SistemasLineares

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Sistema de Equações Lineares
Prof. Reginaldo Gonçalves Leão Junior
Introdução
É comum, em diversas situações, deparar-se com grupos de equações diferentes relacionadas 
por variáveis iguais. Como pode ser visto abaixo:
2⋅x=8 ; x
2
=2 ;16=2⋅x+8
Note que apesar de serem equações diferentes, a solução de qualquer uma delas é a mesma 
x=4 , esta possibilidade matemática constitui um facilitador para a resolução de grupos de 
equações que têm variáveis em comum. 
Estes grupos de equação são comumente chamados de sistemas de equações lineares, ou 
simplesmente sistemas lineares, para o qual a expressão “linear” indica que em qualquer caso serão 
tratadas unicamente equações do primeiro grau.
Um sistema linear, tem tantas raízes quantas forem o número de variáveis de suas equação. 
Um sistema com um única variável tem apenas uma raiz, um sistema com duas variáveis, duas 
raízes e assim sucessivamente.
Um exemplo disto pode ser visto no sistema linear de duas variáveis mencionando abaixo:
2x+ y=10
4x−2y=5
As raízes deste sistema podem ser facilmente obtidas pelo método da substituição:
2x+ y=10→2x=10− y→ x=10− y
2
4x−2y=5→ 4 10− y
2
−2y=5→ 20−2y−2y=5→−4y=5−20→ y=15
4
Se x=10− y2 então x=
10 – 15
4
2
→ x=
25
4
2
→ x=25
8
No entanto, a álgebra linear oferece condições facilitadoras que possibilitam a solução não 
apenas de sistemas como estes, bem como, sistemas com inúmeras variáveis.
Neste texto nos ateremos a sistemas com no máximo três equações contendo, no máximo, 
três variáveis cada uma
Matrizes e sistemas lineares
Existe a possibilidade, de se compor uma matriz algébrica que expresse a complexidade de 
um sistema linear para isso podemos nos valer da definição de produto matricial. Suponha que o 
sistema do tópico anterior precise ser escrito em sua forma matricial, isto poderia ser feito da 
seguinte maneira:
SL=∣2x y 104x −2y 5 ∣ 
∣2 14 −2∣⋅∣xy∣=∣105 ∣
Esta igualdade pode ser considerada já que se faz o produto de uma matriz 2×2 por uma 
2×1 , que resulta em uma matriz também 2×1 do tipo ∣a11a21∣ onde cada elemento pode ser 
escrito na forma:
a11=2x+1y ;a21=4x−2y
Note que cada elemento da matriz representa exatamente cada uma das equações do sistema 
linear o que torna a igualdade ∣2 14 −2∣⋅∣xy∣=∣105 ∣ realmente válida.
Assim fica determinado que qualquer sistema linear pode ser escrito na forma de um 
produto matricial, no qual o primeiro termo é composto pelos coeficientes de cada equação e o 
segundo termo as variáveis de cada equação.
Solução Matricial de Sistemas Lineares (Método de Cramer)
No caso de um sistema de duas variáveis x e y, a solução do sistema fica condicionada a 
determinação do determinante de três matrizes diferentes, a matriz dos coeficientes e outras duas 
derivadas dessa.
O método de Cramer, para a solução de sistemas lineares, determina que sejam analisadas 
três matrizes independentemente.
A primeira delas é a própria matriz de coeficientes ∣2 14 −2∣ , a segunda é composta 
através da substituição da primeira coluna, pelos elementos da matriz produto ∣10 15 −2∣ e a 
última composta através da substituição dos elementos da segunda coluna pelos da matriz produto 
∣2 104 5 ∣ .
Neste caso a primeira coluna representará os possíveis valores de x, a segunda os possíveis 
valores de y. O próximo passo é o cálculo de cada um dos determinantes das matrizes citadas:
∣2 14 −2∣=(2⋅−2)−(4⋅1)=−8 ; D=−8
∣10 15 −2∣=(10⋅−2)−(1⋅5)=−25 ; D x=−25
∣2 104 5 ∣=(2⋅5)−(10⋅4)=−30 ; D y=−30
Em seus trabalhos Cramer enunciou que as raízes destes sistemas são determinadas fazendo-
se:
x=
D x
D
; y=
D y
D
; z=
D z
D
… ;n=
Dn
D
No caso exemplo fica definido que:
x=−25
−8
=25
8
; y=−30
−8
=15
4
Exemplo
Solução do sistema de três equações lineares contendo 3 variáveis cada uma.
2x – y+ z
2
=25
x+ y+ z=15
x – y+2z=20
1° Passo: Escrevendo o produto matricial
 ∣2 −1 1/ 21 1 11 −1 2 ∣⋅∣
x
y
z∣=∣
25
15
20∣
2° Passo: Escrevendo as matrizes derivadas
D=∣2 −1 1/21 1 11 −1 2 ∣ ; D x=∣
25 −1 1/2
15 1 1
20 −1 2 ∣ ; D y=∣
2 25 1/2
1 15 1
1 20 2 ∣ ; D z=∣
2 −1 25
1 1 15
1 −1 20∣
3° Passo: Cálculo dos determinantes
 
D=∣2 −1 1 /21 1 11 −1 2 ∣
2 −1
1 1
1 −1
D=[(2⋅1⋅2)+(−1⋅1⋅1)+(1/2⋅1⋅−1)]−[(−1⋅1⋅2)+(2⋅1⋅−1)+(1 /2⋅1⋅1)]
D=(4−1−1/2)−(−2−2+1/2)
D=5
2
+7
2
=6
D x=∣25 −1 1/215 1 120 −1 2 ∣=+60 (faça a prova matemática)
D y=∣2 25 1/21 15 11 20 2 ∣=−2,5 (faça a prova matemática)
D z=∣2 −1 251 1 151 −1 20∣=+30 (faça a prova matemática)
4° Passo: Cálculo das raízes
x=
D x
D
=60
6
=10
y=
D y
D
=− 2,5
6
=− 5
12
z=
D z
D
=30
6
=5