Cálculo III (Lista VI)

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Lista VI (Cálculo III) 
 
 
1. Um corpo de massa 1 kg está ligado a uma mola, com constante de elasticidade 4N/m, 
numa superfície horizontal sem atrito. O corpo é deslocado por 25 cm e depois solto com 
velocidade nula. Suponha que não haja amortecimento. Determine a posição do corpo num 
instante t qualquer. 
resp: ( ) ( )1 cos 2
4
x t t= (em metros) 
 
2. Um corpo de massa 100g está ligado a uma mola, com constante de elasticidade 19,6N/m, 
numa superfície horizontal sem atrito. O corpo é impulsionado com uma velocidade de 
10cm/s. Suponha que não haja amortecimento. Determine a posição do corpo num instante t 
qualquer. 
resp: ( ) ( )1 sen 14
140
x t t= (em metros) 
 
3. Um corpo de massa 2 kg está ligado a uma mola, com constante de elasticidade 18N/m, 
numa superfície horizontal sem atrito. O corpo é deslocado por 10cm e depois solto com 
velocidade de 30cm/s. Suponha que não haja amortecimento. Determine a posição do corpo 
num instante t qualquer. 
resp: ( ) ( ) ( )( )1 cos 3 sen 3
10
x t t t= + (em metros) 
 
4. Um corpo de massa 20 g está ligado a uma mola, com constante de elasticidade 3,92N/m, 
numa superfície horizontal sem atrito. Suponha também que o corpo esteja ligado a um 
amortecedor, com constante de amortecimento 0,4N·s/m. O corpo é deslocado por 20 cm e 
depois solto com velocidade nula. Determine a posição do corpo num instante t qualquer. 
resp: ( ) ( ) ( )10 101 6cos 4 6 sen 4 6
5 12
t tx t e t e t− −= + (em metros) 
 
5. Um corpo de massa 500g está ligado a uma mola, com constante de elasticidade 64N/m, 
numa superfície horizontal sem atrito. Suponha também que o corpo esteja ligado a um 
amortecedor, com constante de amortecimento 2N·s/m. O corpo é impulsionado com uma 
velocidade de 25 cm/s. Determine a posição do corpo num instante t qualquer. 
resp: ( ) ( )231 sen 2 31
248
tx t e t−= (em metros) 
 
6. Um corpo de massa 3kg está ligado a uma mola, com constante de elasticidade 30N/m, 
numa superfície horizontal sem atrito. Suponha também que o corpo esteja ligado a um 
amortecedor, com constante de amortecimento 15N·s/m. O corpo é deslocado por 10cm e 
depois solto com velocidade de 10cm/s. Determine a posição do corpo num instante t 
qualquer. 
resp: ( )
5 5
2 2
1 15 7 15 15
cos sen
10 2 150 2
t t
x t e t e t
− −   
= +      
   
 (em metros) 
 
 
 
7. A posição de um certo sistema massa-mola sem amortecimento satisfaz ao problema de 
valor inicial 
2 0x x′′ + = , ( )0 0x = , ( )0 2x′ = . 
Determine a solução deste problema de valor inicial. 
resp: ( ) ( )2sen 2x t t= 
 
8. O movimento de um sistema massa-mola satisfaz ao problema de valor inicial 
0mx kx′′ + = , ( )0x a= , ( )0x b′ = . 
Resolva o problema de valor inicial dado. 
resp: ( ) cos senk m kx t a t b t
m k m
   
= +      
   
 
 
9. A posição de um certo sistema massa-mola sem amortecimento satisfaz ao problema de 
valor inicial 
1
2 0
4
x x x′′ ′+ + = , ( )0 0x = , ( )0 2x′ = . 
Encontre a solução deste problema de valor inicial. 
resp: ( ) 816 127 127sen
127 8
t
x t e t
−  
=   
 
 
 
10. A posição de um certo sistema massa-mola satisfaz ao problema de valor inicial 
3
0
2
x kx′′ + = , ( )0 2x = , ( )0x v′ = . 
Se o período e amplitude do movimento resultante são π e 3 , respectivamente, determine os 
valores de k e v . Observação: 
0
2
2
m
T
k
π
π
ω
= = . 
resp: 6k = e 2 5v = ± . 
 
11. Um corpo de massa 250 g está ligado a uma mola, com constante de elasticidade 64N/m, 
numa superfície horizontal sem atrito. Suponha também que o corpo esteja ligado a um 
amortecedor, com constante de amortecimento γ N·s/m. Determine o valor de γ para o qual 
o sistema é criticamente amortecido. 
resp: 8γ = N·s/m 
 
12. Um corpo de massa 1 kg está ligado a uma mola, com constante de elasticidade 10N/m, 
numa superfície horizontal sem atrito. O corpo é deslocado por 10cm e depois solto com 
velocidade nula. Suponha que não haja amortecimento e que o corpo esteja sob a ação de uma 
força externa ( )2cos 3t (em Newtons). Determine a posição do corpo num instante t 
qualquer. 
resp: ( ) ( ) ( )192cos 3 cos 10
10
x t t t= − 
 
 
 
 
13. Um corpo de massa 250 g está ligado a uma mola, com constante de elasticidade 16N/m, 
numa superfície horizontal sem atrito. O corpo é deslocado por 25 cm e depois solto com 
velocidade nula. Suponha que não haja amortecimento e que o corpo esteja sob a ação de uma 
força externa ( )8sen 8t (em Newtons). Determine a posição do corpo num instante t 
qualquer. 
resp: ( ) ( ) ( ) ( )( )1 cos 8 sen 8 8 cos 8
4
x t t t t t= + − (em metros) 
 
14. Um sistema massa-mola tem um corpo de massa 2 kg e uma mola com constante de 
elasticidade 12N/m. O corpo é posto em movimento por uma força externa ( )4cos 7t (em 
Newtons). Determine a posição do corpo num instante t qualquer. 
resp: ( ) ( ) ( )( )2 cos 6 cos 7
43
x t t t= − (em metros) 
 
15. Considere um sistema oscilatório descrito pelo problema de valor inicial 
( )1 2 2cos
4
x x x tω′′ ′+ + = , ( )0 0x = , ( )0 2x′ = . 
Determine a parte estacionária da solução do problema. 
resp: ( )
( ) ( ) ( )2
2 4
32 2 cos 8 sen
64 63 16
p
t t
x t
ω ω ω ω
ω ω
− +
=
− +
 
 
16. Considere o sistema forçado mas sem amortecimento descrito pelo problema de valor 
inicial 
( )3cosx x t′′ + = , ( )0 0x = , ( )0 0x′ = . 
Encontre a solução ( )x t . 
resp: ( ) ( )3 sen
2
x t t t= . 
 
 
17. Considere o sistema forçado mas sem amortecimento descrito pelo problema de valor 
inicial 
( )3cosx x tω′′ + = , ( )0 0x = , ( )0 0x′ = . 
Encontre a solução ( )x t para 1ω ≠ . 
resp: ( ) ( ) ( )2
3cos 3cos
1
t t
x t
ω
ω
−
=
−
. 
 
18. Um circuito LC em série tem um capacitor de 60,25 10−× F e um indutor de 1H. Se a carga 
inicial do capacitor for 610− C, e se a corrente inicial for nula, ache a carga no capacitor em 
qualquer instante t . 
resp: ( ) ( )610 cos 2000Q t t−= (em coulombs) 
 
19. Um circuito RLC em série tem um capacitor de 510− F, um resistor de 23 10× Ω e um 
indutor de 0,2H. A carga inicial no capacitor é de 610− C e não há corrente inicial. Ache a 
carga no capacitor em qualquer instante t . 
resp: ( ) ( )6 500 100010 2 t tQ t e e− − −= − (em coulombs) 
 
20. Se num circuito RLC em série há um capacitor com 60,8 10C −= × F e um indutor com 
0,2L = H. Ache a resistência R para que o circuito esteja criticamente amortecido. 
resp: 310R = Ω . 
 
21. Um circuito RLC em série tem um capacitor de 60,25 10−× F, um resistor de 35 10× Ω e 
um indutor de 1H. A carga inicial do capacitor é nula. Se uma bateria de 12V for ligada em 
série ao circuito, e o circuito fechado no instante 0t = , determine a carga no capacitor em 
qualquer instante t . 
resp: ( ) ( )6 4000 100010 4 3t tQ t e e− − −= − + (em coulombs)