Aula 3_funcoes

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Funções (continuação)
Profa. Luciana Rizzo
https://sites.google.com/site/lrizzounifesp/
CÁLCULO I 
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Funções potência
São funções da forma f(x) = xa, onde a é uma constante.
Caso I: a = n, onde n é um inteiro positivo
f(x) = x
f(x) = x2
f(x) = x3
f(x) = x4
f(x) = x5
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Funções potência (continuação)
Caso II: a = 1/n, onde n é um inteiro positivo
 
 
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Funções potência (continuação)
Caso III: Função recíproca (a = -1)
f(x) = x-1 = 1/x
O gráfico é uma hipérbole!
Exemplo de aplicação: Lei de Boyle
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Funções trigonométricas
São definidas como razões entre os lados de um triângulo retângulo
Importante: vamos utilizar ângulos em radianos!
1 rad = π/180
Radiano: medida do comprimento do arco no círculo trigonométrico (r=1)‏
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Funções trigonométricas
Funções periódicas:
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Funções exponenciais
f(x) = ax, onde a é uma constante positiva (a>0)
a > 1
Df = ]-∞, +∞[
If = ]0, +∞[
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Funções exponenciais
f(x) = ax, onde a é uma constante positiva (a>0)
a > 1
a = 1
Df = ]-∞, +∞[
If = ]0, +∞[
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Funções exponenciais
f(x) = ax, onde a é uma constante positiva (a>0)
a > 1
a = 1
0 < a < 1
Df = ]-∞, +∞[
If = ]0, +∞[
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O número e
Base conveniente para o cálculo diferencial e integral
Utilizando a base e ≈ 2,71828 a inclinação da reta tangente no ponto (0;1) é 1,0.
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Funções logarítmicas
y = f(x) = logax → ay=x
Condições de existência:
a > 0 e a ≠ 1
Quando a = e:
loge(x) = ln(x)
(logarítmo natural)
Df = ]0, +∞[
If = ]-∞, +∞[
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Exercício 1
(Stewart, pag. 36, capítulo 1.2, ex. 3)
a) y = x2
b) y = x5
c) y = x8
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Exercício 2
(Stewart, pag. 36, capítulo 1.2, ex. 4)
a) y = 3x
b) y = 3x
c) y = x3
d) y = x1/3
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Operações algébricas com funções
Sejam duas funções reais f e g:
Definimos:
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Exercício 3
Considere as funções
Determine:
a) f + g
b) 3f
c) (1/f) + g
d) f/g 
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Transformação de funções
I) Deslocamentos horizontais e verticais (translação)
Exemplo: f(x) = x2 ; c = 1
f(x) + c = x2 +1
f(x) - c = x2 -1
y = f(x) + c gráfico de f(x) deslocado c unidades para cima
y = f(x) - c gráfico de f(x) deslocado c unidades para baixo
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Transformação de funções (continuação)
I) Deslocamentos horizontais e verticais (translação)
Exemplo: f(x) = x2 ; c = 1
f(x+c) = (x+1)2
f(x-c) = (x - 1)2
y = f(x+c) gráfico de f(x) deslocado c unidades para a esquerda
y = f(x – c) gráfico de f(x) deslocado c unidades para a direita
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Transformação de funções (continuação)
II) “Esticamentos” horizontais e verticais
Exemplo: f(x) = x2 ; c = 5
f(c.x) = (5x)2
f (x/c) = (x/5)2
f(x) = x2 
f(x) =(5x)2 
f(x) =(x/5)2 
y = f(c.x) gráfico de f(x) comprimido na horizontal por um fator c
y = f(x/c) gráfico de f(x) esticado na horizontal por um fator c
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Transformação de funções (continuação)
f(x) = x2 
f(x) =5(x2) 
f(x) =(x2)/5
II) “Esticamentos” horizontais e verticais
Exemplo: f(x) = x2 ; c = 5
c.f(x) = 5x2
f (x)/c = x2/5
y = c.f(x) gráfico de f(x) esticado na vertical por um fator c
y = f(x)/c gráfico de f(x) comprimido na vertical por um fator c
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Transformação de funções (continuação)
III) Reflexões
Exemplo: f(x) = x2 – 1 
y = -f(x) = - x2 + 1
y = - f(x) gráfico de f(x) refletido em relação ao eixo x
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Transformação de funções (continuação)
III) Reflexões
Exemplo: f(x) = 2x
f (-x) = 2-x
f(x) = 2-x
f(x) = 2x
y = - f(x) gráfico de f(x) refletido em relação ao eixo y
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Exercício 4
Esboce o gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 5
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Exercício 5
Partindo do gráfico de sen(x), esboce o gráfico das seguintes funções:
y = 2. sen(x)
y = sen(x/2)
y = 2 + sen(-x)
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Funções compostas
Sejam duas funções reais:
Definimos:
Analogamente, definimos:
Exemplo: y = f(u) = 2u
 u = g(x) = x2
 f(u) = f(g(x)) = f(x2) = 2x2
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Exercício 6
Verifique que e determine a função composta g(f(x)): 
a) 
b) 
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Exercício 7
Utilizando as mesmas funções do exercício anterior, verifique que e determine a função composta f(g(x)). Note que, em geral, 				 .
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Exercício 8
Encontre as funções f(x) e g(x) tais que				:
 
 
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Funções inversas
Exemplo: número de bactérias em função do tempo
Quanto tempo leva para a população de bactérias atingir N=8000 indivíduos?
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Funções inversas
Representação:
Sendo y=f(x), a função inversa é dada por x=f -1(y).
Definição:
f e f -1 são inversas se, e somente se,
f (f -1(x)) = x e f -1(f (x)) = x
Definição:
Seja f uma função com domínio A e imagem B. Sua função inversa f -1tem domínio B e imagem A. 
f -1(y)  [f (y)] -1 
[f (y)] -1 =1/[f (y)] 
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Funções inversas
Mas nem toda a função é inversível!
Exemplo:
f(x) = x3
f -1(x) = x1/3
f(x) é inversível
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Funções inversas
Mas nem toda a função é inversível!
Contra-exemplo:
f(x) = x2
f(x) não é inversível
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Funções inversas
Para que uma função seja inversível, ela deve ser uma função de um a um, isto é: 
(a função nunca assume o mesmo valor duas vezes)
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Funções inversas
Obs: podemos calcular a inversa de uma função que não seja um a um, se limitarmos o domínio da função.
f(x) é inversível para x>=0
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Funções trigonométricas inversas
O domínio precisa ser limitado para que sen(x) seja inversível.
Sen(x) limitado entre –π/2 e π/2
f(x) = sen(x)
f -1(x) = arcsen(x)
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Funções trigonométricas inversas
O domínio precisa ser limitado para que cos(x) seja inversível.
Cos(x) limitado entre 0 e π
f(x) = cos(x)
f -1(x) = arccos(x)
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Exercício 9
Encontre a função inversa de					no domínio 
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Exercício 10
O decaimento radioativo de uma amostra de estrôncio – 90 (90Sr) pode ser descrito pela seguinte função:
, onde m é a massa em miligramas e t é o tempo em anos.
Determine a função inversa, isto é, o tempo em função da massa de estrôncio
Determine o tempo necessário para a massa da amostra ficar reduzida a 5 mg, sabendo que
 
Note que se n for par, então a função será par. E se n for ímpar, a função sera´ímpar.
Note que à medida que n aumenta, o gráfico fica mais “achatado” próximo de zero, e mais “íngreme” quanto x se aproxima de 1. Isso porque os números menores que 1 (em valor absoluto) DIMINUEM rapidamente quando são elevados a n>1. E os números maiores que 1 (em valor absoluto) AUMENTAM rapidamente quando são elevados a n>1. Exemplo: (1/2)^2 > (1/2)^3 > (1/2)^4, e 2^2 < 2^3 < 2^4. 
Observe que quando x tende a zero, f(x) tende para o infinito(+). Quando x tende a infinito(+), f(x) tende a zero.
Lei de Boyle: o volume de um gás a temperatura constante é inversamente proporcional à pressão. Matematicamente, PV=nRT, com T constante. Imagine um gás preso em um recipiente isolado, com um êmbolo no topo. Apertando o êmbolo, a pressão aumenta, e o volume diminui. Puxando o êmbolo, a pressão diminui, e o volume aumenta.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Note que as funções seno e cosseno oscilam de -1 a 1, com domínio (-inf,+inf) e imagem [-1,+1]. 
Representação de fenômenos periódicos, como: 
Note que todas as curvas passam por (0,1)
Note que todas as curvas passam por (1,0).
A funcao cresce mais rapido para x<1. 
Quando a base a aumenta, a funcao cresce cada vez mais rapido para x<1.
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Exemplo de aplicação: y=taxa de absorção de CO2 pelas plantas (fotossíntese)
u = intensidade da luz solar
 x = tempo (hora do dia) 	
Obs: tradicionalmente, x e’ representada como a variável independente. Por isso, quando estamos tratando de f-1 ao invés de f, geralmente trocamos y por x, ate’ para poder representar as funções f e f-1 no mesmo gráfico.