpolação linear (ou regra 
de três): 
(170 – 150) está para (85% – 70%) 
assim como 
Δ está para (75% – 70%) 
ou 
5
1520
↔Δ
↔
Multiplicando em “xis” a regra de três acima, obtemos 
15 x Δ = 20 x 5 
Δ = 20/3 ≅ 6,67 
Portanto, Q3 = 150 + Δ = 150 + 6,67 = 156,67. 
O Primeiro Quartil (Q1) é obtido pela seguinte interpolação linear: 
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(130 – 110) está para (40% – 15%) 
assim como 
Δ está para (25% – 15%) 
ou 
10
2520
↔Δ
↔
Multiplicando em “xis” a regra de três acima, obtemos 
25 x Δ = 20 x 10 
Δ = 200/25 = 8,00 
Logo, Q1 = 110,00 + 8,00 = 118,00. 
O Percentil de 90% (P90) é obtido pela seguinte interpolação linear: 
(190 – 170) está para (95% – 85%) 
assim como 
Δ está para (90% – 85%) 
ou 
5
1020
↔Δ
↔
Multiplicando em “xis” a regra de três acima, obtemos 
10 x Δ = 20 x 5 
Δ = 10 
Logo, P90 = 170,00 + 10,00 = 180,00. 
O Percentil de 10% (P10) é obtido pela seguinte interpolação linear: 
(110 – 90) está para (15% – 5%) 
assim como
Δ está para (10% –5%) 
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ou 
5
1020
↔Δ
↔
Multiplicando em “xis” a regra de três acima, obtemos 
10 x Δ = 20 x 5 
Δ = 10 
Logo, P10 = 90,00 + 10,00 = 100,00. 
Cálculo da Curtose: 
34,192/67,382/)00,11867,156(2/)QQ(Q 13 ==−=−=
242,0
00,80
34,19
00,10000,180
34,19
PP
Qk
1090
==−=−=
Curtose = 0,242 
Nota: você também pode resolver este tipo de questão por meio da aplicação 
das fórmulas. Vimos que a mediana é dada por 
md
md
a
i hf
F)2/n(Lmd ×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
A fórmula acima pode ser generalizada para os quantis, como descrito a 
seguir. 
Terceiro Quartil: 
67,15620
30
140150150h
f
F)4/n3(LQ i
i
a
i3 ≈×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
Primeiro Quartil: 
00,11820
50
3050110h
f
F)4/n(LQ i
i
a
i1 =×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
Metade da distância interquartílica: 
34,192/)11867,156(2/)QQ(Q 13 =−=−=
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Nono Decil: 
00,18020
20
170180170h
f
F)10/n9(LD i
i
a
i9 =×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
Primeiro Decil: 
00,10020
20
102090h
f
F)10/n(LD i
i
a
i1 =×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=×⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
Foram obtidos os mesmos resultados para os quantis, como já era esperado. 
GABARITO: D 
52. (Analista do BACEN/2006/FCC) A média aritmética dos valores das 
vendas diárias realizadas pelas 50 empresas do Setor A é de R$ 1.000,00, com 
desvio padrão de R$ 100,00. Sabe-se ainda que a média aritmética dos valores 
das vendas diárias realizadas pelas 200 empresas do Setor B é de R$ 
2.000,00, com desvio padrão de R$ 200,00. A variância em (R$)2 dos valores 
das vendas diárias realizadas pelos dois setores reunidos é 
A) 34.000,00 
B) 50.000,00 
C) 194.000,00 
D) 207.500,00 
E) 288.000,00 
Resolução 
A questão cobra o cálculo da “variância em (R$)2 dos valores das vendas 
diárias realizadas pelos dois setores reunidos”, ou seja, a variância da 
população conjunta 
}b,...,b,b,a,...,a,a{BA
BA N21N21
=+ . 
A Variância da população conjunta A+B é dada por 
2
BABA
2
BA
2
2
BA NN
BA
NN
B
NN
A
S)BA(Var ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+−+++==+
∑ ∑∑∑
+ . 
Fazendo N = NA + NB, obtemos 
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222
2
BA N
BA
N
B
N
A
S ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+= ∑∑∑∑+ . 
em que N = NA + NB = 50 + 200 = 250. 
⇒ Variância(A+B) = Média dos Quadrados de A + Média dos Quadrados 
de B – Quadrado da Média de A+B 
A variância 2 BAS + será calculada uma vez conhecidos os valores dos somatórios ∑ 2A , ∑ 2B , ∑A e ∑B . 
Os somatórios ∑A e ∑B serão calculados em função das médias aritméticas 
A e B , respectivamente. 
Os somatórios ∑ 2A , ∑ 2B serão determinados em função de ( 2AS , A ) e ( 2BS , B ), 
respectivamente. 
A fim de facilitar as contas, cortaremos três zeros dos dados fornecidos: 
1000.1/000.1A ==
1,0000.1/100SA ==
2000.1/000.2B ==
2,0000.1/200SB ==
∑= A501A ⇒ 5050150AA =×=×=∑
∑= B2001B ⇒ 400200BB =×=∑
222
A AA50
1S −= ∑ ⇒ 5,50]101,0[50]11,0[50)AS(50A 2222A2 =+×=+×=+×=∑
222
B BB200
1S −= ∑ ⇒ 808]404,0[200]22,0[200)BS(200B 2222B2 =+×=+×=+×=∑
⎟ =⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+= ∑∑∑∑+
2
222
BA N
BA
B
N
1A
N
1S
1940,024,34340,38,12320,32020,0
250
40050
250
808
250
5,50 2
2
=−=−+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+=
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Para dar a resposta final, devemos multiplicar a variância (= quadrado do 
desvio padrão) obtida acima por (1.000)2, haja vista que as médias e desvios 
padrão foram divididas por 1.000: 
000.1941019410100,194)10(100,194000.11940,0S 36323322 BA =×=××=××=×= −−+
⇒ A variância em (R$)2 dos valores das vendas diárias realizadas pelos 
dois setores reunidos é 194.000. 
GABARITO: C 
53. (ICMS-RJ/2010/FGV) A média, a mediana e a variância das idades de 
um grupo de vinte pessoas são, hoje, iguais, respectivamente, a 34, 35 e 24. 
Daqui a dez anos, os valores da média, da mediana e da variância das idades 
dessas pessoas serão, respectivamente: 
A) 44, 35 e 34 
B) 44, 45 e 12 
C) 44, 45 e 24 
D) 34, 35 e 12 
E) 44, 45 e 124 
Resolução 
Está implícito que todas as pessoas do grupo estarão vivas daqui a dez anos. A 
dispersão da distribuição de frequências (das idades) não mudará com o 
envelhecimento das pessoas do grupo (ou seja, a forma da distribuição se 
mantém ao longo do tempo). Logo, a variância daqui a dez anos ainda será 
igual a 24. A única opção com este valor é a C. 
Daqui a dez anos, a média e a mediana serão acrescidas de 10 unidades 
(anos), haja vista que a distribuição de frequências sofrerá um deslocamento 
para a direita de 10 unidades. Assim, a média e a mediana serão iguais a 44 e 
45, respectivamente. 
GABARITO: C 
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54. (AFPS/2002/ESAF) O diagrama de ramos e folhas abaixo corresponde 
às observações (82, ..., 158) do atributo X. Assinale a opção que dá o valor 
mediano de X 
8 | 2 
8 | 
9 | 003 
9 | 9 
10| 0011222344 
10| 577777 
11| 013 
11| 55679 
12| 00114 
12| 5557 
13| 004 
13| 5556 
14| 03 
14| 5 
15| 
15| 8 
A) 105 
B) 110 
C) 104 
D) 107 
E) 115 
Resolução 
Não existe uma regra fixa para construir o diagrama de ramo-e-folhas, mas a 
idéia básica é dividir cada observação em duas partes: a primeira (o ramo) é 
colocada à esquerda de uma linha vertical, a segunda (a folha) é colocada à 
direita. Assim, para os valores 90 e 93, o 9 é o ramo e 0 e 3 são as folhas. 
Na tabela a seguir, fi denota a frequência e Fi é a freqüência acumulada das 
observações: 
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Ramos Folhas fi Fi 
8 2 1 1 
8 0 1 
9 003 3 4 
9 9 1 5 
10 0011222344 10 15 
10 577777 6 21 
11 013 3 24 
11 55679 5 29 
12 00114 5 34 
12 5557 4 38 
13 004 3 41 
13 5556 4 45 
14 03 2 47 
14 5 1 48 
15 0 48 
15 8 1 49 
A tabela acima mostra que foram acumuladas 24 observações até a última 
folha do sétimo ramo. Note que há 49 observações no total e que a mediana 
corresponde à 1ª folha do oitavo ramo, cujo valor é 115. 
GABARITO: E 
(Analista de Estatística/Perito/MPU/2010/CESPE) Considere que um 
perito tenha efetuado um estudo acerca do tempo gasto — X —, em meses, 
por empresas notificadas para quitar suas pendências com a Previdência 
Social. Uma amostra de 35 empresas notificadas com pendências foi 
selecionada de um banco de dados da Previdência. A partir dessa amostra, o 
perito fez uma análise exploratória da variável X, cujos resultados são 
apresentados a seguir. 
Estatísticas Descritivas: 
tempo mínimo = 2 meses 
tempo máximo = 128 meses 
∑
=
=
35
1i
i ;1027x ∑
=
=
35
1i
2
i ;66317x 11,30135x35
1
235
1i
i =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑
=
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Nesse estudo, o perito efetuou avaliações acerca do número de irregularidades
– Y – que geraram pendências em função do porte das empresas: com menos 
de 20 empregados e com 20 ou mais empregados. Os resultados foram os 
seguintes. 
tamanho da empresa y s n 
< 20 empregados 6,8 1,7 15 
≥ 20 empregados 2,6 1,3 20 
Com base nessas informações julgue os itens de 55 a 60. 
55. O diagrama de caixas, conhecido como boxplot, indica que a distribuição 
de X é assimétrica. Portanto, o número de observações acima do segundo 
quartil (Q2) foi proporcionalmente superior ao número de observações abaixo 
de Q2. 
Resolução 
É correto afirmar que o boxplot indica que a distribuição de X é assimétrica, 
pois a distribuição tem cauda levemente alongada para a direita (note que a 
distância entre o quartil superior e a mediana é maior que a distância entre o 
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quartil inferior e a mediana). Mas é incorreto dizer que o número de 
observações acima do segundo quartil (mediana) foi proporcionalmente 
superior ao número de observações abaixo da mediana, haja vista que a 
mediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntos 
com igual número de elementos. Portanto, o item está errado. 
GABARITO: E 
56. O tempo mediano da variável X foi aproximadamente igual a 29,34 meses. 
Resolução 
Rol: {2 3 4 4 6 6 6 6 6 6 7 10 11 12 12 14 15 17 17 20 20 23 25 25 27 34 35 
49 57 62 68 88 92 110 128} 
O rol acima possui 35 amostras em ordem crescente. A mediana é o valor que 
ocupa a 18ª posição, a saber, o valor 17. Uma rápida inspeção do box plot
confirma que o valor da mediana é inferior a 20. Item errado. 
GABARITO: E 
57. No diagrama de caixas, quatro observações foram identificadas como 
valores atípicos por estarem fora do intervalo [0; 77,25]. 
Resolução 
Uma rápida inspeção do box plot sugere que os valores 88, 92, 110 e 128 
(vide diagrama de ramo e folhas) são outliers. Item Certo. Resolvemos mais 
detalhadamente a seguir. 
Rol: {2 3 4 4 6 6 6 6 6 6 7 10 11 12 12 14 15 17 17 20 20 23 25 25 27 34 35
49 57 62 68 88 92 110 128} 
Q1 (primeiro quartil) = 6 (ocupa a 9ª posição do rol) 
Q3 (terceiro quartil) = 35 (ocupa a 27ª posição do rol) 
Logo, o desvio interquartílico (IQR) é dado por 
IQR = Q3 – Q1 = 35 – 6 = 29 
E o Limite Superior (LS) do diagrama será 
LS = Q3 + (1,5 x IQR) = 35 + 1,5 x 29 = 35 + 43,5 = 78,5 
Contudo, a banca trabalhou com LS = 77,25, valor diferente do calculado 
acima. Qual é a provável causa dessa discrepância? 
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Vamos supor a banca tenha adotado Q3= (34 + 35)/2 = 34,5. 
Neste caso, IQR = Q3 – Q1 = 34,5 - 6 = 28,5 ⇒ 28,5 x 1,5 = 42,75 ⇒ LS = 
42,75 + 34,5 = 77,25. 
Foi daí que saiu o valor 77,25 citado no item. Mas isso não quer dizer que eu 
concorde com o raciocínio da banca. A questão não foi anulada. 
GABARITO: C 
58. O diagrama apresentado a seguir é o resumo dos 5 números para a 
distribuição de X. 
17 
6 34,5 
2 128 
Resolução 
O diagrama com o resumo dos 5 números tem a seguinte interpretação: 
17 (mediana) 
6 (quartil inferior) 34,5 (quartil superior) 
2 (mínimo amostral) 128 (máximo amostral) 
Os diagramas de caixas e de ramo e folhas confirmam que os dados 
relacionados acima estão corretos. 
GABARITO: C 
59. Nessa situação, a variabilidade do número de irregularidades nas 
empresas com menos de 20 empregados corresponde à metade da 
variabilidade do número de irregularidades nas empresas com 20 ou mais 
empregados. 
Resolução 
Considere que o número de irregularidades nas empresas com menos de 20 
empregados seja representado pela variável A e o número de irregularidades 
nas empresas com 20 ou mais empregados pela variável B. A comparação 
entre as variabilidades (dispersões) das distribuições de A e B deve 
ser feita em termos relativos. Para tal, deve-se usar o coeficiente de 
variação (CV), que é definido como a razão entre o desvio padrão e a 
média. Esta medida de dispersão caracteriza o espalhamento dos valores da 
distribuição em termos relativos ao seu valor médio (*). 
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CV(A) = SA/MédiaA = 1,7/6,8 = 1/4 = 0,25 
CV(B) = SB/MédiaB = 1,3/2,6 = 1/2 = 0,50 
⇒ CV(A) = CV(B)/2 (item correto!) 
(*) Não faz sentido comparar objetos diferentes (por exemplo, banana com 
laranja), utilizando uma medida absoluta como o desvio padrão. É por isso que 
é necessário trabalhar com um adimensional como o coeficiente de variação. 
GABARITO: C 
60. O desvio padrão amostral de X foi inferior a 31 meses. 
Resolução 
Variância = Média dos Quadrados – Quadrado da Média 
Como o valor de n=35 é “grande”, usaremos a fórmula aproximada 
∑ ∑ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=
2
22 x
n
1x
n
1S
QUADRADO DA MÉDIA: 
( ) ( ) 11,135.30
35
1x
n
1
n
1x
n
1x
n
1 22
2
2
×=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∑∑∑
MÉDIA DOS QUADRADOS: 
317.66
35
1x
n
1 2 ×=∑ 
VARIÂNCIA: 
77,033.1
35
09,181.36
35
11,135.30
35
317.66S2 ==−= ⇒ 15,3277,033.1s ≈=
O desvio padrão é superior a 31 meses. 
GABARITO: E 
(Analista Judiciário/TST/2007/Cespe-UnB/Adaptada) Considere que, 
em um ambiente de trabalho industrial, as seguintes medições acerca da 
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poluição do ar tenham sido observadas: 1, 6, 4, 3, 2, 3, 1, 5, 1, 4. Nessas 
situação, julgue os itens que se seguem. 
61. A mediana da amostra é igual a 2,5. 
Resolução 
Rol: 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6 (N = 10 medições) 
N = 10 é par. Então 
mediana = média aritmética entre as 5a e 6a medições do rol 
mediana = (3+3)/2 = 3 
GABARITO: E 
62. As médias harmônica e geométrica são ambas inferiores a 3. 
Resolução 
Fórmulas: 
Média geométrica: n/1
n
1i
i
n
n21g xx...x.xx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∏
=
Média harmônica: 
∑
=
=
+++
= n
1i in21
h
x
1
n
x
1...
x
1
x
1
nx
Média geométrica: 
( ) 1010/110/1n n21g 864086406544332111x...x.xx ==×××××××××==
E agora, como fazer a conta acima? Como você poderia efetuar a raiz décima 
de 8640 em uma situação real de prova? 
Nós faríamos uma conta aproximada, como números inteiros. Quer ver? 
Quanto dá 310? 
310 = 33 x 33 x 33 x 3 = 27 x 27 x 27 x 3 = 19683 x 3 > 8640 
Logo, 
38640x 10g <=
Média harmônica: 
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32
151
300
30
613
10
6
1
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
10
x
1...
x
1
x
1
nx
n21
h <≈=+
=
+++++++++
=
+++
=
GABARITO: C 
63. O terceiro quartil é igual a 3. 
Resolução 
Rol: 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6 (N = 10 medições) 
O terceiro quartil é a mediana da sub-série 3, 4, 4, 5, 6 ⇒ Q3 = 4 
GABARITO: E 
64. A variância amostral é superior a 2,8. 
Resolução 
Variância Amostral = 2
i
2
i x1n
nx
1n
1
−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
− ∑ 
Média dos Quadrados de uma amostra: 
1183625161699436544332111x 2222222222
i
2
i =+++++++=+++++++++=∑
1,13
9
118x
1n
1
i
2
i ≈=− ∑ 
Observe que a fórmula da média dos quadrados leva em conta o fator 1/(n–1) 
em lugar de 1/n porque trata-se da variância de uma amostra. 
Quadrado da Média de
uma amostra: 
3
10
30
10
6544332111x ==+++++++++= ⇒ 9x2 = ⇒ 109
9
10x
1n
n 2 =×=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
Variância amostral= 13,1 – 10 = 3,1 > 2,8 ⇒ item certo. 
Nota: calculemos a variância da população: 
118x
i
2
i =∑ ⇒ 8,1110118xn1 i 2i ==∑ 
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Média dos quadrados = 11,8 
Quadrado da média = 9 
Variância = média dos quadrados – quadrado da média = 11,8 – 9 = 2,8 ⇒
você julgaria que o item é errado pela conta aproximada. Neste caso, o erro de 
aproximação é (3,1 – 2,8) = 0,3, correspondente a aproximadamente 10% do 
valor da variância amostral (significativo!). O erro percentual da conta 
aproximada é grande porque o número de amostras (n=10) é “pequeno”. 
GABARITO: C 
Variável X Frequência relativa 
0 0,10 
1 0,20 
2 0,30 
3 0,40 
(SEAD-CPC/2007/Cespe-UnB/Adaptada) Considerando a tabela acima, 
que apresenta as freqüências relativas de uma variável X, relativa a uma 
contagem, julgue os itens a seguir. 
65. A média de X é inferior a 1,5. 
Resolução 
∑= iipXX , em que pi denota a frequência relativa de Xi. 
0,22,16,02,00)40,03()30,02()20,01()10,00(X =+++=×+×+×+×= ⇒ inferior a 1,5. 
Item certo. 
∑ −
GABARITO: E 
66. O desvio-padrão de X é inferior a 1,5. 
Resolução 
= 22 ii2x XpXS = média dos quadrados – quadrado da média 
[ ] 0,146,32,12,002)40,03()30,02()20,01()10,00(S 222222x =−+++=−×+×+×+×=
0,1S2xx ==σ ⇒ item certo. 
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GABARITO: C 
67. A moda e a mediana de X são iguais a 3. 
Resolução 
Variável X Frequência relativa Frequência relativa acumulada 
0 0,10 0,10 
1 0,20 0,30 
2 0,30 0,60 
3 0,40 1,00 
O valor de maior frequência é 3,0 ⇒ moda = 3. 
A mediana é 2, haja vista que a frequência acumulada até X=1 é 30% e até 
X=2 é 60%. 
Item errado. 
GABARITO: E 
68. O coeficiente de variação de X é superior a 1. 
Resolução 
5,0
2
1
X
SCV xx === ⇒ inferior a 1. Item errado. 
GABARITO: E 
69. (Analista/IRB/2005-2006/ESAF) O grau ao qual os dados numéricos 
tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se 
A) média. 
B) variação ou dispersão dos dados. 
C) mediana. 
D) correlação ou dispersão. 
E) moda. 
Resolução 
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As medidas de dispersão de uma distribuição de frequências (amplitude, 
variância, desvio padrão e coeficiente de variação) têm como finalidade 
indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região 
central da distribuição. 
As medidas de posição servem para localizar a distribuição de 
frequências sobre o eixo de variação da variável em questão. A média 
e a mediana indicam, por critérios diferentes, o centro da distribuição de 
frequências. É por isso que também costuma-se dizer que são medidas de 
tendência central. A moda, por sua vez, indica a região de maior concentração 
de frequências na distribuição. 
A melhor reposta para a questão é a alternativa B: “O grau ao qual os dados 
numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se 
variação ou dispersão dos dados.” 
GABARITO: B 
Abraços e até a próxima aula, 
Bons estudos, 
Alexandre Lima 
alexandre@pontodosconcursos.com.br