4a Prova ASD 2012

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UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu 
CECE – Centro de Engenharia e Ciências Exatas 
Engenharia Elétrica 
Análise de Sistemas Dinâmicos [ ASD 2012] 
Nota 
 
Quarta Prova 14.09.12 
Nome: _________________________________________________________________ 
 
1. A Figura 1 mostra um sistema dinâmico com 
excitação senoidal )cos()( 000 φ+Ω⋅= tXtx . Para este 
sistema: a) determine a saída )(ty a partir da função 
de resposta em frequência do sistema (5 pontos); b) 
explique para que condição operativa e para que tipo 
de sistema dinâmico esta determinação é válida (5 
pontos). 
 
Figura 1 Sistema dinâmico 
 
O sistema dinâmico da Figura 1 agora é excitado por um sinal periódico )(tx cujo espectro em 
frequência é mostrado na Figura 2. Não seria necessário dizer, mas )( ωjX é a transformada de 
Fourier de )(tx , ou seja, [ ])()( txjX ℑ=ω . O diagrama de Bode do sistema dinâmico é mostrado na 
Figura 3. Justificando suas ações, a) determine uma expressão matemática para x(t) (5 pontos); b) 
a resposta y(t) (10 pontos). 
Atenção: observe que a escala de frequência da Figura 2 está em radianos por segundo enquanto 
que a mesma escala da Figura 3 está em Hertz [Hz]. Portanto, faça os ajustes necessários. 
 
Figura 2 Espectro em frequência do sinal x(t) 
 
v(t)
Filtro
H(jω)
v0(t)Sistema
Dinâmico
)(tx )(ty
t
[s]
[ ]..)( EUjX ω
[ ]srad /ω
pi20 pi60 pi100
10
5
[ ]°)( ωjX
°60
°30
[ ]srad /ω
pi20 pi60 pi100
 
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Engenharia Elétrica 
Análise de Sistemas Dinâmicos [ ASD 2012] 
Nota 
 
Quarta Prova 14.09.12 
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Figura 3 Diagrama de Bode do sistema dinâmico considerado 
2. Escolha um sistema dinâmico mecânico de 2ª ordem (e.g. sistema massa-mola-amortecedor) 
de sua preferência, que deve ser diferente dos demais sistemas dinâmicos utilizados nesta prova. 
Apresente o modelo físico e o modelo matemático do sistema. Determine a função de transferência 
)(sH e a função de resposta em frequência )( ωjH do sistema (5 pontos). Adote os valores dos 
parâmetros de sua preferência e esboce, em escala, os diagramas da função de resposta em 
frequência (5 pontos). Esboce, em escala, o diagrama de Bode (amplitude e fase), deixando o eixo 
da frequência parametrizado em função de nω (5 pontos). 
3. A Figura 4 mostra um sistema dinâmico linear e invariante no tempo, contendo um 
amplificador operacional (ampop). Determine as equações do modelo matemático completo deste 
sistema, incluindo a corrente )(tid e a tensão )(tv d (5 pontos). Enuncie cada uma das premissas 
assumidas para um ampop ideal e simplifique as equações do modelo matemático do item anterior 
com base nestas premissas (ou em algumas delas). Relacione as premissas com as simplificações 
realizadas nas equações (5 pontos). Determine a função de transferência )(sH e a função de 
resposta em frequência )( ωjH (5 pontos). Explique o que este sistema está fazendo com o sinal 
de entrada )(tx (5 pontos). 
 
 
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Análise de Sistemas Dinâmicos [ ASD 2012] 
Nota 
 
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Figura 4 Sistema dinâmico com ampop 
4. A Figura 5 mostra um sistema dinâmico linear e invariante no tempo, constituído por um 
circuito RLC série, com entrada x(t) e saída y(t). Considere o fator de amortecimento do sistema 
dinâmico igual a 2 ( 2=ζ ). Determine o modelo matemático deste sistema (5 pontos). Determine 
a função de transferência )(sH e a função de resposta em frequência )( ωjH (5 pontos). 
Represente os polos (símbolo x) e os zeros (símbolo o) deste sistema no plano complexo (5 
pontos). Esboce, em escala, os diagramas da função de resposta em frequência (10 pontos). 
Esboce, em escala, o diagrama de Bode (amplitude e fase), deixando o eixo da frequência 
parametrizado em função de nω (15 pontos). 
 
Figura 5 Circuito RLC série 
 
 
Figura 6 Figura para auxílio na escala dos diagramas de Bode 
`
R2
x(t)
R
i1(t)
C
i2(t)
id(t)
y(t)
+
-
+
-
+-
-+
-
+
vd(t)
C
L
+
x(t)
-
+
y(t)
-
R
k10 110 +k0ω ω
[ ]
[ ] δω ↔−
↔−+
k
kk D
10loglog
10log10log
0
1
Dk ⋅





=
10
log 0ωδ⇒