Gabarito da Lista 1 - Curso de Análise 1 (UnB) - Prof Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 1 1.o/2013
1) Apenas como um exerc´ıcio, escreva a negac¸a˜o lo´gica das sentenc¸as abaixo.
a) Para quaisquer nu´meros reais satisfazendo a < b existe n ∈ N tal que a + 1
n
< b.
Resposta: Existem nu´meros reais satisfazendo a < b tais que, ∀ n ∈ N, a+ 1
n
≥ b.
b) Entre quaisquer dois nu´mero reais distintos existe um nu´mero racional.
Resposta: Existem dois nu´meros reais distintos sem um racional entre eles.
c) Para qualquer natural n ∈ N, √n ou e´ um nu´mero natural ou e´ um nu´mero racional.
Resposta: Existe um natual n ∈ N tal que √n na˜o e´ natual e na˜o e´ racional.
d) Dado qualquer nu´mero real x existe n ∈ N satisfazendo n > x.
Resposta: Existe um nu´mero real x tal que n ≤ x para todo n ∈ N>
e) Dado qualquer nu´mero real a > 0 existe um n ∈ N tal que 1
n
< a.
Resposta: Existe um nu´mero ral a > 0 tal que 1
n
≥ a para todo n ∈ N.
2) Dado A ⊂ R, indique por Ac o seu complementar, isto e´, Ac = {x ∈ R; x 6∈ A}. Indique
ainda por B e C dois outros subconjuntos de R.
A B
C
a) Verifique a inclusa˜o (A ∩ B)c ⊆ Ac ∪ Bc mostrando que, se
x ∈ (A ∩ B)c, enta˜o x ∈ Ac ∪Bc.
Resposta: x ∈ (A∩B)c ⇒ x 6∈ A∩B ⇒ x 6∈ A ou x 6∈ B ⇒ x ∈ Ac∪Bc.
b) Verifique a inclusa˜o contra´ria (A∩B)c ⊇ Ac ∪Bc para concluir
a igualdade entre esses dois conjuntos.
Resposta: x ∈ (A∩B)c ⇐ x 6∈ A∩B ⇐ x 6∈ A ou x 6∈ B ⇐ x ∈ Ac∪Bc.
c) Mostre agora a igualdade (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc verificando a
inclusa˜o nos dois sentidos.
Resposta: x ∈ (A ∪B)c ⇔ x 6∈ A ∪B ⇔ x 6∈ A e x 6∈ B ⇔ x ∈ Ac ∩Bc.
d) Verifique a “lei associativa”A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
Resposta: x ∈ A ∩ (B ∩ C)⇔ x ∈ A e x ∈ B ∩ C ⇔ x ∈ A, x ∈ B e x ∈ C ⇔ x ∈ (A ∩B) ∩ C.
e) Verifique a “lei distributiva”A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
Resposta: x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A e x ∈ B ∪ C ⇔ x ∈ A e x ∈ B ou x ∈ A e x ∈ C
⇔ x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
Ana´lise 1 Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 1 1.o/2013 – 1/2
3) A unicidade da decomposic¸a˜o em fatores primos afirma que, se m ∈ N\{1}, enta˜o m
escreve-se de modo u´nico na forma m = qn1
1
qn2
2
· · · qnkk , onde os qi sa˜o primos e os ni ∈ N,
i = 1, 2, · · ·k. Os itens a seguir ilustram como essa unicidade pode ser usada para demonstrar
que certas ra´ızes na˜o sa˜o nu´meros racionais.
a) Use a unicidade da decomposic¸a˜o em fatores primos para mostrar que, se p e´ primo,
enta˜o m e´ mu´ltiplo de p se, e somente se, m2 e´ mu´ltiplo de p.
Resposta: basta notar que m2 = q2n1
1
q2n2
2
· · · q2nk
k
e´ a decomposic¸a˜o em fatores primos de m2.
b) Suponha agora que r = m
n
∈ Q seja tal que (m
n
)2 = 3. Use o item anterior para concluir
que tanto m como n sa˜o mu´ltiplos de 3.
Resposta: (m
n
)2 = 3⇒ m2 = 3n2 ⇒ m = 3k e 32k2 = 3n2 ⇒ 3k2 = n2 ⇒ n = 3j.
c) Conclua do item acima que, se r2 = 3, enta˜o r 6∈ Q.
Resposta: mdc(m,n) = 1 e (m
n
)2 = 3⇒ m e n divis´ıveis por 3 E.
d) Generalize o resultado acima mostrando que, se p e´ primo e r2 = p, enta˜o r 6∈ Q.
Resposta: mdc(m,n)=1 e (m
n
)2=p⇒ m2=pn2 ⇒ m=pk e p2k2 = pn2 ⇒ pk2 = n2 ⇒ n = pj E.
e) Explique porque os argumentos acima na˜o podem ser usados para mostrar que, se
r2 = 4, enta˜o r 6∈ Q.
Resposta: mdc(m,n) = 1 e (m
n
)2 = 4 ⇒ m2 = 22n2 ⇒ m = 2k e 22k2 = 4n2 ⇒ k2 = n2
⇒ k = n⇒ m
n
= 2©.
4) Uma propriedade importante dos nu´meros racionais e´ que Q e´ denso em R, no seguinte
sentido: dados quaiquer x < y em R, existe r ∈ Q tal que x < r < y. Essa propriedade esta´
relacionada com o fato de R ser arquimediano, com ilustra os itens a seguir.
a) Use o fato de que 2n ∈ N para todo n ∈ N para
mostrar que N na˜o e´ limitado superiormente. 0 y − x x y
1
n0
m0−1
n0
m0
n0
Resposta: se x0 = supN, enta˜o n ≤ x0 ∀ n ∈ N⇒ 2n ≤ x0 ∀ n ∈ N⇒ n ≤ x02 ∀ n ∈ N E.
b) Use o item anterior para mostrar que R e´ arquimediando, isto e´, que dados 0 < a ≤ b
em R, existe n ∈ N tal que b < na.
Resposta: N ilimitado superiormente ⇒ ∃ n ∈ N com b
a
< n⇒ b < na.
c) Do item anterior, conclua que, dados x < y em R, existe n0 ∈ N tal que 1n0 < y − x.
Resposta: basta escolher a = y − x e b = 1 no item anterior
d) Com o valor de n0 acima, use a propriedade arquimediana para mostrar que o conjunto
A = {m ∈ Z; y ≤ m 1
n0
} e´ na˜o vazio. Em seguida, conlua que existe m0 = inf A,
onde m0 ∈ A.
Resposta: com a = 1
n0
e b = y, ∃ m ∈ N tal que y < m 1
n0
⇒ m ∈ A ⇒ A 6= ∅. Ale´m disso,
m ≥ yn0 ∀ m ∈ A⇒ A limitado inferirmente ⇒ ∃ m0 = inf A ∈ A.
e) Finalmente, conclua que r = m0−1
n0
∈ Q e´ tal que x < r < y.
Resposta: Por construc¸ao, m0−1
n0
< y ≤ m0
n0
. Se r ≤ x, enta˜o 1
n0
< y − x ≤ m0
n0
− m0−1
n0
= 1
n0
E.
Ana´lise 1 Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 1 1.o/2013 – 2/2