limites fundamentais

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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
Disciplina: CÁLCULO I 
Aluno(a): 
 Para o estudo dos limites fundamentais é útil conhecer e saber aplicar as propriedades dos 
limites, que são: 
 
1) O limite de uma constante é a própria constante:
 
Exemplo: 77lim
2
=
−→x
 
2) O limite da soma ou diferença é igual a soma ou diferença dos limites, caso estes limites 
existam: 
 [ (lim xf
ax→
Exemplo: 
3) O limite do produto é o produto dos limites, caso estes limites existam:
 
 [ (lim f
ax→
Exemplo: 
 
4) O limite do quociente é igual ao quociente dos limites, caso estes limites existam:
 
Exemplo: 
5) O limite da potência de uma função f(x) é igual à potência do limite da função, caso esse 
exista: 
x
lim
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE PALMAS
ENGENHARIA AMBIENTAL 
Professor: Paulo Vitoriano D. Pereira
Data: __ / 01 / 2013 
 
Limites Fundamentais 
 
Para o estudo dos limites fundamentais é útil conhecer e saber aplicar as propriedades dos 
O limite de uma constante é a própria constante: 
KK
ax
=
→
lim
 com RK ∈ 
O limite da soma ou diferença é igual a soma ou diferença dos limites, caso estes limites 
] )(lim)(lim)() xgxfxgx
axax →→
±=± 
O limite do produto é o produto dos limites, caso estes limites existam:
] )(lim)(lim)()( xgxfxgx
axax →→
⋅=⋅ 
 
O limite do quociente é igual ao quociente dos limites, caso estes limites existam:
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
= 
 
ite da potência de uma função f(x) é igual à potência do limite da função, caso esse 
[ ] n
ax
n
a
xfxf 



=
→→
)(lim)(lim com *Nn ∈ 
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CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE PALMAS 
 
Paulo Vitoriano D. Pereira 
 
Para o estudo dos limites fundamentais é útil conhecer e saber aplicar as propriedades dos 
O limite da soma ou diferença é igual a soma ou diferença dos limites, caso estes limites 
O limite do produto é o produto dos limites, caso estes limites existam: 
O limite do quociente é igual ao quociente dos limites, caso estes limites existam: 
ite da potência de uma função f(x) é igual à potência do limite da função, caso esse 
 
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Disciplina: CÁLCULO I 
Aluno(a): 
Exemplo: 
 
6) O limite de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes o limite da função, 
caso esse limite exista: 
 
7) O limite da raiz enésima de uma função é a raiz enésima do limite da função: 
 
n
ax
xf )(lim
→
 
 
Exemplo: 
 
 
1º Limite Fundamental: “Se x é um arco em radianos e sen x é a medida do seno desse arco; então 
quando o arco x tender a zero, o limite da divisão do valor de seno de x pela medida do arco x será igual 
a 1” 
 
 
 
 1senlim
0
=
→ x
x
x
 
 
 
 
 
Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: 
Seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas 
condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999, (obtido numa
Efetuando-se o quociente, vem: sen
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Data: __ / 01 / 2013 
 
O limite de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes o limite da função, 
 
[ ] )(lim)(.lim xfKxfK
axax →→
⋅=
 
O limite da raiz enésima de uma função é a raiz enésima do limite da função: 
n
ax
xf )(lim
→
= com *Nn ∈ e 0)( ≥xf se n
 
Limites Fundamentais: 
Se x é um arco em radianos e sen x é a medida do seno desse arco; então 
quando o arco x tender a zero, o limite da divisão do valor de seno de x pela medida do arco x será igual 
Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: 
Seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas 
condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999, (obtido numa
199999,0
0001,0
00009999,0sen
===
x
x
. 
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Paulo Vitoriano D. Pereira 
 
O limite de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes o limite da função, 
O limite da raiz enésima de uma função é a raiz enésima do limite da função: 
n for par 
Se x é um arco em radianos e sen x é a medida do seno desse arco; então 
quando o arco x tender a zero, o limite da divisão do valor de seno de x pela medida do arco x será igual 
Seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas 
condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999, (obtido numa calculadora científica). 
 
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Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o valor do quociente
x
xsen
 se aproximará do valor 1, 
caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função. 
Observe o cálculo: 41.4senlim.4sen4lim
.4
4sen.4lim4senlim
0000
=====
→→→→ u
u
u
u
x
x
x
x
xxxx
 
Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 4x = u, de modo a cairmos num 
limite fundamental. Verifique também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada 
por 4, a expressão não se altera. 
Veja outro exemplo: ?
0
03senlim
0
==
→ x
x
x
 então, aplicando o 1º fundamental temos: 
 
multiplicando o numerador e o denominador por 3 temos: 1
3
3senlim.33sen.
3
3lim
0
==
→ x
x
x
x
x
 
 
Exercícios propostos: 
 
1- =−
→ 20 3
cos1lim
x
x
x
 2- =
→ x
xtg
x 2
3lim
0
 3- =+
→ cox
x
x
cos1lim
0
 
 
 
2º Limite Fundamental: 
 
 e
x
x
x
=





+
∞→
11lim onde ...71828,2=e nº de Euler 
 
 
A tabela abaixo mostra os valores de 
x
x






+
11 a medida em que o valor de x “tende” a ser muito grande, 
ou seja ∞→x 
x 1 2 5 10 50 100 200 300 500 1000 5000 
(1+1/x)x 2 2,25 2,48832 2,59374 2,69159 2,70481 2,71152 2,71377 2,71557 2,71692 2,71801 
 
 
 
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Disciplina: CÁLCULO I 
Aluno(a): 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1- =





+
∞→
x
x x
31lim 
 
3º Limite Fundamental: “ Seja um valor exponencial 
Sendo x o expoente, um numero real qualquer temos que: se 
x
b x 1−
 assumirá o valor de bln . 
De forma intuitiva, observe o que ocorre com o valor da expressão
se aproxima de zero pela direita, ou seja vamos calcular:
 
Observe que o valor 0,69317 é igual a 
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 2- 


+
∞→x x
21lim
“ Seja um valor exponencial xb , onde b é a base, positiva e diferente de 1. 
Sendo x o expoente, um numero real qualquer temos que: se o número x tender a zero então a expressão
 
b
x
b x
x
ln1lim
0
=
−
→
 
De forma intuitiva, observe o que ocorre com o valor da expressão
x
x 12 −
 a medidaem que o valor 
se aproxima de zero pela direita, ou seja vamos calcular: 
x
x
x
12lim
0
−
+→
 
 x 
x
x 12 −
 
 0,5 0,82843 
 0,4 0,79877 
 0,2 0,74349 
 0,1 0,71773 
 0,05 0,7053 
 0,02 0,69797 
 0,01 0,69556 
 0,001 0,69339 
 0,0001 0,69317 
 
Observe que o valor 0,69317 é igual a 69317,02ln =
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=


− x
x
12
 
, onde b é a base, positiva e diferente de 1. 
o número x tender a zero então a expressão
a medida em que o valor de x 
69317 
 
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Exercícios propostos: 
 
1- =−
→ x
xx
x
46lim
0
 
 
2- =





+
∞→
x
x x2
11lim 
 
3- =−
→ x
ex
x 5
1lim
0
 
 
4- =−
→ x
ex
x sen
1lim
0
 faça ... dividir 
xxDxN por )( e )( 
 
5- =+
→ x
x
x
2
0
)1ln(lim 
 
6- =−
→ x
ex
x
1lim
0
 faça ... 
)1ln(11 +=⇒+=⇒=− zxzeze xx a 
seguir divida por z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
1º Fundamental: 1senlim
0
=
→ x
x
x
 
 
 
2º Fundamental: e
x
x
x
=





+
∞→
11lim 
 
 
3º Fundamental: b
x
b x
x
ln1lim
0
=
−
→
 
 
 
Conseqüências dos Fundamentais: 
 
a) 01coslim
0
=
−
→ x
x
x
 
 
b) 11lim
0
=
−
→ x
e x
x
 
 
 
c) 1)1ln(lim
0
=
+
→ z
z
z