CIII-Aula13_vetortangente

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Aula 13 
Vetor tangente, normal e 
binormal unitários 
 
GEX 108 – Cálculo III 
Profª Evelise 
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Objetivos da aula 
• Estudar propriedades 
geométricas de funções 
vetoriais. 
• Base para o estudo de 
movimentos em trajetória 
curvilínea 
 Movimento circular 
 Modelagem de órbitas 
planetárias 
 Movimento de projéteis 
 Lei da gravitação. 
• Vamos estudar: 
 Vetor normal unitário 
 Vetor tangente unitário 
 Vetor binormal. 
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Vetor tangente unitário 
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• Sendo r(t) uma função vetorial lisa, sabemos 
que o vetor r’(t) aponta para a direção de 
crescimento da curva paramétrica. 
• Para obter o vetor tangente unitário T(t), 
basta normalizar r’(t), ou seja: 
 
Exemplo 01 
• Encontre o vetor tangente unitário ao gráfico 
de 
 
 
no ponto em que t=2 
 
2 3( ) ( ) ( )r t t i t j 
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Vetor normal unitário 
• Para obter o vetor normal unitário N(t), basta 
normalizar o vetor tangencial unitário T’(t)(que é 
sempre normal à curva C), ou seja: 
 
 
 
 
 
• N(t) é normal à curva paramétrica 
• T’(t) tem que ser diferente de zero. 
• N(t) sempre aponta para a parte côncava da curva. 
 
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Exemplo 02 
• Obtenha T(t) e N(t) para o vetor posição da 
hélice circular 
 
 
onde a>0. 
 
 
( ) ( cos ) ( ) ( )r t a t i asent j ct k  
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Calculando T(t) e N(t) para curvas 
parametrizadas pelo comprimento do arco. 
• Agora, tomaremos a função parametrizada pelo 
comprimento do arco, ou seja, r(s). 
• OBJETIVO: Encontrar os vetores tangente unitário e 
normal unitário para r(s) 
• Do teorema, temos que se s for um parâmetro 
comprimento de arco, temos e 
consequentemente: 
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'( ) 1r s 
Exemplo 03 
Dada 
 
 
Encontre T(s) e N(s) para esta função vetorial. 
 
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   ( ) cos s sr s a i asen ja a 
Vetores binormais no espaço 3D: 
• Considere C o gráfico 
de uma função vetorial 
r(t) no espaço 
tridimensional. 
• Definimos o vetor 
binormal B(t) a C em t 
como: 
 
 
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( ) ( ) ( )B t T t N t 
Triedro de Frenet: 
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( ) ( ) ( )B t T t N t 
( ) ( ) ( )N t B t T t 
( ) ( ) ( )T t N t B t 
Vetores binormais no espaço 3D: 
• O vetor B(t) pode ser expresso diretamente em termos de r(t) 
na forma: 
 
 
 
• Também pode ser expresso em função do comprimento do 
arco da forma: 
 
 
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