Lista (Revisão prod. escalar)

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II Lista de Revisão: Produto Escalar e ângulos.
Temos duas definições equivalentes para o produto escalar. Dados os vetores v=(vx, vy, vz) e w=(wx, wy, wz), temos:
Definição Algébrica:
v.w = vx.wx+vy.wy + wyvz 
Definição Geométrica:
v.w = │v│.│w│cosθ,
onde θ é o ângulo entre v e w.
Como são equivalentes, tendo vetores v e w em mãos, podemos calcular o ângulo entre eles igualando estas definições. Assim:
v.w = vx.wx+vy.wy + wyvz 
v.w = │v│.│w│cosθ,
vx.wx+vy.wy + wyvz = │v│.│w│cosθ,
cosθ = ( │v│.│w│ ) 
	vx.wx+vy.wy + wyvz
Exemplo:
v=(0; 1; 1), w=(-1; 0; 1)
v.w = 0.(-1)+1.0+1.1 = 1
v.w = │v│.│w│cosθ
 = √02+12+12 . √(-1)2+02+12 .cosθ
 = √2 √2 cosθ 
 = 2.cosθ
Igualando:
 1= 2.cosθ
Cosθ = ½
θ = arccos(1/2) = 60º.
Exercícios:
Calcular o ângulo entre os vetores abaixo:
v=(0; 1; 1) e w=(-1, 1, 0)
v=(0, 1, 1) e w=(-1, 0, 0)
v=(1, 0, 1) e w=(-1, 0, -1)
v=(½; ½, 0) e w=(-1, 0, 0)
 Resp: a)60, b)90, c)180 d)135
Projeção escalar e Vetor Projeção
Projeção escalar
Com o produto escalar, podemos também calcular projeções de um vetor na direção de outro vetor.
Dados dois vetores v e w temos então:
θ
v
w
│v│
cosθ
│
v
│
cosθ
 = projeção de v na direção de w.
v.w
=│v│.│w│cosθ (def. 
geom
)
│v│
.
cosθ
 = v . 
 w
 
=
 
v.e
w
 │w│
onde
 
e
w
 = 
versor
 associado a w
Então a projeção escalar de v na direção de w é dado por:
│v│cosθ = proj. de v na direção de w.
 = v . w = v.ew
	 │w│
Exercícios:
Calcule as seguintes projeções escalares :
u = (0, 1, 0), v=(1; 1; 0) e w=(1; 1; 1)
v na direção de u
u na direção de v
w na direção de v
v na direção de w
Resp: a)1, b)√2/2, c)√2 d)(3.√3)/2
Vetor Projeção:
Observe que a idéia de projeção é associada à “sombra” do vetor sobre uma dada direção. Existe uma outra noção de projeção de um vetor sobre uma dada direção. Esta é dada pelo “tanto” de um dado vetor que está nesta direção.
número
θ
v
w
(│v│
cosθ
 )
.
e
w
│v│
cosθ
 = “sombra” de v na direção de w.
 = 
v .
 
 w
 
= 
v.e
w
 │w│
onde
 
e
w
 = 
versor
 associado a w
(│v│
cosθ
 )
.
e
w
 
= “parte” do vetor v na direção 
de 
e
w
 ou Vetor Projeção de v na direção de 
e
w
 =
(
v.e
w
).
e
w
versor
EX: Dada as forças abaixo calcule os vetores projeção na direção de F0
F0=(1, -1)
a) F1=(1 , 0)
b) F2=(1,1)
c) F3=(0,1)
Resp:
Para e0=(√2/2, -√2/2)
a)√2/2e0, b)0 c)- √2/2e0 
Decomposição em Componentes Ortogonais:
Dados então dois vetores v e w podemos decompor o vetor v em componentes mutuamente ortogonais onde é paralelo a w e é ortogonal a w.
Sabemos que se considerarmos um versor paralelo a w ( e um versor ortogonal a w, se v puder ser escrito na forma nessas condições e .
Desta forma como vimos acima é paralelo a w.
Para encontrar a outra componente, basta verificar que é ortogonal a (verificamos fazendo o produto escalar de 
Com e verificar que este se anula).
Logo é a componente ortogonal a w (ou seja ).
 Ex: Decomponha v=(1, 0, 2) em uma componente paralela e uma ortogonal ortogonal ao vetor w=( 1, -1, 0).
A componente paralela a w é :
A componente ortogonal a w será = .
(Verifique que v= e que é ortogonal a