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Limites (Parte 1)
Engenharia Civil
Conceito de Limite
O conceito de limite é uma das ideias que distinguem o
cálculo da álgebra e da trigonometria. As regras para os
cálculos são simples, e a maioria dos limites dos quais
precisamos pode ser obtida por substituição, análise
gráfica, aproximação numérica, álgebra ou alguma
combinação destas.combinação destas.
Os valores das funções variam continuamente –
quanto menor a variação na variável independente (eixo
x), menor a variação no valor da função (eixo y). Mesmo
que a função salte ou varie de forma imprevisível, a noção
de limite fornece um caminho preciso para distinguir estes
comportamentos. Também usamos limites para definir
retas tangentes e gráficos de funções.
Taxas de variação e limites
VELOCIDADES MÉDIA E INSTANTÂNEA
A velocidade média de um corpo em
movimento durante um intervalo de tempo é
obtida dividindo-se a distância percorrida peloobtida dividindo-se a distância percorrida pelo
tempo gasto para percorrê-la. A unidade de
medida é o comprimento por unidade de
tempo: quilômetros por hora, metros por
segundo ou qualquer unidade que for mais
conveniente.
Taxas de variação e limites
EXEMPLO 1: Determinando a Velocidade Média
Uma pedra se desprende do topo de um
penhasco. Qual é a sua velocidade média durante
os primeiros 2 s de queda?os primeiros 2 s de queda?
y (t) = 4,9t²
Sendo y a posição da pedra e t o tempo gasto
pela pedra para chegar na posição y.
Gráfico da função no exemplo 1
Taxas de variação e limites
EXEMPLO 2: Determinando a velocidade instantânea.
Calcule a velocidade da pedra do Exemplo 1 no
instante t = 2.
Podemos calcular a velocidade média ao longo do
percurso desde t = 2 até qualquer tempo um pouco
posterior t = 2 + h, h > 0, que será:
Taxas de variação e limites
Tarefa: Confirmar algebricamente.
Tarefa: Preencher o quadro abaixo.
Duração do intervalo de tempo, h(s) Velocidade média no intervalo (m/s)
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
Taxas médias de variação e retas 
secantes
Dada a função arbitrária y = f(x),
calculamos a taxa média de variação de y em
relação a x no intervalo [x1, x2] dividindo a
variação do valor de y, Δy = f(x2) – f(x1), pelovariação do valor de y, Δy = f(x2) – f(x1), pelo
comprimento Δx = x2 – x1 = h do intervalo ao
longo do qual a variação ocorre.
Taxas médias de variação e retas 
secantes
DEFINIÇÃO: Taxa média de variação.
A taxa média de variação de y = f(x) em
relação a x no intervalo [x , x ] é:relação a x no intervalo [x1, x2] é:
Taxas médias de variação e retas 
secantes
Observe que a taxa de
variação de f no intervalo
de [x1, x2] é o coeficiente
angular da reta que passa
nos pontos P(x1, f(x1)) e
Q(x2,f(x2)). Em geometria,Q(x2,f(x2)). Em geometria,
uma reta que une dois
pontos de uma curva é uma
secante em relação à curva.
Portanto, a taxa média de
variação de f desde x1 até x2
é igual ao coeficiente
angular da secante PQ.
Taxas médias de variação e retas 
secantes
EXEMPLO 3: Taxa média de crescimento de uma
população laboratorial.
A figura mostra como uma população de moscas-
das-frutas (Droshophila) cresceu numdas-frutas (Droshophila) cresceu num
experimento de 50 dias. O número de moscas foi
contado a intervalos regulares, os valores
averiguados foram colocados num gráfico em
relação ao tempo, e os pontos foram unidos por
uma curva cheia. Calcule a taxa média de
crescimento do dia 23 ao dia 45.
Taxas médias de variação e retas 
secantes
Taxas médias de variação e retas 
secantes
EXEMPLO 4: A taxa de crescimento no dia 23.
A qual velocidade o número de moscas na
população do Exemplo 3 estava crescendo nopopulação do Exemplo 3 estava crescendo no
dia 23?
Taxas médias de variação e retas 
secantes
Limites dos valores das funções
Antes de darmos uma definição de limite,
examinemos mais um exemplo.
EXEMPLO 5: Comportamento de uma função
perto de um ponto.perto de um ponto.
Verifique como a função abaixo se comporta
próximo do ponto x = 1.
Limites dos valores das funções
Limites dos valores das funções
x pela direita f(x) x pela esquerda f(x)
1,1 0,9
1,01 0,991,01 0,99
1,001 0,999
1,0001 0,9999
1,00001 0,99999
Limites dos valores das funções
Seja f(x) definida em um intervalo aberto em
torno de x0, exceto talvez em x0. Se f(x) fica
arbitrariamente próximo de L (tão próximo
quanto quisermos), para todos os valores de x
suficientemente próximos de x0, dizemos que f
tem limite L quando x tende a x e escrevemos
suficientemente próximos de x0, dizemos que f
tem limite L quando x tende a x0 e escrevemos
Que se lê “o limite de f(x), quando x tende a x0, é
L”.
Limites dos valores das funções
EXEMPLO 6: O valor do limite não depende do modo como
a função é definida em x0.
Determine os limites pela direita e pela esquerda das
funções abaixo quando x tende a 1.
Limites dos valores das funções
EXEMPLO 7: Como determinar limites
calculando f(x0).
Limites dos valores das funções
EXEMPLO 8: As funções constante e
identidade têm limites em todos os pontos.
Limites dos valores das funções
Situações onde não existe o limite
A função ao lado não
tem limite quando x
tende a 0, pois a função
salta.
Observe que, ao nos
aproximarmos de 0 pela
direita, o valor de L
tende a 1. Já pela
esquerda, o valor de L
tende a 0.
Situações onde não existe o limite
A função ao lado não
tem limite quando x
tende a 0, pois a função
cresce demais para ter
um limite.um limite.
Observe que, pela
direita, o valor de L
tende a +∞. Já pela
esquerda, o valor de L
tende a -∞.
Situações onde não existe limite
A função ao lado não
tem limite, pois quando
x tende a 0 a função
oscila demais para ter
um limite.um limite.
Observe que, pela
esquerda, o valor de L
tende a 0. Já pela
direita, a função oscila
entre -1 e +1.