Integral

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
Centro de Ensino Superior – CERES 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
 Professor: 
 Disciplina: Matemática para Ciências Contábeis
 Alunos: 
Integrais.
Caicó/RN
14 de Junho de 2012 
INTEGRAL INDEFINIDA
O conceito de integral indefinida conhecida também por primitiva ou antiderivada.
Ilustração: Suponha que lhe peçam para encontrar uma função F cuja derivada seja: 3x2
F (x) = x3 porque . x3 = 3x2
Definição de primitiva: Uma função F é uma Primitiva de f em um intervalo I se F’(x)=f(x) para qualquer x em I.
Então: F(x)= x3 é uma primitiva de f(x)= 3x2
	Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então a primitiva mais geral de f em I é: F(x)+C onde C é uma constante arbitrária.
F(x) = x3+C porque (x3 + C ) = 3x2
	Definição integral indefinida, integrando: o conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação a x, denotada por
∫ f(x)dx
∫ é o símbolo da integral. A função f é o integrando da integral e x é a variável de integração.
Vamos agora ver um método muito útil para calcular integrais indefinidas de funções compostas. Este método é denominado método da substituição: 
Exemplo: ∫(7x2 + sec2 x) dx
∫(7x2 + sec2x) dx
= 7 ∫ x4 dx + ∫ sex2 x dx
= 7 + C tg x + C2 = 7 + tg x + C1 + C2 , onde C1 e C2 são arbitrárias.
Como a soma de C1 + C2 é uma nova constante arbitrária, você escreve C1 + C2 e vem:
∫ ( 7x2 + sec2 x ) dx = 7 + tg x + C.	
Infelizmente a integral do produto não é igual ao produto das integrais, de sorte que existe um método que pode ajudar na obtenção de primitivas gerais ou integrais indefinidas cujo integrando é um produto de funções.
∫ f (x) g (x) dx ∫f (x) dx ∫ g(x) dx
Observação: integração por partes é uma técnica para simplificar integrais da forma :
∫ f(x) g(x) dx.
Integral definida
	Existem dois problemas fundamentais em cálculo: o primeiro é encontrar a inclinação de uma curva em um ponto dado e o segundo é encontrar a área sob a curva. Agora, você verá, que a integral está ligada ao problema de determina a área de uma figura plana qualquer. Assim, a derivada e a integral são as duas noções básicas em torno das quais se desenvolve todo o cálculo. 
Os problemas para o cálculo de área, não apresentam grande dificuldade se a figura plana for um retângulo, um paralelogramo ou um triângulo. 
A área de uma figura plana qualquer pode ser calculada aproximando a figura Pode polígonos, cujas áreas podem ser calculadas pelos métodos da geometria elementar. Isto nos motiva a considerar, agora, o problema de calcular a área de uma região R do plano, limitadas por duas retas verticais x = a e x = b , pelo eixo x e pelo gráfico de uma função f (x), limitada e não negativa no intervalo fechado [a, b] conforme a figura a seguir:
Para isso vamos fazer uma partição P do intervalo [a, b] , isto é, vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos , por meio dos pontos 
X0, X1, X2 ... Xi-1, Xi, ... Xn,
Escolhidos arbitrariamente da seguinte maneira
a = X0< X1< X2< ... <Xi-1< Xi < ... < Xn, = b
Veja a figura a baixo:
O comprimento de i – ésimo subintervalo, [xi-1, x1] , é dado por Δx1 = xi – xi-1. Vamos construir retângulos de base xi – xi-1 e altura f(ci) onde ci é um ponto do intervalo.
Δxi = x2 – x1 base do primeiro retângulo
Δx2 = x3 – x2 base do segundo retângulo ...
Essa soma é chamada Soma de Reimann da função f relativa a partição P. quando n cresce, é “razoável” esperar que a soma das áreas dos retângulos aproxime da área A da região R , como sendo:
Se esse limite existir. E então se diz que a região R é mensurável. 
A integral
A integral está associada ao limite apresentado acima. Nesta seção daremos a definição da integral que nasceu com uma formulação dos problemas de áreas, e citaremos as suas propriedades. Já sabemos que a integral e a derivada, estudadas na Unidade 5, são as duas noções básicas em torno das quais se desenvolve todo o Cálculo. Conforme terminologia introduzida anteriormente, temos a seguinte definição.
	Seja f(x) uma função limitada definida no intervalo fechado [a, b] . a integral de f(x) no intervalo [a, b] denotada por é dada por:
 desde que o limite do segundo membro exista.
	Chamando atenção para o fato de que, a integração não significa necessariamente uma área. Dependendo do problema, ela pode representar grandezas, como: volume, trabalho realizado por uma força, ponto de equilíbrio.
	A definição de integral pode ser ampliada, de modo a incluir o caso em que o limite inferior seja maior do o limite superior , e o caso em que os limites inferior e superior são iguais. 
Definição: Se y = f(x) for não negativa e integrável em um intervalo fechado [a, b], então a área sob a curva y = f(x) em [a. b] será a integral de f de a até b 
A= = f(x) dx
Teorema fundamental do calculo
	Essa subseção contém um dos mais importantes teoremas do cálculo. Este teorema permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva da mesma, e por isso, é a chave para calcular integrais. Ele diz que, conhecendo uma função primitiva de função f(x) integrável no intervalo fechado , podemos calcular a sua integral.
	Se a função f(x) é integrável no intervalo fechado e se F(x) é uma função de f(x) neste intervalo então:
Integração por substuição
	Esta é uma técnica utilizada com o objetivo de desenvolver o cálculo de integrais indefinidas de funções que possuem primitivas. Essa técnica, damos o nome de integração por substituição ou mudança de variável.
	Suponha que você tem uma função g(x) e uma outra função f tal que f(g(x)) esteja definida . Você quer calcular um integral do tipo :
Logo, (equação 1 )
Fazendo u = g(x) -> = g’(x) -> Du = g’(x) dx e substituindo na equação (1) , vem